第三章 典型例题与综合练习第一节 典型例题一、函数的单调性例1求函数的单调区间．
解：函数的定义域是，因为.可见，在处(x)不存在．
令(x)=0，即，得．以为分点，将函数定义域分成三个子区间：，(0,1)，
当时，，f (x)单调增加；
当时，，f (x)单调减少；
当时，，f (x)单调增所以，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为．
二、函数极值例1? 求函数的极值．
解：函数的定义域是，且
令，得，?该函数没有不可导点．
驻点将函数定义域分成三个子区间：．
在子区间内的符号变化及极值点情况如表3.1．
x
(0,)
(,1)
1
(1,)
+
0
-
0
+
4
极大值
0
极小值
表3.1 的极值情况由表3.1知，是的极大值点，是的极小值点．函数的极大值是，极小值是．
例2欲制作一体积为30 m3的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若已知每平方米钢板的价格为铝板的3倍，试问如何设计圆柱的高和半径，才能使造价最低？
解：设容器的高为h，底半径为r，（见图3—1），侧面每平方米的造价为a元，总造价为y元，于是
（0）
因为V==30，解得.
将代入总造价函数，得
；；令?，得；且是总造价函数在定义域内唯一的驻点，所以是总造价函数的极小值点，而且也是的最小值点．当时，4.42
由此可知，当圆柱的底半径为1.47m，高为4.42m时，总造价最低．
三、导数在经济分析中的应用例1若A，B两种商品的需求函数分别为，? 试比较两种商品的弹性．如果对两种商品以同样幅度提价，哪一种商品的需求量减少的幅度更大？
解：（1）求A种商品的需求弹性．
因为，所以==-2p
（2）求B种商品的需求弹性．
因为，所以==-p
（3）当价格为时，A种商品的需求弹性为，B种商品的需求弹性为．因为
所以，对两种商品以同样幅度提价，A种商品的需求量减少的幅度更大．
例2生产某种产品q个单位时成本函数为．
求：（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本．
解：（1）因为；所以，当时的平均成本为
（2）因为生产90个到100个单位产品时，成本的改变量为
=200+0.05-(200+0.05)=95
产量的改变量为=100-90=10
所以，成本的平均变化率为
（3）因为边际成本为所以，当时，
当时，=10，即生产90个单位产品与生产100个单位产品时的边际成本分别为9和10．
本题分别求平均成本，在一定范围内成本的平均变化率，在一些点处的边际成本．这三个概念都反映一定意义下的“平均”．但是又有区别．平均成本是生产一定数量产品时的成本平均，它只与产量范围有关．平均变化率是生产一定数量产品时再增产时，成本增加值在范围内的平均，这个比值既与产量有关，又与增量有关．边际成本是极限意义下的平均，是当增量时，成本的瞬时变化率，这个值只与产量有关,
例3?某工厂生产某种商品，年产量为q（单位：百台），成本C（单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台，成本增加1万元．市场上每年可以销售此种商品4百台，其销售收入R是q的函数R(q)=,q[0，4]
问年产量为多少时，其平均利润最大？
解：因为固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1万元．
所以成本函数C(q)=q+2，q[0，
由此可得利润函数L(q)=3q-2，q[0，4]；，q(0，4]
又因为，令，得=2，=-2（舍去）．
这里，=2是平均利润函数在定义域内的唯一驻点．
所以，=2是平均利润函数的极大值点，而且也是的最大值点．即当年产量为2百台时，其平均利润最大,
第二节 综合练习一、填空题
1.设f (x)在(a,b)内有，在两点处（(a,b)，且，，那么f (x)在(a,b)内,
2.函数f(x)=x+在区间 内是单调减少的．
3.函数在区间(0，2)内的驻点为,
4.当时，f (x) =取得极值，则p =,
5.设函数f (x)在点的邻域内可导，且．如果在点的左、右邻域由正变负，则是f (x)的 值点．
6.若函数f (x)在[a,b]内恒有，则f (x)在[a,b]上的最小值为,
7.若某种商品的需求量q是价格p的函数，则它的需求弹性=?,
8.若某种产品的成本函数为C(q) = 100 +，则边际成本为,
9.若某种商品的收入R是销售量q的函数R(q) =200q –0.005q2，则当q=100时的边际收入,
10.某厂每批生产某种产品q个单位的总成本为C(q) =7q + 200（千元），获得的收入为R (q) =12 q –0.01 q2（千元）．那么，生产这种产品的边际成本为，边际收入为,边际利润为,使边际利润为0的产量q= 个单位．
1．单调不减；2．[-1,0)(0,1]；3．1；4．-8；5．极大；6．f(b)；7．；8．；
9．190；10．；；；250
二、单选题
1.下列函数在指定区间内单调增加的有（ ）．
(A) sinx；(B)；(C)；(D)3-x
2.下列结论正确的有（ ）．
(A)x0是f(x)的极值点，且存在，则必有；
(B)x0是f(x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点；
(C)若，则x0必是f (x)的极值点；
(D)使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点.
