第 13章 数字电路的基础知识清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉 编
1997年 10月千岛湖风光第 13章 数字电路的基础知识
13.1 数字电路的基础知识
13.2 基本逻辑关系
13.3 逻辑代数及运算规则
13.4 逻辑函数的表示法
13.5 逻辑函数的化简
13.1 数字电路的基础知识数字信号和模拟信号电子电路中的信号模拟信号数字信号幅度随时间连续变化的信号例：正弦波信号、锯齿波信号等。
幅度不随时间连续变化,而是跳跃变化计算机中,时间和幅度都不连续,称为离散变量模拟信号
t
V(t)
t
V(t)数字信号高电平低电平 上跳沿引言下跳沿模拟电路与数字电路的区别
1、工作任务不同：
模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、
相位、失真等方面的关系； 数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系 （因果关系）。
模拟电路中的三极管工作在线性放大区,是一个放大元件； 数字电路中的三极管工作在饱和或截止状态,起开关作用 。
因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。
2、三极管的工作状态不同：
模拟电路研究的问题 引言基本电路元件,
基本模拟电路,
晶体三极管场效应管集成运算放大器信号放大及运算 (信号放大、功率放大）
信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）
信号发生（正弦波发生器、三角波发生器,… ）
数字电路研究的问题基本电路元件引言基本数字电路逻辑门电路触发器组合逻辑电路时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、
脉冲整形电路）
A/D转换器,D/A转换器基本逻辑关系与 ( and )
或 (or )
非 ( not )
13.2 基本逻辑关系
1.与逻辑关系
U
A B
Y
真值表
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
真值表特点,
任 0 则 0,全 1则 1
一,,与,逻辑关系和与门 与逻辑,决定事件发生的各条件中，
所有条件都具备，事件才会发生
（成立）。
2.二极管组成的与门电路
+5V
VA
VB
VO
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 0.3
3 0.3 0.3
3 3 3
0.3V=逻辑 0,3V=逻辑 1
此电路实现“与”逻辑关系与门符号,
&A
B
Y
与逻辑运算规则 — 逻辑乘
3.与逻辑关系表示式
Y= A?B = AB
与门符号,
&A
B Y
基本逻辑关系
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B Y
与逻辑真值表
0? 0=0 0? 1=0
1? 0=0 1? 1=1
二,,或,逻辑关系和或门或逻辑,决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
1,,或,逻辑关系
U
A
B
Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
开关合为逻辑,1”，
开关断为逻辑,0”；
灯亮为逻辑,1”，
灯灭为逻辑,0” 。
设：
特点,任 1 则 1,全 0则 0
真值表基本逻辑关系
2,二极管组成的,或,门电路
0.3V =逻辑 0,3V =逻辑 1
此电路实现,或,逻辑关系。
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 3
3 0.3 3
3 3 3
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
VA
VB
VO
R
-5V
基本逻辑关系或门符号,
A
B
Y≥1
或逻辑运算规则 — 逻辑加
3.或逻辑关系表示式
Y=A＋ B
或门符号,
A
B
Y≥1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
或逻辑真值表基本逻辑关系
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
三,,非,逻辑关系与非门
,非,逻辑,决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
特点,1则 0,0则 1
真值表
0 1
1 0
A Y
Y
R
AU
1,,非,逻辑关系基本逻辑关系
2、非门电路 --三极管反相器三极管反相器电路实现
,非,逻辑关系。
非门表示符号,
1 YA
输入输出电平对应表
VA VO
0 1 (三极管截止 )
1 0 (三极管饱和 )
+Ec
VA VO
Rc
R1
基本逻辑关系非逻辑 — 逻辑反非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
运算规则：
0＝ 1
1＝ 0
3.非逻辑关系表示式非逻辑关系表示式,
Y＝ A
