第五章 连续时间 Markov 链
5.1 连续时间 Markov 链
连续时间 Markov 链的要旨仍然是 Markov 性,与上一章不同之处在于指标集
（这里表示时间）取值连续，通常为 { }0≥tt 。状态仍然是离散的，最多取可数个值，我们用整数值 表示。 L2,1,0
定义 5.1.1：设随机过程 状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S,若对所有,
和 以及 满足
0,≥ts
su <≤0 Sji ∈,Sux ∈)(
()( )isXjtsXPsuuxuXisXjtsXP ==+=<≤===+ )()(0),()(,)()(
则称 为 连续时间 Markov 链 。 0),( ≥ttX
一般 isXjtsXP ==+ )()( 称为转移概率，与时间 有关，若进一步此概率与 无关则随机过程 称为 有平稳转移概率 的连续时间 Markov 链。 此时记
ts,
s )(tX
()( )iXjtXPisXjtsXPtP
ij
=====+= )0()()()()( 。 以下不特别指明，所涉及到的连续时间 Markov 链是指有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。 若过程初始分布为,于是有 ))0(( iXPp
i
==
定理 5.1.1,连续时间 Markov 链的转移概率 SjitP
ij
∈,),( 和初始分布 完全确定了过程的任意有限维分布。
Sip
i
∈,
转移概率 的性质。首先SjitP
ij
∈,),( 1)(,0)( =≥
∑
∈Sj
ijij
tPtP ；其次,
( ) ( )
()()
∑∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
===+===
===+===
===+===+=+
Sk
kjik
Sk
Sk
Sk
ij
tPsPksXjtsXPiXksXP
iXksXjtsXPiXksXP
iXksXjtsXPiXjtsXPtsP
)()()()()0()(
)0(,)()()0()(
)0()(,)()0()()(
即 满足 Chapman-Kolmogorov 方程。 若过程不能刚到某个状态就瞬间离去即)(tP
ij
1
ijij
t
tP δ=
↓
)(lim
0
，此条件称为 标准性条件,约定
ijij
P δ=)0( 。标准性条件意味着
。 Chapman-Kolmogorov 方程写成矩阵形式有 。 )0()(lim
0
PtP
t
=
↓
)()()( tPsPtsP =+
5.2 矩阵与 Kolmogorov 向前、向后微分方程 Q
设 为标准连续时间 Markov 链,状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S,转移概率
。 SjitP
ij
∈,),(
引理 5.2.1,对给定,为 的一致连续函数。 Sji ∈,)(tP
ij
t
证明：设,0>h
[]
∑
∑
∞
≠=
∞
=
+=
=?+
ikk
kjikijii
ij
k
kjikijij
tPhPtPhP
tPtPhPtPhtP
,0
0
)()()()(1
)()()()()(
由此可知
[][])(1)()(1)()()()()(
0
hPtPhPtPtPhPtPhtP
iiijiiij
k
kjikijij
≥≥?=?+
∑
∞
=
)(1)()()()()()()(
,00
hPtPhPtPtPhPtPhtP
ii
ikk
kjikij
k
kjikijij
=≤?=?+
∑∑
∞
≠=
∞
=
因此 )(1)()( hPtPhtP
iiijij
≤?+ ；当 0<h 时有类似不等式，故一般地有
)(1)()( hPtPhtP
iiijij
≤?+
令 就得到证明。 0→h
引理 5.2.2,当 ji ≠,∞<=
↓
ij
ij
t
q
t
tP )(
lim
0； ∞≤?==
↓
iii
ii
t
qq
t
tP )(1
lim
0
。
引理 5.2.3,。 ∞≤≤≤
∑
≠
i
ij
ij
qq0
证明：任意固定,由于N
t
tP
t
tP
t
tP
ii
ijj
ij
N
ijj
ij
)(1
)()(
,0,0
=≤
∑∑
∞
≠=≠=
。令 有0↓t
2
i
N
ijj
ij
qq ≤
∑
≠=,0
，在令,立得。 ∞→N
定义 5.2.1,矩阵 ( )
Sji
ij
qQ
∈
=
,
称为标准连续时间 Markov 链的 Q-矩阵 （密度矩阵） 。
Q -矩阵有以下性质,
1) ； Siq
ii
∈≤≤∞?,0
2) Sjiq
ij
∈≠∞<≤,0 ；
3) 。 Siqqq
iii
ij
ij
∈∞≤=?≤≤
∑
≠
,0
考察 Q -矩阵的概率含义。设 iX =)0( 令 { }itXt
i
≠>= )(,0infτ,表示首次离开状态 的时刻。 i
定理 5.2.1,设 为标准连续时间 Markov 链(具有右连续轨道)，则 0),( ≥ttX
tq
i
i
eiXtP
==> ))0((τ
证明,
[]
tqii
ii
ii
s
ii
s
n
n
ii
n
n
ii
n
n
n
ii
n
n
n
n
i
i
n
e
s
sP
sP
sP
t
s
sP
tt
t
t
P
t
P
t
P
iXki
kt
XP
iXtsisXPiXtP
↓
↓∞→
∞→∞→
∞→
=
+
=
=?