3.设函数满足，则该函数在实数域中（ ）．
(A)有一个极大值和一个极小值；(B)仅有一个极大值；
(C)无极值；(D)无法确定有无极值
4.设函数f(x)满足以下条件：当x<x0时，；当x>x0时，，则x0必是函数f(x)的（ ）．
(A)驻点；(B)极大值点；(C)极小值点；(D)不确定点
5.需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2，则需求弹性为Ep=（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)
6.某种商品的需求弹性为Ep=-bp(b>0)．那么，当价格p提高1%时，需求量将会（ ）．
(A) 增加bp；(B)减少bp；(C)减少bp%；(D)增加bp%
1,B ；?2．A ；?3．C ；?4．D ；?5．B ；?6．C
三、多选题
1.下列函数f (x)在指定区间内是单调函数的有（ ）．
(A)f(x)=cosx，；(B)f(x)=
(C)f(x)=x3+x，；(D)f(x)=sinx，；(E)f(x)= lnx，?
2.若x0是可微函数f (x)的一个极值点，则（ ）是正确的．
(A)x0为f(x)的驻点；(B)x0为f(x)的最大值点；(C)f(x)在x0处连续；
(D)在点x0的左、右邻域同号；(E)在点x0的左、右邻域异号
3.若连续函数在区间[a,b]上单调不增，则（ ）．
(A)f(x)在区间(a，b)内没有驻点；(B)f(x)在区间(a，b)内没有极值点；
(C)f(x)在区间[a，b]上没有最值点；(D)f(x)在区间(a，b)内没有最值点
(E)f(x)在端点处取得最大值
4.若某商品的需求量与价格之间的关系为，则（ ）．
(A)价格关于需求量q的函数为p=400-20q；
(B)该商品的收入函数；
(C)该商品的边际收入；
(D)该商品的边际需求
(E)该商品的需求弹性
1,BCE ；?2．ACE ；?3．BDE ；?4．ACD ；
四、配伍题
1.设f(x)是单调可微函数，试确定满足条件的函数．
(A)f(x)单调增加,(x)不是单调的；①f(x)=x2，x
(B)f(x)单调增加，(x)单调减少；②f(x)=2x+sinx，x
(C)f(x)单调减少，(x)单调增加；③f(x)=lnx，x
2.讨论函数的极值
(A)y=；①在不存在点处取极大值
(B)y=1-；②在驻点处取极小值
(C)y=；③驻点不是极值点
3.确定函数的极值
(A)y=(x-1)4；①在x=1处有极小值y=0；(B)y=x(1+)；②在x=1处有极大值y=3；
(C)y=(x–2(2x+1)；③无极值
4.求函数的最大值
(A)y=，x[-6,8]；①1；(B)y=，x[0,4]；②10；
(C)y=-x，x[0,+)；③
1．A②；B③；C①；2．A③；B①；C②；3．A①；B③；C②；4．A②；B③；C①；
五、是非题
1.若函数f(x)在区间(a，b)内恒有>0，则f (x)在[a，b]内单调增加．（ ）
2.若导数(x)在(a,b)内单调减少，则函数f (x)在(a,b)内必是单调减少的．（ ）
3.若x0是f (x)的极值点，则一定有．（ ）
4.设函数在区间[a，b]上的单调，则在[a，b]的两个端点处取得最大值或最小值（ ）.
