第八章 Gauss 过程与 Brown 运动
8.1 多维正态分布
设 X 是 维随机变量，称n X 服从 n 维正态分布,如果它的特征函数为
}
2
1
exp{)( ttjtt
TT
Σ?= μ?,并记为 ),(~ ΣμNX 。 易知,Σ== )(,XVarEX μ 。如果 0≠Σ,则 X 的分布密度为 ()
Σ
Σ
=
)()(
2
1
exp
)2(
1
1
2
1
2
μμ
π
xxxf
T
n
。
定理 8.1.1：多元正态分布随机变量的边际分布仍然是正态分布。
定理 8.1.2,),(~ ΣμNX 为 维正态分布n? 对任意 n 维向量 t,
。 ),(~ tttNXt
TTT
Σμ
定理 8.1.3,),(~ ΣμNX 为 维正态分布，n AXY =,其中 为常值矩阵，则
。
nm
A
×
),(~
T
AAANY Σμ
定理 8.1.4,随机变量
21
,ξξ 的联合分布是正态分布,则
21
,ξξ 相互独立等价于
21
,ξξ
不相关。
例 8.1.1,若
4321
,,,ξξξξ 的联合分布为零均值的正态分布，则
3241423143214321
ξξξξξξξξξξξξξξξξ EEEEEEE ++= 。
证明：设其特征函数为
)
2
1
exp()
2
1
exp(
)'
2
1
exp()exp(),,,(
4
1
4
1,
,
4
1
4321
∑∑
∑
==
=
=?=
Σ?==
k
kk
lk
llkk
k
kk
uttt
tttjEtttt
σ
ξ?
（设 ） 。
∑
=
=
4
1l
lklk
tu σ
1
()
() ()
43211114321
4
1
114321
1
,,,)](
2
1
[,,,
)](
2
1
[,,,
ttttuuutttt
tutttt
t
k
kk
σ?
=+?=
+?=
∑
=
()()
()()
432121432112
4321214321
2
1
12
2
,,,,,,
,,,,,,
ttttuutttt
ttttuutttt
t
u
tt
σ
+?=
+
=
()()()
() ),,,(),,,()(,,,
,,,,,,,,,
432132143211232134321123
43213214321
3
21
4321123
123
3
ttttuuuttttuuttttu
ttttuuutttt
t
uu
ttttu
ttt
σσ?σ
σ
++=
+=
=
kl
l
k
t
u
σ 。
() ()
() ()
() ()
() ()
() ()
() ()
432143214321213431243214
43214123213432114232413
4321431243213412
432143214321
4
321
43214232134321
4
1
23
4
2
12
43211243432112
4
3
1234
4
,,,,,,)(
,,,)(,,,)(
,,,,,,
,,,,,,
,,,)(,,,][
,,,,,,
1
ttttuuuuttttuuuuuu
ttttuuutttt
ttttuutttt
ttttuuuutttt
t
uuu
ttttuutttt
t
u
t
u
ttttuutttt
t
u
tttt
u
σσσ
σσ?σσσσ
σ?σσ
σσ?σσ
σ?σ
+++?
+?++
=
+
+?
+
+
=
从而
1423241334120
4321
4
4321
| σσσσσσ
ξξξξ ++=
=
=t
tttt
E
klt
kl
lk
tt
E σ
ξξ?=
=
=0
2
|,4,1 ≤≤ lk
因此
4132423143214321
ξξξξξξξξξξξξξξξξ EEEEEEE ++= 。
定理 8.1.5,设 。 则给定 时的条件分布是
0,),,(~
2221
1211
2
1
2
1
>
=
=
=
VV
VV
VVN
Y
Y
Y
p
q
μ
μ
μμ 其中
2
Y
1
Y p 维正态分布，并且条件期望和方差分别为,
() ( )
21
1
2212112122
1
2212121
|),(| VVVVYYVarYVVYYE
=?+= μμ 。
2
证明：定义,则 是正态分布，
且,这表明是独立的，因此给定,的条件分布是
==
=
2
2
1
22121
2
1
1
2212
0
Y
YVVY
By
Y
Y
I
VVI
v
u
q
p
v
u
==
=
22
21
1
221211
2
2
1
22121
0
0
')(,
V
VVVV
ByBVar
v
u
Var
VV
v
u
E
μ
μμ
22
1
22121
YYVVY 和
2
Y
1
Y p 维正态分布。
()( ) ( ) )(|||
22
1
221212122
1
22122
1
2212121
μμ?+==+?=
YVVYYEYYVVYVVYEYYE
()( ) ( )
21
1
22121122
1
2212122
1
22122
1
2212121
||| VVVVYYVVYVarYYVVYVVYVarYYVar
=?=+?=
8.2 Gauss 过程
定义 8.2.1：随机过程 TttX ∈),( 称为 Gauss 过程,如果对于任意的,
，随机向量
n
Tttt
n
∈L,,
21
() ( ) ( )
T
n
tXtXtX L,,
21
为 维正态分布，即其特征函数为
n
() ()
kl
n
l
n
k
kl
n
l
llnttt
ttuutujuu
n
,
2
1
)(exp,,
111
1,,
21
Γ?=
∑∑∑
===
μ? L
L
其中 () )(tEXt =μ,() ( ))(),(cov,tXsXts =Γ 。
引理 8.2.1,是 维实正态随机序列,如 果()
T
n
k
nn
XXX
)()(
1
)(
,,L= k
)(n
X 均方收敛于
X,即 均方收敛于
)(n
i
X kiX
i
≤≤1,，那么 X 是 维正态随机向量。 k
证明：令 ()(),,,,,,
1
)()(
1
)()( T
k
T
n
k
nnn
EXEX μμμμμμ LL ====
( )
Tnnnn
kk
n
ij
n
XXE ))((
)()()()()()(
μμσ==Σ
×
,( )
T
kk
ij
XXE ))(( μμσ==Σ
×
,
由
)(n
X 均方收敛于 X 知,从而kli
il
n
ill
n
l
n
≤≤==
∞→
,1,lim,lim
)(
σσμμ
() }
2
1
exp{}
2
1
exp{
)()(
uujuuujuu
TTnTnT
n
Σ?→Σ?= μμ?,因为
( )uuuXX
n
n
n
n
),()(lim,lim
)(
==
∞→∞→
是 X 的特征函数，故
() }
2
1
exp{ uujuu
TT
Σ?= μ?,从而 X 是 维正态随机向量。 k
3
定理 8.2.1,设 是均方可微的 Gauss过程,那么 也是 Gauss
过程。
}),({ TttX ∈ }),('{ TttX ∈
推论 8.2.1,设 是 Gauss 过程，)(tX ),())(),(cov(),()( tstXsXttEX Γ== μ,均方可微。那么对于任意的
)(tX
Ttttn
n
∈,,,,
21
L,的特征函数是
T
n
tXtX ))(',),('(
1
L
()
}
,
2
1
)('exp{),,,(
2
111
21,,,
21
ts
ts
uutujuuu
n
l
n
k
kl
n
l
lln
X
ttt
n
Γ?
