第七章 无穷级数
10常数项级数概念及性质
1、定义 P264 
称为一般项或通项 称为前n项部分和
例1、


2、定义 

如收敛，则收敛
3、几个重要极限等比级数（几何） ，当 收敛， 发散；
P级数  收敛， 发散；
当， 又称调和级数。
4、级数性质 P266
性质5是级数收敛的必要条件即 收敛 
例1、 发散，∵ 
例2、 发散，∵ 
例3、 发散，但
20正项级数判别法

正项级数部分和数列单调递增
∴ 正项级数 收敛 部分和数列有上界
1、比较判别法设，如收敛，则收敛
如发散，则发散
例、判别下列级数敛散性
（1） （2）
解（1）由于
∵发散，∴原级数发散
（2）由于，而收敛，∴原级数收敛
比较判别法的极限形式如 则有
时 ，，同时收敛，同时发散
A=0 如 收敛，则收敛
A=+∞ 如 收敛，则收敛
判别下列级数敛散性
例、
 又发散，∴原级数发散
例、（1） （2） （3）
解：（1）由
（2）
∵  收敛 ∴原级数收敛
（3）∵  ∵  发散，
∴ 发散
例、P271 例7.7 7.8
2、比判别法设正项级数的一般项满足

则当时，级数收敛，时发散，不定
3、根值法设为正项级数，如
则当时，级数收敛，时发散，不定
正项级数判别其敛散性的步骤：
首先考察
①如中含或的乘积通常选用比值法；
②如是以为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；
③如含形如（α可以不是整数）因子，通常用比较法；
④利用级数性质判别其敛散性；
⑤据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察是否有上界。
例、判别下列级数的敛散性
（1） （2） （3）设
（4） （5） 
（6）
（7） （8）
解：（1）


 收敛
（2）方法一： 收敛方法二：
∵ 收敛 ∴ 原级数收敛


 ∴级数收敛

 收敛
（3）当 发散
 发散
 为公比的等比级数 ∴ 收敛
（4）∵ 
∵  收敛，
∴ 原级数收敛
（5） ∴ 
对 ∵ 
∴  收敛，又由比较判别法知原级数收敛
（6）,由此值法知收敛
∴ 原级数收敛
3°交错级数的敛散性的判别法
如，则称为交错级数。
莱伯尼兹判别法：
如交错级数满足：
( i )  ( ii ) 
则  收敛，且和
例、判断下列级数的敛散性。
P274 例7.13
2 
解：① 
② 



∴ 收敛

解：① ∵ 
② 
∴  即 
∴ 收敛
4°绝对收敛与条件收敛
定义 P275 为任意项级数
如 收敛 称绝对收敛
如 发散  收敛 称条件收敛
定理，如 收敛 → 必收敛
例、P276 例7.17 7.18
例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛
( 1 )  ( 2 )  
解：( 1 )
∴ 原级数收敛，且绝对收敛。
解：( 2 ) 
 原级数绝对收敛
 原级数发散
 原级数为 为交错级数 收敛而  发散
∴ 条件收敛
习题七,8