第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念,并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.
二、内容讲解
1.极限的概念1
研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。
例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.
例2 讨论当时，的变化趋势.
例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子?天下定义2.1——函数的极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为或；若自变量趋于时，函数没有一个固定的变化趋势，则称函数在处没有极限.
2.极限的概念2
在理解极限定义时要注意两个细节：
1.时（），2.（包括这两种情况）
问题思考：
极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程，所以不好回答是多少，但是,，.
考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限.因为在处无定义.又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.
由此引出左右极限的概念：
定义2.2——左右极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作? = L；如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作=R。
3.极限存在的充分必要条件：
极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即
问题思考：设函数,求
因为，
由极限存在的充分必要条件知，
由函数的图形也可得到此结论.
4.无穷小量定义2.3——无穷小量和无穷大量
称当时，为无穷小量，简称无穷小.
无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即
无穷小量的有以下性质：
性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量；
性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；
性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.
无穷大量在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.
例如 因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：
定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大，；反之，若是无穷大，则是无穷小.
三、例题讲解例1 讨论时,=？
解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，，即=4
例2?讨论函数,当时的极限
解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到
例3? ,求
解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，
在0点处分别求左、右极限.
可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.
例4? ，当时，
解,由图形可知，当时，当时，是无穷小量.
四、课堂练习练习1 讨论函数当 ?时的变化趋势.
解：函数的图形是
练习2 设函数,问为何值时，存在？
解：因为，?，所以.
练习3 当时，下列变量中?（ ）是无穷小量.
A）；B）；C）；D）
解：因为，所以选择D正确.
练习4 设是无穷大量，则是无穷大量.
证明：因为是无穷大量，由“倒数关系”知均为无穷小量，于是有是无穷小量，所以是无穷大量.
五、课后作业
1.讨论函数当时的变化趋势.
2.判断下列极限是否收敛：
（1）；（2）；（3）；（4）
3.求下列数列的极限：
（1）；（2）；（3）；（4）
4.试用图形说明：不存在.
5.设，求在是的左、右极限，并说明?在点极限是否存在.
6.设，求，并讨论是否存在.
7.分析函数的变化趋势，并求极限.
（1）；（2）；
（3）；（4）
8.当时，下列变量中哪些是无穷小量？
9.当时，下列变量中是无穷小量的有：
（1）；（2）；（3）；（4）
10.函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？
1.；2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散.
3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0.
4,
5,因为，，所以，函数在处左、右极限存在但不相等，故函数在0点的极限不存在.
6,，
因为函数在处左、右极限存在但不相等，所以不存在.
7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.
8,
9,
10,当时，为无穷大量，当时，为无穷小量.
第二节 极限的运算一、学习目标通过本课程的学习，要学会极限的四则运算法则，学会使用法则的方法和常用的技巧，能够用四极限的四则运算法则计算则函数的极限.
二、内容讲解在某个变化过程中，变量分别以为极限，则
问题思考：设，则，对吗？请举例说明.
不一定 如且但
三、例题讲解例1 求
解
例2 求
解：
例3求
解：
例4 求
解：?
四、课堂练习练习1 求
解：
，属于分子、分母的极限均为0.
练习2 求
解
本题属于无穷大量之比的极限计算问题，需变形后再利用法则计算.
五、课后作业
1．；
2．；
3．
4．；
5．；
6．；
7．；
8．；
9、；
10、
1．0；2.21；3.1；4.；5.； 6.；7.；8.1；9.；10..
二、内容讲解
1.极限的概念1
研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。
例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.
例2 讨论当时，的变化趋势.
例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子?天下定义2.1——函数的极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为或；若自变量趋于时，函数没有一个固定的变化趋势，则称函数在处没有极限.
2.极限的概念2
在理解极限定义时要注意两个细节：
1.时（），2.（包括这两种情况）
问题思考：
极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程，所以不好回答是多少，但是,，.
考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限.因为在处无定义.又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.
由此引出左右极限的概念：
定义2.2——左右极限设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作? = L；如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作=R。
3.极限存在的充分必要条件：
极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即
问题思考：设函数,求
因为，
由极限存在的充分必要条件知，
由函数的图形也可得到此结论.
4.无穷小量定义2.3——无穷小量和无穷大量
称当时，为无穷小量，简称无穷小.
无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即
无穷小量的有以下性质：
性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量；
性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；
性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.
无穷大量在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.
例如 因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：
定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大，；反之，若是无穷大，则是无穷小.
三、例题讲解例1 讨论时,=？
解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，，即=4
例2?讨论函数,当时的极限
解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到
例3? ,求
解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，
在0点处分别求左、右极限.
可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.
例4? ，当时，
解,由图形可知，当时，当时，是无穷小量.
四、课堂练习练习1 讨论函数当 ?时的变化趋势.
解：函数的图形是
练习2 设函数,问为何值时，存在？
解：因为，?，所以.
练习3 当时，下列变量中?（ ）是无穷小量.
A）；B）；C）；D）
解：因为，所以选择D正确.
练习4 设是无穷大量，则是无穷大量.
证明：因为是无穷大量，由“倒数关系”知均为无穷小量，于是有是无穷小量，所以是无穷大量.
五、课后作业
1.讨论函数当时的变化趋势.
2.判断下列极限是否收敛：
（1）；（2）；（3）；（4）
3.求下列数列的极限：
（1）；（2）；（3）；（4）
4.试用图形说明：不存在.
5.设，求在是的左、右极限，并说明?在点极限是否存在.
6.设，求，并讨论是否存在.
7.分析函数的变化趋势，并求极限.
（1）；（2）；
（3）；（4）
8.当时，下列变量中哪些是无穷小量？
9.当时，下列变量中是无穷小量的有：
（1）；（2）；（3）；（4）
10.函数在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？
1.；2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散.
3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0.
4,
5,因为，，所以，函数在处左、右极限存在但不相等，故函数在0点的极限不存在.
6,，
因为函数在处左、右极限存在但不相等，所以不存在.
7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.
8,
9,
10,当时，为无穷大量，当时，为无穷小量.
第二节 极限的运算一、学习目标通过本课程的学习，要学会极限的四则运算法则，学会使用法则的方法和常用的技巧，能够用四极限的四则运算法则计算则函数的极限.
二、内容讲解在某个变化过程中，变量分别以为极限，则
问题思考：设，则，对吗？请举例说明.
不一定 如且但
三、例题讲解例1 求
解
例2 求
解：
例3求
解：
例4 求
解：?
四、课堂练习练习1 求
解：
，属于分子、分母的极限均为0.
练习2 求
解
本题属于无穷大量之比的极限计算问题，需变形后再利用法则计算.
五、课后作业
1．；
2．；
3．
4．；
5．；
6．；
7．；
8．；
9、；
10、
1．0；2.21；3.1；4.；5.； 6.；7.；8.1；9.；10..
