第三单元 二元函数的极值第一节 二元函数的极值一、学习目标偏导数的重要应用就是求极值问题．通过本节的学习，弄清楚二元函数极值、最值的概念，会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值．
二、内容讲解
1.二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．
若对附近的均有，则称是的极小点，是极小值．极大值点、极小值点统称为极值点.
2.极值存在的必要条件若一元函数在处可导，且是极值点，则
若二元函数在处可导，且是极值点，则
，
3.二元函数最大值、最小值若在闭区域内连续，则在内必有最大值和最小值．
若在内可导，且在内有唯一驻点，则在该驻点处的值就是最大值或最小值．
4.求最大值最小值应用问题的步骤：
（1）根据题意，建立函数关系；
（2）求驻点；
如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）．
问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？
答案 与一元函数类似，二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点．但偏导数存在的极值点一定是驻点．
三、例题讲解例1 求函数在圆域上的最大值和最小值．
解：显然，且在闭域上连续，当时，，这是该函数在上的最小值．
下面求最大值：，
解得
它是函数在内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为．
例2 用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？
解：设长、宽分别为，则高为，表面积为
，
解得，此时高为
答：当长、宽、高分别为、、时，无盖箱子用料最省．
四、课堂练习某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用(万元)及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下经验公式，在广告费用不限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大．
利润＝收入－费用。收入函数题目中已给出，费用只有电台广告费和报纸广告费，即为二者之和．这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题．解题思路：（1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，建立函数关系．建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么．比如，当售价多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量．（3）求偏导数，并令其为0，得到联立方程组．（4）解联立方程组，得到符合题意的惟一驻点．（5）由问题的实际意义可得知，问题存在着最值．又本题只有一个驻点，即可判断此点即是所求的极值点，也是最值点．（6）求出最值，写出答案．
五、课后作业
1.要造一个容积为的长方体铁箱，应如何选择尺寸方可使所用材料最省？
2,某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和；销量分别为和；需求函数分别为，，总成本函数为，试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大总利润是多少？
1．当长、宽、高均为10 cm时，所用材料最省．2．当时，可获最大利润为605．
第二节 拉格朗日乘数法一、学习目标拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一．通过本节的学习，会用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题．
二、内容讲解
1.条件极值在第4课的例2中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值．
2.拉格朗日乘数法求函数在条件下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：令拉格朗日函数
求的（无条件）极值：
解此方程组．
问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？
答案 一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出．解决条件极值问题常用的方法是拉格朗日乘数法．
三、例题讲解用拉格朗日乘数法解上节中的例2：
求原题即为求在条件下的最小值．
令
，由此可得：
解得，再由，解得
四、课堂练习某工厂生产甲、乙两种产品产量分别为(吨)，又甲、乙两种产品产量总和为34（吨），且其总成本为的函数 .求两种产品产量各为多少时，总成本最小？
这是一个条件极值问题，即求在产量一定的条件下成本函数的最小值．这类题的解题思路是：
（1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？
（2）根据题意，设出变量，建立起函数关系，并找出条件函数．
建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么．比如，当售价为多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量．
条件函数也要根据题意找出自变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．
（3）写出拉格朗日函数：其中，为待定的参数．求的（无条件）极值：
解此方程组．就是原来的条件极值的可能极值点．
（4）求出最值，写出答案．
五、课后作业
1．某工厂生产甲、乙两种产品，其出售价格分别为10元/件、9元/件．若生产甲、乙两种产品分别为x件、y件时，总费用为400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)．问甲、乙产品的产量分别为多少件时，可使总利润最大？
2．已知某工厂生产A、B两种产品，产量分别为x,y(单位：千件）,利润函数为（单位：百万元），已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料1000公斤，现有该原料3000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？
3．某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入R(万元）与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式，若可使用的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略，使所获利润最大．
4．试用拉格朗日乘数法求解：欲围一个面积为60平方米的矩形场地,正面所用材料每米造价10元，其余三面每米5元.求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少？
1．甲、乙产品的产量分别为120件、80件时，可使总利润最大．
2．两种产品均生产1.5千件时，总利润最大，最大总利润为4百万元．
3．在广告费用为1.5万元的条件下，应把1.5万全部用于报纸广告，可获最大利润．
4．当场地长、宽分别为米、米时，所用材料费最少．
二、内容讲解
1.二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．
若对附近的均有，则称是的极小点，是极小值．极大值点、极小值点统称为极值点.
