第三章 鞅与停时
3.1 停时 (可选时 )
设 为基本概率空间，参数集 T 或为),,( PF? ),0[ ∞=
+
R 或为,
令 为一簇上升的
{}L2,1,0=
+
Z
Tt
t
∈,F σ -域，即对一切 FFF<∈
ts
tsTts,,,。
定义 3.1.1,取值于 { }∞+=
++
URR 或 { }∞+=
++
UZZ 上的随机变量 τ 称为(相对于 σ -域 )停时(可选时) (stopping time or optional time)，如果对每个
t
F
{}{}
t
ttwwRt F∈≤=≤∈
+
ττ )(:,(或者对每个 { }
n
nZn F∈≤∈
+
τ,)。
对于离散时间的停时有另外一个刻划,τ 为停时若对每个
{}
n
nZn F∈=∈
+
τ,。
以 τ 表示某个随机现象发生的时刻，事件 { }t≤τ 表示该随机现象在 以前已经发生,表示到时刻 所已知的信息,若
t
t
F t τ 为停时,即 { }
t
t F∈≤τ,表 明该随机现象 (相对于 σ -域 )是,可观察,的。
t
F
例 3.1.1,某 人在赌博时决定当胜局累计 100 次时停止赌博,停止赌博的时刻 τ 是一个随机时间,是赌到第 局时赌博者所能掌握的信息，
n
F n { }n=τ 依赖于前 局的结果，故
n
{}
n
n F∈=τ,τ 为停时。
例 3.1.2,设随机过程 样本路径连续，TttX ∈),( ):)(( tssX
t
≤=σF,。
设 为闭集,令
I
ts
st
>
+
= FF
A {AtXTt
A
∈∈= )(minτ }(约定空集时为 ∞+ ),表示过程首次进入
A的时刻，
A
τ 称为 首中时 (hitting time)，则
A
τ 对于 σ -域 是停时； 若 为开集，
首中时
t
F A
{AtXTt
A
∈∈= )(infτ }(约定空集时为 ∞+ )，对 于 σ -域 不是停时,但对于
t
F
σ -域 是停时；令
+t
F τ 表示过程最后离开 A的时刻，则 τ 不是停时。
1
Dynkin,random time independent of the future”
性质,
1,常值时间 c为停时，此外若 τ 为停时,为常数，则0≥c c+τ 为停时；
2,设
21
,ττ 为停时，则 ( )
2121
,min ττττ =∧,( )
2121
,max ττττ =∨ 为停时；
3,设
21
,ττ 为停时，则
21
ττ + 为停时；
4,设 LL ≤≤≤≤
n
τττ
21
为停时，则
n
n
ττ
∞→
= lim 为停时。
定义 3.1.2：停时 τ 的 τ 前事件 σ -域 定义为
τ
F { }{ }TttAA
tτ
∈∈≤∈=,FFF τI,。
τ
F 直观上的含义：若随机事件 在时间A τ 前就知道是否发生，现在到了时间 t，
若 t≤τ,则当然应该知道随机事件 是否发生。 A
定理 3.1.1,τ 是 可测的，且在
τ
F { }t=τ 上，
tτ
FF = 。
定理 3.1.2,设 τσ,为停时,则 { }
τ
AA FF ∈≤?∈ τσ
σ
I,从而若 τσ ≤ 则 。
τ
FF?
