4、二元函数的极值、最值
10极值定义 P208
为极大值
为极小值
驻点 极值点，需判别设,,
f
< 0
A < 0
极大值
A > 0
极小值
> 0
非极值
=0
不定
求的极值解：,,,
,
令
得驻点 ,
在,
∴ 非极值
,
∴ 为 极值点又 ∴ 为极小值
例2、求在闭区域D：，，
的最大，最小值。
解：,
令 （在D内）
在D的内部函数只有一个驻点,
在边界, 在,
在，
得：,即,为驻点
比较,,
得最大值,最小值
在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
求原点到曲线的最大距离此题即在条件下求的最小值问题
20条件极值、拉格朗日乘数法
在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件下,的极值
令 称为目标函数,为拉格朗日常数
解得的为可能的极值点
例1、求曲面到平面的最短距离解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离
∴ 设
∵ 驻点唯一 ∴
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
平面x+y-4z=1的法矢量
当∥时，即
得：,
∵ 在点处切平面平行已知平面
∴ 点到平面距离最短，
例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：
即 ,∴ 四面体体积
故令
由
得：
∵ 驻点唯一
∴ 为所求点。
例3、在第一象限内，过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：
切线与两坐标轴的截距分别为
若要使S最小，只要最大故设
由
得,
∵ 驻点唯一
∴
例4、P212 例5.32 5.33
第六章 多元函数的积分
10二重积分
1、定义 P225
2、性质 P226
其中表示平面区域D的面积
,，表D的面积
3、几何意义
,,则表示以为顶，以D为底的曲顶柱体体积。
4、二重积分在直角坐标下的计算法
设
用平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形其面积
例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。
解：首先画出积分区域D
例2、将二重积分化为累次积分，其中D为：
(1) 抛物线 及 所围成解, 交点
═
(2) 圆，， 所围
(3)，，所围，
例3、计算 , 0≤y≤1
例4、P228，例6.1，6.2，6.3
例5、，则
解：
例6、
例7、交换积分次序
例8、 P231 例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.10
5、二重积分在极坐标下计算方法
例9、计算 D：
解：
例10、 D：由，，，
所围。
解：
例11、 D由,及轴所围。
得交点
例12、P238 例6.13 6.14 6.15
例13、证明
证：
又
例14、设f(x) 在 [a,b]上连续且单调增加，试证：
证：设
∵ 单增 ∴
∴ 即
10极值定义 P208
为极大值
为极小值
驻点 极值点，需判别设,,
f
< 0
A < 0
极大值
A > 0
极小值
> 0
非极值
=0
不定
求的极值解：,,,
,
令
得驻点 ,
在,
∴ 非极值
,
∴ 为 极值点又 ∴ 为极小值
例2、求在闭区域D：，，
的最大，最小值。
解：,
令 （在D内）
在D的内部函数只有一个驻点,
在边界, 在,
在，
得：,即,为驻点
比较,,
得最大值,最小值
在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
求原点到曲线的最大距离此题即在条件下求的最小值问题
20条件极值、拉格朗日乘数法
在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件下,的极值
令 称为目标函数,为拉格朗日常数
解得的为可能的极值点
例1、求曲面到平面的最短距离解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离
∴ 设
∵ 驻点唯一 ∴
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
平面x+y-4z=1的法矢量
当∥时，即
得：,
∵ 在点处切平面平行已知平面
∴ 点到平面距离最短，
例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：
即 ,∴ 四面体体积
故令
由
得：
∵ 驻点唯一
∴ 为所求点。
例3、在第一象限内，过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：
切线与两坐标轴的截距分别为
若要使S最小，只要最大故设
由
得,
∵ 驻点唯一
∴
例4、P212 例5.32 5.33
第六章 多元函数的积分
10二重积分
1、定义 P225
2、性质 P226
其中表示平面区域D的面积
,，表D的面积
3、几何意义
,,则表示以为顶，以D为底的曲顶柱体体积。
4、二重积分在直角坐标下的计算法
设
用平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形其面积
例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。
解：首先画出积分区域D
例2、将二重积分化为累次积分，其中D为：
(1) 抛物线 及 所围成解, 交点
═
(2) 圆，， 所围
(3)，，所围，
例3、计算 , 0≤y≤1
例4、P228，例6.1，6.2，6.3
例5、，则
解：
例6、
例7、交换积分次序
例8、 P231 例6.5例6.6，6.7(1)，6.8，6.9，6.10
5、二重积分在极坐标下计算方法
例9、计算 D：
解：
例10、 D：由，，，
所围。
解：
例11、 D由,及轴所围。
得交点
例12、P238 例6.13 6.14 6.15
例13、证明
证：
又
例14、设f(x) 在 [a,b]上连续且单调增加，试证：
证：设
∵ 单增 ∴
∴ 即
