第七章 平稳过程
7.1 定义与例子
定义7.1.1：随机过程称为严平稳过程 (strictly stationary process)若对任意及
TttX ∈),(
n Tttt
n
∈<<<L
21
，任意，随机向量h ( ))(),(
1 n
tXtXL与
()(),(
1
htXhtX
n
++L有相同的联合分布。
严平稳过程是用有限维分布定义的,故该过程可能连均值函数都不存在。 若严平稳过程还是二阶矩过程，则其均值函数 mt =)(μ 为常数，相关函数只与
_______________
)()0()()(),( tsXEXtXsEXtsR?== ts? 有关,协方差函数也仅与 有关。 ts?
定义7.1.2：随机过程称为宽平稳过程 (wide sense stationary process)若它是一个二阶矩过程且满足,
TttX ∈),(
1) 均值函数 mt =)(μ 为常数；
2) 协方差函数 或相关函数仅依赖于
[][
______________
)()(),( mtXmsXEts=Γ ]
______
)()(),( tXsEXtsR = ts?。
宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程，就是指宽平稳过程。
例7.1.1：L,2,1,0,±±=n
n
ε为零均值的方差为的独立同分布随机变量序列，令
，则是一个平稳序列。因为，
。
2
σ
∑
=
=
K
i
inin
X
1
εθ
n
X 0=
n
EX
≥
≤
=
∑
=
+
+
.,0;1),(
1
2
Km
Km
XEX
K
i
imi
mnn
θθσ
例7.1.2：设为强度)(tN λ的Poisson过程，令0),()1()( ≥?+= ttNtNtX，则是平稳过程，均值函数为
)(tX
λμ =)(t，
>?
≤
=Γ
1,0
1),1(
),(
ts
tsts
ts
λ
。
由于平稳过程的相关函数和协方差函数),( tsR ),( tsΓ只依赖与时间差，ts?
1
令ts?=τ，则相关函数和协方差函数实际上只是τ的函数，分别记为)(τR和
)(τΓ。
7.2 相关函数(协方差函数)
相关函数(协方差函数)基本性质,
1) ； 0)0( ≥R
2) ；
_______
)()( ττ RR =?
3) )0()( RR ≤τ；
4) )(τR是非负定的，即对任意，n nia
i
,,1,L=为复数及有nit
i
L,1,=
0)(
11
≥?
∑∑
==
n
j
n
i
jiji
ttRaa。
定理 7.2.1：设 为平稳过程，则以下等价,)(tX
1) 均方连续； )(tX
2) 在 处均方连续； )(tX 0=t
3) 相关函数 )(τR (或协方差函数)连续；
4) 相关函数 )(τR (或协方差函数)在 0=τ 处连续。
证明：用Schwarz不等式及注意到)()()0(2)()(
2
hRhRRtXhtXE=?+。
定理 7.2.2：设 为平稳过程,则)(tX )(tX p 次均方可微? )(τR 在 0=τ 处 次可微。若以下导数存在，有 。
p2
)()1()(
)
τ)1()()(
)((
_________
)()(
tsRRtXsEX
qpqqpqqp
=?=
++
7.3 相关函数的谱分解
定理 7.3.1,1),设L,2,1,0,±±=nX
n
为平稳序列，则相关函数 可以表示为
，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差
)(nR
∫
=
π
π
)()( wdFenR
jnw
)(wF
2
是唯一的；特别若 是实的平稳序列，则 。
n
X
∫
=
π
0
1
)(cos)( wnwdFnR
2),设 为均方连续的平稳过程∞<<?∞ ttX ),(? 相关函数 )(τR 可表示为
，其 中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差是唯一的；特别若 是实的平稳过程，则 。
∫
∞
∞?
= )()( wdFeR
wjτ
τ )(wF
n
X
∫
∞
=
0
1
)(cos)( wwdFR ττ
)(wF 称为谱函数 (spectral function)，若导数存在，即可表为
，称为功率谱密度 (power spectral density)。由Fourier
变换的知识，有
)(wF
CduufwF
w
+=
∫
∞?
)()( )(wf
定理 7.3.2：设 或)(nR )(τR 为平稳序列或过程的相关函数,
1),若 ∞<
∑
∞
∞=n
nR )(,则谱密度存在且
∑
∞
∞=
=
n
jnw
nRewf )(
2
1
)(
π；
2),若 ∞<
∫
∞
∞?
ττ dR )(,则谱密度存在且
∫
∞
∞?
= ττ
π
τ
dRewf
wj
)(
2
1
)( 。
例7.3.1：已知功率谱密度
+
=
22
2
1
1
1
1
4
1
)(
jwjw
eaae
a
wf
π
，这里
，则相关函数。故对所有的，
10,<<= rrea
jθ
0,cos)()( ≥==
∫
nnrdwwfenR
njnw
θ
π
π
n θnrnR
n
cos)( =。
例7.3.2：已知相关函数0,1,)( ≥<= naanR
n
，则功率谱密度
_______
)()( nRnR =?
