第一编 微分学第4章 多元函数的微分一、引入：如果姑妈请你吃饭如果姑妈请你吃饭，但在一大桌子菜中，你只对以下四样感兴趣，且每样每吃一口，效用不断递减．如下表所示：
顺序
效用
菜名
第一口
第二口
第三口
第四口
第五口
第六口
第七口
第八口
第九口
第十口
龙虾
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
牛排
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
煎蛋
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
泡菜
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
假如你不知“礼义廉耻”,只求自己效用最大，应当怎么吃呢？
若你的胃口很大，能够“一扫而光”,可得总效用160．但是如果你不吃效用为负的那三口，总效用便会增加到164．
若你的胃口不好，又能吃十口．如果全吃最喜欢的龙虾，吃十口的总效用是55．但是，如果你按照每口的效用大小排序依次吃十口，则龙虾只四口，牛排吃三口，煎蛋吃两口，泡菜吃一口．当每样菜的效用都等于7时，总效用将最大，达到80．
这个结论来自多元函数微分学的拉格朗日乘数法．犹如一顿饭吃得如何往往取决于多样菜及其吃法一样，经济变量往往取决于多种因素，属于多元函数．要研究这种多元函数的变化规律及最优问题，就得学习多元函数微分学．
二、本章内容结构
三、学习方法本章的知识体系及结构与一元函数相似，因此，要善于将第2，3章一元函数的相关知识推广到二元函数并做比较．
多元函数微分学与一元函数微分学在本质上是一致的，其基本概念、定理、公式与一元函数微分学更是相似，只不过情况较复杂些．因此，在学习本章之前要认真复习第2章、第3章中的相关内容（导数、微分、函数极值等），为学好本章内容做好必要的准备．
本章重点是偏导数、二元函数的条件极值，也是本章的难点．学好偏导数是掌握求二元函数条件极值的基础．因此，要认真复习第2章中有关导数的知识，熟练掌握求复合函数、隐函数偏导数的方法．拉格朗日乘数法是求解条件极值问题有效的方法之一，应熟记并多加练习．
四、教学要求
1．理解二元函数的概念．
2．熟练掌握求偏导数和全微分的方法，会求复合函数和隐函数的偏导数.
3．会用拉格朗日乘数法求解较简单条件极值的应用问题.
五、讲授内容第一单元 二元函数及其偏导数第一节 二元函数的概念第二节 偏导数与全微分第二单元 复合函数与隐函数微分法第一、二节 复合函数与隐函数求导法第三单元 二元函数的极值第一节 二元函数的极值第二节 拉格朗日乘数法
顺序
效用
菜名
第一口
第二口
第三口
第四口
第五口
第六口
第七口
第八口
第九口
第十口
龙虾
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
牛排
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
煎蛋
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
泡菜
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
假如你不知“礼义廉耻”,只求自己效用最大，应当怎么吃呢？
若你的胃口很大，能够“一扫而光”,可得总效用160．但是如果你不吃效用为负的那三口，总效用便会增加到164．
若你的胃口不好，又能吃十口．如果全吃最喜欢的龙虾，吃十口的总效用是55．但是，如果你按照每口的效用大小排序依次吃十口，则龙虾只四口，牛排吃三口，煎蛋吃两口，泡菜吃一口．当每样菜的效用都等于7时，总效用将最大，达到80．
这个结论来自多元函数微分学的拉格朗日乘数法．犹如一顿饭吃得如何往往取决于多样菜及其吃法一样，经济变量往往取决于多种因素，属于多元函数．要研究这种多元函数的变化规律及最优问题，就得学习多元函数微分学．
二、本章内容结构
三、学习方法本章的知识体系及结构与一元函数相似，因此，要善于将第2，3章一元函数的相关知识推广到二元函数并做比较．
多元函数微分学与一元函数微分学在本质上是一致的，其基本概念、定理、公式与一元函数微分学更是相似，只不过情况较复杂些．因此，在学习本章之前要认真复习第2章、第3章中的相关内容（导数、微分、函数极值等），为学好本章内容做好必要的准备．
本章重点是偏导数、二元函数的条件极值，也是本章的难点．学好偏导数是掌握求二元函数条件极值的基础．因此，要认真复习第2章中有关导数的知识，熟练掌握求复合函数、隐函数偏导数的方法．拉格朗日乘数法是求解条件极值问题有效的方法之一，应熟记并多加练习．
四、教学要求
1．理解二元函数的概念．
2．熟练掌握求偏导数和全微分的方法，会求复合函数和隐函数的偏导数.
3．会用拉格朗日乘数法求解较简单条件极值的应用问题.
五、讲授内容第一单元 二元函数及其偏导数第一节 二元函数的概念第二节 偏导数与全微分第二单元 复合函数与隐函数微分法第一、二节 复合函数与隐函数求导法第三单元 二元函数的极值第一节 二元函数的极值第二节 拉格朗日乘数法