四、基本逻辑关系的扩展将基本逻辑门加以组合，可构成,与非,,,或非,,
,异或,等门电路。
1,与非门表示式,Y = AB
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0Y=AB C多个逻辑变量时,
&AB Y符号：
2、或非门表示式,Y= A+B
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
多个逻辑变量时,Y= A+B+C
A
B Y≥1符号：
真值表特点,相同则 0,
不同则 1
真值表
A B AB AB Y
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
3,异或 门
Y=A? B =AB + AB表示式,
=1A
B
Y符号：
用基本逻辑门组成异或门
1
1
&
&
≥1
A
B
Y=A? B =AB + AB表示式,
A
B
AB
AB
Y=AB + AB
异或门门电路是实现一定逻辑关系的电路。
类型,与门、或门、非门、与非门、或非门、
异或门 …… 。
1、用二极管、三极管实现
2、数字集成电路 (大量使用 )
1) TTL集成门电路
2) MOS集成门电路实现方法,
门电路小结门电路小结门电路 符号 表示式与门 &AB Y
A
B Y≥1或门非门 1 YA
Y=AB
Y=A+B
Y= A
与非门 &AB Y Y= AB
或非门 AB Y≥1 Y= A+B
异或门 =1A
B
Y Y= A?B
13.3 逻辑代数及运算规则数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称 逻辑电路,相应的研究工具是 逻辑代数（布尔代数） 。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（ 二值变量 ），即 0和 1。
乘运算规则,
加运算规则,
1、逻辑代数基本运算规则非运算规则,
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1
A ＝ A
A?0 =0 A?1 =A A?A =A A?A =0
0=1 1=0
A+0 =A,A+1 =1,A+A =A,A+A =1
2.逻辑代数运算规律交换律,A+B = B+A
AB=BA
结合律,A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
ABC=(AB)C=A(BC)
逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则分配律,A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
求证,（分配律第 2条） A+BC=(A+B)(A+C)
证明,右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC ; 分配律
=A +A(B+C)+BC ; 结合律,AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律
=A? 1+BC ; 1+B+C=1
=A+BC ; A? 1=1
=左边吸收规则原变量吸收规则,
反变量吸收规则,A+AB=A+B
A+AB=A+B
注,红色变量被吸收掉！
A+AB =A+AB+AB
=A+(A+A)B
=A+ 1?B ; A+A=1
=A+B
A+AB =A
证明,
逻辑代数的基本运算规则混合变量吸收规则,
AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C) +AC(1+B)
=AB +AC
AB+AB =A
AB+AC+BC =AB+AC
证明,
逻辑代数的基本运算规则反演定理（德摩根定理）
A?B =A+B A+B = A?B
用真值表证明
A B A?B A+B
1
1
1
0
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
证明,
逻辑代数的基本运算规则一、逻辑函数的表示方法四种表示方法
Y=AB + AB
逻辑代数式 (逻辑表示式,逻辑函数式 )
1
1
&
&
≥1
A
B
Y逻辑电路图,
卡诺图将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。
n2N个输入变量 种组合 。
真值表：
13.4 逻辑函数的表示法真值表 逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0 1
1 0
A Y 一输入变量，二种组合二输入变量，四种组合三输入变量，八种组合真值表 （四输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
A B C D Y
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
四输入变量,16种组合将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。
最小相,输入变量的每一种组合。
卡诺图的画法：
（二输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0