2
2
1
1
2
1
)(
2
1
)(
jw
n
jnw
ea
a
nRewf
==
∑
∞
∞=
ππ
。
例7.3.3：已知功率谱密度为0,
)(
)(
22
>
+
= ρ
ρπ
ρ
w
wf，则相关函数
3
τρτ
τ
∞
∞?
==
∫
edwwfeR
wj
)()(。
例7.3.4：已知相关函数为0,)( >=
ρτ
τρ
eR，则功率谱密度
)(
)(
2
1
)(
22
w
dRewf
jw
+
==
∫
∞
∞?
ρπ
ρ
ττ
π
τ
。
7.4 平稳过程的谱分解
定理 7.4.1,1),设L,1,0),( ±=nnX 为零均值的平稳序列，则
∫
=
π
π
ξ )()( wdenX
jnw
其中 ],[),( ππξ?∈ww 为零均值的右连续的正交增量 过程，除相差一个随机变量是唯一的,且对 ππ ≤<≤?
21
ww,)()()()(
12
2
12
wFwFwwE?=?ξξ,其中即为谱函数。
)(wF
2),设 为零均值的均方连续的平稳过程，则 ∞<<?∞ ttX ),(
∫
∞
∞?
= )()( wdetX
jtw
ξ
其中 ∞<<?∞ ww),(ξ 为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量是唯一的，且对,
21
ww < )()()()(
12
2
12
wFwFwwE?=?ξξ,其中 即为 谱函数。
)(wF
7.5 各态历经性与采样定理
若过程的统计平均等于样本的时间平均，这种性质称为各态历经性
(ergodicity)，也称为遍历性。设∞<<?∞ ttX ),(为实的平稳过程，，
相关函数为
mtEX =)(
)(τR，协方差函数为)(τΓ。
定义7.5.1：若mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim，则称均值具有遍历性；若
)()()(
2
1
lim ττ RdttXtX
T
T
T
T
=+
∫
∞→
，则称相关函数具有遍历性。
4
定理 7.5.1：设 为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性，
即
∞<<?∞ ttX ),(
mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim? 谱函数 在)(wF 0=w 处连续? 协方差函数满足
0)(
2
1
lim =Γ
∫
∞→
T
T
T
d
T
ττ 。
证明：不妨设0=m，否则考虑随机过程mtX?)(，此时)()( ττ R=Γ。由于
∫
∞
∞?
= )()( wdetX
jtw
ξ
因此，
∫∫∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞
∞
∞
Φ=
== )()()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
_
wdwwddte
T
dtwde
T
dttX
T
T
T
T
jwt
T
T
jtw
T
T
ξξξ，
其中
=
≠
=Φ
0,1
0,
sin
)(
w
w
wT
wT
w
T
，。由于
=
≠
=Φ
∞→
0,1
0,0
)(lim
w
w
w
T
T
∫∫
∞
∞
Φ= )()()(
2
1
2
2
wdFwdttX
T
E
T
T
T
故
)0()0()()(lim)(
2
1
lim
2
2
FFwdFwdttX
T
E
T
T
T
T
T
+=Φ=
∫∫
∞
∞?
∞→
∞→
因此0)(
2
1
lim
2
=
∫
∞→
T
T
T
dttX
T
E? )(wF在0=w处连续。
由于,
∫
∞
∞?
==Γ )()()( wdFeR
wjτ
ττ
∫∫∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞
∞
∞
Φ=
==Γ )()()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
_
wdFwwdFdte
T
dtwdFe
T
d
T
T
T
T
jwt
T
T
jtw
T
T
ττ
故
)0()0()()(lim)(
2
1
lim FFwdFwd
T
T
T
T
T
T
+=Φ=Γ
∫∫
∞
∞?
∞→
∞→
ττ
因此0)(
2
1
lim =Γ
∫
∞→
T
T
T
d
T
ττ? )(wF在0=w处连续。
5
定理 7.5.2：设 为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性，
即
∞<<?∞ ttX ),(
mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim? 0)(
2
1
1
lim
2
0
=Γ
∫
∞→
T
T
d
TT
ττ
τ
。
证明,
[][]
dsdtts
T
dsdtmtXmsXE
T
mdttX
T
E
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
∫∫
∫∫∫
Γ=
=?
)(
4
1
)()(
4
1
)(
2
1
2
2
2
令,tsvtsu +=?=,
∫∫
∫∫∫∫∫
Γ
=?Γ=
Γ=Γ=?
TT
T
uT
uT
T
T
T
T
duu
T
u
T
duuTu
T
dvduu
T
dudvu
T
mdttX
T
E
2
0
2
2
2
2
)2(
2
2
22
2
)(
2
1
1
)2)((
4
1
)(
8
1
)(
2
1
4
1
)(
2
1
因此mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim? 0)(
2
1
1
lim
2
0
=Γ
∫
∞→
T
T
d
TT
ττ
τ
。
类似的令)()()( tXtXtY τ+=，考虑的均值遍历就可以得到相关函数的遍历性定理。
)(tY )(tX
定理 7.5.3：相关函数具有遍历性? []0)()(
2
1
1
lim
2
0
2
=?