=
∑∑∑
===
′
μ? L
L
。
定理 8.2.2,如果 是均方可积 Gauss 过程，那么 也是
Gauss 过程 。
}),({ TttX ∈
∫
=
t
a
dssXtY )()(
证明：只需证明对于任意的 是 维正态随机向量。由于
T
nn
tYtYTtttn ))(,),((,,,,,
121
LL ∈ n
∫
∑
=
≤≤→?
=?=<<=?==
k
k
k
kk
k
n
t
a
n
l
ii
ni
nknllk
sstssassXdssXtY
1
1
1
0
0
)(max,,)(lim)()( L其中,
再由引理 8.2.1 和上一节定理 8.1.2 立得。
推论 8.2.2,是均方可积 Gauss 过程,}),({ TttX ∈ )()( ttEX μ=,
,。 那么对于任意的,
的特征函数是
() ( )(),(cov,tXsXts =Γ
∫
=
t
a
dssXtY )()( Ttttn
n
∈,,,,
21
L
T
n
tYtY ))(,),((
1
L
() ()
Γ?=
∫∫
∑
∫
∑∑
===
lkl
n
t
a
t
a
n
l
t
a
n
l
n
k
klln
Y
ttt
dsdttsuudssujuu,
2
1
)(exp,,
111
1,,,
21
μ? L
L
。
8.3 Brown 运动
4
先讨论对称随机游动,此游动每个单位时间等可能地向左或向右走一个单位格子。 现假设每隔 的时间等概率地向左或向右走t? x? 大小的位移。 若以 记时刻的位置，则
)(tX
t
[]
( )
tt
XXXxtX
++?=
/21
)( L,
其中 且诸 相互独立，
=
左步向的第若长1
步向右的第若长1
ix
ix
X
i i
X
)1(
2
1
)1(?====
ii
XPXP 。因此 0)( =tEX,()()
=
t
t
xtXVar
2
)( 。现令
,但要使得极限过程是非平凡的 (例如若令0,→ xt tx?=?,再 令,则
，从而 )，故令
0→?t
()0)(),( →tXVartEX,.,0)( satX → tx?=? σ,再令 时
，
0→?t
0)( =tEX ( ) ttXVar
2
)( σ→ 。再由中心极限定理可见此极限过程
。此外随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独立的，
位置的变化分布只依赖于区间长度，因此 应有平稳的独立增量。
),0(~)(
2
tNtX σ
0),( ≥ttX
定义 8.3.1：随机过程 称为 Brown 运动 或 Wiener 过程,若,}0),({ ≥ttW
1) ； 0)0( =W
2) 为平稳的独立增量过程； )(tW
3) 对任意 。 ),0(~)(,0
2
tNtWt σ>
如果,则 称 为有漂移的 Brown 运动，),(~)(
2
ttNtW σμ? )(tW μ 为漂移参数。 对于 Brown 运动,如果,称为 标准 Brown 运动 。如果)(tW 1
2
=σ
σ
σ
)(
,1
2
tW
≠ 是标准 Brown 运动。 Brown 运动是 Gauss 过程，均值函数为 0，协方差函数
，而且它还是 Markov 过程。 () (tstWsEWts,min)()(,
2
σ==Γ )
定义 8.3.2：随机过程 称为 Brown 运动,若,}0),({ ≥ttW
1) ； 0)0( =W
5
2) 为独立增量过程； )(tW
3) 对任意 。 ))(,0(~)()(,0
2
stNsWtWst>> σ
定理 8.3.1,定义 1 定义 2。
作为一物理现象,Brown 运动由英国植物学家 Brown 于 1827 年发现。著名物理学家 Einstein 在 1905 年首次从物理的角度给出 Brown 运动的一个解释。设表示一个粒子在 Brown 运动中)(tW x方向的位移，由于 Brown 运动的转移是平稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假 设初始时刻的位置为,即,
0
x
0
)0( xX =
),(
0
xtxp 表示在 的条件下 的条件概率密度,Einstein 从物理的原理证明
0
)0( xX = )(tX
),(
0
xtxp 满足一个扩散方程
2
2
x
p
D
t
p
=
在一般条件下上方程的唯一解为
=
2
00
)(
2)2(
1
exp
)2(2
1
),( xx
tD
tD
xtxp
π
。
Wiener 在他 1918 年博士论文中以及后续文章中给出 Brown 运动的精确数学描述。
以下不特别指明所说的 Brown 运动是指标准的 Brown 运动，即 。 1
2
=σ
定理 8.3.2,设 是标准 Brown 运动,任给定 n个时刻,
若用 记 ( 的联合分布密度，则
}0),({ ≥ttW
n
ttt <<< L
21
0
),(
21,
21
nttt
xxxf
n
L
L
))(),(),(
21 n
tXtXtX L
)()()(),(
112121,
112121
=
nntttttnttt
xxpxxpxpxxxf
nnn
LL
L
其中
t
x
t
e
t
xp
2
2
2
1
)(
=
π
。
6
定理 8.3.3：( Donsker(1951)“不变性原理”,Invariance Principle)设 为零均值的独立同分布随机序列有有限的方差,令
1,≥nX
n
0
2
>σ 0
0
=S,,记为实数
∑
=
=
n
i
in
XS
1
[]x x的整数部分，定义 0,)(
][
≥= t
n
S
tW
nt
n
σ
，对固定的,则当 时，
的任意有限维分布趋于标准 Brown 运动的有限维分布(也就是说 的极限过程就是标准的 Brown 运动)。
t ∞→n
)(tW
n
)(tW
n
8.4 Brown 运动的性质
性质 8.4.1,Brown 运动的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的任意一点，其导数都不存在 。
性质 8.4.2,设 是标准 Brown 运动，则,}0),({ ≥ttW
1) 0),()(
1
≥?= ttWtW,(对称 )
2)
=
>
=
0,0
0,
1
)(.
1
t
t
t
tW
tW,(逆时间 )
3)
=
2
2
)(.
c
t
cWtW,任意固定,(刻度不变 ) 0>c
4),任意固定,(平移不变 ) )()()(.
3
hWhtWtW?+= 0>h
仍然是标准 Brown 运动 。
性质 8.4.3,(强 Markov 性 )设 为标准 Brown 运动,则对几乎处处有限停时)(tW τ,
过程 仍然为标准 Brown 运动，并且与0),()()(
*
≥?+= tWtWtW ττ τ 独立 。
对于 Brown 运动,定义 { }atWtT
a
=>= )(0inf,表 示 Brown 首次到达状态的时刻。
a
7
性质 8.4.4,(反射原理 reflection principle)对任意停时 τ,Brown 运动 的反射过程
)(tW
)(tW
)
与 Brown 运动有相同分布,其中
==
)()(2
)(
))],(min()([)),(min()(
tWW
tW
tWtWtWtW
τ
ττ
)
τ
τ
≥
<
t
t
。 特别的当
a
T=τ,,
=
)(2
)(
)(
tWa
tW
tW
)
a
a
Tt
Tt
≥
<
。
证明,作,
==
)(
)(
)),(min()(
1
τ
τ
W
tW
tWtW
τ
τ
≥
<
t
t
,是与独立的 Brown 运动，,
)()()(
*
ττ WtWtW?+= )(
1
tW
=?
