第二单元 复合函数与隐函数微分法第一、二节 复合函数与隐函数求导法一、学习目标二元函数的复合函数与隐函数求导问题是本章的难点．要通过本节的学习，弄清楚复合函数与隐函数求导的思路，通过练习，能熟练地求出较简单二元复合函数和隐函数的偏导数．
二、内容讲解复合函数求导法设，而，则
；
问题思考：多元复合函数的求导公式是什么？有什么特征？
如果：，则
；
复合函数偏导数的特征是，复合以后函数偏导数的个数由自变量的个数决定，每个偏导数中所含的项数由中间变量的个数决定．
三、例题讲解例1:.
有两种方法：
解法1：（利用复合求导公式）设，，则
，，；
解法2：（直接求）
同理，
例2:，求．
解:?设,则
例3:? ，求．
解,设,则
例4?，求．
注意：是二元函数：
，而是关于的二元函数，最终是关于的一元函数．
例5 ，求．
注意：是一元函数，而是关于的二元函数．
；
例6 方程其图形为上半圆周，相应的函数为，求.
解：显然，
另一种观点：，
，
例7 设函数由方程所确定，求
解:无法由已知方程解出．但此应满足
由此解出，此为隐函数求导法.
四、课堂练习练习1 已知，可微．求．
根据二元函数的复合求导公式，设，，则
.由于是、的二元函数，没有给出具体的表达式，所以，只能用符号表示．对求偏导，视为常数，是通过中间变量、为的一元函数，有
练习2 方程?确定了隐函数，求．
因方程有三个变量，所以只有两个变量是独立的．由要求可知是和的二元函数，求时将看作常数．方程两边求导，视为中间变量．
五、课后作业
1.已知，可微．求．
2.已知，可微．求．
3．已知是由方程所确定的隐函数．求．
4．求由方程所确定的隐函数在点处的全微分．
1．令，；2．
3．；4．
二、内容讲解复合函数求导法设，而，则
；
问题思考：多元复合函数的求导公式是什么？有什么特征？
如果：，则
；
复合函数偏导数的特征是，复合以后函数偏导数的个数由自变量的个数决定，每个偏导数中所含的项数由中间变量的个数决定．
三、例题讲解例1:.
有两种方法：
解法1：（利用复合求导公式）设，，则
，，；
解法2：（直接求）
同理，
例2:，求．
解:?设,则
例3:? ，求．
解,设,则
例4?，求．
注意：是二元函数：
，而是关于的二元函数，最终是关于的一元函数．
例5 ，求．
注意：是一元函数，而是关于的二元函数．
；
例6 方程其图形为上半圆周，相应的函数为，求.
解：显然，
另一种观点：，
，
例7 设函数由方程所确定，求
解:无法由已知方程解出．但此应满足
由此解出，此为隐函数求导法.
四、课堂练习练习1 已知，可微．求．
根据二元函数的复合求导公式，设，，则
.由于是、的二元函数，没有给出具体的表达式，所以，只能用符号表示．对求偏导，视为常数，是通过中间变量、为的一元函数，有
练习2 方程?确定了隐函数，求．
因方程有三个变量，所以只有两个变量是独立的．由要求可知是和的二元函数，求时将看作常数．方程两边求导，视为中间变量．
五、课后作业
1.已知，可微．求．
2.已知，可微．求．
3．已知是由方程所确定的隐函数．求．
4．求由方程所确定的隐函数在点处的全微分．
1．令，；2．
3．；4．