∫
∞→
T
T
duRuB
T
u
T
τ,其中
)()()()()( tXtXutXutEXuB ττ ++++= 。
(由于上式涉及到4阶矩，一般很难验证，往往对还是正态过程时可以算出。) )(tX
例7.5.1：)sin()( θ+= wtAtX，θ为],[ ππ?上的均匀分布，则为零均值平稳过程，协方差函数，由于
)(tX
ττ wA cos)(
2
=Γ 0
sin
lim)(
2
1
lim
2
==Γ
∞→
∞→
∫
wT
wTA
d
T
T
T
T
T
ττ，
故均值具有遍历性。
在对随时间连续变化的信号分析处理时，一般是获得一些离散的采样值。例如每隔定长时间?对进行观测，获得在)(tX )(tX?= kt的数值。若采样点过密，增加处理难度且一般花费大；过稀又可能失真，误差大。因此要选择合适
)(?kX
6
的间隔。
定理 7.5.4：( Sampling Theorem)设 ∞<<?∞ ttX ),( 为实的均方连续的平稳过程，
若谱函数 满足)(wF 0)(
2
=
∫
≥ Bw
wdF
π
,设
B2
1
=?,则
∑
∞
∞=
=
k
kt
kt
kXtX
)(
)(sin
)()(
π
π
。
证明：由谱分解
∫
<
=
Bw
jwt
wdetX
π
ξ
2
)()(
考虑的Fourier变换
jwt
e
∑
∞
∞=n
B
w
jn
n
jwt
eae
2
~,其中
)(
)(sin
4
1
2
2
2
==
∫
nt
nt
dwee
B
a
B
B
B
w
jn
jwt
n
π
π
π
π
π
。因此由Fourier级数理论
2
2
2
2
2
)(lim)(lim0
∑
∫
∑
=
∞→
<
=
∞→
=?=
N
Nn
n
N
Bw
N
Nn
B
w
jn
n
jwt
N
B
n
XatXEwdFeae
π
这表明
∑
∞
∞=
=
n
nt
nt
nXtX
)(
)(sin
)()(
π
π
。
采样定理表明，当采样时间间隔
B2
1
≤? ( B为最高频率)时，采样值可以准确恢复。 )(tX
7.6 线性时不变系统中的平稳过程
所谓系统，就是对于任何输入，按照一定规则产生输出的装置。
定义7.6.1：设系统输入，输出L )(tx )()( tLxty =。若对任何输入及任意
)(),(
21
txtx
βα,，输出[] )()()()(
2121
tLxtLxtxtxL βαβα +=+，则称系统为一个 线性系统
(linear system)；若对任意
L
τ，)()( ττ +=+ tytLx，则称系统为一个时不变系统
(time-invariant system)。
L
引理 7.6.1：设 为一个线性时不变系统，若输入,则输出
，其中
L
jwt
etx =)(
jwtjwt
ewHLety )()( == )0()(
0
yLewH
t
jwt
==
=
。
7
证明：对任意固定的τ，。令，
，由
)()(
)(
tyeLeeLety
jwjwtjwtjw τττ
τ ===+
+
0=t
ττ
τ
jwjw
ewHyey )()0()( == τ的任意性即得。
jwt
ewHty )()( =
设
)(
)()(
wj
ewHwH
θ
=，则)(wH表征系统的振幅 (amplitude)特性，)(wθ表征系统的相位 (phase)特性，称为频率响应 (frequency response)。设输入为平方可积函数，即
)(wH )(tx
∞<
∫
∞
∞?
dttx
2
)(，则
∫
∞
∞?
= dwewXtx
jwt
)(
2
1
)(
π
其中为的Fourier变换，称为的频谱 (frequency
spectral)。将表为
∫
∞
∞?
= dtetxwX
jwt
)()( )(tx )(tx
)(tx
∑
=
k
k
tjw
k
wewXtx
k
)(
2
1
lim)(
π
，若为一个连续的线性时不变系统，则
L
∫
∑
∑∑
∞
∞?
=?=
=?==
dwewHwXwewHwX
wLewXwewXLtLxty
jwt
k
k
tjw
kk
k
k
tjw
k
k
k
tjw
k
k
kk
)()(
2
1
)()(
2
1
lim
)(
2
1
lim)(
2
1
lim)()(
ππ
ππ
由于
∫
∞
∞?
= dwewYty
jwt
)(
2
1
)(
π
，其中为的频谱。故有频谱关系
∫
∞
∞?
= dtetywY
jwt
)()( )(ty
)()()( wHwXwY =
若∞<
∫
∞
∞?
dwwH
2
)(，则由Fourier分析
∫
∞
∞?
= dwewHth
jwt
)(
2
1
)(
π
，
。则
∫
∞
∞?