2.极值存在的必要条件若一元函数在处可导，且是极值点，则
若二元函数在处可导，且是极值点，则
，
3.二元函数最大值、最小值若在闭区域内连续，则在内必有最大值和最小值．
若在内可导，且在内有唯一驻点，则在该驻点处的值就是最大值或最小值．
4.求最大值最小值应用问题的步骤：
（1）根据题意，建立函数关系；
（2）求驻点；
如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）．
问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？
答案 与一元函数类似，二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点．但偏导数存在的极值点一定是驻点．
三、例题讲解例1 求函数在圆域上的最大值和最小值．
解：显然，且在闭域上连续，当时，，这是该函数在上的最小值．
下面求最大值：，
解得
它是函数在内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为．
例2 用铁皮做一个体积为的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？
解：设长、宽分别为，则高为，表面积为
，
解得，此时高为
答：当长、宽、高分别为、、时，无盖箱子用料最省．
四、课堂练习某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用(万元)及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下经验公式，在广告费用不限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大．
利润＝收入－费用。收入函数题目中已给出，费用只有电台广告费和报纸广告费，即为二者之和．这是一个求二元函数极值在经济分析中的应用题．解题思路：（1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？（2）根据题意，建立函数关系．建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么．比如，当售价多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量．（3）求偏导数，并令其为0，得到联立方程组．（4）解联立方程组，得到符合题意的惟一驻点．（5）由问题的实际意义可得知，问题存在着最值．又本题只有一个驻点，即可判断此点即是所求的极值点，也是最值点．（6）求出最值，写出答案．
五、课后作业
1.要造一个容积为的长方体铁箱，应如何选择尺寸方可使所用材料最省？
2,某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和；销量分别为和；需求函数分别为，，总成本函数为，试问：厂家如何确定两个市场的产品售价，使其获得的总利润最大？最大总利润是多少？
1．当长、宽、高均为10 cm时，所用材料最省．2．当时，可获最大利润为605．
第二节 拉格朗日乘数法一、学习目标拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一．通过本节的学习，会用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题．
二、内容讲解
1.条件极值在第4课的例2中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值．
2.拉格朗日乘数法求函数在条件下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：令拉格朗日函数
求的（无条件）极值：
解此方程组．
问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？
答案 一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出．解决条件极值问题常用的方法是拉格朗日乘数法．
三、例题讲解用拉格朗日乘数法解上节中的例2：
求原题即为求在条件下的最小值．
令
，由此可得：
解得，再由，解得
四、课堂练习某工厂生产甲、乙两种产品产量分别为(吨)，又甲、乙两种产品产量总和为34（吨），且其总成本为的函数 .求两种产品产量各为多少时，总成本最小？
这是一个条件极值问题，即求在产量一定的条件下成本函数的最小值．这类题的解题思路是：
（1）审清题意，弄清题目已知什么？要求什么？
（2）根据题意，设出变量，建立起函数关系，并找出条件函数．
建立函数关系，要先设变量，然后根据题意，找出变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．一般地说，设变量要根据题意，求什么设什么．比如，当售价为多少时，利润最大？就要设条件中的价格为自变量，而设结果中的利润为因变量；再比如，销售量为多少时，成本最少？就要设条件中的销售量为自变量，而设结果中的成本为因变量．
条件函数也要根据题意找出自变量之间的等量关系，用表达式表示出来即可．
（3）写出拉格朗日函数：其中，为待定的参数．求的（无条件）极值：
解此方程组．就是原来的条件极值的可能极值点．
（4）求出最值，写出答案．
五、课后作业
1．某工厂生产甲、乙两种产品，其出售价格分别为10元/件、9元/件．若生产甲、乙两种产品分别为x件、y件时，总费用为400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)．问甲、乙产品的产量分别为多少件时，可使总利润最大？
2．已知某工厂生产A、B两种产品，产量分别为x,y(单位：千件）,利润函数为（单位：百万元），已知生产这两种产品时，每千件均需消耗某种原料1000公斤，现有该原料3000公斤，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？
3．某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告.根据统计资料，销售收入R(万元）与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式，若可使用的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略，使所获利润最大．
4．试用拉格朗日乘数法求解：欲围一个面积为60平方米的矩形场地,正面所用材料每米造价10元，其余三面每米5元.求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少？
1．甲、乙产品的产量分别为120件、80件时，可使总利润最大．
2．两种产品均生产1.5千件时，总利润最大，最大总利润为4百万元．
3．在广告费用为1.5万元的条件下，应把1.5万全部用于报纸广告，可获最大利润．
4．当场地长、宽分别为米、米时，所用材料费最少．