=
=
=
====
=≤≤===>
1)(
1)(
1)(1ln
limexp
)(ln
limexp
2
2
ln
explim
2
ln2explim
2
lim
)0(2,1,0,)
2
(lim
))0(0,)(())0((
0
0
2
L
τ
从而 ()
i
i
q
iXE
1
)0( ==τ 。 决定过程在状态 i上停留时间的长短，可以看成过程离开状态 i的速率。 当,则
i
q
0=
i
q 1))0(( ==∞= iXP
i
τ,链几乎永远不离开状态 i，
此时称状态 为 吸收态 (absorbed state)；当i ∞=
i
q,则 1))0(0( === iXP
i
τ,链 几
3
乎立即离开状态 i,此时称状态 为 瞬过态 (transient state)；当i ∞<<
i
q0 时,链停留在状态 的时间服从指数分布，此时称状态 为 稳定态 (steadible state)。此外若
，则称状态 i为 保守的 (conservative)，若所有状态为保守的，则称链为 保守链,此时称 Q-矩阵为保守的。
i i
∞<=
∑
≠
i
ij
ij
qq
定理 5.2.2,在定理 5.2.1 的条件下，设 是一个稳定状态，则对i ij ≠
i
ijsq
q
q
eiXjXsP(τ
i
)1())0()(,
===< τ
特别令,有∞→s
i
ij
q
q
iXjXP === ))0()(( τ 。
证明：由定理 5.2.1,在 iX =)0( 条件 τ 是连续型随机变量，故
0))0()(,( ==== iXjXsP ττ 。 令
=≠
=L2,1,0,
2
:
2
inf ki
k
X
k
nn
n
τ,则 。 ττ ↓
n
[]
[]
i
ijsq
n
n
ij
n
n
ii
s
n
ii
n
n
ij
n
ii
s
n
ii
n
sk
n
ij
k
n
ii
n
sk
nn
n
sk
n
n
n
n
nn
n
q
q
e
P
P
P
P
P
P
PP
iXkmi
m
Xj
k
XP
iXjX
k
P
iXjXsPiXjXsP
i
n
n
n
n
n
)1(
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
lim
2
1
2
1
1
2
1
1
lim
2
1
2
1
lim
)0(1,2,1,
2
,
2
lim
))0()(,
2
(lim
))0()(,(lim))0()(,(
2
2
2
1
2
2
∞→
∞→
≤
∞→
≤
∞→
≤
∞→
∞→
=
=
=
=
=?==
=
=
====
==≤===≤
∑
∑
∑
L
ττ
ττττ
))0()(( iXjXP ==τ 表示过程离开 i立刻转到 j 的概率，由于 表示过程离开状
i
q
4
态 i的速率，因此 ))0()(( iXjXPqq
iij
==?= τ 表示过程从状态 i转到状态 j 的速率。
定理 5.2.3,保守则Q SitPqtPqtP
ik
kjikijiij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(,即 ；若且
)()( tQPtP′ =
j
qS,∈j ∞< jkq
h
hP
kj
kj
h
≠=
↓
,
)(
lim
0
关于 一致成立，则k
SjqtPqtPtP
jk
kjikjijij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(,即 QtPtP )()( =′ 。
证明：由,0>h
∑
≠
+
=
+
ik
kj
ik
ij
ii
ijij
tP
h
hP
tP
h
hP
h
tPhtP
)(
)(
)(
)(1
)()(
∑∑
∑∑
≠=
∞
≠+=
∞
≠+=≠=
=≤
=?
+
+
N
ikk
ikii
ikNk
ik
ikNk
kj
ik
N
ikk
kj
ik
ij
ii
ijij
h
hP
h
hP
h
hP
tP
h
hP
tP
h
hP
tP
h
hP
h
tPhtP
,0,1
,1,0
)()(1)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(1
)()(
令 有0→h
∑∑
≠=≠=
≤?+′
N
ikk
iki
N
ikk
kjikijiij
qqtPqtPqtP
,0,0
)()()(,由 保守,再令 即得 。
Q ∞→N
SitPqtPqtP
ik
kjikijiij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(
由,0>h
∑
≠
+
=
+
jk
kj
ikij
jjijij
h
hP
tPtP
h
hP
h
tPhtP )(
)()(
)(1)()(
，令 和条件立得 。
0→h
SjqtPqtPtP
jk
kjikjijij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(
微分方程 称为 Kolmogorov 向后微分方程,而微分方程称为 Kolmogorov 向前微分方程 。
)()( tQPtP =′ QtPtP )()( =′
在实际问题中，要得到转移概率 ( ))()( tPtP
ij
= 往往是困难的，但它的密度矩阵 ( )
ij
qQ = 是由 在 的导数组成，换言之,Q刻画的是 的无穷小特征,仅由过程在
)(tP
ij
0=t )(tP
0=t 附近的运动就可以得到,所以实际问题中是先得到 ( )
ij
qQ =,
再利用向前或者向后方程求出 。 )(tP
例 5.2.1,设随机信号以 0,1 传输,表示 t时刻接收到的信号。 是)(tX 0),( ≥ttX
5
以 为状态空间的齐次连续时间 Markov 链。由于信号是随机的，设信号的改变与时间长短成正比，即
{}1,0=S
).()(),()(
1001
hohhPhohhP +=+= μλ
由此得到 矩阵为,向前微分方程为,Q
=
μμ
λλ
Q
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
101111
111010
000101
010000
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
λμ
μλ
λμ
μλ
+?=′
+?=′
+?=′
+?=′
。
再由初始条件(标准性条件)，解出
)(1)(
)(1)(
10
)(
11
01
)(
00
tPetP
tPetP
t
t
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+?
+?
μλ
μλ
μλ
μ
μλ
λ
μλ
μ
μλ
λ
。
5.3 Poisson 过程
定义 5.3.1,设连续时间随机过程 具有状态空间0),( ≥ttN { }L2,1,0=S,若对任意
,表示在 内“事件”发生的次数，则称 为 计数过程 (counting
process)。
0>t )(tN ],0[ t )(tN
定义 5.3.2,随机过程 称为 独立增量过程 (independent increment process)，
若对任意正整数 及任意时刻点
0),( ≥ttN
n
n
ttt <<<<L
21
0,增量
)()(),()(),0()(
1121?
nn
tNtNtNtNNtNL是相互独立的随机变量。此外若增量
)0)(()( tssNtN <≤? 的分布仅依赖与时间差 st?,则称 具有平稳增量的独立增量过程 。
定义 5.3.3：一个计数过程 称为 Poisson 过程,若 0),( ≥ttN
1) ； 0)0( =N
2) 是独立增量过程； )(tN
6
3) 对任意 增量0,≥ts )()( sNtsN?+ 的分布服从强度为 tλ 的 Poisson 分布，即 ()L2,1,0,
!
