60曲面及其方程常用二次曲面的方程及其图形
1、球面 设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即
2、椭球面
3、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：
得
例1、 称为旋转抛物面
旋转双曲面：，(单)
4、椭圆抛物面
5、单叶双曲面
6、双叶双曲面
7、二次锥面
圆锥面
8、柱面 抛物柱面
椭圆柱面
圆柱面
60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）
一般式
曲线 在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在 中消去z，再与z=0联立。
多元函数微分学
10二元函数及其极限与连续
1、，定义域为平面上某一个平面域
几何上为空间一张曲面。
2、二元函数极限 P186
例1、讨论函数
极限是否存在。
解：
而 ∴ 在(0,0)极限不存在,
3、连续 P187
20多元函数的偏导数与全微分
1、偏导数定义：处对x的偏导数，
记作：
即,
同理：
存在，称可导。
例1、
解：
例2、P188，例5，6
设
解：
2、高阶偏导数
连续，则
3、全微分如
可微全微分
偏导数 连续→可微例3、设 则
例4、由方程
确定在点全微分
30复合函数微分法定理：P194
z = f (u,v) u = u ( x,y.) v = v ( x,y ) z = f ( u,v ) = F ( x,y )
,
例5、P195，例5.14
设 z = ( 1 + x2 + y2 )xy 求
解：
例5.15 解 ，
例7、,其中可微，则
例8、,可微，则
例9、设 ，求证
证：令 则
例10、设，其中二阶可导，具有二阶连续偏导数。
求
解,
例11、设，试将方程 变换成以, 为自变量的方程，其中函数具有二阶连续偏导数。
解,
∴
于是方程变为：
40隐函数求导
确定了 求
(1)方程两边同时对求导，注意，可求得
方程两边同时对求导，注意，可求得
(2)利用公式
(3)两边微分用(2)，(3)需具体方程给出，容易
例12、设 由方程，求
解法一、在方程两边对x求导，注意
解法二、设
解法三、在方程两边微分
即
∴
例13、设 由方程确定，其中可微则
例14、已知方程 定义了，求
解,
（或方程两边对求导，注意）
在方程 两边对求导，
在(1) 式两边对x求导法二,
∴
例15、习题7
设，，，其中，都具有一阶连续偏导数，且，求
解：
在，两边对求导，设
例16、P200，例：5.20
50一阶偏导数在几何上的应用空间曲线的切线与法平面曲线L：（Ⅰ） （Ⅱ）
曲线L在M0点处切线方程为：
或
例17、P204，例5.24，例5.25
例5.25 法二在 两边微分
在点
取
∴切线方程
例19、求曲线点处切线方程解：法一 代入得
∴切线方程：
2、空间曲面的切平面与法线曲面方程：
则曲面在点处切平面方程：
如曲面方程
则切平面方程：
法线方程：
例20、曲面在（2，1，3）处的法线方程
例21、P203，例5.22
例22、曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧单位法向量是
例23、证明：曲面的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数证：设切点为
曲面在M(x0，y0，z0)处切平面：
即
即
四面体体积
3、方向导数与梯度
方向导数：，可微
, ,
方向导数：
或：
如
则
分析：
设： 则
设： 为函数 在处梯度记为：gradu
即
P20(P20 例5.26(例5.29
例P220，习题19
解：
gradu（M0）=
取M0处法向量为
1、球面 设是球心，R是半径，是球面上任一点，则，即
2、椭球面
3、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：
得
例1、 称为旋转抛物面
旋转双曲面：，(单)
4、椭圆抛物面
5、单叶双曲面
6、双叶双曲面
7、二次锥面
圆锥面
8、柱面 抛物柱面
椭圆柱面
圆柱面
60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲）
一般式
曲线 在三坐标面上投影方程在x0y面上投影曲线方程：在 中消去z，再与z=0联立。
多元函数微分学
10二元函数及其极限与连续
1、，定义域为平面上某一个平面域
几何上为空间一张曲面。
2、二元函数极限 P186
例1、讨论函数
极限是否存在。
解：
而 ∴ 在(0,0)极限不存在,
3、连续 P187
20多元函数的偏导数与全微分
1、偏导数定义：处对x的偏导数，
记作：
即,
同理：
存在，称可导。
例1、
解：
例2、P188，例5，6
设
解：
2、高阶偏导数
连续，则
3、全微分如
可微全微分
偏导数 连续→可微例3、设 则
例4、由方程
确定在点全微分
30复合函数微分法定理：P194
z = f (u,v) u = u ( x,y.) v = v ( x,y ) z = f ( u,v ) = F ( x,y )
,
例5、P195，例5.14
设 z = ( 1 + x2 + y2 )xy 求
解：
例5.15 解 ，
例7、,其中可微，则
例8、,可微，则
例9、设 ，求证
证：令 则
例10、设，其中二阶可导，具有二阶连续偏导数。
求
解,
例11、设，试将方程 变换成以, 为自变量的方程，其中函数具有二阶连续偏导数。
解,
∴
于是方程变为：
40隐函数求导
确定了 求
(1)方程两边同时对求导，注意，可求得
方程两边同时对求导，注意，可求得
(2)利用公式
(3)两边微分用(2)，(3)需具体方程给出，容易
例12、设 由方程，求
解法一、在方程两边对x求导，注意
解法二、设
解法三、在方程两边微分
即
∴
例13、设 由方程确定，其中可微则
例14、已知方程 定义了，求
解,
（或方程两边对求导，注意）
在方程 两边对求导，
在(1) 式两边对x求导法二,
∴
例15、习题7
设，，，其中，都具有一阶连续偏导数，且，求
解：
在，两边对求导，设
例16、P200，例：5.20
50一阶偏导数在几何上的应用空间曲线的切线与法平面曲线L：（Ⅰ） （Ⅱ）
曲线L在M0点处切线方程为：
或
例17、P204，例5.24，例5.25
例5.25 法二在 两边微分
在点
取
∴切线方程
例19、求曲线点处切线方程解：法一 代入得
∴切线方程：
2、空间曲面的切平面与法线曲面方程：
则曲面在点处切平面方程：
如曲面方程
则切平面方程：
法线方程：
例20、曲面在（2，1，3）处的法线方程
例21、P203，例5.22
例22、曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧单位法向量是
例23、证明：曲面的切平面与坐标轴所围成的四面体体积为常数证：设切点为
曲面在M(x0，y0，z0)处切平面：
即
即
四面体体积
3、方向导数与梯度
方向导数：，可微
, ,
方向导数：
或：
如
则
分析：
设： 则
设： 为函数 在处梯度记为：gradu
即
P20(P20 例5.26(例5.29
例P220，习题19
解：
gradu（M0）=
取M0处法向量为