= dtethwH
jwt
)()(
∫∫∫
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
===
dssthsxdsdtewHsx
dtewHdsesxdtewHwXdtewYty
stjw
jwtjwsjwtjwt
)()()(
2
1
)(
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
)(
)(
π
πππ
8
特别当输入为脉冲时，即)()( ttx δ=，输出)()( thty =，称为冲激响应 (impulse
response)。
)(th
例7.6.1：设输入输出满足差分方程，则频率响应为
∑∑
==
=?
m
l
l
n
k
k
ltxaktyb
00
)()(
∑
∑
=
=
=
n
k
jkw
k
m
l
jlw
l
eb
ea
wH
0
0
)(。
例7.6.2：设输入输出满足微分方程，则频率响应为
∑∑
==
=
m
l
l
l
n
k
k
k
txatyb
0
)(
0
)(
)()(
∑
∑
=
=
=
n
k
k
k
m
l
l
l
jwb
jwa
wH
0
0
)(
)(
)(。
现在考虑输入为一个零均值的均方连续的平稳随机过程，由谱分解，写成均方极限形式
∞<<?∞ ttX ),(
∫
∞
∞?
= )()( wdetX
X
jtw
ξ
∑
=
k
kX
jtw
wetX
k
)(lim)( ξ，因此当为一个连续的线性时不变系统时,L
∫
∑
∑∑
∞
∞?
=?=
=?==
)()()()(lim
)(lim)(lim)()(
wdewHwewH
wLeweLtLXtY
X
jtw
k
kX
jtw
k
k
kX
jtw
k
kX
jtw
k
kk
ξξ
ξξ
这表明输出仍为零均值的均方连续的平稳过程。设本身的谱分解为
，因此。设的谱函数为，
则
)(tY )(tY
∫
∞
∞?
= )()( wdetY
Y
jtw
ξ ξξξ +=
∫
∞?
w
XY
uduHw )()()( )(tX )(wF
X
∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
==
)()(
)()()()()0()()(
2
______________________
______
wdFewH
wdwHwdewHEYEYR
X
wjτ
XX
wjτ
Y
ξξττ
设)(τ
Y
R本身的谱分解为，其中为的谱函数，因
∫
∞
∞?
= )()( wdFeR
Y
wjτ
Y
τ )(wF
Y
)(tY
9
此有CudFuHwF
w
XY
+=
∫
∞?
)()()(
2
。特别若的谱密度存在，则的谱密度存在且
)(tX )(wf
X
)(tY
)(wf
Y
)()()(
2
wfwHwf
XY
=
例7.6.3：设输入输出满足)()()( tXtYtY =+′，现输入为零均值的平稳过程
，其相关函数为∞<<?∞ ttX ),(,)(
2 τ
τ
= eR
X
，求输出过程的相关函数)(tY
)(τ
Y
R。
由的相关函数可得谱密度为)(tX
2
4
12
)(
w
wf
+
=
π
，由系统输入输出关系的频率响应
jw
wH
+
=
1
1
)(，故输出的谱密度为 )(tY
)1)(4(
12
)()()(
22
2
ww
wfwHwf
XY
++
==
π
所以
0),2(
3
1
)()(
2
≥?==
∞
∞?
∫
ττ
ττ
Y
wjτ
Y
eedwwfeR
7.7 平稳相关和互谱函数
当研究系统的随机输入输出时，要考虑两个平稳过程，研究它们的相互关系。
定义7.7.1：平稳过程∞<<?∞ ttX ),(与平稳过程∞<<?∞ ttY ),(称为平稳相关的，
如果对任意有。 h tstYsEXhtYhsEX,,)()()()(
________________
=++
当两个平稳随机过程平稳相关时，它们互相关函数依赖于时间差，用
)(),( tYtX
)()()(),(
______
tsRtYsEXtsR
XYXY
== )(τ
XY
R表示互相关函数。互相关函数也有谱分解，特别当绝对连续即可导时，
，这里称为与的互谱函数，称为互谱密度。(此时互谱函数，互谱密度不一定为实函数)
∫
∞
∞?
= )()( wdFeR
XY
wjτ
XY
τ )(wF
XY
∫
∞
∞?
= dwwfeR
XY
wjτ
XY
)()(τ )(wF
XY
)(tX )(tY )(wf
XY
10
设为一个连续的线性时不变系统，输入为零均值的均方连续的平稳过程，输出，因此
L )(tX
∫
∞
∞?