)(
)()( ===?+
n
n
te
nsNtsNP
nt
λ
λ
。
定义 5.3.4：一个计数过程 称为 Poisson 过程，若 0),( ≥ttN
1) ； 0)0( =N
2) 是具有平稳增量的独立增量过程； )(tN
3) ()( ) )(2)()(),(1)()( hotNhtNPhohtNhtNP =≥?++==?+ λ 。
定理 5.3.1：定义 3 定义 4。
Poisson 过程的数字特征,ttENt λμ == )()(,),min(),( tsts λ=Γ 。 Poisson 过程矩阵为 。 Q
OO
λλ
λλ
下面考虑与 Poisson 过程相联系的一些随机变量的分布。
考虑直线上的 Poisson 过程,其样本路径如图 )(tN
N(t)
1
τ
2
τ
3
τ
W1 W2 W3 t
3
2
1
0
n
τ 表示第 次事件与第 次事件发生 （到达） 的时间间隔,表示第 次事件发生的时刻（到达时刻）,。
1?n n
n
w n
∑
=
=
n
i
in
w
1
τ
定理 5.3.2：L2,1,=n
n
τ 独立同分布都服从参数为 λ （均值为
λ
1
）的指数分布，
7
即密度函数为 ； 服从参数为
<
≥
=
0,0
0,
)(
t
te
tf
t
n
λ
τ
λ
n
w λ,n 的 Γ分布,即密度函数为
<
≥
=
0,0
0,
)!1(
)(
)(
1
t
t
n
t
e
tf
n
t
w
n
λ
λ
λ
。
证明：由于事件 { }{ 0)(
1
}=?> tNtτ,故 ( ) ( )
t
et =)NPtP
λ
τ
==> 0(
1
，
1
τ 服从参数为 λ 为指数分布。而
( ) ( )
()(
t
etNPsNtsNP
stssPstP
λ
τττ
====?+=
=+==>
0)(0)()(
],(
112
中事件不发生
故
2
τ 与
1
τ 独立且
2
τ 服从参数为 λ 指数分布。类似对
n
τ 证明。由于事件
，故{}{ ntNtw
n
≥?≤ )( } ()( )
∑
∞
=
=≥=≤
nj
j
t
n
j
t
entNPtwP
!
)(
)(
λ
λ
,两 边求导,立得的密度函数为
n
w
<
≥
=
0,0
0,
)!1(
)(
)(
1
t
t
n
t
e
tf
n
t
w
n
λ
λ
λ
。
定理 5.3.3：给定,到达时间 的联合分布密度为 ntN =)(
n
wwwL,,
21
≤<<<
=
=
otherwise
twwtn
wwf
n
n
nntNww
n
,0
0,!
),(
1
1)(,
1
L
L
L
证明：设 thtthtthtt
nnn
≤+<<<+<<+<≤<L
222111
0,则
( )
()
()
()
n
n
n
t
htt
n
hhtthhttht
nnnnnnnn
nnnn
nnnn
hhhtn
n
t
e
eheeeehee
ntNP
htNtNtNhtNhtNtN
tNhtNhtNtNtNhtNtN
P
ntNP
ntNhtwthtwthtwtP
ntNhtwthtwthtwtP
nnnnnn
L
L
L
L
L
21
)()()(
1
11
222121111
22221111
22221111
!
!
)(
)(
0)()(,1)()(,0)()(
1)()(,0)()(,1)()(,0)(
)(
)(,,,
)(,,
11211211
=
=
=
=+?=?+=+?
=?+=+?=?+=
=
=
=+≤≤+≤≤+≤≤
=
=+≤≤+≤≤+≤≤
λ
λλ
λ
λλλλλλλ
因此,的联合密度为
n
wwwL,,
21
8
≤<<≤
=
=
otherwise
twwtn
wwf
n
n
nntNww
n
,0
0,!
),(
1
1)(,
1
L
L
L
。
(注意此分布与 个独立的 上均匀分布的顺序统计量的分布一致。 故n ],0[ t
.)()()(
0
1
∫
∑
=?
=
=
t
n
i
i
dxxg
t
n
ntNwgE )
5.5 生灭过程
定义 5.5.1,设连续时间 Markov 链,状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S,具有标准平稳的转移概率,若 SjitP
ij
∈,),(
1) ;2,1,0),()(
1,
L=+=
+
ihohhP
iii
λ
2) L,2,1),()(
1,
=+=
ihohhP
iii
μ ；
3) L2,1,0),()(1)( =++?= ihohhP
iiii
μλ
4) 0,,0
0
>=
ii
μλμ 其余 。
则称 为 生灭过程 （ Birth and Death Process）,)(tX
ii
μλ,分别称为 新生率 和 死亡率 。若 1,0 ≥= i
i
μ 称为 纯生过程,0,0 ≥= i
i
λ 称为 纯灭过程 。
生灭过程的 Q矩阵为
+?
+?
=
O
O
iiii
Q
λμλμ
λμλμ
λλ
)(
)(
1111
00
生灭过程的 Q矩阵是 保守的 。其向后微分方程为
)()()(
1),()()()()(
10000
,1,1
tPtPtP
itPtPtPtP
jjj
jiiijiijiiij
λλ
μμλλ
+?=′
≥++?=′
+；
向前微分方程为
9
)()()(
1),()()()()(
11000
1,11,1
tPtPtP
jtPtPtPtP
iii
jijijjjjijij
μλ
μμλλ
+?=′
≥++?=′
++
考虑向前方程,以 ))(()( jtXPtP
j
==,在向前方程两端同乘 在对 i求和得到
))0(( iXP =
)()()(
1),()()()()(
11000
1111
tPtPtP
jtPtPtPtP
jjjjjjjj
μλ
μμλλ
+?=′
≥++?=′
++
。
考虑系统在稳态时的情形，即 ∞→t 时系统趋于稳定（在一定条件下）,此时
，故有 0)(lim,)(lim =′=
∞→∞→
tPptP
j
t
jj
t
0
1,0)(
1100
1111
=+?
≥=++?
++
pp
jppp
jjjjjjj
μλ
μμλλ
,
(注意 )。满足上面条件的1,,0 =∈≥
∑
∈Sj
jj
pSjp { }
i
p 称为过程的平稳分布，即
，()L,,,,0
210
ppppQp ==? 1,,0 =∈≥
∑
∈Sj
jj
pSjp 。 上面的方程也可由下面的一个链式图简单的得到,
当 1,0 ≥> j
j
μ 时可以求得
0
1
0
1
pp
μ
λ
=,L,
0
21
10
2
pp
μμ
λλ
=,L
L
L
,
0
21
110
pp
j
j
j
μμμ
λλλ
=
由于,故1
0
=
∑
∞
=j
j
p
1
1 21
110
0
1
∞
=
+=
∑
j j
j
p
μμμ
λλλ
L
L
。
生灭过程在 随机服务系统 中有着重要的应用。 一个随机服务系统包括三个组成部分,输入过程,服务规则和服务机构 。 输入过程用来刻画到服务机构请求为之服务的顾客到来的规律。记 0
0
=τ,对,1≥n
n
τ 表示第 n个顾客到来的时刻，
1?
=
nnn
T ττ 表示第 个顾客到达至第 个顾客到达之间的时间间隔，一般假1?n n
10
定 是 的,常见输入有下列几种,1.定常输入,即 为非随机的正常数；
2.Poisson 输入,即假定 服从参数为
L
21
,TT dii,.
n
T
n
T λ 的负指数分布,密度为 ； 3,阶
Erlang 输入，即假定 服从参数为
)0( ≥
t
t
Ie
λ
λ k
n
T λ,k 的 Γ分布，密度为
)0(
1
)!1(
)(
≥
t
t
k
Ie
k
t
λ
λλ； 4.