1
0 1
0
1
1
1
输出变量 Y的值输入变量卡诺图卡诺图的画法 （三输入变量）
逻辑函数的表示方法逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。
0
1
00 01 11 10A BC
0 0 0 0
0 1 1 1
输入变量输出变量 Y的值
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 0 1
1 0 φ 1
0 φ 0 1
1 1 0 1
11
10
四变量卡诺图函数取 0,1
均可，称为无所谓状态 。
只有一项不同四输入变量卡诺图有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。
F( A,B,C )=?( 1,2,4,7 )
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 3 2
4 5 7 6
A B C 十进制数
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
四变量卡诺图单元格的编号
A B C D
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
A B C D
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
F(A,B,C,D)=?(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)
二、逻辑函数四种表示方式的相互转换
1、逻辑电路图?逻辑代数式
B
AB
Y=A B+AB
A BA
1
&A
B
&
1
≥1
3、真值表、卡诺图?逻辑代数式方法,将真值表或卡诺图中为 1
的项相加,写成,与或式,。
Y=AB+AB+AB
真值表
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0 1
0
1 01
11
AB
四种表示方式的相互转换此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为 Y=AB
因此，有一个化简问题。
AB
AB
13.5 逻辑函数的化简
13.5.1 利用逻辑代数的基本公式化简例 1：
ABAC
)BC(A
)BCB(A
ABCBA
)CC(ABCBA
A B CCABCBAF
反变量吸收提出 AB
=1
提出 A
Y=A?B= AB + AB =A?A? B? B? A? B
右边 =A?A? B + B?A? B ; AB=A+B
= A?A? B + B?A? B ; A=A
=A?(A+B) +B?(A+B) ; A B=A+B
=A?A+A?B+ B?A +B?B ; 展开
=0 + A?B+A?B + 0
= A?B +A?B
= 左边结论,异或门可以用
4个与非门实现例 2,证明异或门可以用 4个与非门实现
Y=A? B= AB + AB =A?A? B? B? A? B
&
&
&
&AB Y
1
1
&
&
≥1
A
B
例 3 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将化简为最简逻辑代数式。
=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)
=AB+ABC+AB
=(A+A)B+ABC
=B+BAC ; A+AB=A+B
=B+AC； C+C=1
Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
例 4 将 Y化简为最简逻辑代数式。
Y =AB+(A+B)CD
解,Y =AB+(A+B)CD
= AB+(A+B)CD
= AB+AB CD
=AB+CD;利用反演定理;将 AB当成一个变量,
利用公式 A+AB=A+B； A=A
适用输入变量为 3,4个的逻辑代数式的化简；化简过程比公式法简单直观。
3） 每一项可重复使用，但每一次新的组合，至少包含一个未使用过的项，直到所有 为 1的项都被 使用后化简工作方算完成。
n21） 上、下、左、右相邻 （ n=0,1,2,3)个项，可组成一组。
2） 先用面积最大的组合进行化简，利用吸收规则，
可吸收掉 n个变量。
用卡诺图化简的规则,对于输出为 1的项
12 吸收掉 1个变量； 22 吸收掉 2个变量,..
13.5.2 利用卡诺图化简
4） 每一个组合中的公因子构成一个,与,项，
然后将所有,与,项相加，得最简,与或,表示式。
5） 无所谓项当,1”处理。
用卡诺图化简规则（续）
例 1
Y=A+B 或门
A B
1
0
0 1
0
1 1
1A B
吸收规则,
Y=AB+AB+AB
=AB+AB+AB+AB
=A(B+B)+(A+A)B
=A+B
例 2
用卡诺图化简
00 01 11 10
00
01
11
10
1
0 1 1
1
1
1 0
1
0 1 1
0
1
1 0
AB
CD
D
AC
BC
Y=D+AC+BC
F=(A,B,C,D)= (0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15)?