σ
3.2 离散指标鞅
设 为概率空间,{ 为一列单调增的子),,( PF? }
n
F σ -域 (代数 )，即,
随机变量序列 称为对于 { 是 适应的 (adapted),若对任意,
1+
nn
FF
{
n
X } }
n
F n
nn
X F?)(σ,
即 是 可测的。 对于随机变量序列
n
X
n
F { }
n
X,总可以找到与之适应的 单调增 的一列 σ -域,此
n
F σ -域 称为一个,筛选,(filtration)。 例如取
n
F ),,(
10 nn
XXX Lσ=F 。
若 对于单调增的 是适应的,我们用偶序对 表示。 称 { 对于 { 是可预料的 (predictable)，若对任意 n,是 可测的。
n
X
n
F ),(
nn
X F }
}
n
X }
n
F
n
X
1?n
F
定义 3.2.1,适应随机过程 {,称为是 鞅 (martingale),如 果对任意,0,,≥nX
nn
F n
2
∞<
n
XE 且 ()
nnn
XXE =
+
F
1
。若 ( )
nnn
XXE ≥
+
F
1
，则称为 下鞅 (sub-martingale)；
若 ()
nnn
XXE ≤
+
F
1
，则称为 上鞅 (super-martingale)。
显然,为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅；若 为下鞅等价 于 为上鞅。
n
X
n
X
n
X?
例 3.2.1,设 为任随机变量，L,,
10
YY X 为随机变量且 ∞<XE 。令
),(
0 nn
YY Lσ=F,()( )
nnn
XEYYXEX F== L,
0
，则 相对于 为鞅。
n
X
n
F
基本性质,
1),{ 为鞅，则对任意常数,{}
nn
X F,}
nn
Y F,ba,{ }
nnn
bYaX F,+ 为鞅 ;
2) 为鞅，则对任意{
nn
X F,} nm ≤,( )
mmn
XXE =
+
F
1；
3) 为鞅，则对任意,{
nn
X F,} n
0
EXEX
n
= ；
4) 若 为鞅，且对任意 n,,则对任意,{
nn
X F,} ∞<
2
n
EX nml ≤≤
()0=?
lmn
XXXE ；此外对任意 nm ≤,
( ) ( )
222
)(
mmnmmn
XFXEXXE?=? F 。
定理 3.2.1,Doob-Meyer 下鞅分解定理 (sub-martingale decomposition theorem)
设 { 是下鞅,则 可以唯一分解为}0,,≥nX
nn
F
n
X
nnn
AMX +=,其中 为 鞅,
是 可预料的增过程 ( )。
n
M
n
A
0
0
=A
证明,令 () 0
11
≥?=
nnnn
XFXEa,令 0
0
=A,为 可测的,故 是可预料的增过程。令
∑
=
=
n
k
kn
aA
1
1?n
F
n
A
nnn
AXM?=,易证 是鞅。往证分解唯一性。若
，则
n
M
nnnnn
AMAMX ′+′=+=
nnnn
AAMM?′=′? 。一方面 为鞅，故
nn
MM ′?
()
111
′?=′?
nnnnn
MMMME F,令一方面
nnnn
AAMM?′=′? 为 可测，故
1?n
F
()
nnnnn
MMMME ′?=′?
1
F,因此
3
0
000011
=?′=′?==′?=′?
AAMMMMMM
nnnn
L 。
3.3,Doob 可选定理及鞅的收敛
设 τ 为取非负整数值的停时,令,称为 随机过程在
<
≥
==
nX
nX
XX
τ
n
n
τ
n
τ
τ
τ
,
,
),min( n
X
τ 处停止过程 。
引理 3.3.1：设 { 是鞅，则}
nn
X F,{ }
n
τ
n
X F,也是鞅。
定理 3.3.1,Doob 可选停止定理 (optional stopping theorem ) 设 { }
nn
X F,是鞅,若
..saστ ≤ 为两个有界停时，则 ( )
ττσ
XXE =F 。
证明：由于,.saστ ≤ 为有界停时，设一个上界为 K 。
()
{} {}
()
{}
()
{}
()
{} σσσ
σσσσσσ
XXIXEI
IXEIXEIXEXE
K
i
ii
K
i
iKi
K
i
iiK
K
i
iK
K
i
iKK
===
==
=
∑∑
∑∑∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11
111
F
FFFF
同理 ()
ττK
XXE =F 。注意到 。故
σ
FF?