一般分布其它的分布。 服务规则可以按顾客分,例如所有顾客一律平等,或者有优先型顾客。 或者有照顾型的顾客； 也可以按服务窗口分,例如各窗口平等,或者各窗口提供不同类型的服务,顾客选择窗口排队； 也可根据规则分类,例如消失制,即顾客到达时如不能服务就自行离去不排队 (例如打电话 ),或者是等待制，
未能马上服务时先到等待的服务队列中排队,再细分先到先服务,优先权先服务、
随机服务等,或者混合制,顾客即可选择离去也可选择等待。 服务机构一般包括服务设施的数量，每一服务设施的服务速度等。服务速度看成随机变量又分为
1.定常服务 (其实非随机的 )； 2,负指数分布； 3,阶 Erlang 分布； 4.一般分布等。 k
一般服务系统通常研究 的是以下几个指标,1.平均等待时间 (从顾客到达至接受服务的时间 )； 2.平均逗留时间 (从顾客到达至顾客离开服务系统的时间 )； 3.平均队长 (正在等待的顾客服务数 )； 4.服务系统内顾客平均数 (包括正在等待的顾客服务数和正在被服务的顾客数) ； 5.闲置概率 (全部设施都处在闲置的概率 )； 6.忙期 (服务机构连续繁忙的时间 )等。 不同的问题有其特定的一些指标。 通常采用 Kendall 记号来表示一个随机服务系统。 用,,来表示一个服务系统,左起第一个 *表示输入类型,用,
q
W
s
W
q
L
s
L
(**)/*/*/**
D M,和 G表示定常输入、
Poisson 输入,k 阶 Erlang 输入和一般输入； 左起第二个 *表示服务速度的分布类型； 左起第三个 *表示服务设施的个数； 左起第四个 *表示系统容量,即允许最大顾客等待数，一般缺省时表示
k
E
∞，括号里的 *用来解释服务规则。
例 5.5.1：考 虑 表示随机服务系统是 Poisson 输入,服务速度服从负指数分布,系统有 n个服务设施,系统容量为无穷,顾客到达时若不能马上服务将排队等待按照先到先服务的规则。 设输入强度为
)(// FIFOnMM
λ,服务强度为 μ,这是一
11
个生灭过程，其 Q矩阵有形状
μ
0
OOO
OOOO
O
OOO
λμλμ
λμλμ
λμλ
λλ
nn0
022
0
0
即 0,)( ≥∧= iniq
ii
μλ,0,
1,
≥=
+
iq
ii
λ,1,)(
1,
≥∧=
iniq
ii
μ,2,0 ≥?= jiq
ij
。
由,得到 0=?Qp
≥
≤≤
=
njp
nn
njp
j
p
njn
j
j
,
!
1
11,
!
1
0
0
μ
λ
μ
λ
μ
λ
当 μλ n< 时，平稳分布存在，其中
1
1
0
0
!
1
!
1
=
+
=
∑
λμ
μ
μ
λ
μ
λ
n
n
nj
p
n
n
j
j
。条件
μλ n< 的意义很明了,λ 为单位时间内到达顾客的平均数,μ 是单位时间内一台服务设施服务顾客的平均数,如果 μλ n≥,则服务设施服务速度赶不上顾客到达速度，势必使得服务系统顾客数越 来越多，系统不能达到平衡。 即为系统空闲的概率，而顾客来到服务系统不能马上接受服务需要等待的概率
0
p
0
!
1
p
n
n
n
pp
n
nj
jw
λμ
μ
μ
λ
==
∑
∞
=
。系统达到平衡时，就有
qq
WL?=λ
称为 Little 公式,其 意 义 是 在系统稳定的条件下,某一顾客结束服务退出服务状态时回头看到的队列的平均长度 应该等于该顾客在等待过程中平均进入服务系统的顾客数(无论到达时间间隔以及 服务时间服从什么分布)。 同理有关系
q
L
ss
WL?=λ 。为计算平均等待时间,先计算顾客等待时间这个随机变量 W 的
q
W
12
分布。对于此例来说，首先 ；
∑
=
==
1
0
)0(
n
j
j
pWP 0>?t,
()
∑
∞
=
>=>
nj
j
jtWPptWP )( 名顾 客系统中有 。若 令 表示在时间间隔 t之内服务机构完成的顾客数 (注意 是强度为
)(tM
)(tM μn 的 Poisson 过程 )，则
njitMPjtWP
nj
i
≥==>
∑
=
,))(()(
0
名顾客系统中有 。
因此
()
()tn
n
i
i
tn
n
i
i
i
tn
n
ik
k
i
i
tn
n
k
i
i
k
k
tn
n
nj
nj
i
i
tn
nj
n
nj
nj
i
i
tn
j
nj
nj
i
j
ep
n
n
i
t
n
n
ep
n
n
ni
tn
ep
ni
tn
ep
i
tn
n
ep
i
tn
e
n
p
i
tn
epitMPptWP
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∞
=
∞
=
=
∞
=
=
∞
=
=
=
=
=
=
=
=
===>
∑
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
λμμ
μμ
μμ
μ
λμ
μλ
λμ
μ
λμ
μ
μ
λμ
μ
λμ
μ
μ
λμ
μ
λ
μ
0
00
000
00
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
))((
从而
0
22
!