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1 0
11
1
1 1
1
1
1
0 1
0
1
1
A
CD
BD
BD
F=A+CD+BD+BD
0 1 23
4 5 67
12 1
3
14
8 9 11 10
15
用卡诺图化简例 3
例 4：
首先,逻辑代数式?卡诺图
C
AB
0
1
00 01 11 10
1
1
1
0 00
0
Y=AB+BC
用卡诺图化简逻辑代数式 Y=AB+ABC+ABC
AB BC
1
例 5,已知真值表如图，用卡诺图化简。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。
A
BC
00 01 11 10
0
1
0 0 0 0
1 φ 1 1
化简时可以将无所谓状态当作 1或 0，目的是得到最简结果。
认为是 1
A
F=A
1997年 10月千岛湖风光第 13章 数字电路的基础知识
13.1 数字电路的基础知识
13.2 基本逻辑关系
13.3 逻辑代数及运算规则
13.4 逻辑函数的表示法
13.5 逻辑函数的化简
13.1 数字电路的基础知识数字信号和模拟信号电子电路中的信号模拟信号数字信号幅度随时间连续变化的信号例：正弦波信号、锯齿波信号等。
幅度不随时间连续变化,而是跳跃变化计算机中,时间和幅度都不连续,称为离散变量模拟信号
t
V(t)
t
V(t)数字信号高电平低电平 上跳沿引言下跳沿模拟电路与数字电路的区别
1、工作任务不同：
模拟电路研究的是输出与输入信号之间的大小、
相位、失真等方面的关系； 数字电路主要研究的是输出与输入间的逻辑关系 （因果关系）。
模拟电路中的三极管工作在线性放大区,是一个放大元件； 数字电路中的三极管工作在饱和或截止状态,起开关作用 。
因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。
2、三极管的工作状态不同：
模拟电路研究的问题 引言基本电路元件,
基本模拟电路,
晶体三极管场效应管集成运算放大器信号放大及运算 (信号放大、功率放大）
信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）
信号发生（正弦波发生器、三角波发生器,… ）
数字电路研究的问题基本电路元件引言基本数字电路逻辑门电路触发器组合逻辑电路时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、
脉冲整形电路）
A/D转换器,D/A转换器基本逻辑关系与 ( and )
或 (or )
非 ( not )
13.2 基本逻辑关系
1.与逻辑关系
U
A B
Y
真值表
A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
规定,
开关合为逻辑,1”
开关断为逻辑,0”
灯亮为逻辑,1”
灯灭为逻辑,0”
真值表特点,
任 0 则 0,全 1则 1
一,,与,逻辑关系和与门 与逻辑,决定事件发生的各条件中，
所有条件都具备，事件才会发生
（成立）。
2.二极管组成的与门电路
+5V
VA
VB
VO
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 0.3
3 0.3 0.3
3 3 3
0.3V=逻辑 0,3V=逻辑 1
此电路实现“与”逻辑关系与门符号,
&A
B
Y
与逻辑运算规则 — 逻辑乘
3.与逻辑关系表示式
Y= A?B = AB
与门符号,
&A
B Y
基本逻辑关系
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B Y
与逻辑真值表
0? 0=0 0? 1=0
1? 0=0 1? 1=1
二,,或,逻辑关系和或门或逻辑,决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。
1,,或,逻辑关系
U
A
B
Y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
开关合为逻辑,1”，
开关断为逻辑,0”；
灯亮为逻辑,1”，
灯灭为逻辑,0” 。
设：
特点,任 1 则 1,全 0则 0
真值表基本逻辑关系
2,二极管组成的,或,门电路
0.3V =逻辑 0,3V =逻辑 1
此电路实现,或,逻辑关系。
VA VB VO
0.3 0.3 0.3
0.3 3 3
3 0.3 3
3 3 3
输入输出电平对应表
(忽略二极管压降 )
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
VA
VB
VO
R
-5V
基本逻辑关系或门符号,
A
B
Y≥1
或逻辑运算规则 — 逻辑加
3.或逻辑关系表示式
Y=A＋ B
或门符号,
A
B
Y≥1
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B Y
或逻辑真值表基本逻辑关系
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=1
三,,非,逻辑关系与非门
,非,逻辑,决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。
特点,1则 0,0则 1
真值表
0 1
1 0
A Y
Y
R
AU
1,,非,逻辑关系基本逻辑关系
2、非门电路 --三极管反相器三极管反相器电路实现
,非,逻辑关系。
非门表示符号,
1 YA
输入输出电平对应表
VA VO
0 1 (三极管截止 )
1 0 (三极管饱和 )
+Ec
VA VO
Rc
R1
基本逻辑关系非逻辑 — 逻辑反非逻辑真值表
A Y
0 1
1 0
运算规则：
0＝ 1
1＝ 0
3.非逻辑关系表示式非逻辑关系表示式,
Y＝ A
四、基本逻辑关系的扩展将基本逻辑门加以组合，可构成,与非,,,或非,,
,异或,等门电路。
1,与非门表示式,Y = AB