)(
0
)(
*
2
τ
τ
tW
tW
τ
τ
≥
<
t
t
，由于 仍为 Brown 运动，而
)(
*
tW?
)()()(),()()(
2121
ττ=?+= tWtWtWtWtWtW
)
，故 与)(tW )(tW
)
的任意有限维分布相同。
性质 8.4.5,设 为标准 Brown 运动，令)(tW 0},)(,0inf{ >=>= aatWtT
a
,那么
dyetTP
t
a
y
a
∫
∞
=≤
2
2
2
)(
π
。
证明：
()
),)((
),)((),)(()(
tTatWP
tTatWPtTatWPatWP
a
aa
≤≥=
>≥+≤≥=≥
（第二项是 0） 。由 反
8
射原理
( ) ( )tTatWPtTatWP
aa
≤≥=≤≥ )()(
故 ()()tTatWPtTatWP
aa
≤≤==≤≥ )(
2
1
)( 。因此
())(
2
1
,)( tTPtTatWP
aa
≤=≤≥ 。
∫∫
∞∞
=
=≥=≤
a
t
a
y
a
dyedx
t
x
t
atWPtTP
2
2
2
2
2
exp
2
2
))((2)(
π
π
,
密度函数为 0,
2
exp
2
)(
2
3
>
= t
t
a
t
a
tf
a
T
π
。
由性质 8.4.5，
∫
∞
∞→
=
=<=∞<
0
2
1
2
exp
2
)(lim)( dy
y
tTPTP
a
t
a
π
。 对每条样本轨道，不管 a 多大，总能在某个时刻到达,但首次到达 a 所需平均时间a
∫∫∫
∞∞∞
=
==
0
22
00
3
2
exp
2
2
exp
2
)dt( dt
t
a
t
a
dt
t
a
t
a
tttfET
a
Ta
π
π
，由于
∞=
∞→
∫
∞
δ
ππ t
dt
t
a
t
a
t
a
t,
2
~
2
exp
2
,
2
时,从而 ∞=
a
ET 。
性质 8.4.6,设 为标准 Brown 运动，)(tW ts <,在给定 atW =)( 的条件下 的条件分布为正态分布
)(sW
t
sts
t
as
N
)(
,。
8.5 极大过程 (maximum process)与反正弦率 (arcsine law)
设 为标准 Brown 运动，令)(tW )(max)(
0
sWtM
ts≤≤
=,称为 极大过程 (maximum
process)。
定理 8.5.1,的密度函数为)(tM
<
≥
=
0,0
0,
2
2
)(
2
)(
2
x
xe
t
xf
t
x
tM
π
。
9
证明,对,0≥x ()( )
∫
∞
≤≤
=≤=≥=≥
t
x
y
x
ts
dyetTPxsWPxtMP
2
0
2
2
)()(max)(
π
,求导即得。 ( ()( ) ( )xtWPxsWPxtMP
ts
≥=≥=≥
≤≤
)(2)(max)(
0
称为 Levy等式)
定理 8.5.2,设 为标准 Brown 运动，则)(tW ( ))(),( tMtW 的联合分布密度为
≥≥
=
otherwise
yxye
t
xy
yxf
t
xy
tMtW
,0
0,,
2
)2(2
),(
2
)2(
3
)(),(
2
π
。
证明：对,0,≥≥ yxy ()( )tTxtWPytMxtWP
y
≤≤=≥≤,)()(,)(,由反射原理
( ) ( )tTxytWPtTxtWP
yy
≤?≥=≤≤,2)(,)(,故
( ) ( )
)
∫
∞?
=
≥=
≥?≥=≥≤
xy
t
z
dze
t
xytWP
ytMxytWPytMxtWP
2
2
2
2
1
2)(
)(,2)()(,)(
π
。
然后在对 yx,求偏导即得。
设 )2,0(~ πUX 均匀分布，,则XY
2
sin= ]1,0[,arcsin
2
)( ∈=≤ tttYP
π
，称随机变量 Y 服从 反正弦率 (arcsine law),密度函数为 10,)1(
1
)( ≤≤?= yyyyf
π
。
由于 Y 与 同分布，但XZ
2
cos= YZ?=1,即 Y 与 Y?1 同分布，故 Y 关于
2
1
对称。
定理 8.5.3,(arcsine law)设 为标准 Brown 运动,0),( ≥ttW
1) 设,在区间 上无零点的概率为0
12
>>tt )(tW ),(
21
tt p,则
2
1
arcsin
2
t
t
p
π
= ；
2) 令 {}],0[,0)(sup TttWt ∈==τ,则 ],0[,sin
2
)( Tx
T
x
arxxP ∈=≤
π
τ ；
10
3) 令 表示在 上,使得 的时间总和,则)(TA ],0[ T 0)( ≥tW
]1,0[,arcsin
2)(
∈=
≤ xxx
T
TA
P
π
。
例 8.5.1,设随机信号序列 L,2,1,=nX
n
为独立同分布随机变量序列且
2
1
)1()1( =?===
nn
XPXP,令,从时刻 到时刻,正信号领先权不改变的概率,当 较大时,由不变性原理可以用 Brown 运动来做近似计算,概率为
∑
=
=
n
i
in
XS
1
j k
k
k
j
arcsin
2
π
。
8.6 Brown 桥
设 为标准 Brown 运动,称0),( ≥ttW 10),1()()( ≤≤?= ttWtWtB 为 Brown 桥 。
由定义,(两头固定,象桥一样 )。 是 Gauss 过程,均值函数是 0，协方差函数为,
0)1(,0)0( == BB )(tB
() 10),1()()(,≤≤≤?==Γ tststBsEBts 。
因此 Brown 桥可以定义为均值为零，协方差函数为 )10()1( ≤≤≤? tsts 的 Gauss
过程。
性质 1,如果 是标准 Brown 运动,那么0),( ≥ttW
=
0
1
)1(
)(
1
t
t
Wt
tB,
和
1
10
=
<≤
t
t
=
0
1
)(
2
t
t
tW
tB,
0
10
=
≤<
t
t
是 Brown 桥 。 如果 是 Brown 桥,那么)(tB
+
+=
+
+=
t
BttW
t
t
BttW
1
1
)1()(,
1
)1()(
21
是标准 Brown 运动 。
11
性质 2,设 是标准 Brown 运动,则条件随机过程0),( ≥ttW { }0)1(10),( =≤≤ WttW
是 Brown 桥过程 。
Brown 桥在经验分布函数研究中有重要作用。 设 为 上的均匀分布总体抽出的 样本,记落在 中样本的个数，即
，令
n
XX L,
1
)1,0(
dii,,)(sN
n
],0( s
∑
=
≤=
n
i
in
sXIsN
1
)()(
n
sN
sF
n
n
)(
)( = 称为 经验分布函数 。 由强大数定律和中心极限定理知，对固定的,以概率 1 的 有s ssXEIsF
in
n
=≤=
∞→
)()(lim,而且
(ssFn
n
)( )的渐进分布为正态分布 ( ))1(,0 ssN? 。现记
()10,)()( ≤≤?= sssFns
nn
α 为一随机过程,研究 ∞→n 时过程的极限性质。 首先 ()(),( ts
nn
αα 渐进联合分布是二元正态分布，其次 0)( =sE
n
α,对于
，10 ≤<≤ ts )1()()( tstsE
nn
=αα,这些性质与 Brown 桥一致，事实上可以严格证明 10),( ≤≤ ss
n
α 的极限过程就是 Brown 桥。 若总体不是 上的均匀分布，
设分布为,若 为 连续 函数,为该总体抽出的 样本,则 为上的均匀分布。令
)1,0(
F F
n
XX L,
1
dii,,)(
i
XF
)1,0(
∑
=
≤=
n
i
in
xXI
n
xF
1
)(
1
)( 经验分布函数,下面我们来研究
)()(sup xFxFn
n
x
的极限分布。记,sxF =)(
() () [])()()(
1
)(
1
)(
11
xFxFnxFxXI
n
nssXFI
n
ns
n
n
i
i
n
i
in
=
≤=
≤=
∑∑
==
α
由于 10),( ≤≤ ss
n
α 收 敛 与 Brown 桥过程，故 )()(sup xFxFn
n
x
的极限分布为
Brown 桥的上确界(由于连续性即为最大值)，即
( )ytBPyxFxFnP
t
n
x
n
≤=
≤?