= )()()( wdewHtY
X
jtw
ξ
∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
+
=
=+
)()(
)()()()()(
_____________________
)(
______
wdFewH
wdewdewHEsXsEY
X
wjτ
X
jsw
X
wsτj
ξξτ
这表明与是平稳相关的。若有谱密度，则与的互谱密度为
)(tY )(tX )(tX )(wf
X
)(tY )(tX
)()()( wfwHwf
XYX
=。
11
7.1 定义与例子
定义7.1.1：随机过程称为严平稳过程 (strictly stationary process)若对任意及
TttX ∈),(
n Tttt
n
∈<<<L
21
，任意，随机向量h ( ))(),(
1 n
tXtXL与
()(),(
1
htXhtX
n
++L有相同的联合分布。
严平稳过程是用有限维分布定义的,故该过程可能连均值函数都不存在。 若严平稳过程还是二阶矩过程，则其均值函数 mt =)(μ 为常数，相关函数只与
_______________
)()0()()(),( tsXEXtXsEXtsR?== ts? 有关,协方差函数也仅与 有关。 ts?
定义7.1.2：随机过程称为宽平稳过程 (wide sense stationary process)若它是一个二阶矩过程且满足,
TttX ∈),(
1) 均值函数 mt =)(μ 为常数；
2) 协方差函数 或相关函数仅依赖于
[][
______________
)()(),( mtXmsXEts=Γ ]
______
)()(),( tXsEXtsR = ts?。
宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程，就是指宽平稳过程。
例7.1.1：L,2,1,0,±±=n
n
ε为零均值的方差为的独立同分布随机变量序列，令
，则是一个平稳序列。因为，
。
2
σ
∑
=
=
K
i
inin
X
1
εθ
n
X 0=
n
EX
≥
≤
=
∑
=
+
+
.,0;1),(
1
2
Km
Km
XEX
K
i
imi
mnn
θθσ
例7.1.2：设为强度)(tN λ的Poisson过程，令0),()1()( ≥?+= ttNtNtX，则是平稳过程，均值函数为
)(tX
λμ =)(t，
>?
≤
=Γ
1,0
1),1(
),(
ts
tsts
ts
λ
。
由于平稳过程的相关函数和协方差函数),( tsR ),( tsΓ只依赖与时间差，ts?
1
令ts?=τ，则相关函数和协方差函数实际上只是τ的函数，分别记为)(τR和
)(τΓ。
7.2 相关函数(协方差函数)
相关函数(协方差函数)基本性质,
1) ； 0)0( ≥R
2) ；
_______
)()( ττ RR =?
3) )0()( RR ≤τ；
4) )(τR是非负定的，即对任意，n nia
i
,,1,L=为复数及有nit
i
L,1,=
0)(
11
≥?
∑∑
==
n
j
n
i
jiji
ttRaa。
定理 7.2.1：设 为平稳过程，则以下等价,)(tX
1) 均方连续； )(tX
2) 在 处均方连续； )(tX 0=t
3) 相关函数 )(τR (或协方差函数)连续；
4) 相关函数 )(τR (或协方差函数)在 0=τ 处连续。
证明：用Schwarz不等式及注意到)()()0(2)()(
2
hRhRRtXhtXE=?+。
定理 7.2.2：设 为平稳过程,则)(tX )(tX p 次均方可微? )(τR 在 0=τ 处 次可微。若以下导数存在，有 。
p2
)()1()(
)
τ)1()()(
)((
_________
)()(
tsRRtXsEX
qpqqpqqp
=?=
++
7.3 相关函数的谱分解
定理 7.3.1,1),设L,2,1,0,±±=nX
n
为平稳序列，则相关函数 可以表示为
，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差
)(nR
∫
=
π
π
)()( wdFenR
jnw
)(wF
2
是唯一的；特别若 是实的平稳序列，则 。
n
X
∫
=
π
0
1
)(cos)( wnwdFnR
2),设 为均方连续的平稳过程∞<<?∞ ttX ),(? 相关函数 )(τR 可表示为
，其 中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差是唯一的；特别若 是实的平稳过程，则 。
∫
∞
∞?
= )()( wdFeR
wjτ
τ )(wF
n
X
∫
∞
=
0
1
)(cos)( wwdFR ττ
)(wF 称为谱函数 (spectral function)，若导数存在，即可表为
，称为功率谱密度 (power spectral density)。由Fourier
变换的知识，有
)(wF
CduufwF
w
+=
∫
∞?
)()( )(wf
定理 7.3.2：设 或)(nR )(τR 为平稳序列或过程的相关函数,
1),若 ∞<
∑
∞
∞=n
nR )(,则谱密度存在且
∑
∞
∞=
=
n
jnw
nRewf )(
2
1
)(
π；
2),若 ∞<
∫
∞
∞?
ττ dR )(,则谱密度存在且
∫
∞
∞?
= ττ
π
τ
dRewf
wj
)(
2
1
)( 。
例7.3.1：已知功率谱密度
+
=
22
2
1
1
1
1
4
1
)(
jwjw
eaae
a
wf
π
，这里
，则相关函数。故对所有的，
10,<<= rrea
jθ
0,cos)()( ≥==
∫
nnrdwwfenR
njnw
θ
π
π
n θnrnR
n
cos)( =。
例7.3.2：已知相关函数0,1,)( ≥<= naanR
n
，则功率谱密度
_______
)()( nRnR =?