5.某商品的需求函数是（a为常数），则该商品的需求弹性是价格p的线性函数．（ ）
6.生产某种产品的成本函数为C(q)，则其平均成本为．（ ）
7.生产某种产品的边际利润，则产量为q0时将不获利．（ ）
8.某种商品的收入函数为，则当销售量q =5时，边际收入100（ ）.
1．√；2．×；3．×；4．√；5．√；6．×；7．×；8．√；
六、计算题
1.求函数y=2x3–3x2–12x+14的单调区间．
2.确定函数f(x)=x3–12x的单调减少区间．
3.设f(x)=ln(1+x2)，x
(1)确定f(x)在所给区间的单调增减性；
(2)求f(x)在给定区间上的最小值．
4.已知都是函数y=alnx+bx2+x的极值点，求a，b的值．
5.求函数f(x)=sinx+cosx在区间上的最大值和最小值．
1．单调增加区间为，单调减少区间为； 2．单调减少区间为； 3．(1)f(x)在上是单调增加的；(2)在=0处取得最小值，即f(0)=ln(1+02)=0； 4．； 5．函数f(x)=sinx+cosx在区间上的最大值为，最小值为．
七、应用题
1.某商品的需求量q关于价格p的函数q(p) = 1200e-2p，求：
（1）需求弹性Ep；（2）当价格批=20元时，再涨价1%，其需求量将会发生何变化？
2.某商品价格p（百元/百台）与需求量q（百台）之间的关系是5p+q-50=0．
（1）求收入函数R(q)；（2）q为多少时，R(q)最大？（3）求需求对价格的弹性Ep．
3.某厂每生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q =1000–10p（为需求量，为价格）．试求
（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？（3）获得最大利润时的价格及需求弹性．
1．(1)Ep=(-2400e-2p)=-2p；(2)当价格p=20元时，再涨价1%，该商品需求量将会减少40%；2．(1)R(q)=pq =(10-)q =；(2)当q=25百台时，收入函数R(q)最大；(3)Ep=,3．(1)成本函数C(q)=60+2000；收入函数R(q)= .
解：函数的定义域是，因为.可见，在处(x)不存在．
令(x)=0，即，得．以为分点，将函数定义域分成三个子区间：，(0,1)，
当时，，f (x)单调增加；
当时，，f (x)单调减少；
当时，，f (x)单调增所以，函数的单调增加区间为和，单调减少区间为．
二、函数极值例1? 求函数的极值．
解：函数的定义域是，且
令，得，?该函数没有不可导点．
驻点将函数定义域分成三个子区间：．
在子区间内的符号变化及极值点情况如表3.1．
x
(0,)
(,1)
1
(1,)
+
0
-
0
+
4
极大值
0
极小值
表3.1 的极值情况由表3.1知，是的极大值点，是的极小值点．函数的极大值是，极小值是．
例2欲制作一体积为30 m3的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若已知每平方米钢板的价格为铝板的3倍，试问如何设计圆柱的高和半径，才能使造价最低？
解：设容器的高为h，底半径为r，（见图3—1），侧面每平方米的造价为a元，总造价为y元，于是
（0）
因为V==30，解得.