≤≤∞→
)(max)()(suplim
10
其中 为 Brown 桥。 )(tB
12
8.7 Ito 积分与微分
设 为 Brown 运动，协方差函数为,由于偏导数
0),( ≥ttW ),min(),(
2
tsts σ=Γ
s
tsU
ts
ts
=
Γ? )(),(
2
2
σ,其 中,其导数不存在,故 均方导数不存在。若引入广义函数
<
>
=
0,0
0,1
)(
x
x
xU )(tW
δ 函数，其作为 的导数，这样形式上)(xU
)(
),(
),(
2
2
ts
ts
ts
ts
W
=
Γ?
=Γ
′
δσ,表示当 ts ≠,)(sW′,)(tW′ 不相关,均值为零，
这种随机过程称为白噪声，由 于 是 Gauss 过程,所以其形式导数 称为
Gauss 白噪声。以下仍假设 为标准 Brown 运动。
)(tW )(tW′
0),( ≥ttW
设 为实的二阶矩过程，],[),( battX ∈ ba <≤0 。将区间 作分割，
，
],[ ba
bttta
n
=<<<= L
10
)(max
1
1
≤≤
=?
kk
nk
n
tt,,若均方极限 存在，此极限称为 关于 的 Ito 积分,记为
。
[]
∑
=
=
n
k
kkkn
tWtWtXI
1
11
)()()(
n
I
n
0
lim
→?
)(tX )(tW
∫
b
a
tdWtXI )()()(
引理8.7.1：将区间作分割，],[ ba bttta
n
=<<<= L
10
,)(max
1
1
≤≤
=?
kk
nk
n
tt,
则均方极限。 []abtWtW
n
k
kk
n
=?
∑
=
→?
1
2
1
0
)()(lim
证明：记,)()(
1?
=?
kkk
tWtWW
()
[][
∑∑
∑∑
≠=
==
+=
=
lk
llkkkk
n
k
n
k
kk
n
k
k
tWtWEtWE
tWEabWE
22
2
2
1
2
1
2
2
1
2
)(
]
由独立增量性,[ ] [ ] 0
22
=
∑
≠lk
llkk
tWtWE,故
13
[]
)(22
2)(
1
2
1
224
2
1
2
abt
ttWWEabWE
n
n
k
k
n
k
kkkk
n
k
k
≤?=
+=
∑
∑∑
=
==
因此 。 []abtWtW
n
k
kk
n
=?
∑
=
→?
1
2
1
0
)()(lim
如果把 ( 理解为 的极限，这里) )
2
)(tdW (
∑
=
n
k
k
tW
1
2
)( )()()(
1?
=?
kkk
tWtWtW,
,则 。 事实上,可以证明dtttttt
n
+=<<<= L
10
()dttdW
L
2
2
)( = ( ),.,)(
2
sadttdW = 。
由于 ),0(~)()()( dtNtWdttWtdW?+=,在金融领域常记 ZdttdW?=)(,其中
。 )1,0(~ NZ
例 8.7.1,[])(
2
1
)()(
2
1
)()(
22
abaWbWtdWtW
b
a
=
∫
若一个二阶矩过程 有以下形式 )(tX
btasdWsAdssAaXtX
t
a
t
a
≤≤+=?
∫∫
,)()()()()(
21
其中,都是随机过程，则定义随机过程 有 Ito 微分 )(
1
tA )(
2
tA )(tX
)()()()(
21
tdWtAdttAtdX +=
例 8.7.2：由 ttWtdWtW
t
2
1
)(
2
1
)()(
2
0
=
∫
，故 。 )()(2)(
2
tdWtWdttdW +=
Ito微分公式,设 )()()()(
21
tdWtAdttAtdX +=,( ))(,)( tXtftY =,其中 为普通函数，有二阶连续偏导数，则
),( yxf
()() () () )()()(,)()(,
2
1
)()(,)(,)(
2
2
21
tdWtAtXtfdttAtXtftAtXtftXtftdY
yyyyx
+
++=
Ito微分公式 是随机分析的基础。特别有
14
()() () ())()(,)(,
2
1
)(,)(,tdWtXtfdttWtftWtftWtdf
yyyx
+
+=
若,则)(),( xfyxf = ()() ()dttWftdWtWftWdf )(
2
1
)()()( ′′+′=,也等价于如下积分公式 ()() () ()
∫∫
′′+′=?