2
2
1
1
2
1
)(
2
1
)(
jw
n
jnw
ea
a
nRewf
==
∑
∞
∞=
ππ
。
例7.3.3：已知功率谱密度为0,
)(
)(
22
>
+
= ρ
ρπ
ρ
w
wf，则相关函数
3
τρτ
τ
∞
∞?
==
∫
edwwfeR
wj
)()(。
例7.3.4：已知相关函数为0,)( >=
ρτ
τρ
eR，则功率谱密度
)(
)(
2
1
)(
22
w
dRewf
jw
+
==
∫
∞
∞?
ρπ
ρ
ττ
π
τ
。
7.4 平稳过程的谱分解
定理 7.4.1,1),设L,1,0),( ±=nnX 为零均值的平稳序列，则
∫
=
π
π
ξ )()( wdenX
jnw
其中 ],[),( ππξ?∈ww 为零均值的右连续的正交增量 过程，除相差一个随机变量是唯一的,且对 ππ ≤<≤?
21
ww,)()()()(
12
2
12
wFwFwwE?=?ξξ,其中即为谱函数。
)(wF
2),设 为零均值的均方连续的平稳过程，则 ∞<<?∞ ttX ),(
∫
∞
∞?
= )()( wdetX
jtw
ξ
其中 ∞<<?∞ ww),(ξ 为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量是唯一的，且对,
21
ww < )()()()(
12
2
12
wFwFwwE?=?ξξ,其中 即为 谱函数。
)(wF
7.5 各态历经性与采样定理
若过程的统计平均等于样本的时间平均，这种性质称为各态历经性
(ergodicity)，也称为遍历性。设∞<<?∞ ttX ),(为实的平稳过程，，
相关函数为
mtEX =)(
)(τR，协方差函数为)(τΓ。
定义7.5.1：若mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim，则称均值具有遍历性；若
)()()(
2
1
lim ττ RdttXtX
T
T
T
T
=+
∫
∞→
，则称相关函数具有遍历性。
4
定理 7.5.1：设 为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性，
即
∞<<?∞ ttX ),(
mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim? 谱函数 在)(wF 0=w 处连续? 协方差函数满足
0)(
2
1
lim =Γ
∫
∞→
T
T
T
d
T
ττ 。
证明：不妨设0=m，否则考虑随机过程mtX?)(，此时)()( ττ R=Γ。由于
∫
∞
∞?
= )()( wdetX
jtw
ξ
因此，
∫∫∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞
∞
∞
Φ=
== )()()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
_
wdwwddte
T
dtwde
T
dttX
T
T
T
T
jwt
T
T
jtw
T
T
ξξξ，
其中
=
≠
=Φ
0,1
0,
sin
)(
w
w
wT
wT
w
T
，。由于
=
≠
=Φ
∞→
0,1
0,0
)(lim
w
w
w
T
T
∫∫
∞
∞
Φ= )()()(
2
1
2
2
wdFwdttX
T
E
T
T
T
故
)0()0()()(lim)(
2
1
lim
2
2
FFwdFwdttX
T
E
T
T
T
T
T
+=Φ=
∫∫
∞
∞?
∞→
∞→
因此0)(
2
1
lim
2
=
∫
∞→
T
T
T
dttX
T
E? )(wF在0=w处连续。
由于,
∫
∞
∞?
==Γ )()()( wdFeR
wjτ
ττ
∫∫∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞
∞
∞
Φ=
==Γ )()()(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
_
wdFwwdFdte
T
dtwdFe
T
d
T
T
T
T
jwt
T
T
jtw
T
T
ττ
故
)0()0()()(lim)(
2
1
lim FFwdFwd
T
T
T
T
T
T
+=Φ=Γ
∫∫
∞
∞?
∞→
∞→
ττ
因此0)(
2
1
lim =Γ
∫
∞→
T
T
T
d
T
ττ? )(wF在0=w处连续。
5
定理 7.5.2：设 为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性，
即
∞<<?∞ ttX ),(
mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim? 0)(
2
1
1
lim
2
0
=Γ
∫
∞→
T
T
d
TT
ττ
τ
。
证明,
[][]
dsdtts
T
dsdtmtXmsXE
T
mdttX
T
E
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
∫∫
∫∫∫
Γ=
=?
)(
4
1
)()(
4
1
)(
2
1
2
2
2
令,tsvtsu +=?=,
∫∫
∫∫∫∫∫
Γ
=?Γ=
Γ=Γ=?
TT
T
uT
uT
T
T
T
T
duu
T
u
T
duuTu
T
dvduu
T
dudvu
T
mdttX
T
E
2
0
2
2
2
2
)2(
2
2
22
2
)(
2
1
1
)2)((
4
1
)(
8
1
)(
2
1
4
1
)(
2
1
因此mdttX
T
T
T
T
=
∫
∞→
)(
2
1
lim? 0)(
2
1
1
lim
2
0
=Γ
∫
∞→
T
T
d
TT
ττ
τ
。
类似的令)()()( tXtXtY τ+=，考虑的均值遍历就可以得到相关函数的遍历性定理。
)(tY )(tX
定理 7.5.3：相关函数具有遍历性? []0)()(
2
1
1
lim
2
0
2
=?