1
)()(
p
nn
n
p
n
n
EWW
n
nq
=
==
μ
λ
λμ
μ
λμ
μ
,
μ
1
+=
qs
WW 。 一个闲期是指从系统中最后一个顾客离去到此后第一个顾客到达,由指数分布的无记忆性,故平均一个闲期的长度是
λ
1
。 在系统达到稳定时,在相当长的一个长度为 L 的时间区间内,有大约 Lλ 个顾客到达,闲期的总长度是,忙期的总长度为,
由于一个闲期的平均长度为
Lp
0
Lp )1(
0
λ
1
，故闲期的平均个数为 Lp
0
λ,闲期和忙期是交 错的,故忙期的平均个数也为 Lp
0
λ,因此一个忙期的平均长度为
0
0
1
p
p
λ
。 由于 Lλ 位顾客平均的在 Lp
0
λ 个忙期中得到服务,因此一个忙期中应该平均服务了
0
1
p
个顾客。
13
5.1 连续时间 Markov 链
连续时间 Markov 链的要旨仍然是 Markov 性,与上一章不同之处在于指标集
（这里表示时间）取值连续，通常为 { }0≥tt 。状态仍然是离散的，最多取可数个值，我们用整数值 表示。 L2,1,0
定义 5.1.1：设随机过程 状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S,若对所有,
和 以及 满足
0,≥ts
su <≤0 Sji ∈,Sux ∈)(
()( )isXjtsXPsuuxuXisXjtsXP ==+=<≤===+ )()(0),()(,)()(
则称 为 连续时间 Markov 链 。 0),( ≥ttX
一般 isXjtsXP ==+ )()( 称为转移概率，与时间 有关，若进一步此概率与 无关则随机过程 称为 有平稳转移概率 的连续时间 Markov 链。 此时记
ts,
s )(tX
()( )iXjtXPisXjtsXPtP
ij
=====+= )0()()()()( 。 以下不特别指明，所涉及到的连续时间 Markov 链是指有平稳转移概率的连续时间 Markov 链。 若过程初始分布为,于是有 ))0(( iXPp
i
==
定理 5.1.1,连续时间 Markov 链的转移概率 SjitP
ij
∈,),( 和初始分布 完全确定了过程的任意有限维分布。
Sip
i
∈,
转移概率 的性质。首先SjitP
ij
∈,),( 1)(,0)( =≥
∑
∈Sj
ijij
tPtP ；其次,
( ) ( )
()()
∑∑
∑
∑
∈∈
∈
∈
===+===
===+===
===+===+=+
Sk
kjik
Sk
Sk
Sk
ij
tPsPksXjtsXPiXksXP
iXksXjtsXPiXksXP
iXksXjtsXPiXjtsXPtsP
)()()()()0()(
)0(,)()()0()(
)0()(,)()0()()(
即 满足 Chapman-Kolmogorov 方程。 若过程不能刚到某个状态就瞬间离去即)(tP
ij
1
ijij
t
tP δ=
↓
)(lim
0
，此条件称为 标准性条件,约定
ijij
P δ=)0( 。标准性条件意味着
。 Chapman-Kolmogorov 方程写成矩阵形式有 。 )0()(lim
0
PtP
t
=
↓
)()()( tPsPtsP =+
5.2 矩阵与 Kolmogorov 向前、向后微分方程 Q
设 为标准连续时间 Markov 链,状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S,转移概率
。 SjitP
ij
∈,),(
引理 5.2.1,对给定,为 的一致连续函数。 Sji ∈,)(tP
ij
t
证明：设,0>h
[]
∑
∑
∞
≠=
∞
=
+=
=?+
ikk
kjikijii
ij
k
kjikijij
tPhPtPhP
tPtPhPtPhtP
,0
0
)()()()(1
)()()()()(
由此可知
[][])(1)()(1)()()()()(
0
hPtPhPtPtPhPtPhtP
iiijiiij
k
kjikijij
≥≥?=?+
∑
∞
=
)(1)()()()()()()(
,00
hPtPhPtPtPhPtPhtP
ii
ikk
kjikij
k
kjikijij
=≤?=?+
∑∑
∞
≠=
∞
=
因此 )(1)()( hPtPhtP
iiijij
≤?+ ；当 0<h 时有类似不等式，故一般地有
)(1)()( hPtPhtP
iiijij
≤?+
令 就得到证明。 0→h
引理 5.2.2,当 ji ≠,∞<=
↓
ij
ij
t
q
t
tP )(
lim
0； ∞≤?==
↓
iii
ii
t
t
tP )(1
lim
0
。
引理 5.2.3,。 ∞≤≤≤
∑
≠
i
ij
ij
qq0
证明：任意固定,由于N
t
tP
t
tP
t
tP
ii
ijj
ij
N
ijj
ij
)(1
)()(
,0,0
=≤
∑∑
∞
≠=≠=
。令 有0↓t
2
i
N
ijj
ij
qq ≤
∑
≠=,0
，在令,立得。 ∞→N
定义 5.2.1,矩阵 ( )
Sji
ij
∈
=
,
称为标准连续时间 Markov 链的 Q-矩阵 （密度矩阵） 。
Q -矩阵有以下性质,
1) ； Siq
ii
∈≤≤∞?,0
2) Sjiq
ij
∈≠∞<≤,0 ；
3) 。 Siqqq
iii
ij
ij
∈∞≤=?≤≤
∑
≠
,0
考察 Q -矩阵的概率含义。设 iX =)0( 令 { }itXt
i
≠>= )(,0infτ,表示首次离开状态 的时刻。 i
定理 5.2.1,设 为标准连续时间 Markov 链(具有右连续轨道)，则 0),( ≥ttX
tq
i
i
eiXtP
==> ))0((τ
证明,
[]
tqii
ii
ii
s
ii
s
n
n
ii
n
n
ii
n
n
n
ii
n
n
n
n
i
i
n
e
s
sP
sP
sP
t
s
sP
tt
t
t
P
t
P
t
P
iXki
kt
XP
iXtsisXPiXtP
↓
↓∞→
∞→∞→
∞→
=
+
=
=?
