第三单元 导数在经济分析中的应用第一节 边际与边际分析一、学习目标通过本节课学习，了解边际成本、边际收入、边际利润的概念，会求成本、收入、利润等经济函数的边际值和边际函数．
二、内容讲解边际与边际分析定义3.4——边际成本在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的工厂中，可以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平均成本．同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量．下面具体看一个例子．
——产量；——成本函数；——平均成本函数
——产量为时的边际成本函数经济意义：产量为时，再生产一个单位产品所增加的成本.
定义3.5——边际收入收入是销售量或产量的函数，因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数．设——销售量；——收入函数；——平均收入函数
——销售量为时的边际收入函数经济意义：销售量为时，再生产一个单位商品所增加的收入.
定义3.6——边际利润想一想利润是怎样产生的？
已知成本，收入，那么利润
且边际利润
想一想边际利润的经济意义是什么？
这堂课我们讲了三个问题，即：
成本函数的导数称为边际成本；
收入函数的导数称为边际收入；
利润函数的导数称为边际利润．
思考题：当边际利润大于0，即的意义是什么？
答案：关于利润，若，即在销售量为时的边际利润大于0，它意味着增加销售量，利润还能增加.
问题思考：平均成本与边际成本有何区别？
平均成本是在不同的产量下每单位产量的成本，它是产量在范围[0，]内的平均．边际成本是产量为单位时，成本的增量与产量的增量的比值当?0时的取值，也就是产量为单位时总成本的瞬时变化率．
三、例题讲解例1一企业的每日成本（千元）是日产量（台）的函数，求：（1）当产量为400台时的成本；（2）当产量为400台时的平均成本；（3）当产量由400台增加到484台时的平均成本；（4）当产量为400台时的边际成本.
解（1）当产量为400台时的成本为：=1300(千元)
（2）当产量为400台时的平均成本为：(千元/台)
（3）当产量由400台增加到484台时的平均成本：
(千元/台)
（4）当产量为400台时的边际成本为：
所以，(千元/台)
例2某产品的销售量与单位价格之间的关系为
（1）写出收入函数与之间的关系；
（2）计算销售量达到300时的收入；
（3）销售量由300增加至360时，收入增加了多少？
（4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入增加多少？
（5）求销售量为300时的边际收入．
解：（1）收入函数与之间的关系为：
（2）销售量达到300时，收入为：=90000
（3）销售量由300增加至360时，收入增加了：=100800-90000
（4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入将增加：
（5）因为
所以，销售量为300时，边际收入为：
例3某企业每天的产量均能售出，售价为490元/吨，其每日成本与每日产量之间的函数为
（1）写出收入函数；
（2）写出利润函数；
（3）求利润函数的导数，并说明其经济意义.
解（1）收入函数为：
（2）利润函数为：
（3）利润函数的导数为：
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到时，再增加单位产量后利润的改变量.
例4某厂每月生产(百件)产品的总成本为(千元).若每百件的销售价格为4万元，试写出利润函数，并求当边际利润为0时的月产量.
解：已知(百件)，(千元)，(千元/百件)
（1）利润函数为：=
（2）边际利润为40 - (2q +2)
令，即，得
请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系.
四、课堂练习某种产品的收入R（元）是产量q（吨）的函数求:（1）生产200吨该产品时的收入；（2）生产200吨到300吨时收入的平均变化率；（3）生产200吨时的边际收入．
分析：求产量为吨时的收入，只需将代入收入函数求之；求产量从200吨到300吨时的收入的平均变化率，只需先分别求出产量为200吨时的收入，产量为300吨时的收入，然后利用平均变化率公式=求之．求产量为吨时的边际收入，只需先求出边际收入函数，然后将代入边际收入函数，求出．
五、课后作业
1.某工厂每日产品总成本C（百元）与日产量q（kg）的关系为C(q)=4q++500
求日产量为900kg时的边际成本．
2.某厂每月生产q（百件）产品的总成本为C(q)=q2+2q+100（千元）．若每百件的销售价格为4万元，试写出利润函数L(q)，并求当边际利润为0时的月产量．
1.百元/kg.；2.,百件.