τ
()( )( ) ( )
ττKτKτ
XXEXEEXE === FFFF
σσ
。
一般来说，停时有界的条件是不可缺少的。但如果 { }
n
X 一致可积，则对任何两个停时,.saστ ≤,都有 ()
ττ
XXE =F
σ
。
定理 3.3.2,(Doob optional sampling theorem) 设 { }
nn
X F,是鞅，
为非降有界停时，则LL ≤≤≤≤
n
ttt
21
{ }
nn
tt
X F,是鞅。 ( 称为 optional
sampling process)
n
t
X
给定区间,序列 上穿 区间的次数记为 。若为随机序列，则 也是随机变量。
],[ ba ),(
1 n
XXX L
r
= ],[ ba
)(
],[
n
ba
N
),(
1 n
XXX L
r
=
)(
],[
n
ba
N
引理 3.3.1,Doob 上穿不等式 (up-crossing inequality) 设为 { }
nn
X F,下鞅，则
4
ab
aXEaXE
XEN
nn
ba
≤
++
)()(
)(
1)(
],[
r
定理 3.3.3,Doob 下鞅收敛定理 设 { }
nn
X F,下鞅且 ∞<
n
n
XEsup,则存在几乎处处有限的随机变量记为,使 得
∞
X 1)lim( ==
∞
∞→
XXP
n
n
。 从而若 { }
nn
X F,为非负鞅，
则以概率 1 的有 存在且有限。
n
n
X
∞→
lim
例 3.3.1,(赌徒输光问题 )一个赌徒参加公平的赌博，即若 是赌徒在 n局之后的赌金,)
n
X
,,(
10 nn
XXX Lσ=F 为赌徒在 局后所掌握的信息，则 { 是鞅 。
现假设不能赊钱,且每一局至少赢或输 1 元 。 令
n }
nn
X F,
{ }
1
:min
+
==
nn
XXnN,表示赌徒被强迫退出时已赌的局数。由于 { }
nn
X F,为非负鞅，由收敛定理，以概率 1 的有 存在且有限。又由于若,则
n
n
X
∞→
lim nN > 1
1
≥?
+ nn
XX,因此 。
也就是以概率 1 赌徒最终要输光。
1)( =∞<NP
3.4 连续指标鞅
设 为概率空间，),,( PF? { }
t
F 为一族单调增的子 σ -代数，即若,则；对任意 t,为 可测的，则称随机过程 对于 { 是 适应的
(adapted)。
ts <
ts
FF? )(tX
t
F )(tX }
t
F
定义 3.4.1,随机过程 称为鞅,若对任意,{0,),( ≥ttX
t
F } t ∞<)(tXE,且对任意
，ts < ())()( sXtXE
s
=F 。
在一定条件下，前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。
5
3.1 停时 (可选时 )
设 为基本概率空间，参数集 T 或为),,( PF? ),0[ ∞=
+
R 或为,
令 为一簇上升的
{}L2,1,0=
+
Z
Tt
t
∈,F σ -域，即对一切 FFF<∈
ts
tsTts,,,。
定义 3.1.1,取值于 { }∞+=
++
URR 或 { }∞+=
++
UZZ 上的随机变量 τ 称为(相对于 σ -域 )停时(可选时) (stopping time or optional time)，如果对每个
t
F
{}{}
t
ttwwRt F∈≤=≤∈
+
ττ )(:,(或者对每个 { }
n
nZn F∈≤∈
+
τ,)。
对于离散时间的停时有另外一个刻划,τ 为停时若对每个
{}
n
nZn F∈=∈
+
τ,。
以 τ 表示某个随机现象发生的时刻，事件 { }t≤τ 表示该随机现象在 以前已经发生,表示到时刻 所已知的信息,若
t
t
F t τ 为停时,即 { }
t
t F∈≤τ,表 明该随机现象 (相对于 σ -域 )是,可观察,的。
t
F
例 3.1.1,某 人在赌博时决定当胜局累计 100 次时停止赌博,停止赌博的时刻 τ 是一个随机时间,是赌到第 局时赌博者所能掌握的信息，
n
F n { }n=τ 依赖于前 局的结果，故