∫
∞→
T
T
duRuB
T
u
T
τ,其中
)()()()()( tXtXutXutEXuB ττ ++++= 。
(由于上式涉及到4阶矩，一般很难验证，往往对还是正态过程时可以算出。) )(tX
例7.5.1：)sin()( θ+= wtAtX，θ为],[ ππ?上的均匀分布，则为零均值平稳过程，协方差函数，由于
)(tX
ττ wA cos)(
2
=Γ 0
sin
lim)(
2
1
lim
2
==Γ
∞→
∞→
∫
wT
wTA
d
T
T
T
T
T
ττ，
故均值具有遍历性。
在对随时间连续变化的信号分析处理时，一般是获得一些离散的采样值。例如每隔定长时间?对进行观测，获得在)(tX )(tX?= kt的数值。若采样点过密，增加处理难度且一般花费大；过稀又可能失真，误差大。因此要选择合适
)(?kX
6
的间隔。
定理 7.5.4：( Sampling Theorem)设 ∞<<?∞ ttX ),( 为实的均方连续的平稳过程，
若谱函数 满足)(wF 0)(
2
=
∫
≥ Bw
wdF
π
,设
B2
1
=?,则
∑
∞
∞=
=
k
kt
kt
kXtX
)(
)(sin
)()(
π
π
。
证明：由谱分解
∫
<
=
Bw
jwt
wdetX
π
ξ
2
)()(
考虑的Fourier变换
jwt
e
∑
∞
∞=n
B
w
jn
n
jwt
eae
2
~,其中
)(
)(sin
4
1
2
2
2
==
∫
nt
nt
dwee
B
a
B
B
B
w
jn
jwt
n
π
π
π
π
π
。因此由Fourier级数理论
2
2
2
2
2
)(lim)(lim0
∑
∫
∑
=
∞→
<
=
∞→
=?=
N
Nn
n
N
Bw
N
Nn
B
w
jn
n
jwt
N
B
n
XatXEwdFeae
π
这表明
∑
∞
∞=
=
n
nt
nt
nXtX
)(
)(sin
)()(
π
π
。
采样定理表明，当采样时间间隔
B2
1
≤? ( B为最高频率)时，采样值可以准确恢复。 )(tX
7.6 线性时不变系统中的平稳过程
所谓系统，就是对于任何输入，按照一定规则产生输出的装置。
定义7.6.1：设系统输入，输出L )(tx )()( tLxty =。若对任何输入及任意
)(),(
21
txtx
βα,，输出[] )()()()(
2121
tLxtLxtxtxL βαβα +=+，则称系统为一个 线性系统
(linear system)；若对任意
L
τ，)()( ττ +=+ tytLx，则称系统为一个时不变系统
(time-invariant system)。
L
引理 7.6.1：设 为一个线性时不变系统，若输入,则输出
，其中
L
jwt
etx =)(
jwtjwt
ewHLety )()( == )0()(
0
yLewH
t
jwt
==
=
。
7
证明：对任意固定的τ，。令，
，由
)()(
)(
tyeLeeLety
jwjwtjwtjw τττ
τ ===+
+
0=t
ττ
τ
jwjw
ewHyey )()0()( == τ的任意性即得。
jwt
ewHty )()( =
设
)(
)()(
wj
ewHwH
θ
=，则)(wH表征系统的振幅 (amplitude)特性，)(wθ表征系统的相位 (phase)特性，称为频率响应 (frequency response)。设输入为平方可积函数，即
)(wH )(tx
∞<
∫
∞
∞?
dttx
2
)(，则
∫
∞
∞?
= dwewXtx
jwt
)(
2
1
)(
π
其中为的Fourier变换，称为的频谱 (frequency
spectral)。将表为
∫
∞
∞?
= dtetxwX
jwt
)()( )(tx )(tx
)(tx
∑
=
k
k
tjw
k
wewXtx
k
)(
2
1
lim)(
π
，若为一个连续的线性时不变系统，则
L
∫
∑
∑∑
∞
∞?
=?=
=?==
dwewHwXwewHwX
wLewXwewXLtLxty
jwt
k
k
tjw
kk
k
k
tjw
k
k
k
tjw
k
k
kk
)()(
2
1
)()(
2
1
lim
)(
2
1
lim)(
2
1
lim)()(
ππ
ππ
由于
∫
∞
∞?
= dwewYty
jwt
)(
2
1
)(
π
，其中为的频谱。故有频谱关系
∫
∞
∞?
= dtetywY
jwt
)()( )(ty
)()()( wHwXwY =
若∞<
∫
∞
∞?
dwwH
2
)(，则由Fourier分析
∫
∞
∞?