t
s
t
s
duuWfudWuWfsWftWf )(
2
1
)()()()( 。
例 8.7.3,[ ] [ ] )()(2)()(
22
tdWttWdtttWttWd ++= 。
例 8.7.4：考虑带漂移的 Brown 运动，即 )()( tWttX?+?= σμ,其中 为标准
Brown 运动，令,则
)(tW
()(exp)( tXtY = ()
++= )()
2
1
()(exp)(
2
tdWdttXtdY σσμ
例 8.7.5：设随机过程 满足)(tS )()()()( tdWtSdttStdS?+?= σμ,其中 0,>σμ 为常数,为标准 Brown 运动，此随机微分方程的解)(tW
+?= )()
2
1
(exp)(
2
tWttS σσμ,过程 称为 几何 Brown 运动 。 0),( ≥ttS
15
8.1 多维正态分布
设 X 是 维随机变量，称n X 服从 n 维正态分布,如果它的特征函数为
}
2
1
exp{)( ttjtt
TT
Σ?= μ?,并记为 ),(~ ΣμNX 。 易知,Σ== )(,XVarEX μ 。如果 0≠Σ,则 X 的分布密度为 ()
Σ
Σ
=
)()(
2
1
exp
)2(
1
1
2
1
2
μμ
π
xxxf
T
n
。
定理 8.1.1：多元正态分布随机变量的边际分布仍然是正态分布。
定理 8.1.2,),(~ ΣμNX 为 维正态分布n? 对任意 n 维向量 t,
。 ),(~ tttNXt
TTT
Σμ
定理 8.1.3,),(~ ΣμNX 为 维正态分布，n AXY =,其中 为常值矩阵，则
。
nm
A
×
),(~
T
AAANY Σμ
定理 8.1.4,随机变量
21
,ξξ 的联合分布是正态分布,则
21
,ξξ 相互独立等价于
21
,ξξ
不相关。
例 8.1.1,若
4321
,,,ξξξξ 的联合分布为零均值的正态分布，则
3241423143214321
ξξξξξξξξξξξξξξξξ EEEEEEE ++= 。
证明：设其特征函数为
)
2
1
exp()
2
1
exp(
)'
2
1
exp()exp(),,,(
4
1
4
1,
,
4
1
4321
∑∑
∑
==
=
=?=
Σ?==
k
kk
lk
llkk
k
kk
uttt
tttjEtttt
σ
ξ?
（设 ） 。
∑
=
=
4
1l
lklk
tu σ
1
()
() ()
43211114321
4
1
114321
1
,,,)](
2
1
[,,,
)](
2
1
[,,,
ttttuuutttt
tutttt
t
k
kk
σ?
=+?=
+?=
∑
=
()()
()()
432121432112
4321214321
2
1
12
2
,,,,,,
,,,,,,
ttttuutttt
ttttuutttt
t
u
tt
σ
+?=
+
=
()()()
() ),,,(),,,()(,,,
,,,,,,,,,
432132143211232134321123
43213214321
3
21
4321123
123
3
ttttuuuttttuuttttu
ttttuuutttt
t
uu
ttttu
ttt
σσ?σ
σ
++=
+=
=
kl
l
k
t
u
σ 。
() ()
() ()
() ()
() ()
() ()
() ()
432143214321213431243214
43214123213432114232413
4321431243213412
432143214321
4
321
43214232134321
4
1
23
4
2
12
43211243432112
4
3
1234
4
,,,,,,)(
,,,)(,,,)(
,,,,,,
,,,,,,
,,,)(,,,][
,,,,,,
1
ttttuuuuttttuuuuuu
ttttuuutttt
ttttuutttt
ttttuuuutttt
t
uuu
ttttuutttt
t
u
t
u
ttttuutttt
t
u
tttt
u
σσσ
σσ?σσσσ
σ?σσ
σσ?σσ
σ?σ
+++?
+?++
=
+
+?
+
+
=
从而
1423241334120
4321
4
4321
| σσσσσσ
ξξξξ ++=
=
=t
tttt
E
klt
kl
lk
tt
E σ
ξξ?=
=
=0
2
|,4,1 ≤≤ lk
因此
4132423143214321
ξξξξξξξξξξξξξξξξ EEEEEEE ++= 。
定理 8.1.5,设 。 则给定 时的条件分布是
0,),,(~
2221
1211
2
1
2
1
>
=
=
=
VV
VV
VVN
Y
Y
Y
p
q
μ
μ
μμ 其中
2
Y
1
Y p 维正态分布，并且条件期望和方差分别为,
() ( )
21
1
2212112122
1
2212121
|),(| VVVVYYVarYVVYYE
=?+= μμ 。
2
证明：定义,则 是正态分布，
且,这表明是独立的，因此给定,的条件分布是
==
=
2
2
1
22121
2
1
1
2212
0
Y
YVVY
By
Y
Y
I
VVI
v
u
q
p
v
u
==
=
22
21
1
221211
2
2
1
22121
0
0
')(,
V
VVVV
ByBVar
v
u
Var
VV
v
u
E
μ
μμ
22
1
22121
YYVVY 和
2
Y
1
Y p 维正态分布。
()( ) ( ) )(|||
22
1
221212122
1
22122
1
2212121
μμ?+==+?=
YVVYYEYYVVYVVYEYYE
()( ) ( )
21
1
22121122
1
2212122
1
22122
1
2212121
||| VVVVYYVVYVarYYVVYVVYVarYYVar
=?=+?=
8.2 Gauss 过程
定义 8.2.1：随机过程 TttX ∈),( 称为 Gauss 过程,如果对于任意的,
，随机向量
n
Tttt
n
∈L,,
21
() ( ) ( )
T
n
tXtXtX L,,
21
为 维正态分布，即其特征函数为
n
() ()
kl
n
l
n
k
kl
n
l
llnttt
ttuutujuu
n
,
2
1
)(exp,,
111
1,,
21
Γ?=
∑∑∑
===
μ? L
L
其中 () )(tEXt =μ,() ( ))(),(cov,tXsXts =Γ 。
引理 8.2.1,是 维实正态随机序列,如 果()
T
n
k
nn
XXX
)()(
1
)(
,,L= k
)(n
X 均方收敛于
X,即 均方收敛于
)(n
i
X kiX
i
≤≤1,，那么 X 是 维正态随机向量。 k
证明：令 ()(),,,,,,
1
)()(
1
)()( T
k
T
n
k
nnn
EXEX μμμμμμ LL ====
( )
Tnnnn
kk
n
ij
n
XXE ))((
)()()()()()(
μμσ==Σ
×
,( )
T
kk
ij
XXE ))(( μμσ==Σ
×
,
由
)(n
X 均方收敛于 X 知,从而kli
il
n
ill
n
l
n
≤≤==
∞→
,1,lim,lim
)(
σσμμ
() }
2
1
exp{}
2
1
exp{
)()(
uujuuujuu
TTnTnT
n
Σ?→Σ?= μμ?,因为
( )uuuXX
n
n
n
n
),()(lim,lim
)(
==
∞→∞→
是 X 的特征函数，故
() }
2
1
exp{ uujuu
TT
Σ?= μ?,从而 X 是 维正态随机向量。 k
3
定理 8.2.1,设 是均方可微的 Gauss过程,那么 也是 Gauss
过程。
}),({ TttX ∈ }),('{ TttX ∈
推论 8.2.1,设 是 Gauss 过程，)(tX ),())(),(cov(),()( tstXsXttEX Γ== μ,均方可微。那么对于任意的
)(tX
Ttttn
n
∈,,,,
21
L,的特征函数是
T
n
tXtX ))(',),('(
1
L
()
}
,
2
1
)('exp{),,,(
2
111
21,,,
21
ts
ts
uutujuuu
n
l
n
k
kl
n
l
lln
X
ttt
n
Γ?