=
=
=
====
=≤≤===>
1)(
1)(
1)(1ln
limexp
)(ln
limexp
2
2
ln
explim
2
ln2explim
2
lim
)0(2,1,0,)
2
(lim
))0(0,)(())0((
0
0
2
L
τ
从而 ()
i
i
q
iXE
1
)0( ==τ 。 决定过程在状态 i上停留时间的长短，可以看成过程离开状态 i的速率。 当,则
i
q
0=
i
q 1))0(( ==∞= iXP
i
τ,链几乎永远不离开状态 i，
此时称状态 为 吸收态 (absorbed state)；当i ∞=
i
q,则 1))0(0( === iXP
i
τ,链 几
3
乎立即离开状态 i,此时称状态 为 瞬过态 (transient state)；当i ∞<<
i
q0 时,链停留在状态 的时间服从指数分布，此时称状态 为 稳定态 (steadible state)。此外若
，则称状态 i为 保守的 (conservative)，若所有状态为保守的，则称链为 保守链,此时称 Q-矩阵为保守的。
i i
∞<=
∑
≠
i
ij
ij
定理 5.2.2,在定理 5.2.1 的条件下，设 是一个稳定状态，则对i ij ≠
i
ijsq
q
q
eiXjXsP(τ
i
)1())0()(,
===< τ
特别令,有∞→s
i
ij
q
q
iXjXP === ))0()(( τ 。
证明：由定理 5.2.1,在 iX =)0( 条件 τ 是连续型随机变量，故
0))0()(,( ==== iXjXsP ττ 。 令
=≠
=L2,1,0,
2
:
2
inf ki
k
X
k
nn
n
τ,则 。 ττ ↓
n
[]
[]
i
ijsq
n
n
ij
n
n
ii
s
n
ii
n
n
ij
n
ii
s
n
ii
n
sk
n
ij
k
n
ii
n
sk
nn
n
sk
n
n
n
n
nn
n
q
q
e
P
P
P
P
P
P
PP
iXkmi
m
Xj
k
XP
iXjX
k
P
iXjXsPiXjXsP
i
n
n
n
n
n
)1(
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
lim
2
1
2
1
1
2
1
1
lim
2
1
2
1
lim
)0(1,2,1,
2
,
2
lim
))0()(,
2
(lim
))0()(,(lim))0()(,(
2
2
2
1
2
2
∞→
∞→
≤
∞→
≤
∞→
≤
∞→
∞→
=
=
=
=
=?==
=
=
====
==≤===≤
∑
∑
∑
L
ττ
ττττ
))0()(( iXjXP ==τ 表示过程离开 i立刻转到 j 的概率，由于 表示过程离开状
i
q
4
态 i的速率，因此 ))0()(( iXjXPqq
iij
==?= τ 表示过程从状态 i转到状态 j 的速率。
定理 5.2.3,保守则Q SitPqtPqtP
ik
kjikijiij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(,即 ；若且
)()( tQPtP′ =
j
qS,∈j ∞< jkq
h
hP
kj
kj
h
≠=
↓
,
)(
lim
0
关于 一致成立，则k
SjqtPqtPtP
jk
kjikjijij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(,即 QtPtP )()( =′ 。
证明：由,0>h
∑
≠
+
=
+
ik
kj
ik
ij
ii
ijij
tP
h
hP
tP
h
hP
h
tPhtP
)(
)(
)(
)(1
)()(
∑∑
∑∑
≠=
∞
≠+=
∞
≠+=≠=
=≤
=?
+
+
N
ikk
ikii
ikNk
ik
ikNk
kj
ik
N
ikk
kj
ik
ij
ii
ijij
h
hP
h
hP
h
hP
tP
h
hP
tP
h
hP
tP
h
hP
h
tPhtP
,0,1
,1,0
)()(1)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(1
)()(
令 有0→h
∑∑
≠=≠=
≤?+′
N
ikk
iki
N
ikk
kjikijiij
qqtPqtPqtP
,0,0
)()()(,由 保守,再令 即得 。
Q ∞→N
SitPqtPqtP
ik
kjikijiij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(
由,0>h
∑
≠
+
=
+
jk
kj
ikij
jjijij
h
hP
tPtP
h
hP
h
tPhtP )(
)()(
)(1)()(
，令 和条件立得 。
0→h
SjqtPqtPtP
jk
kjikjijij
∈+?=′
∑
≠
,)()()(
微分方程 称为 Kolmogorov 向后微分方程,而微分方程称为 Kolmogorov 向前微分方程 。
)()( tQPtP =′ QtPtP )()( =′
在实际问题中，要得到转移概率 ( ))()( tPtP
ij
= 往往是困难的，但它的密度矩阵 ( )
ij
qQ = 是由 在 的导数组成，换言之,Q刻画的是 的无穷小特征,仅由过程在
)(tP
ij
0=t )(tP
0=t 附近的运动就可以得到,所以实际问题中是先得到 ( )
ij
qQ =,
再利用向前或者向后方程求出 。 )(tP
例 5.2.1,设随机信号以 0,1 传输,表示 t时刻接收到的信号。 是)(tX 0),( ≥ttX
5
以 为状态空间的齐次连续时间 Markov 链。由于信号是随机的，设信号的改变与时间长短成正比，即
{}1,0=S
).()(),()(
1001
hohhPhohhP +=+= μλ
由此得到 矩阵为,向前微分方程为,Q
=
μμ
λλ
Q
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
101111
111010
000101
010000
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
tPtPtP
λμ
μλ
λμ
μλ
+?=′
+?=′
+?=′
+?=′
。
再由初始条件(标准性条件)，解出
)(1)(
)(1)(
10
)(
11
01
)(
00
tPetP
tPetP
t
t
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+?
+?
μλ
μλ
μλ
μ
μλ
λ
μλ
μ
μλ
λ
。
5.3 Poisson 过程
定义 5.3.1,设连续时间随机过程 具有状态空间0),( ≥ttN { }L2,1,0=S,若对任意
,表示在 内“事件”发生的次数，则称 为 计数过程 (counting
process)。
0>t )(tN ],0[ t )(tN
定义 5.3.2,随机过程 称为 独立增量过程 (independent increment process)，
若对任意正整数 及任意时刻点
0),( ≥ttN
n
n
ttt <<<<L
21
0,增量
)()(),()(),0()(
1121?
nn
tNtNtNtNNtNL是相互独立的随机变量。此外若增量
)0)(()( tssNtN <≤? 的分布仅依赖与时间差 st?,则称 具有平稳增量的独立增量过程 。
定义 5.3.3：一个计数过程 称为 Poisson 过程,若 0),( ≥ttN
1) ； 0)0( =N
2) 是独立增量过程； )(tN
6
3) 对任意 增量0,≥ts )()( sNtsN?+ 的分布服从强度为 tλ 的 Poisson 分布，即 ()L2,1,0,
!
