第五次
P141.习题3、2、29、30
1、
解：
2、习题4，(11)
解：
3、P109，例3.5，习题3，选择题
4、
5、设，则
30有理函数积分
→真分式→部分分式
部分分式：
其中：
5、
解,
令 令
∴
6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4)
40三角有理式积分
令
8、
9、
6、设的原函数恒正，且，当，有，求
解：
由 得C=1
∴
∴
定积分的概念一、定义及性质
<定义>：，
注意(1)积分区间有限，被积函数有界；
(2)与“分法”、“取法”无关；
(3)定积分的值与积分变量的选取无关
；
(4)在有界是在可积的必要条件，
在连续是在可积的充分条件。
<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。
补充规定
<性质> P115，性质（1）—（9）
其中(8)为估计定理：在，，则
(9)中值定理：如在连续，，使
利用定积分几何意义，求定积分值
上式表示介于,,,之间面积
例2、（估计积分值） 证明
证：在 上最大值为，
最小值为2
∴
∴
二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式
10变上限积分基本定理：设在连续，为上任意一点，
则是可导函数，且
即 说明为的一个原函数。
例3、已知,,
,,
,
求：
解：
例4、
例5、有极大值的点为 D
A. B. C, D,
例6、如 ,则 B
A. B. C, D.
例7、P117 例3.11
例8、设在上连续，且,
证明：
若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数证,
20定积分计算牛顿莱伯尼兹公式
<定理>设在连续。为在上的任意一个原函数，则有
定积分换元法与分部积分法
30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质
(1) 在连续，
当为偶数，则
当为奇函数，则
(2) ，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。
例9、
原式
例10、
例11、
例12、设 则
A、 B、 C、 D、
例13、 加P124 例3.18
例14、
设
法二 设 原式
例15、设为连续函数，且 求
解,设 则
两边积分
∴
(、在连续，且
求、的表达式答案： )
例16、设 ，求
解：
令
(∵)
∴
例17、设 求
解：
例18、已知在上二阶可导，且，及
求
解：原式
例19、设在连续证明：
证：右边=
例20、设 求
解：
例21、设连续，，且
求，并讨论在处连续性解： 得
令
∴
∴ 在连续即在连续
例22、试证方程 在内有且仅有一实根证：设 在连续且
由介值定理 ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根又∵ ，单增
∴根唯一
例23、设在，连续
试证：内至少一点，使
证：设
则在可导
在上满足罗尔定理条件
∴至少存在一点ζ，使
即 亦即
例24、P128例3.23 (1) (3)
例25、
例26 习题3.11
设在连续，可导，且，
证明在内，有
证：
在单调减，
故
三、定积分应用 P132
1(平面图形面积
(ⅰ)直角坐标：
P134 例3.26，例3.27
例1习题3 21
求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：
在点处，，切线方程
在点处，，切线方程
得交点
（ii）极坐标
例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点
+
2(旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，
由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积
例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为
切线方程
(切点在切线上，∴
，∴切线方程：
P141.习题3、2、29、30
1、
解：
2、习题4，(11)
解：
3、P109，例3.5，习题3，选择题
4、
5、设，则
30有理函数积分
→真分式→部分分式
部分分式：
其中：
5、
解,
令 令
∴
6、P112 例3.6 (4),(5) 7 P142 习题6 (3),(4)
40三角有理式积分
令
8、
9、
6、设的原函数恒正，且，当，有，求
解：
由 得C=1
∴
∴
定积分的概念一、定义及性质
<定义>：，
注意(1)积分区间有限，被积函数有界；
(2)与“分法”、“取法”无关；
(3)定积分的值与积分变量的选取无关
；
(4)在有界是在可积的必要条件，
在连续是在可积的充分条件。
<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。
补充规定
<性质> P115，性质（1）—（9）
其中(8)为估计定理：在，，则
(9)中值定理：如在连续，，使
利用定积分几何意义，求定积分值
上式表示介于,,,之间面积
例2、（估计积分值） 证明
证：在 上最大值为，
最小值为2
∴
∴
二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式
10变上限积分基本定理：设在连续，为上任意一点，
则是可导函数，且
即 说明为的一个原函数。
例3、已知,,
,,
,
求：
解：
例4、
例5、有极大值的点为 D
A. B. C, D,
例6、如 ,则 B
A. B. C, D.
例7、P117 例3.11
例8、设在上连续，且,
证明：
若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数证,
20定积分计算牛顿莱伯尼兹公式
<定理>设在连续。为在上的任意一个原函数，则有
定积分换元法与分部积分法
30奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质
(1) 在连续，
当为偶数，则
当为奇函数，则
(2) ，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。
例9、
原式
例10、
例11、
例12、设 则
A、 B、 C、 D、
例13、 加P124 例3.18
例14、
设
法二 设 原式
例15、设为连续函数，且 求
解,设 则
两边积分
∴
(、在连续，且
求、的表达式答案： )
例16、设 ，求
解：
令
(∵)
∴
例17、设 求
解：
例18、已知在上二阶可导，且，及
求
解：原式
例19、设在连续证明：
证：右边=
例20、设 求
解：
例21、设连续，，且
求，并讨论在处连续性解： 得
令
∴
∴ 在连续即在连续
例22、试证方程 在内有且仅有一实根证：设 在连续且
由介值定理 ，使 F(ζ)=0 即F(x)=0有根又∵ ，单增
∴根唯一
例23、设在，连续
试证：内至少一点，使
证：设
则在可导
在上满足罗尔定理条件
∴至少存在一点ζ，使
即 亦即
例24、P128例3.23 (1) (3)
例25、
例26 习题3.11
设在连续，可导，且，
证明在内，有
证：
在单调减，
故
三、定积分应用 P132
1(平面图形面积
(ⅰ)直角坐标：
P134 例3.26，例3.27
例1习题3 21
求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：
在点处，，切线方程
在点处，，切线方程
得交点
（ii）极坐标
例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点
+
2(旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，
由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积
例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为
切线方程
(切点在切线上，∴
，∴切线方程：