= dwewHth
jwt
)(
2
1
)(
π
，
。则
∫
∞
∞?
= dtethwH
jwt
)()(
∫∫∫
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
=
===
dssthsxdsdtewHsx
dtewHdsesxdtewHwXdtewYty
stjw
jwtjwsjwtjwt
)()()(
2
1
)(
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
2
1
)(
)(
π
πππ
8
特别当输入为脉冲时，即)()( ttx δ=，输出)()( thty =，称为冲激响应 (impulse
response)。
)(th
例7.6.1：设输入输出满足差分方程，则频率响应为
∑∑
==
=?
m
l
l
n
k
k
ltxaktyb
00
)()(
∑
∑
=
=
=
n
k
jkw
k
m
l
jlw
l
eb
ea
wH
0
0
)(。
例7.6.2：设输入输出满足微分方程，则频率响应为
∑∑
==
=
m
l
l
l
n
k
k
k
txatyb
0
)(
0
)(
)()(
∑
∑
=
=
=
n
k
k
k
m
l
l
l
jwb
jwa
wH
0
0
)(
)(
)(。
现在考虑输入为一个零均值的均方连续的平稳随机过程，由谱分解，写成均方极限形式
∞<<?∞ ttX ),(
∫
∞
∞?
= )()( wdetX
X
jtw
ξ
∑
=
k
kX
jtw
wetX
k
)(lim)( ξ，因此当为一个连续的线性时不变系统时,L
∫
∑
∑∑
∞
∞?
=?=
=?==
)()()()(lim
)(lim)(lim)()(
wdewHwewH
wLeweLtLXtY
X
jtw
k
kX
jtw
k
k
kX
jtw
k
kX
jtw
k
kk
ξξ
ξξ
这表明输出仍为零均值的均方连续的平稳过程。设本身的谱分解为
，因此。设的谱函数为，
则
)(tY )(tY
∫
∞
∞?
= )()( wdetY
Y
jtw
ξ ξξξ +=
∫
∞?
w
XY
uduHw )()()( )(tX )(wF
X
∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
=
==
)()(
)()()()()0()()(
2
______________________
______
wdFewH
wdwHwdewHEYEYR
X
wjτ
XX
wjτ
Y
ξξττ
设)(τ
Y
R本身的谱分解为，其中为的谱函数，因
∫
∞
∞?
= )()( wdFeR
Y
wjτ
Y
τ )(wF
Y
)(tY
9
此有CudFuHwF
w
XY
+=
∫
∞?
)()()(
2
。特别若的谱密度存在，则的谱密度存在且
)(tX )(wf
X
)(tY
)(wf
Y
)()()(
2
wfwHwf
XY
=
例7.6.3：设输入输出满足)()()( tXtYtY =+′，现输入为零均值的平稳过程
，其相关函数为∞<<?∞ ttX ),(,)(
2 τ
τ
= eR
X
，求输出过程的相关函数)(tY
)(τ
Y
R。
由的相关函数可得谱密度为)(tX
2
4
12
)(
w
wf
+
=
π
，由系统输入输出关系的频率响应
jw
wH
+
=
1
1
)(，故输出的谱密度为 )(tY
)1)(4(
12
)()()(
22
2
ww
wfwHwf
XY
++
==
π
所以
0),2(
3
1
)()(
2
≥?==
∞
∞?
∫
ττ
ττ
Y
wjτ
Y
eedwwfeR
7.7 平稳相关和互谱函数
当研究系统的随机输入输出时，要考虑两个平稳过程，研究它们的相互关系。
定义7.7.1：平稳过程∞<<?∞ ttX ),(与平稳过程∞<<?∞ ttY ),(称为平稳相关的，
如果对任意有。 h tstYsEXhtYhsEX,,)()()()(
________________
=++
当两个平稳随机过程平稳相关时，它们互相关函数依赖于时间差，用
)(),( tYtX
)()()(),(
______
tsRtYsEXtsR
XYXY
== )(τ
XY
R表示互相关函数。互相关函数也有谱分解，特别当绝对连续即可导时，
，这里称为与的互谱函数，称为互谱密度。(此时互谱函数，互谱密度不一定为实函数)
∫
∞
∞?
= )()( wdFeR
XY
wjτ
XY
τ )(wF
XY
∫
∞
∞?
= dwwfeR
XY
wjτ
XY
)()(τ )(wF
XY
)(tX )(tY )(wf
XY
10
设为一个连续的线性时不变系统，输入为零均值的均方连续的平稳过程，输出，因此
L )(tX
∫
∞
∞?
= )()()( wdewHtY
X
jtw
ξ
∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
+
=
=+
)()(
)()()()()(
_____________________
)(
______
wdFewH
wdewdewHEsXsEY
X
wjτ
X
jsw
X
wsτj
ξξτ
这表明与是平稳相关的。若有谱密度，则与的互谱密度为
)(tY )(tX )(tX )(wf
X
)(tY )(tX
)()()( wfwHwf
XYX
=。
11
