II幂级数：
10定义，具有下列形式的函数项级数
称为幂级数
((令 即上述形式))
取 为常数项级数，如收敛，其和为
 为常数项级数，如收敛，其和为
 为和函数 ,,总收敛
对幂级数主要讨论两个问题
（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数幂级数的收敛域具有特别的结构定理：（i）如在 收敛，则对于满足的一切 都绝对收敛
（ii）如在发散，则对于满足的一切 发散证：（1）∵ 收敛
∴  （收敛数列必有界）
而
为几何级数，当即 收
∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛
（2）反证：如存在一点  使 收则由（1） 收，矛盾。
由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收，发，称R为收敛半径
20幂级数的收敛半径及其求法定理：如幂级数系数满足 
则（1） 
（2） 
（3） 
注意：当 的敛散性不能确定，要讨论
例1：求下列幂级数的收敛域
（1） （2）
（3） （4）
解：（1） 故
当 原级数为 为交错级数，满足
( ( ∴ 收敛当 原级数为 发
∴ 收敛域为
解（2）由于 ∴ 
故收敛域为
解（3）

∴ 
当 原级数为 发
 原级数为为交错级数满足（1）
（2）设 
，当，，
∴ 单调减,∴
故 收敛 ∴ 收敛域为[-1，1）
解（4）


令  ∴ 
当
原级数为

∴ 发散同理  级数也发散 ∴收敛域
例、P281 例7.20、7.21
20幂级数的性质 P282
求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：









在端点的敛散性与α有关。
例、P284 例7.22、7.23
例、求下列幂级数的和函数
1、 2、
解1、
R=1，x=±1，un→0，∴收敛域为（-1，1）
令
 （-1，1）
解2、
 收敛域（-∞，+∞）
令



故，
例、利用计算幂级数的和函数，求下列级数的和

解：

记： （-1，1）


∴ 
30将函数展开成幂函数
1、泰勒级数与麦克劳林级数
设函数在的某邻城内具有任意阶导数，则级数


称为在点的泰勒级数特别当，则级数

称为的麦克劳林级数
2、函数展开成泰勒级数的条件
能展开成泰勒级数：
收敛于
 在，之间
3、幂级数展开式的求法
方法1,直接法：计算 证明：
及

方法 2,间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式。
例 将下例函数展开成的幂函数
⑴  ⑵ 
⑶  ⑷ 
解⑴


 
解⑵

 
解⑶
其中
,


∴ 

（如 ,

如
 ，）
解⑷
其中


例 P291 例 7.28 7.29
例 模拟试题 习题提示
例 设有两条抛物线 和记它们交点的横坐标的绝对值为
⑴求这两条抛物线所围成的平面图形的面积
⑵求级数的和解： 得
∵ 所围平面图形对称y轴