=
∑∑∑
===
′
μ? L
L
。
定理 8.2.2,如果 是均方可积 Gauss 过程，那么 也是
Gauss 过程 。
}),({ TttX ∈
∫
=
t
a
dssXtY )()(
证明：只需证明对于任意的 是 维正态随机向量。由于
T
nn
tYtYTtttn ))(,),((,,,,,
121
LL ∈ n
∫
∑
=
≤≤→?
=?=<<=?==
k
k
k
kk
k
n
t
a
n
l
ii
ni
nknllk
sstssassXdssXtY
1
1
1
0
0
)(max,,)(lim)()( L其中,
再由引理 8.2.1 和上一节定理 8.1.2 立得。
推论 8.2.2,是均方可积 Gauss 过程,}),({ TttX ∈ )()( ttEX μ=,
,。 那么对于任意的,
的特征函数是
() ( )(),(cov,tXsXts =Γ
∫
=
t
a
dssXtY )()( Ttttn
n
∈,,,,
21
L
T
n
tYtY ))(,),((
1
L
() ()
Γ?=
∫∫
∑
∫
∑∑
===
lkl
n
t
a
t
a
n
l
t
a
n
l
n
k
klln
Y
ttt
dsdttsuudssujuu,
2
1
)(exp,,
111
1,,,
21
μ? L
L
。
8.3 Brown 运动
4
先讨论对称随机游动,此游动每个单位时间等可能地向左或向右走一个单位格子。 现假设每隔 的时间等概率地向左或向右走t? x? 大小的位移。 若以 记时刻的位置，则
)(tX
t
[]
( )
tt
XXXxtX
++?=
/21
)( L,
其中 且诸 相互独立，
=
左步向的第若长1
步向右的第若长1
ix
ix
X
i i
X
)1(
2
1
)1(?====
ii
XPXP 。因此 0)( =tEX,()()
=
t
t
xtXVar
2
)( 。现令
,但要使得极限过程是非平凡的 (例如若令0,→ xt tx?=?,再 令,则
，从而 )，故令
0→?t
()0)(),( →tXVartEX,.,0)( satX → tx?=? σ,再令 时
，
0→?t
0)( =tEX ( ) ttXVar
2
)( σ→ 。再由中心极限定理可见此极限过程
。此外随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变化是独立的，
位置的变化分布只依赖于区间长度，因此 应有平稳的独立增量。
),0(~)(
2
tNtX σ
0),( ≥ttX
定义 8.3.1：随机过程 称为 Brown 运动 或 Wiener 过程,若,}0),({ ≥ttW
1) ； 0)0( =W
2) 为平稳的独立增量过程； )(tW
3) 对任意 。 ),0(~)(,0
2
tNtWt σ>
如果,则 称 为有漂移的 Brown 运动，),(~)(
2
ttNtW σμ? )(tW μ 为漂移参数。 对于 Brown 运动,如果,称为 标准 Brown 运动 。如果)(tW 1
2
=σ
σ
σ
)(
,1
2
tW
≠ 是标准 Brown 运动。 Brown 运动是 Gauss 过程，均值函数为 0，协方差函数
，而且它还是 Markov 过程。 () (tstWsEWts,min)()(,
2
σ==Γ )
定义 8.3.2：随机过程 称为 Brown 运动,若,}0),({ ≥ttW
1) ； 0)0( =W
5
2) 为独立增量过程； )(tW
3) 对任意 。 ))(,0(~)()(,0
2
stNsWtWst>> σ
定理 8.3.1,定义 1 定义 2。
作为一物理现象,Brown 运动由英国植物学家 Brown 于 1827 年发现。著名物理学家 Einstein 在 1905 年首次从物理的角度给出 Brown 运动的一个解释。设表示一个粒子在 Brown 运动中)(tW x方向的位移，由于 Brown 运动的转移是平稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假 设初始时刻的位置为,即,
0
x
0
)0( xX =
),(
0
xtxp 表示在 的条件下 的条件概率密度,Einstein 从物理的原理证明
0
)0( xX = )(tX
),(
0
xtxp 满足一个扩散方程
2
2
x
p
D
t
p
=
在一般条件下上方程的唯一解为
=
2
00
)(
2)2(
1
exp
)2(2
1
),( xx
tD
tD
xtxp
π
。
Wiener 在他 1918 年博士论文中以及后续文章中给出 Brown 运动的精确数学描述。
以下不特别指明所说的 Brown 运动是指标准的 Brown 运动，即 。 1
2
=σ
定理 8.3.2,设 是标准 Brown 运动,任给定 n个时刻,
若用 记 ( 的联合分布密度，则
}0),({ ≥ttW
n
ttt <<< L
21
0
),(
21,
21
nttt
xxxf
n
L
L
))(),(),(
21 n
tXtXtX L
)()()(),(
112121,
112121
=
nntttttnttt
xxpxxpxpxxxf
nnn
LL
L
其中
t
x
t
e
t
xp
2
2
2
1
)(
=
π
。
6
定理 8.3.3：( Donsker(1951)“不变性原理”,Invariance Principle)设 为零均值的独立同分布随机序列有有限的方差,令
1,≥nX
n
0
2
>σ 0
0
=S,,记为实数
∑
=
=
n
i
in
XS
1
[]x x的整数部分，定义 0,)(
][
≥= t
n
S
tW
nt
n
σ
，对固定的,则当 时，
的任意有限维分布趋于标准 Brown 运动的有限维分布(也就是说 的极限过程就是标准的 Brown 运动)。
t ∞→n
)(tW
n
)(tW
n
8.4 Brown 运动的性质
性质 8.4.1,Brown 运动的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的任意一点，其导数都不存在 。
性质 8.4.2,设 是标准 Brown 运动，则,}0),({ ≥ttW
1) 0),()(
1
≥?= ttWtW,(对称 )
2)
=
>
=
0,0
0,
1
)(.
1
t
t
t
tW
tW,(逆时间 )
3)
=
2
2
)(.
c
t
cWtW,任意固定,(刻度不变 ) 0>c
4),任意固定,(平移不变 ) )()()(.
3
hWhtWtW?+= 0>h
仍然是标准 Brown 运动 。
性质 8.4.3,(强 Markov 性 )设 为标准 Brown 运动,则对几乎处处有限停时)(tW τ,
过程 仍然为标准 Brown 运动，并且与0),()()(
*
≥?+= tWtWtW ττ τ 独立 。
对于 Brown 运动,定义 { }atWtT
a
=>= )(0inf,表 示 Brown 首次到达状态的时刻。
a
7
性质 8.4.4,(反射原理 reflection principle)对任意停时 τ,Brown 运动 的反射过程
)(tW
)(tW
)
与 Brown 运动有相同分布,其中
==
)()(2
)(
))],(min()([)),(min()(
tWW
tW
tWtWtWtW
τ
ττ
)
τ
τ
≥
<
t
t
。 特别的当
a
T=τ,,
=
)(2
)(
)(
tWa
tW
tW
)
a
a
Tt
Tt
≥
<
。
证明,作,
==
)(
)(
)),(min()(
1
τ
τ
W
tW
tWtW
τ
τ
≥
<
t
t
,是与独立的 Brown 运动，,
)()()(
*
ττ WtWtW?+= )(
1
tW
=?