n
{}
n
n F∈=τ,τ 为停时。
例 3.1.2,设随机过程 样本路径连续，TttX ∈),( ):)(( tssX
t
≤=σF,。
设 为闭集,令
I
ts
st
>
+
= FF
A {AtXTt
A
∈∈= )(minτ }(约定空集时为 ∞+ ),表示过程首次进入
A的时刻，
A
τ 称为 首中时 (hitting time)，则
A
τ 对于 σ -域 是停时； 若 为开集，
首中时
t
F A
{AtXTt
A
∈∈= )(infτ }(约定空集时为 ∞+ )，对 于 σ -域 不是停时,但对于
t
F
σ -域 是停时；令
+t
F τ 表示过程最后离开 A的时刻，则 τ 不是停时。
1
Dynkin,random time independent of the future”
性质,
1,常值时间 c为停时，此外若 τ 为停时,为常数，则0≥c c+τ 为停时；
2,设
21
,ττ 为停时，则 ( )
2121
,min ττττ =∧,( )
2121
,max ττττ =∨ 为停时；
3,设
21
,ττ 为停时，则
21
ττ + 为停时；
4,设 LL ≤≤≤≤
n
τττ
21
为停时，则
n
n
ττ
∞→
= lim 为停时。
定义 3.1.2：停时 τ 的 τ 前事件 σ -域 定义为
τ
F { }{ }TttAA
tτ
∈∈≤∈=,FFF τI,。
τ
F 直观上的含义：若随机事件 在时间A τ 前就知道是否发生，现在到了时间 t，
若 t≤τ,则当然应该知道随机事件 是否发生。 A
定理 3.1.1,τ 是 可测的，且在
τ
F { }t=τ 上，
tτ
FF = 。
定理 3.1.2,设 τσ,为停时,则 { }
τ
AA FF ∈≤?∈ τσ
σ
I,从而若 τσ ≤ 则 。
τ
FF?
σ
3.2 离散指标鞅
设 为概率空间,{ 为一列单调增的子),,( PF? }
n
F σ -域 (代数 )，即,
随机变量序列 称为对于 { 是 适应的 (adapted),若对任意,
1+
nn
FF
{
n
X } }
n
F n
nn
X F?)(σ,
即 是 可测的。 对于随机变量序列
n
X
n
F { }
n
X,总可以找到与之适应的 单调增 的一列 σ -域,此
n
F σ -域 称为一个,筛选,(filtration)。 例如取
n
F ),,(
10 nn
XXX Lσ=F 。
若 对于单调增的 是适应的,我们用偶序对 表示。 称 { 对于 { 是可预料的 (predictable)，若对任意 n,是 可测的。
n
X
n
F ),(
nn
X F }
}
n
X }
n
F
n
X
1?n
F
定义 3.2.1,适应随机过程 {,称为是 鞅 (martingale),如 果对任意,0,,≥nX
nn
F n
2
∞<
n
XE 且 ()
nnn
XXE =
+
F
1
。若 ( )
nnn
XXE ≥
+
F
1
，则称为 下鞅 (sub-martingale)；
若 ()
nnn
XXE ≤
+
F
1
，则称为 上鞅 (super-martingale)。
显然,为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅；若 为下鞅等价 于 为上鞅。
n
X
n
X
n
X?
例 3.2.1,设 为任随机变量，L,,
10
YY X 为随机变量且 ∞<XE 。令
),(
0 nn
YY Lσ=F,()( )
nnn
XEYYXEX F== L,
0
，则 相对于 为鞅。
n
X
n
F
基本性质,
1),{ 为鞅，则对任意常数,{}
nn
X F,}
nn
Y F,ba,{ }
nnn
bYaX F,+ 为鞅 ;
2) 为鞅，则对任意{
nn
X F,} nm ≤,( )
mmn
XXE =
+
F
1；
3) 为鞅，则对任意,{
nn
X F,} n
0
EXEX
n
= ；
4) 若 为鞅，且对任意 n,,则对任意,{
nn
X F,} ∞<
2
n
EX nml ≤≤
()0=?