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0Y=AB C多个逻辑变量时,
&AB Y符号：
2、或非门表示式,Y= A+B
真值表
A B AB Y
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
多个逻辑变量时,Y= A+B+C
A
B Y≥1符号：
真值表特点,相同则 0,
不同则 1
真值表
A B AB AB Y
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 0 0
3,异或 门
Y=A? B =AB + AB表示式,
=1A
B
Y符号：
用基本逻辑门组成异或门
1
1
&
&
≥1
A
B
Y=A? B =AB + AB表示式,
A
B
AB
AB
Y=AB + AB
异或门门电路是实现一定逻辑关系的电路。
类型,与门、或门、非门、与非门、或非门、
异或门 …… 。
1、用二极管、三极管实现
2、数字集成电路 (大量使用 )
1) TTL集成门电路
2) MOS集成门电路实现方法,
门电路小结门电路小结门电路 符号 表示式与门 &AB Y
A
B Y≥1或门非门 1 YA
Y=AB
Y=A+B
Y= A
与非门 &AB Y Y= AB
或非门 AB Y≥1 Y= A+B
异或门 =1A
B
Y Y= A?B
13.3 逻辑代数及运算规则数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称 逻辑电路,相应的研究工具是 逻辑代数（布尔代数） 。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（ 二值变量 ），即 0和 1。
乘运算规则,
加运算规则,
1、逻辑代数基本运算规则非运算规则,
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1
0?0=0 0?1=0 1?0=0 1?1=1
A ＝ A
A?0 =0 A?1 =A A?A =A A?A =0
0=1 1=0
A+0 =A,A+1 =1,A+A =A,A+A =1
2.逻辑代数运算规律交换律,A+B = B+A
AB=BA
结合律,A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
ABC=(AB)C=A(BC)
逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则分配律,A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C)
求证,（分配律第 2条） A+BC=(A+B)(A+C)
证明,右边 =(A+B)(A+C)
=AA+AB+AC+BC ; 分配律
=A +A(B+C)+BC ; 结合律,AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律
=A? 1+BC ; 1+B+C=1
=A+BC ; A? 1=1
=左边吸收规则原变量吸收规则,
反变量吸收规则,A+AB=A+B
A+AB=A+B
注,红色变量被吸收掉！
A+AB =A+AB+AB
=A+(A+A)B
=A+ 1?B ; A+A=1
=A+B
A+AB =A
证明,
逻辑代数的基本运算规则混合变量吸收规则,
AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC
=AB+AC+ABC+ABC
=AB(1+C) +AC(1+B)
=AB +AC
AB+AB =A
AB+AC+BC =AB+AC
证明,
逻辑代数的基本运算规则反演定理（德摩根定理）
A?B =A+B A+B = A?B
用真值表证明
A B A?B A+B
1
1
1
0
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
证明,
逻辑代数的基本运算规则一、逻辑函数的表示方法四种表示方法
Y=AB + AB
逻辑代数式 (逻辑表示式,逻辑函数式 )
1
1
&
&
≥1
A
B
Y逻辑电路图,
卡诺图将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。
n2N个输入变量 种组合 。
真值表：
13.4 逻辑函数的表示法真值表 逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0 1
1 0
A Y 一输入变量，二种组合二输入变量，四种组合三输入变量，八种组合真值表 （四输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B C D Y
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
A B C D Y
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
四输入变量,16种组合将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。
最小相,输入变量的每一种组合。
卡诺图的画法：
（二输入变量）
逻辑函数的表示方法
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0
1
0 1
0
1
1
1
输出变量 Y的值输入变量卡诺图卡诺图的画法 （三输入变量）
逻辑函数的表示方法逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。
0
1
00 01 11 10A BC
0 0 0 0
0 1 1 1
输入变量输出变量 Y的值
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
AB
CD00 01 11 10
00
01
1 1 0 1
1 0 φ 1