)(
0
)(
*
2
τ
τ
tW
tW
τ
τ
≥
<
t
t
，由于 仍为 Brown 运动，而
)(
*
tW?
)()()(),()()(
2121
ττ=?+= tWtWtWtWtWtW
)
，故 与)(tW )(tW
)
的任意有限维分布相同。
性质 8.4.5,设 为标准 Brown 运动，令)(tW 0},)(,0inf{ >=>= aatWtT
a
,那么
dyetTP
t
a
y
a
∫
∞
=≤
2
2
2
)(
π
。
证明：
()
),)((
),)((),)(()(
tTatWP
tTatWPtTatWPatWP
a
aa
≤≥=
>≥+≤≥=≥
（第二项是 0） 。由 反
8
射原理
( ) ( )tTatWPtTatWP
aa
≤≥=≤≥ )()(
故 ()()tTatWPtTatWP
aa
≤≤==≤≥ )(
2
1
)( 。因此
())(
2
1
,)( tTPtTatWP
aa
≤=≤≥ 。
∫∫
∞∞
=
=≥=≤
a
t
a
y
a
dyedx
t
x
t
atWPtTP
2
2
2
2
2
exp
2
2
))((2)(
π
π
,
密度函数为 0,
2
exp
2
)(
2
3
>
= t
t
a
t
a
tf
a
T
π
。
由性质 8.4.5，
∫
∞
∞→
=
=<=∞<
0
2
1
2
exp
2
)(lim)( dy
y
tTPTP
a
t
a
π
。 对每条样本轨道，不管 a 多大，总能在某个时刻到达,但首次到达 a 所需平均时间a
∫∫∫
∞∞∞
=
==
0
22
00
3
2
exp
2
2
exp
2
)dt( dt
t
a
t
a
dt
t
a
t
a
tttfET
a
Ta
π
π
，由于
∞=
∞→
∫
∞
δ
ππ t
dt
t
a
t
a
t
a
t,
2
~
2
exp
2
,
2
时,从而 ∞=
a
ET 。
性质 8.4.6,设 为标准 Brown 运动，)(tW ts <,在给定 atW =)( 的条件下 的条件分布为正态分布
)(sW
t
sts
t
as
N
)(
,。
8.5 极大过程 (maximum process)与反正弦率 (arcsine law)
设 为标准 Brown 运动，令)(tW )(max)(
0
sWtM
ts≤≤
=,称为 极大过程 (maximum
process)。
定理 8.5.1,的密度函数为)(tM
<
≥
=
0,0
0,
2
2
)(
2
)(
2
x
xe
t
xf
t
x
tM
π
。
9
证明,对,0≥x ()( )
∫
∞
≤≤
=≤=≥=≥
t
x
y
x
ts
dyetTPxsWPxtMP
2
0
2
2
)()(max)(
π
,求导即得。 ( ()( ) ( )xtWPxsWPxtMP
ts
≥=≥=≥
≤≤
)(2)(max)(
0
称为 Levy等式)
定理 8.5.2,设 为标准 Brown 运动，则)(tW ( ))(),( tMtW 的联合分布密度为
≥≥
=
otherwise
yxye
t
xy
yxf
t
xy
tMtW
,0
0,,
2
)2(2
),(
2
)2(
3
)(),(
2
π
。
证明：对,0,≥≥ yxy ()( )tTxtWPytMxtWP
y
≤≤=≥≤,)()(,)(,由反射原理
( ) ( )tTxytWPtTxtWP
yy
≤?≥=≤≤,2)(,)(,故
( ) ( )
)
∫
∞?
=
≥=
≥?≥=≥≤
xy
t
z
dze
t
xytWP
ytMxytWPytMxtWP
2
2
2
2
1
2)(
)(,2)()(,)(
π
。
然后在对 yx,求偏导即得。
设 )2,0(~ πUX 均匀分布，,则XY
2
sin= ]1,0[,arcsin
2
)( ∈=≤ tttYP
π
，称随机变量 Y 服从 反正弦率 (arcsine law),密度函数为 10,)1(
1
)( ≤≤?= yyyyf
π
。
由于 Y 与 同分布，但XZ
2
cos= YZ?=1,即 Y 与 Y?1 同分布，故 Y 关于
2
1
对称。
定理 8.5.3,(arcsine law)设 为标准 Brown 运动,0),( ≥ttW
1) 设,在区间 上无零点的概率为0
12
>>tt )(tW ),(
21
tt p,则
2
1
arcsin
2
t
t
p
π
= ；
2) 令 {}],0[,0)(sup TttWt ∈==τ,则 ],0[,sin
2
)( Tx
T
x
arxxP ∈=≤
π
τ ；
10
3) 令 表示在 上,使得 的时间总和,则)(TA ],0[ T 0)( ≥tW
]1,0[,arcsin
2)(
∈=
≤ xxx
T
TA
P
π
。
例 8.5.1,设随机信号序列 L,2,1,=nX
n
为独立同分布随机变量序列且
2
1
)1()1( =?===
nn
XPXP,令,从时刻 到时刻,正信号领先权不改变的概率,当 较大时,由不变性原理可以用 Brown 运动来做近似计算,概率为
∑
=
=
n
i
in
XS
1
j k
k
k
j
arcsin
2
π
。
8.6 Brown 桥
设 为标准 Brown 运动,称0),( ≥ttW 10),1()()( ≤≤?= ttWtWtB 为 Brown 桥 。
由定义,(两头固定,象桥一样 )。 是 Gauss 过程,均值函数是 0，协方差函数为,
0)1(,0)0( == BB )(tB
() 10),1()()(,≤≤≤?==Γ tststBsEBts 。
因此 Brown 桥可以定义为均值为零，协方差函数为 )10()1( ≤≤≤? tsts 的 Gauss
过程。
性质 1,如果 是标准 Brown 运动,那么0),( ≥ttW
=
0
1
)1(
)(
1
t
t
Wt
tB,
和
1
10
=
<≤
t
t
=
0
1
)(
2
t
t
tW
tB,
0
10
=
≤<
t
t
是 Brown 桥 。 如果 是 Brown 桥,那么)(tB
+
+=
+
+=
t
BttW
t
t
BttW
1
1
)1()(,
1
)1()(
21
是标准 Brown 运动 。
11
性质 2,设 是标准 Brown 运动,则条件随机过程0),( ≥ttW { }0)1(10),( =≤≤ WttW
是 Brown 桥过程 。
Brown 桥在经验分布函数研究中有重要作用。 设 为 上的均匀分布总体抽出的 样本,记落在 中样本的个数，即
，令
n
XX L,
1
)1,0(
dii,,)(sN
n
],0( s
∑
=
≤=
n
i
in
sXIsN
1
)()(
n
sN
sF
n
n
)(
)( = 称为 经验分布函数 。 由强大数定律和中心极限定理知，对固定的,以概率 1 的 有s ssXEIsF
in
n
=≤=
∞→
)()(lim,而且
(ssFn
n
)( )的渐进分布为正态分布 ( ))1(,0 ssN? 。现记
()10,)()( ≤≤?= sssFns
nn
α 为一随机过程,研究 ∞→n 时过程的极限性质。 首先 ()(),( ts
nn
αα 渐进联合分布是二元正态分布，其次 0)( =sE
n
α,对于
，10 ≤<≤ ts )1()()( tstsE
nn
=αα,这些性质与 Brown 桥一致，事实上可以严格证明 10),( ≤≤ ss
n
α 的极限过程就是 Brown 桥。 若总体不是 上的均匀分布，
设分布为,若 为 连续 函数,为该总体抽出的 样本,则 为上的均匀分布。令
)1,0(
F F
n
XX L,
1
dii,,)(
i
XF
)1,0(
∑
=
≤=
n
i
in
xXI
n
xF
1
)(
1
)( 经验分布函数,下面我们来研究
)()(sup xFxFn
n
x
的极限分布。记,sxF =)(
() () [])()()(
1
)(
1
)(
11
xFxFnxFxXI
n
nssXFI
n
ns
n
n
i
i
n
i
in
=
≤=
≤=
∑∑
==
α
由于 10),( ≤≤ ss
n
α 收 敛 与 Brown 桥过程，故 )()(sup xFxFn
n
x
的极限分布为
Brown 桥的上确界(由于连续性即为最大值)，即
( )ytBPyxFxFnP
t
n
x
n
≤=
≤?