第二节 需求价格弹性一、学习目标通过本节课学习，了解需求弹性的概念，会求需求价格弹性．
二、内容讲解定义3.7——需求价格弹性设某产品的单位售价p，该产品市场需求量q，则它的需求函数为q=q(p)
需求函数的导数为：(p)
价格由p增加到p+p，则需求由q(p)增加到q(p+p)．
价格提高的百分比，需求改变的百分比
两个百分数之比（平均比率）
瞬时比率，即当p?0时，对需求影响的百分比为
==Ep
称为需求价格弹性，简称需求弹性，记为Ep．
边际问题和经济分析中的最值边际成本、边际收入、边际利润；经济应用中的平均成本最小，收入、利润最大的问题．
需求价格弹性——需求的变化是依赖于价格变化的，即当价格提高1%时，需求的变化是百分比．
问题思考：请写出需求价格弹性公式，解释它的经济意义．
需求价格弹性的公式是Ep=经济意义是：当价格下降（上升）1%时，需求将增加（减少）的百分比．
三、例题讲解例1 已知需求量q（单位：百件），价格p（单位：千元），需求价格函数为：
q(p)=15，p[3，10]，求当p =9时的需求弹性．
解：因为Ep=
所以Ep(9)=-?= -3
例2已知需求函数q(p)=150-2p2，p(0，8)，
（1）求需求弹性；（2）问p 取何值时，Ep为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性．
解：由得p=5；由得0<p<5；由得5<p<8
即当p=5时，Ep为单位弹性；当0<p<5时，Ep为缺乏弹性；当5<p<8时，Ep为富有弹性．
当=1时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等．
当<1时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小．
当>1时，称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较大．
例3已知成本函数为C(q)=aq3-bq2+cq，求使平均成本最小的产量,其中a,b,c>0．
解：平均成本为(q)=aq2-bq+c；(q)=2aq-b；令(q)=2aq-b=0，得驻点q=.由于q=是平均成本函数惟一驻点，且最小值确实存在，故q=是使平均成本最小的产量．
四、课堂练习某种产品的销售量q与价格p之间的关系为，求需求弹性Ep．如果销售价格P0=1/2，试确定Ep的值．
由需求弹性公式Ep=(p)可知，求一种商品需求弹性时，首先求出它的边际需求，然后代入需求弹性公式，就可得到这种商品的需求弹性．利用导数除法运算法则 求之．
五、课后作业
1．某产品的销售量q与价格p间的关系式为，求需求弹性．如果销售价格为0.5，试确定EP的值．
2．设某商品需求量q对价格p的弹性为=-2pln2，求销售收入R=pq对价格p的弹性．
3．设生产某种产品q单位的生产费用为C(q)=900+20q+q2．问q为多少时，能使平均费用最低？最低的平均费用是多少？
4．设某产品销售q单位的收入为R(q)=400q–q2-900，求使平均收入最大的销售量q，并求最大平均收入．
1．；2．；3．30个单位，最低的平均费用为80.；4．30个单位，最大的平均收入为340.
二、内容讲解边际与边际分析定义3.4——边际成本在引进导数概念时，我们已经接触过边际成本概念，譬如说在连续化生产的工厂中，可以知道总成本与总产量之间的函数关系，由此可以求出平均成本，即总成本除总产量就是平均成本．同时又引进了边际成本的概念，就是总产量达到一定时刻，再增加生产一个单位产量时，单位成本增加量．下面具体看一个例子．
——产量；——成本函数；——平均成本函数
——产量为时的边际成本函数经济意义：产量为时，再生产一个单位产品所增加的成本.
定义3.5——边际收入收入是销售量或产量的函数，因此也就有总收入、平均收入、边际收入等函数．设——销售量；——收入函数；——平均收入函数
——销售量为时的边际收入函数经济意义：销售量为时，再生产一个单位商品所增加的收入.
定义3.6——边际利润想一想利润是怎样产生的？
已知成本，收入，那么利润
且边际利润
想一想边际利润的经济意义是什么？
这堂课我们讲了三个问题，即：
成本函数的导数称为边际成本；
收入函数的导数称为边际收入；
利润函数的导数称为边际利润．
思考题：当边际利润大于0，即的意义是什么？
答案：关于利润，若，即在销售量为时的边际利润大于0，它意味着增加销售量，利润还能增加.
问题思考：平均成本与边际成本有何区别？
平均成本是在不同的产量下每单位产量的成本，它是产量在范围[0，]内的平均．边际成本是产量为单位时，成本的增量与产量的增量的比值当?0时的取值，也就是产量为单位时总成本的瞬时变化率．
三、例题讲解例1一企业的每日成本（千元）是日产量（台）的函数，求：（1）当产量为400台时的成本；（2）当产量为400台时的平均成本；（3）当产量由400台增加到484台时的平均成本；（4）当产量为400台时的边际成本.
解（1）当产量为400台时的成本为：=1300(千元)
（2）当产量为400台时的平均成本为：(千元/台)
（3）当产量由400台增加到484台时的平均成本：
(千元/台)
（4）当产量为400台时的边际成本为：
所以，(千元/台)
例2某产品的销售量与单位价格之间的关系为
（1）写出收入函数与之间的关系；
（2）计算销售量达到300时的收入；
（3）销售量由300增加至360时，收入增加了多少？
（4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入增加多少？
（5）求销售量为300时的边际收入．
解：（1）收入函数与之间的关系为：
（2）销售量达到300时，收入为：=90000
（3）销售量由300增加至360时，收入增加了：=100800-90000
（4）在这个过程中平均多销售一单位时，收入将增加：
（5）因为
所以，销售量为300时，边际收入为：
例3某企业每天的产量均能售出，售价为490元/吨，其每日成本与每日产量之间的函数为
（1）写出收入函数；
（2）写出利润函数；
（3）求利润函数的导数，并说明其经济意义.
