第三单元 经济分析中常见函数第一节 需求与供给函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的需求函数与供给函数．
二、内容讲解这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．
定义1.9——需求函数和供给函数．
大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．
供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．
现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．
表示需求量，表示价格，表示常数．
表示供给量，表示价格，表示常数．
我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以，当然．而供给量应随着价格的增加而增加，所以，，因为当价格为零时，不会有供给量．
从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．
我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．
思考问题：在需求函数的表达式中，为什么要有b>0？
答案因为表达式中的a取负值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有b>0．
三、例题讲解某种商品的供给函数和需求函数分别为，，求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．
解：由市场均衡条件得到
解出，
四、课堂练习
1.已知某产品的供给函数为qs＝3p－5，需求函数为qd＝15－2p，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．
由市场均衡条件qd＝qs可得15－2p＝3p－5
整理得：．得，
五、课后作业
1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为，
试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
第二节 成本、收入和利润函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数．知道它们之间的关系．
二、内容讲解我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．
定义1.10——成本函数．
一种产品的成本可以分为两部分：
固定成本C0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．
变动成本C１，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．
总成本就是固定成本加上变动成本：C=C0+C１
成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：C(q)=c0+C１(q)
这就是成本函数．其中总成本C(q)是产量q的函数，c0与产量无关，变动成本C１(q)也是产量q的函数．
我们在引入平均成本的概念：
总成本除以产量q，就是产量为q时的平均成本，用来表示．
定义1.11——收入函数一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R= q p(q)
其中p(q)是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数
现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R=pq,它的图形就是下面这样
图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．
定义1.12——利润函数利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量q的函数，收入也是q的函数，那么利润也是q的函数．即L(q)=R(q)?C(q)
相应地有平均利润函数的概念：
（1）L(q)>0盈利，（2）L(q)<0亏损，（3）L(q)=0盈亏平衡满足L(q)=0的q0称为盈亏平衡点（又称保本点）．
在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析：
C=c0+c１q
R=pq它们的图形是
两条直线的交点表示收入与成本相等，q0就是盈亏平衡点．
如果两条直线出现了下面这种情况
此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.
从几何上看，增加直线R的斜率或减小直线C的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．
三、例题讲解例1?生产某商品的总成本是，求生产50件商品时的总成本和平均成本．
解：成本，平均成本
，
例2?某商品的成本函数与收入函数分别为，，求该商品的盈亏平衡点．
解：，，
，即
四、课堂练习练习1 已知生产某种产品的总成本为C(q)＝50＋2q＋0.1q2，该产品的需求函数为q＝40－2p，试求产量q为10时的总利润和平均利润．
由需求函数得
练习2?某企业生产一种产品的固定成本c0为20万元，变动成本为C1＝2q（万元），其中q为该产品的产量（单位：百件），该产品每件的售价为300元．试求该产品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况．
由于产量q的单位是百件，每件的售价为300元，因此R(q)＝3q，成本C(q)为固定成本和变动成本之和，故C(q)＝20＋2q，由此得到
L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－(20＋2q)＝q－20
五、课后作业
1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为100元，产量为100时成本为400元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为200时的总成本和平均成本．
2．设某商品的需求函数为，试求该商品的收入函数，并求销量为200件时的总收入．
3．设某商品的成本函数和收入函数分别为，，试求：
（1）该商品的利润函数；（2）销量为4时的总利润及平均利润；（3）销量为10时是盈利还是亏损？
1．（1），（2）
2．?
3．（1），
（2），
（3），销量为10时盈利.
二、内容讲解这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．
定义1.9——需求函数和供给函数．
大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．
供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．
现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．
表示需求量，表示价格，表示常数．
表示供给量，表示价格，表示常数．
我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以，当然．而供给量应随着价格的增加而增加，所以，，因为当价格为零时，不会有供给量．
从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．
我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点．价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．
思考问题：在需求函数的表达式中，为什么要有b>0？
答案因为表达式中的a取负值，而在合理的价格范围内，需求量应为正值，所以有b>0．
三、例题讲解某种商品的供给函数和需求函数分别为，，求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．
解：由市场均衡条件得到
解出，
四、课堂练习
1.已知某产品的供给函数为qs＝3p－5，需求函数为qd＝15－2p，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．
由市场均衡条件qd＝qs可得15－2p＝3p－5
整理得：．得，
五、课后作业
1.市场中某种商品的需求函数和供给函数分别为，
试求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
第二节 成本、收入和利润函数一、学习目标通过本节课的学习，了解经济分析中的成本函数、收入函数和利润函数．知道它们之间的关系．
二、内容讲解我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．
定义1.10——成本函数．
一种产品的成本可以分为两部分：
固定成本C0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．
变动成本C１，比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．
总成本就是固定成本加上变动成本：C=C0+C１
成本应与产品的产量有关，这种函数表示为：C(q)=c0+C１(q)
这就是成本函数．其中总成本C(q)是产量q的函数，c0与产量无关，变动成本C１(q)也是产量q的函数．
我们在引入平均成本的概念：
总成本除以产量q，就是产量为q时的平均成本，用来表示．
定义1.11——收入函数一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R= q p(q)
其中p(q)是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数
现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R=pq,它的图形就是下面这样
图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．
定义1.12——利润函数利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润．既然成本是产量q的函数，收入也是q的函数，那么利润也是q的函数．即L(q)=R(q)?C(q)
相应地有平均利润函数的概念：
（1）L(q)>0盈利，（2）L(q)<0亏损，（3）L(q)=0盈亏平衡满足L(q)=0的q0称为盈亏平衡点（又称保本点）．
在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析：
C=c0+c１q
R=pq它们的图形是
两条直线的交点表示收入与成本相等，q0就是盈亏平衡点．
如果两条直线出现了下面这种情况
此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.
从几何上看，增加直线R的斜率或减小直线C的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．
三、例题讲解例1?生产某商品的总成本是，求生产50件商品时的总成本和平均成本．
解：成本，平均成本
，
例2?某商品的成本函数与收入函数分别为，，求该商品的盈亏平衡点．
解：，，
，即
四、课堂练习练习1 已知生产某种产品的总成本为C(q)＝50＋2q＋0.1q2，该产品的需求函数为q＝40－2p，试求产量q为10时的总利润和平均利润．
由需求函数得
练习2?某企业生产一种产品的固定成本c0为20万元，变动成本为C1＝2q（万元），其中q为该产品的产量（单位：百件），该产品每件的售价为300元．试求该产品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况．
由于产量q的单位是百件，每件的售价为300元，因此R(q)＝3q，成本C(q)为固定成本和变动成本之和，故C(q)＝20＋2q，由此得到
L(q)＝R(q)－C(q)＝3q－(20＋2q)＝q－20
五、课后作业
1．设某商品的成本函数是线性函数，并已知产量为零时，成本为100元，产量为100时成本为400元，试求：（1）成本函数和固定成本；（2）产量为200时的总成本和平均成本．
2．设某商品的需求函数为，试求该商品的收入函数，并求销量为200件时的总收入．
3．设某商品的成本函数和收入函数分别为，，试求：
（1）该商品的利润函数；（2）销量为4时的总利润及平均利润；（3）销量为10时是盈利还是亏损？
1．（1），（2）
2．?
3．（1），
（2），
（3），销量为10时盈利.