)(
)()( ===?+
n
n
te
nsNtsNP
nt
λ
λ
。
定义 5.3.4：一个计数过程 称为 Poisson 过程，若 0),( ≥ttN
1) ； 0)0( =N
2) 是具有平稳增量的独立增量过程； )(tN
3) ()( ) )(2)()(),(1)()( hotNhtNPhohtNhtNP =≥?++==?+ λ 。
定理 5.3.1：定义 3 定义 4。
Poisson 过程的数字特征,ttENt λμ == )()(,),min(),( tsts λ=Γ 。 Poisson 过程矩阵为 。 Q
OO
λλ
λλ
下面考虑与 Poisson 过程相联系的一些随机变量的分布。
考虑直线上的 Poisson 过程,其样本路径如图 )(tN
N(t)
1
τ
2
τ
3
τ
W1 W2 W3 t
3
2
1
0
n
τ 表示第 次事件与第 次事件发生 （到达） 的时间间隔,表示第 次事件发生的时刻（到达时刻）,。
1?n n
n
w n
∑
=
=
n
i
in
w
1
τ
定理 5.3.2：L2,1,=n
n
τ 独立同分布都服从参数为 λ （均值为
λ
1
）的指数分布，
7
即密度函数为 ； 服从参数为
<
≥
=
0,0
0,
)(
t
te
tf
t
n
λ
τ
λ
n
w λ,n 的 Γ分布,即密度函数为
<
≥
=
0,0
0,
)!1(
)(
)(
1
t
t
n
t
e
tf
n
t
w
n
λ
λ
λ
。
证明：由于事件 { }{ 0)(
1
}=?> tNtτ,故 ( ) ( )
t
et =)NPtP
λ
τ
==> 0(
1
，
1
τ 服从参数为 λ 为指数分布。而
( ) ( )
()(
t
etNPsNtsNP
stssPstP
λ
τττ
====?+=
=+==>
0)(0)()(
],(
112
中事件不发生
故
2
τ 与
1
τ 独立且
2
τ 服从参数为 λ 指数分布。类似对
n
τ 证明。由于事件
，故{}{ ntNtw
n
≥?≤ )( } ()( )
∑
∞
=
=≥=≤
nj
j
t
n
j
t
entNPtwP
!
)(
)(
λ
λ
,两 边求导,立得的密度函数为
n
w
<
≥
=
0,0
0,
)!1(
)(
)(
1
t
t
n
t
e
tf
n
t
w
n
λ
λ
λ
。
定理 5.3.3：给定,到达时间 的联合分布密度为 ntN =)(
n
wwwL,,
21
≤<<<
=
=
otherwise
twwtn
wwf
n
n
nntNww
n
,0
0,!
),(
1
1)(,
1
L
L
L
证明：设 thtthtthtt
nnn
≤+<<<+<<+<≤<L
222111
0,则
( )
()
()
()
n
n
n
t
htt
n
hhtthhttht
nnnnnnnn
nnnn
nnnn
hhhtn
n
t
e
eheeeehee
ntNP
htNtNtNhtNhtNtN
tNhtNhtNtNtNhtNtN
P
ntNP
ntNhtwthtwthtwtP
ntNhtwthtwthtwtP
nnnnnn
L
L
L
L
L
21
)()()(
1
11
222121111
22221111
22221111
!
!
)(
)(
0)()(,1)()(,0)()(
1)()(,0)()(,1)()(,0)(
)(
)(,,,
)(,,
11211211
=
=
=
=+?=?+=+?
=?+=+?=?+=
=
=
=+≤≤+≤≤+≤≤
=
=+≤≤+≤≤+≤≤
λ
λλ
λ
λλλλλλλ
因此,的联合密度为
n
wwwL,,
21
8
≤<<≤
=
=
otherwise
twwtn
wwf
n
n
nntNww
n
,0
0,!
),(
1
1)(,
1
L
L
L
。
(注意此分布与 个独立的 上均匀分布的顺序统计量的分布一致。 故n ],0[ t
.)()()(
0
1
∫
∑
=?
=
=
t
n
i
i
dxxg
t
n
ntNwgE )
5.5 生灭过程
定义 5.5.1,设连续时间 Markov 链,状态空间为0),( ≥ttX { }L2,1,0=S,具有标准平稳的转移概率,若 SjitP
ij
∈,),(
1) ;2,1,0),()(
1,
L=+=
+
ihohhP
iii
λ
2) L,2,1),()(
1,
=+=
ihohhP
iii
μ ；
3) L2,1,0),()(1)( =++?= ihohhP
iiii
μλ
4) 0,,0
0
>=
ii
μλμ 其余 。
则称 为 生灭过程 （ Birth and Death Process）,)(tX
ii
μλ,分别称为 新生率 和 死亡率 。若 1,0 ≥= i
i
μ 称为 纯生过程,0,0 ≥= i
i
λ 称为 纯灭过程 。
生灭过程的 Q矩阵为
+?
+?
=
O
O
iiii
Q
λμλμ
λμλμ
λλ
)(
)(
1111
00
生灭过程的 Q矩阵是 保守的 。其向后微分方程为
)()()(
1),()()()()(
10000
,1,1
tPtPtP
itPtPtPtP
jjj
jiiijiijiiij
λλ
μμλλ
+?=′
≥++?=′
+；
向前微分方程为
9
)()()(
1),()()()()(
11000
1,11,1
tPtPtP
jtPtPtPtP
iii
jijijjjjijij
μλ
μμλλ
+?=′
≥++?=′
++
考虑向前方程,以 ))(()( jtXPtP
j
==,在向前方程两端同乘 在对 i求和得到
))0(( iXP =
)()()(
1),()()()()(
11000
1111
tPtPtP
jtPtPtPtP
jjjjjjjj
μλ
μμλλ
+?=′
≥++?=′
++
。
考虑系统在稳态时的情形，即 ∞→t 时系统趋于稳定（在一定条件下）,此时
，故有 0)(lim,)(lim =′=
∞→∞→
tPptP
j
t
jj
t
0
1,0)(
1100
1111
=+?
≥=++?
++
pp
jppp
jjjjjjj
μλ
μμλλ
,
(注意 )。满足上面条件的1,,0 =∈≥
∑
∈Sj
jj
pSjp { }
i
p 称为过程的平稳分布，即
，()L,,,,0
210
ppppQp ==? 1,,0 =∈≥
∑
∈Sj
jj
pSjp 。 上面的方程也可由下面的一个链式图简单的得到,
当 1,0 ≥> j
j
μ 时可以求得
0
1
0
1
pp
μ
λ
=,L,
0
21
10
2
pp
μμ
λλ
=,L
L
L
,
0
21
110
pp
j
j
j
μμμ
λλλ
=
由于,故1
0
=
∑
∞
=j
j
p
1
1 21
110
0
1
∞
=
+=
∑
j j
j
p
μμμ
λλλ
L
L
。
生灭过程在 随机服务系统 中有着重要的应用。 一个随机服务系统包括三个组成部分,输入过程,服务规则和服务机构 。 输入过程用来刻画到服务机构请求为之服务的顾客到来的规律。记 0
0
=τ,对,1≥n
n
τ 表示第 n个顾客到来的时刻，
1?
=
nnn
T ττ 表示第 个顾客到达至第 个顾客到达之间的时间间隔，一般假1?n n
10
定 是 的,常见输入有下列几种,1.定常输入,即 为非随机的正常数；
2.Poisson 输入,即假定 服从参数为
L
21
,TT dii,.
n
T
n
T λ 的负指数分布,密度为 ； 3,阶
Erlang 输入，即假定 服从参数为
)0( ≥
t
t
Ie
λ
λ k
n
T λ,k 的 Γ分布，密度为
)0(
1
)!1(
)(
≥
t
t
k
Ie
k
t
λ
λλ； 4.
