第一单元 函数的单调性第一、二节 函数的单调性一、学习目标通过本节课的学习，了解函数单调性的概念，同时还要掌握利用一阶导数对函数在某一区间上的单调性的判别方法．
二、内容讲解
1.本章概述从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．
这一章中，主要讲导数在两方面的应用：
1．导数在研究函数时的应用；2．导数在经济中的一些应用例1股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？
例2生产场景及生产曲线
在下两讲中就是要讨论这个问题．
2.单调性判别下面首先讨论
（一）定义3.1——函数的单调性．
什么叫函数的单调性？
1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．
（二）函数单调性定理3.1
设函数y = f (x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导.
(1)如果x(a，b)时，(x)>0，则f(x)在[a，b]上单调增加；
(2)如果x(a，b)时，(x)<0，则f(x)在[a，b]上单调减少．
意义：利用导数的符号判别函数的单调性．
说明：（1）闭区间[a，b]换成其它区间，如(a，b)，(-，b]，(a，+)．
（2）使定理结论成立的区间，称为y=f(x)的单调区间．
问题思考：若在区间内，，则f(x)一定是什么函数？同学们考虑的怎么样呢？下面请同学回答这个问题．
学生甲：因为这个函数的导数是0，所以这个函数也是0．
学生乙：我不同意这种说法．根据第2章所讲的导数公式，当函数是常数时，它的导数是0．我认为问题中的f (x)应该是常数C．
想一想：这两位同学中，哪一位回答是正确的？
在判断哪一位同学的回答是正确的之前，先复习定理3.1．
定理3.1?设函数y = f (x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导．
(1) 如果x(a，b)时，(x)>()0，则f (x)在[a，b]上单调增加(不减)；
(2) 如果x(a，b)时，(x)<()0，则f(x)在[a，b]上单调减少(不增)．
“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？
单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．
修改后的定理3.1如下：
定理3.1 设函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导
(1)如果x(a，b)时，(x)0，则f(x)在[a，b]上单调不减；
(2)如果x(a，b)时，(x)0，则f(x)在[a，b]上单调不增．
由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．
结论：若，，则．
证：既单调不增又单调不减
问题思考：单调函数的导数也是单调的吗？请举例说明．
答案不一定．例如函数f(x)=x3在区间(-,+)内是单调增加函数，但是其导数(x)=3x2在区间(-,+)内不是单调函数.又如g(x)=ex及其导数(x)=ex在区间(-,+)内都是单调函数．
三、例题讲解例1 判别y=x3+1的单调性．
[分析]?函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．
解： 定义域为(-,+)，(x)=3x2>0，x(-,+)，且x0
y在(-,+)上单调增加．
从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．
例2求y=2x3 -9x2+12x-6的单调区间.
[分析]首先求出定义域，再利用定理3.1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．
解,?定义域为(-,+)，?= 6x2 - 18 x + 12；
x2 - 3 x + 2 = 0；x – 1)( x – 2) = 0；x1 = 1,x2 = 2
单调增加区间为(-,1]，[2，+)；单调减少区间为[1，2]．
在右图形中x1 = 1,x2 = 2是分界点，在区间(-,1]内，函数是单调增加的；而在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+)内，函数是单调增加的．
例3求的单调区间.
解：?定义域为(-,-1)，(-1，+),
单调增加区间为(-,-1)，(-1，+)
从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．
归纳：求函数单调区间的步骤：
①确定的定义域；②求(x) = 0和(x)不存在的点，并组成若干子区间；
③确定(x)在每个子区间内的符号，求出 f (x) 的单调区间．
例4 当x > 0时，试证ln(1+x)>.
[分析]先建立一个函数F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F(x)的单调增加性，得到要证明的结论．
证：F(x)=ln(1+x)–()
F(x)单调增加．又F(0)=0，故当x>0时，F(x)>0；即ln(1+x)>．
四、课堂练习：求函数f(x)=x-ex的单调区间．
分析：求函数f(x)的单调区间的步骤为：1.确定函数f (x)的定义域．
2.求出函数f (x)在其定义域内(x) = 0的点和导数不存在的点，将这些点由小到大排列，把定义域分成若干子区间．
3.确定(x)在每个子区间内的符号．通常的做法是：在该子区间内任取一点x0，判定(x0)的符号，由于f (x)在该子区间内单调，故(x0)的符号就是(x)在该子区间内的符号．
4.根据每个子区间内(x)的符号，确定f (x)的单调增减性，得到f (x)的单调区间．利用幂函数和指数函数求导公式求之．
[（1）幂函数求导公式：若y =，则；（2）指数函数求导公式：若y=ex，则=ex．解：因为f(x)=x-ex的定义域为(-,+)，且(x)=(x-ex=–(ex=1-ex。]
五、课后作业
1,已知函数 y = f (x)的导数如下，问函数在什么区间内单调增加？
（1）(x)=x(x-2)；（2）(x)=(x+1)2(x+2)；（3）(x)=x3(2x-1)；（4）(x)=
2.求下列函数的单调区间：
（1）f(x)=x2-5x+6；（2）f(x)=；（3）f(x)=x4-2x2+1；（4）f(x)=x2-lnx
1.（1），；（2）；（3），；（4）.2.（1）是单调减少区间，是单调增加区间；（2），是单调减少区间；（3），是单调减少区间，，是单调增加区间；（4）是单调减少区间，是单调增加区间.