将代入总造价函数，得
；；令?，得；且是总造价函数在定义域内唯一的驻点，所以是总造价函数的极小值点，而且也是的最小值点．当时，4.42
由此可知，当圆柱的底半径为1.47m，高为4.42m时，总造价最低．
三、导数在经济分析中的应用例1若A，B两种商品的需求函数分别为，? 试比较两种商品的弹性．如果对两种商品以同样幅度提价，哪一种商品的需求量减少的幅度更大？
解：（1）求A种商品的需求弹性．
因为，所以==-2p
（2）求B种商品的需求弹性．
因为，所以==-p
（3）当价格为时，A种商品的需求弹性为，B种商品的需求弹性为．因为
所以，对两种商品以同样幅度提价，A种商品的需求量减少的幅度更大．
例2生产某种产品q个单位时成本函数为．
求：（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本．
解：（1）因为；所以，当时的平均成本为
（2）因为生产90个到100个单位产品时，成本的改变量为
=200+0.05-(200+0.05)=95
产量的改变量为=100-90=10
所以，成本的平均变化率为
（3）因为边际成本为所以，当时，
当时，=10，即生产90个单位产品与生产100个单位产品时的边际成本分别为9和10．
本题分别求平均成本，在一定范围内成本的平均变化率，在一些点处的边际成本．这三个概念都反映一定意义下的“平均”．但是又有区别．平均成本是生产一定数量产品时的成本平均，它只与产量范围有关．平均变化率是生产一定数量产品时再增产时，成本增加值在范围内的平均，这个比值既与产量有关，又与增量有关．边际成本是极限意义下的平均，是当增量时，成本的瞬时变化率，这个值只与产量有关,
例3?某工厂生产某种商品，年产量为q（单位：百台），成本C（单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台，成本增加1万元．市场上每年可以销售此种商品4百台，其销售收入R是q的函数R(q)=,q[0，4]
问年产量为多少时，其平均利润最大？
解：因为固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1万元．
所以成本函数C(q)=q+2，q[0，
由此可得利润函数L(q)=3q-2，q[0，4]；，q(0，4]
又因为，令，得=2，=-2（舍去）．
这里，=2是平均利润函数在定义域内的唯一驻点．
所以，=2是平均利润函数的极大值点，而且也是的最大值点．即当年产量为2百台时，其平均利润最大,
第二节 综合练习一、填空题
1.设f (x)在(a,b)内有，在两点处（(a,b)，且，，那么f (x)在(a,b)内,
2.函数f(x)=x+在区间 内是单调减少的．
3.函数在区间(0，2)内的驻点为,
4.当时，f (x) =取得极值，则p =,
5.设函数f (x)在点的邻域内可导，且．如果在点的左、右邻域由正变负，则是f (x)的 值点．
6.若函数f (x)在[a,b]内恒有，则f (x)在[a,b]上的最小值为,
7.若某种商品的需求量q是价格p的函数，则它的需求弹性=?,
8.若某种产品的成本函数为C(q) = 100 +，则边际成本为,
9.若某种商品的收入R是销售量q的函数R(q) =200q –0.005q2，则当q=100时的边际收入,
10.某厂每批生产某种产品q个单位的总成本为C(q) =7q + 200（千元），获得的收入为R (q) =12 q –0.01 q2（千元）．那么，生产这种产品的边际成本为，边际收入为,边际利润为,使边际利润为0的产量q= 个单位．
1．单调不减；2．[-1,0)(0,1]；3．1；4．-8；5．极大；6．f(b)；7．；8．；
9．190；10．；；；250
二、单选题
1.下列函数在指定区间内单调增加的有（ ）．
(A) sinx；(B)；(C)；(D)3-x
2.下列结论正确的有（ ）．
(A)x0是f(x)的极值点，且存在，则必有；
(B)x0是f(x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点；
(C)若，则x0必是f (x)的极值点；
(D)使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点.
3.设函数满足，则该函数在实数域中（ ）．
(A)有一个极大值和一个极小值；(B)仅有一个极大值；
(C)无极值；(D)无法确定有无极值
4.设函数f(x)满足以下条件：当x<x0时，；当x>x0时，，则x0必是函数f(x)的（ ）．
(A)驻点；(B)极大值点；(C)极小值点；(D)不确定点
5.需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2，则需求弹性为Ep=（ ）．
(A)；(B)；(C)；(D)
6.某种商品的需求弹性为Ep=-bp(b>0)．那么，当价格p提高1%时，需求量将会（ ）．
(A) 增加bp；(B)减少bp；(C)减少bp%；(D)增加bp%
1,B ；?2．A ；?3．C ；?4．D ；?5．B ；?6．C
三、多选题
1.下列函数f (x)在指定区间内是单调函数的有（ ）．
(A)f(x)=cosx，；(B)f(x)=
(C)f(x)=x3+x，；(D)f(x)=sinx，；(E)f(x)= lnx，?