≤≤∞→
)(max)()(suplim
10
其中 为 Brown 桥。 )(tB
12
8.7 Ito 积分与微分
设 为 Brown 运动，协方差函数为,由于偏导数
0),( ≥ttW ),min(),(
2
tsts σ=Γ
s
tsU
ts
ts
=
Γ? )(),(
2
2
σ,其 中,其导数不存在,故 均方导数不存在。若引入广义函数
<
>
=
0,0
0,1
)(
x
x
xU )(tW
δ 函数，其作为 的导数，这样形式上)(xU
)(
),(
),(
2
2
ts
ts
ts
ts
W
=
Γ?
=Γ
′
δσ,表示当 ts ≠,)(sW′,)(tW′ 不相关,均值为零，
这种随机过程称为白噪声，由 于 是 Gauss 过程,所以其形式导数 称为
Gauss 白噪声。以下仍假设 为标准 Brown 运动。
)(tW )(tW′
0),( ≥ttW
设 为实的二阶矩过程，],[),( battX ∈ ba <≤0 。将区间 作分割，
，
],[ ba
bttta
n
=<<<= L
10
)(max
1
1
≤≤
=?
kk
nk
n
tt,,若均方极限 存在，此极限称为 关于 的 Ito 积分,记为
。
[]
∑
=
=
n
k
kkkn
tWtWtXI
1
11
)()()(
n
I
n
0
lim
→?
)(tX )(tW
∫
b
a
tdWtXI )()()(
引理8.7.1：将区间作分割，],[ ba bttta
n
=<<<= L
10
,)(max
1
1
≤≤
=?
kk
nk
n
tt,
则均方极限。 []abtWtW
n
k
kk
n
=?
∑
=
→?
1
2
1
0
)()(lim
证明：记,)()(
1?
=?
kkk
tWtWW
()
[][
∑∑
∑∑
≠=
==
+=
=
lk
llkkkk
n
k
n
k
kk
n
k
k
tWtWEtWE
tWEabWE
22
2
2
1
2
1
2
2
1
2
)(
]
由独立增量性,[ ] [ ] 0
22
=
∑
≠lk
llkk
tWtWE,故
13
[]
)(22
2)(
1
2
1
224
2
1
2
abt
ttWWEabWE
n
n
k
k
n
k
kkkk
n
k
k
≤?=
+=
∑
∑∑
=
==
因此 。 []abtWtW
n
k
kk
n
=?
∑
=
→?
1
2
1
0
)()(lim
如果把 ( 理解为 的极限，这里) )
2
)(tdW (
∑
=
n
k
k
tW
1
2
)( )()()(
1?
=?
kkk
tWtWtW,
,则 。 事实上,可以证明dtttttt
n
+=<<<= L
10
()dttdW
L
2
2
)( = ( ),.,)(
2
sadttdW = 。
由于 ),0(~)()()( dtNtWdttWtdW?+=,在金融领域常记 ZdttdW?=)(,其中
。 )1,0(~ NZ
例 8.7.1,[])(
2
1
)()(
2
1
)()(
22
abaWbWtdWtW
b
a
=
∫
若一个二阶矩过程 有以下形式 )(tX
btasdWsAdssAaXtX
t
a
t
a
≤≤+=?
∫∫
,)()()()()(
21
其中,都是随机过程，则定义随机过程 有 Ito 微分 )(
1
tA )(
2
tA )(tX
)()()()(
21
tdWtAdttAtdX +=
例 8.7.2：由 ttWtdWtW
t
2
1
)(
2
1
)()(
2
0
=
∫
，故 。 )()(2)(
2
tdWtWdttdW +=
Ito微分公式,设 )()()()(
21
tdWtAdttAtdX +=,( ))(,)( tXtftY =,其中 为普通函数，有二阶连续偏导数，则
),( yxf
()() () () )()()(,)()(,
2
1
)()(,)(,)(
2
2
21
tdWtAtXtfdttAtXtftAtXtftXtftdY
yyyyx
+
++=
Ito微分公式 是随机分析的基础。特别有
14
()() () ())()(,)(,
2
1
)(,)(,tdWtXtfdttWtftWtftWtdf
yyyx
+
+=
若,则)(),( xfyxf = ()() ()dttWftdWtWftWdf )(
2
1
)()()( ′′+′=,也等价于如下积分公式 ()() () ()
∫∫
′′+′=?
t
s
t
s
duuWfudWuWfsWftWf )(
2
1
)()()()( 。
例 8.7.3,[ ] [ ] )()(2)()(
22
tdWttWdtttWttWd ++= 。
例 8.7.4：考虑带漂移的 Brown 运动，即 )()( tWttX?+?= σμ,其中 为标准
Brown 运动，令,则
)(tW
()(exp)( tXtY = ()
++= )()
2
1
()(exp)(
2
tdWdttXtdY σσμ
例 8.7.5：设随机过程 满足)(tS )()()()( tdWtSdttStdS?+?= σμ,其中 0,>σμ 为常数,为标准 Brown 运动，此随机微分方程的解)(tW
+?= )()
2
1
(exp)(
2
tWttS σσμ,过程 称为 几何 Brown 运动 。 0),( ≥ttS
15