0 φ 0 1
1 1 0 1
11
10
四变量卡诺图函数取 0,1
均可，称为无所谓状态 。
只有一项不同四输入变量卡诺图有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。
F( A,B,C )=?( 1,2,4,7 )
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 3 2
4 5 7 6
A B C 十进制数
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
A
BC00 01 11 10
0
1
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 3 2
4 5 7 6
12 13 15 14
8 9 11 10
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
四变量卡诺图单元格的编号
A B C D
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
A B C D
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
F(A,B,C,D)=?(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)
二、逻辑函数四种表示方式的相互转换
1、逻辑电路图?逻辑代数式
B
AB
Y=A B+AB
A BA
1
&A
B
&
1
≥1
3、真值表、卡诺图?逻辑代数式方法,将真值表或卡诺图中为 1
的项相加,写成,与或式,。
Y=AB+AB+AB
真值表
A B Y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B
0 1
0
1 01
11
AB
四种表示方式的相互转换此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为 Y=AB
因此，有一个化简问题。
AB
AB
13.5 逻辑函数的化简
13.5.1 利用逻辑代数的基本公式化简例 1：
ABAC
)BC(A
)BCB(A
ABCBA
)CC(ABCBA
A B CCABCBAF
反变量吸收提出 AB
=1
提出 A
Y=A?B= AB + AB =A?A? B? B? A? B
右边 =A?A? B + B?A? B ; AB=A+B
= A?A? B + B?A? B ; A=A
=A?(A+B) +B?(A+B) ; A B=A+B
=A?A+A?B+ B?A +B?B ; 展开
=0 + A?B+A?B + 0
= A?B +A?B
= 左边结论,异或门可以用
4个与非门实现例 2,证明异或门可以用 4个与非门实现
Y=A? B= AB + AB =A?A? B? B? A? B
&
&
&
&AB Y
1
1
&
&
≥1
A
B
例 3 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将化简为最简逻辑代数式。
=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)
=AB+ABC+AB
=(A+A)B+ABC
=B+BAC ; A+AB=A+B
=B+AC； C+C=1
Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC
例 4 将 Y化简为最简逻辑代数式。
Y =AB+(A+B)CD
解,Y =AB+(A+B)CD
= AB+(A+B)CD
= AB+AB CD
=AB+CD;利用反演定理;将 AB当成一个变量,
利用公式 A+AB=A+B； A=A
适用输入变量为 3,4个的逻辑代数式的化简；化简过程比公式法简单直观。
3） 每一项可重复使用，但每一次新的组合，至少包含一个未使用过的项，直到所有 为 1的项都被 使用后化简工作方算完成。
n21） 上、下、左、右相邻 （ n=0,1,2,3)个项，可组成一组。
2） 先用面积最大的组合进行化简，利用吸收规则，
可吸收掉 n个变量。
用卡诺图化简的规则,对于输出为 1的项
12 吸收掉 1个变量； 22 吸收掉 2个变量,..
13.5.2 利用卡诺图化简
4） 每一个组合中的公因子构成一个,与,项，
然后将所有,与,项相加，得最简,与或,表示式。
5） 无所谓项当,1”处理。
用卡诺图化简规则（续）
例 1
Y=A+B 或门
A B
1
0
0 1
0
1 1
1A B
吸收规则,
Y=AB+AB+AB
=AB+AB+AB+AB
=A(B+B)+(A+A)B
=A+B
例 2
用卡诺图化简
00 01 11 10
00
01
11
10
1
0 1 1
1
1
1 0
1
0 1 1
0
1
1 0
AB
CD
D
AC
BC
Y=D+AC+BC
F=(A,B,C,D)= (0,2,3,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15)?
00 01 11 10
00
01
11
10
CD
AB
1
1 0
11
1
1 1
1
1
1
0 1
0
1
1
A
CD
BD
BD
F=A+CD+BD+BD
0 1 23
4 5 67
12 1
3
14
8 9 11 10
15
用卡诺图化简例 3
例 4：
首先,逻辑代数式?卡诺图
C
AB
0
1
00 01 11 10
1
1
1
0 00
0
Y=AB+BC
用卡诺图化简逻辑代数式 Y=AB+ABC+ABC
AB BC
1
例 5,已知真值表如图，用卡诺图化简。
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
101状态未给出，即是无所谓状态。
A
BC
00 01 11 10
0
1
0 0 0 0
1 φ 1 1
化简时可以将无所谓状态当作 1或 0，目的是得到最简结果。
认为是 1
A
F=A