2.若x0是可微函数f (x)的一个极值点，则（ ）是正确的．
(A)x0为f(x)的驻点；(B)x0为f(x)的最大值点；(C)f(x)在x0处连续；
(D)在点x0的左、右邻域同号；(E)在点x0的左、右邻域异号
3.若连续函数在区间[a,b]上单调不增，则（ ）．
(A)f(x)在区间(a，b)内没有驻点；(B)f(x)在区间(a，b)内没有极值点；
(C)f(x)在区间[a，b]上没有最值点；(D)f(x)在区间(a，b)内没有最值点
(E)f(x)在端点处取得最大值
4.若某商品的需求量与价格之间的关系为，则（ ）．
(A)价格关于需求量q的函数为p=400-20q；
(B)该商品的收入函数；
(C)该商品的边际收入；
(D)该商品的边际需求
(E)该商品的需求弹性
1,BCE ；?2．ACE ；?3．BDE ；?4．ACD ；
四、配伍题
1.设f(x)是单调可微函数，试确定满足条件的函数．
(A)f(x)单调增加,(x)不是单调的；①f(x)=x2，x
(B)f(x)单调增加，(x)单调减少；②f(x)=2x+sinx，x
(C)f(x)单调减少，(x)单调增加；③f(x)=lnx，x
2.讨论函数的极值
(A)y=；①在不存在点处取极大值
(B)y=1-；②在驻点处取极小值
(C)y=；③驻点不是极值点
3.确定函数的极值
(A)y=(x-1)4；①在x=1处有极小值y=0；(B)y=x(1+)；②在x=1处有极大值y=3；
(C)y=(x–2(2x+1)；③无极值
4.求函数的最大值
(A)y=，x[-6,8]；①1；(B)y=，x[0,4]；②10；
(C)y=-x，x[0,+)；③
1．A②；B③；C①；2．A③；B①；C②；3．A①；B③；C②；4．A②；B③；C①；
五、是非题
1.若函数f(x)在区间(a，b)内恒有>0，则f (x)在[a，b]内单调增加．（ ）
2.若导数(x)在(a,b)内单调减少，则函数f (x)在(a,b)内必是单调减少的．（ ）
3.若x0是f (x)的极值点，则一定有．（ ）
4.设函数在区间[a，b]上的单调，则在[a，b]的两个端点处取得最大值或最小值（ ）.
5.某商品的需求函数是（a为常数），则该商品的需求弹性是价格p的线性函数．（ ）
6.生产某种产品的成本函数为C(q)，则其平均成本为．（ ）
7.生产某种产品的边际利润，则产量为q0时将不获利．（ ）
8.某种商品的收入函数为，则当销售量q =5时，边际收入100（ ）.
1．√；2．×；3．×；4．√；5．√；6．×；7．×；8．√；
六、计算题
1.求函数y=2x3–3x2–12x+14的单调区间．
2.确定函数f(x)=x3–12x的单调减少区间．
3.设f(x)=ln(1+x2)，x
(1)确定f(x)在所给区间的单调增减性；
(2)求f(x)在给定区间上的最小值．
4.已知都是函数y=alnx+bx2+x的极值点，求a，b的值．
5.求函数f(x)=sinx+cosx在区间上的最大值和最小值．
1．单调增加区间为，单调减少区间为； 2．单调减少区间为； 3．(1)f(x)在上是单调增加的；(2)在=0处取得最小值，即f(0)=ln(1+02)=0； 4．； 5．函数f(x)=sinx+cosx在区间上的最大值为，最小值为．
七、应用题
1.某商品的需求量q关于价格p的函数q(p) = 1200e-2p，求：
（1）需求弹性Ep；（2）当价格批=20元时，再涨价1%，其需求量将会发生何变化？
2.某商品价格p（百元/百台）与需求量q（百台）之间的关系是5p+q-50=0．
（1）求收入函数R(q)；（2）q为多少时，R(q)最大？（3）求需求对价格的弹性Ep．
3.某厂每生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q =1000–10p（为需求量，为价格）．试求
（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？（3）获得最大利润时的价格及需求弹性．
1．(1)Ep=(-2400e-2p)=-2p；(2)当价格p=20元时，再涨价1%，该商品需求量将会减少40%；2．(1)R(q)=pq =(10-)q =；(2)当q=25百台时，收入函数R(q)最大；(3)Ep=,3．(1)成本函数C(q)=60+2000；收入函数R(q)= .