二、内容讲解
1.本章概述从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．
这一章中，主要讲导数在两方面的应用：
1．导数在研究函数时的应用；2．导数在经济中的一些应用例1股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？
例2生产场景及生产曲线
在下两讲中就是要讨论这个问题．
2.单调性判别下面首先讨论
（一）定义3.1——函数的单调性．
什么叫函数的单调性？
1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．
（二）函数单调性定理3.1
设函数y = f (x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导.
(1)如果x(a，b)时，(x)>0，则f(x)在[a，b]上单调增加；
(2)如果x(a，b)时，(x)<0，则f(x)在[a，b]上单调减少．
意义：利用导数的符号判别函数的单调性．
说明：（1）闭区间[a，b]换成其它区间，如(a，b)，(-，b]，(a，+)．
（2）使定理结论成立的区间，称为y=f(x)的单调区间．
问题思考：若在区间内，，则f(x)一定是什么函数？同学们考虑的怎么样呢？下面请同学回答这个问题．
学生甲：因为这个函数的导数是0，所以这个函数也是0．
学生乙：我不同意这种说法．根据第2章所讲的导数公式，当函数是常数时，它的导数是0．我认为问题中的f (x)应该是常数C．
想一想：这两位同学中，哪一位回答是正确的？
在判断哪一位同学的回答是正确的之前，先复习定理3.1．
定理3.1?设函数y = f (x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导．
(1) 如果x(a，b)时，(x)>()0，则f (x)在[a，b]上单调增加(不减)；
(2) 如果x(a，b)时，(x)<()0，则f(x)在[a，b]上单调减少(不增)．
“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？
单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．
修改后的定理3.1如下：
定理3.1 设函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导
(1)如果x(a，b)时，(x)0，则f(x)在[a，b]上单调不减；
(2)如果x(a，b)时，(x)0，则f(x)在[a，b]上单调不增．
由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．
结论：若，，则．
证：既单调不增又单调不减
问题思考：单调函数的导数也是单调的吗？请举例说明．
答案不一定．例如函数f(x)=x3在区间(-,+)内是单调增加函数，但是其导数(x)=3x2在区间(-,+)内不是单调函数.又如g(x)=ex及其导数(x)=ex在区间(-,+)内都是单调函数．
三、例题讲解例1 判别y=x3+1的单调性．
[分析]?函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．
解： 定义域为(-,+)，(x)=3x2>0，x(-,+)，且x0
y在(-,+)上单调增加．
从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．
例2求y=2x3 -9x2+12x-6的单调区间.
[分析]首先求出定义域，再利用定理3.1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．
解,?定义域为(-,+)，?= 6x2 - 18 x + 12；
x2 - 3 x + 2 = 0；x – 1)( x – 2) = 0；x1 = 1,x2 = 2
单调增加区间为(-,1]，[2，+)；单调减少区间为[1，2]．
在右图形中x1 = 1,x2 = 2是分界点，在区间(-,1]内，函数是单调增加的；而在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+)内，函数是单调增加的．
例3求的单调区间.
解：?定义域为(-,-1)，(-1，+),
单调增加区间为(-,-1)，(-1，+)
从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．
归纳：求函数单调区间的步骤：
①确定的定义域；②求(x) = 0和(x)不存在的点，并组成若干子区间；
③确定(x)在每个子区间内的符号，求出 f (x) 的单调区间．
例4 当x > 0时，试证ln(1+x)>.
[分析]先建立一个函数F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F(x)的单调增加性，得到要证明的结论．
证：F(x)=ln(1+x)–()
F(x)单调增加．又F(0)=0，故当x>0时，F(x)>0；即ln(1+x)>．
四、课堂练习：求函数f(x)=x-ex的单调区间．
分析：求函数f(x)的单调区间的步骤为：1.确定函数f (x)的定义域．
2.求出函数f (x)在其定义域内(x) = 0的点和导数不存在的点，将这些点由小到大排列，把定义域分成若干子区间．
3.确定(x)在每个子区间内的符号．通常的做法是：在该子区间内任取一点x0，判定(x0)的符号，由于f (x)在该子区间内单调，故(x0)的符号就是(x)在该子区间内的符号．
4.根据每个子区间内(x)的符号，确定f (x)的单调增减性，得到f (x)的单调区间．利用幂函数和指数函数求导公式求之．
[（1）幂函数求导公式：若y =，则；（2）指数函数求导公式：若y=ex，则=ex．解：因为f(x)=x-ex的定义域为(-,+)，且(x)=(x-ex=–(ex=1-ex。]
五、课后作业
1,已知函数 y = f (x)的导数如下，问函数在什么区间内单调增加？
（1）(x)=x(x-2)；（2）(x)=(x+1)2(x+2)；（3）(x)=x3(2x-1)；（4）(x)=
2.求下列函数的单调区间：
（1）f(x)=x2-5x+6；（2）f(x)=；（3）f(x)=x4-2x2+1；（4）f(x)=x2-lnx
1.（1），；（2）；（3），；（4）.2.（1）是单调减少区间，是单调增加区间；（2），是单调减少区间；（3），是单调减少区间，，是单调增加区间；（4）是单调减少区间，是单调增加区间.