解（1）收入函数为：
（2）利润函数为：
（3）利润函数的导数为：
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到时，再增加单位产量后利润的改变量.
例4某厂每月生产(百件)产品的总成本为(千元).若每百件的销售价格为4万元，试写出利润函数，并求当边际利润为0时的月产量.
解：已知(百件)，(千元)，(千元/百件)
（1）利润函数为：=
（2）边际利润为40 - (2q +2)
令，即，得
请大家从上述例题中归纳边际函数与导数的关系.
四、课堂练习某种产品的收入R（元）是产量q（吨）的函数求:（1）生产200吨该产品时的收入；（2）生产200吨到300吨时收入的平均变化率；（3）生产200吨时的边际收入．
分析：求产量为吨时的收入，只需将代入收入函数求之；求产量从200吨到300吨时的收入的平均变化率，只需先分别求出产量为200吨时的收入，产量为300吨时的收入，然后利用平均变化率公式=求之．求产量为吨时的边际收入，只需先求出边际收入函数，然后将代入边际收入函数，求出．
五、课后作业
1.某工厂每日产品总成本C（百元）与日产量q（kg）的关系为C(q)=4q++500
求日产量为900kg时的边际成本．
2.某厂每月生产q（百件）产品的总成本为C(q)=q2+2q+100（千元）．若每百件的销售价格为4万元，试写出利润函数L(q)，并求当边际利润为0时的月产量．
1.百元/kg.；2.,百件.
第二节 需求价格弹性一、学习目标通过本节课学习，了解需求弹性的概念，会求需求价格弹性．
二、内容讲解定义3.7——需求价格弹性设某产品的单位售价p，该产品市场需求量q，则它的需求函数为q=q(p)
需求函数的导数为：(p)
价格由p增加到p+p，则需求由q(p)增加到q(p+p)．
价格提高的百分比，需求改变的百分比
两个百分数之比（平均比率）
瞬时比率，即当p?0时，对需求影响的百分比为
==Ep
称为需求价格弹性，简称需求弹性，记为Ep．
边际问题和经济分析中的最值边际成本、边际收入、边际利润；经济应用中的平均成本最小，收入、利润最大的问题．
需求价格弹性——需求的变化是依赖于价格变化的，即当价格提高1%时，需求的变化是百分比．
问题思考：请写出需求价格弹性公式，解释它的经济意义．
需求价格弹性的公式是Ep=经济意义是：当价格下降（上升）1%时，需求将增加（减少）的百分比．
三、例题讲解例1 已知需求量q（单位：百件），价格p（单位：千元），需求价格函数为：
q(p)=15，p[3，10]，求当p =9时的需求弹性．
解：因为Ep=
所以Ep(9)=-?= -3
例2已知需求函数q(p)=150-2p2，p(0，8)，
（1）求需求弹性；（2）问p 取何值时，Ep为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性．
解：由得p=5；由得0<p<5；由得5<p<8
即当p=5时，Ep为单位弹性；当0<p<5时，Ep为缺乏弹性；当5<p<8时，Ep为富有弹性．
当=1时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等．
当<1时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小．
当>1时，称为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较大．
例3已知成本函数为C(q)=aq3-bq2+cq，求使平均成本最小的产量,其中a,b,c>0．
解：平均成本为(q)=aq2-bq+c；(q)=2aq-b；令(q)=2aq-b=0，得驻点q=.由于q=是平均成本函数惟一驻点，且最小值确实存在，故q=是使平均成本最小的产量．
四、课堂练习某种产品的销售量q与价格p之间的关系为，求需求弹性Ep．如果销售价格P0=1/2，试确定Ep的值．
由需求弹性公式Ep=(p)可知，求一种商品需求弹性时，首先求出它的边际需求，然后代入需求弹性公式，就可得到这种商品的需求弹性．利用导数除法运算法则 求之．
五、课后作业
1．某产品的销售量q与价格p间的关系式为，求需求弹性．如果销售价格为0.5，试确定EP的值．
2．设某商品需求量q对价格p的弹性为=-2pln2，求销售收入R=pq对价格p的弹性．
3．设生产某种产品q单位的生产费用为C(q)=900+20q+q2．问q为多少时，能使平均费用最低？最低的平均费用是多少？
4．设某产品销售q单位的收入为R(q)=400q–q2-900，求使平均收入最大的销售量q，并求最大平均收入．
1．；2．；3．30个单位，最低的平均费用为80.；4．30个单位，最大的平均收入为340.