一般分布其它的分布。 服务规则可以按顾客分,例如所有顾客一律平等,或者有优先型顾客。 或者有照顾型的顾客； 也可以按服务窗口分,例如各窗口平等,或者各窗口提供不同类型的服务,顾客选择窗口排队； 也可根据规则分类,例如消失制,即顾客到达时如不能服务就自行离去不排队 (例如打电话 ),或者是等待制，
未能马上服务时先到等待的服务队列中排队,再细分先到先服务,优先权先服务、
随机服务等,或者混合制,顾客即可选择离去也可选择等待。 服务机构一般包括服务设施的数量，每一服务设施的服务速度等。服务速度看成随机变量又分为
1.定常服务 (其实非随机的 )； 2,负指数分布； 3,阶 Erlang 分布； 4.一般分布等。 k
一般服务系统通常研究 的是以下几个指标,1.平均等待时间 (从顾客到达至接受服务的时间 )； 2.平均逗留时间 (从顾客到达至顾客离开服务系统的时间 )； 3.平均队长 (正在等待的顾客服务数 )； 4.服务系统内顾客平均数 (包括正在等待的顾客服务数和正在被服务的顾客数) ； 5.闲置概率 (全部设施都处在闲置的概率 )； 6.忙期 (服务机构连续繁忙的时间 )等。 不同的问题有其特定的一些指标。 通常采用 Kendall 记号来表示一个随机服务系统。 用,,来表示一个服务系统,左起第一个 *表示输入类型,用,
q
W
s
W
q
L
s
L
(**)/*/*/**
D M,和 G表示定常输入、
Poisson 输入,k 阶 Erlang 输入和一般输入； 左起第二个 *表示服务速度的分布类型； 左起第三个 *表示服务设施的个数； 左起第四个 *表示系统容量,即允许最大顾客等待数，一般缺省时表示
k
E
∞，括号里的 *用来解释服务规则。
例 5.5.1：考 虑 表示随机服务系统是 Poisson 输入,服务速度服从负指数分布,系统有 n个服务设施,系统容量为无穷,顾客到达时若不能马上服务将排队等待按照先到先服务的规则。 设输入强度为
)(// FIFOnMM
λ,服务强度为 μ,这是一
11
个生灭过程，其 Q矩阵有形状
μ
0
OOO
OOOO
O
OOO
λμλμ
λμλμ
λμλ
λλ
nn0
022
0
0
即 0,)( ≥∧= iniq
ii
μλ,0,
1,
≥=
+
iq
ii
λ,1,)(
1,
≥∧=
iniq
ii
μ,2,0 ≥?= jiq
ij
。
由,得到 0=?Qp
≥
≤≤
=
njp
nn
njp
j
p
njn
j
j
,
!
1
11,
!
1
0
0
μ
λ
μ
λ
μ
λ
当 μλ n< 时，平稳分布存在，其中
1
1
0
0
!
1
!
1
=
+
=
∑
λμ
μ
μ
λ
μ
λ
n
n
nj
p
n
n
j
j
。条件
μλ n< 的意义很明了,λ 为单位时间内到达顾客的平均数,μ 是单位时间内一台服务设施服务顾客的平均数,如果 μλ n≥,则服务设施服务速度赶不上顾客到达速度，势必使得服务系统顾客数越 来越多，系统不能达到平衡。 即为系统空闲的概率，而顾客来到服务系统不能马上接受服务需要等待的概率
0
p
0
!
1
p
n
n
n
pp
n
nj
jw
λμ
μ
μ
λ
==
∑
∞
=
。系统达到平衡时，就有
WL?=λ
称为 Little 公式,其 意 义 是 在系统稳定的条件下,某一顾客结束服务退出服务状态时回头看到的队列的平均长度 应该等于该顾客在等待过程中平均进入服务系统的顾客数(无论到达时间间隔以及 服务时间服从什么分布)。 同理有关系
q
L
ss
WL?=λ 。为计算平均等待时间,先计算顾客等待时间这个随机变量 W 的
q
W
12
分布。对于此例来说，首先 ；
∑
=
==
1
0
)0(
n
j
j
pWP 0>?t,
()
∑
∞
=
>=>
nj
j
jtWPptWP )( 名顾 客系统中有 。若 令 表示在时间间隔 t之内服务机构完成的顾客数 (注意 是强度为
)(tM
)(tM μn 的 Poisson 过程 )，则
njitMPjtWP
nj
i
≥==>
∑
=
,))(()(
0
名顾客系统中有 。
因此
()
()tn
n
i
i
tn
n
i
i
i
tn
n
ik
k
i
i
tn
n
k
i
i
k
k
tn
n
nj
nj
i
i
tn
nj
n
nj
nj
i
i
tn
j
nj
nj
i
j
ep
n
n
i
t
n
n
ep
n
n
ni
tn
ep
ni
tn
ep
i
tn
n
ep
i
tn
e
n
p
i
tn
epitMPptWP
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
∞
=
∞
=
=
∞
=
=
∞
=
=
=
=
=
=
=
=
===>
∑
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
λμμ
μμ
μμ
μ
λμ
μλ
λμ
μ
λμ
μ
μ
λμ
μ
λμ
μ
μ
λμ
μ
λ
μ
0
00
000
00
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
!
)(
))((
从而
0
22
!
1
)()(
p
nn
n
p
n
n
EWW
n
nq
=
==
μ
λ
λμ
μ
λμ
μ
,
μ
1
+=
qs
WW 。 一个闲期是指从系统中最后一个顾客离去到此后第一个顾客到达,由指数分布的无记忆性,故平均一个闲期的长度是
λ
1
。 在系统达到稳定时,在相当长的一个长度为 L 的时间区间内,有大约 Lλ 个顾客到达,闲期的总长度是,忙期的总长度为,
由于一个闲期的平均长度为
Lp
0
Lp )1(
0
λ
1
，故闲期的平均个数为 Lp
0
λ,闲期和忙期是交 错的,故忙期的平均个数也为 Lp
0
λ,因此一个忙期的平均长度为
0
0
1
p
p
λ
。 由于 Lλ 位顾客平均的在 Lp
0
λ 个忙期中得到服务,因此一个忙期中应该平均服务了
0
1
p
个顾客。
13