lmn
XXXE ；此外对任意 nm ≤,
( ) ( )
222
)(
mmnmmn
XFXEXXE?=? F 。
定理 3.2.1,Doob-Meyer 下鞅分解定理 (sub-martingale decomposition theorem)
设 { 是下鞅,则 可以唯一分解为}0,,≥nX
nn
F
n
X
nnn
AMX +=,其中 为 鞅,
是 可预料的增过程 ( )。
n
M
n
A
0
0
=A
证明,令 () 0
11
≥?=
nnnn
XFXEa,令 0
0
=A,为 可测的,故 是可预料的增过程。令
∑
=
=
n
k
kn
aA
1
1?n
F
n
A
nnn
AXM?=,易证 是鞅。往证分解唯一性。若
，则
n
M
nnnnn
AMAMX ′+′=+=
nnnn
AAMM?′=′? 。一方面 为鞅，故
nn
MM ′?
()
111
′?=′?
nnnnn
MMMME F,令一方面
nnnn
AAMM?′=′? 为 可测，故
1?n
F
()
nnnnn
MMMME ′?=′?
1
F,因此
3
0
000011
=?′=′?==′?=′?
AAMMMMMM
nnnn
L 。
3.3,Doob 可选定理及鞅的收敛
设 τ 为取非负整数值的停时,令,称为 随机过程在
<
≥
==
nX
nX
XX
τ
n
n
τ
n
τ
τ
τ
,
,
),min( n
X
τ 处停止过程 。
引理 3.3.1：设 { 是鞅，则}
nn
X F,{ }
n
τ
n
X F,也是鞅。
定理 3.3.1,Doob 可选停止定理 (optional stopping theorem ) 设 { }
nn
X F,是鞅,若
..saστ ≤ 为两个有界停时，则 ( )
ττσ
XXE =F 。
证明：由于,.saστ ≤ 为有界停时，设一个上界为 K 。
()
{} {}
()
{}
()
{}
()
{} σσσ
σσσσσσ
XXIXEI
IXEIXEIXEXE
K
i
ii
K
i
iKi
K
i
iiK
K
i
iK
K
i
iKK
===
==
=
∑∑
∑∑∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11
111
F
FFFF
同理 ()
ττK
XXE =F 。注意到 。故
σ
FF?
τ
()( )( ) ( )
ττKτKτ
XXEXEEXE === FFFF
σσ
。
一般来说，停时有界的条件是不可缺少的。但如果 { }
n
X 一致可积，则对任何两个停时,.saστ ≤,都有 ()
ττ
XXE =F
σ
。
定理 3.3.2,(Doob optional sampling theorem) 设 { }
nn
X F,是鞅，
为非降有界停时，则LL ≤≤≤≤
n
ttt
21
{ }
nn
tt
X F,是鞅。 ( 称为 optional
sampling process)
n
t
X
给定区间,序列 上穿 区间的次数记为 。若为随机序列，则 也是随机变量。
],[ ba ),(
1 n
XXX L
r
= ],[ ba
)(
],[
n
ba
N
),(
1 n
XXX L
r
=
)(
],[
n
ba
N
引理 3.3.1,Doob 上穿不等式 (up-crossing inequality) 设为 { }
nn
X F,下鞅，则
4
ab
aXEaXE
XEN
nn
ba
≤
++
)()(
)(
1)(
],[
r
定理 3.3.3,Doob 下鞅收敛定理 设 { }
nn
X F,下鞅且 ∞<
n
n
XEsup,则存在几乎处处有限的随机变量记为,使 得
∞
X 1)lim( ==
∞
∞→
XXP
n
n
。 从而若 { }
nn
X F,为非负鞅，
则以概率 1 的有 存在且有限。
n
n
X
∞→
lim
例 3.3.1,(赌徒输光问题 )一个赌徒参加公平的赌博，即若 是赌徒在 n局之后的赌金,)
n
X
,,(
10 nn
XXX Lσ=F 为赌徒在 局后所掌握的信息，则 { 是鞅 。
现假设不能赊钱,且每一局至少赢或输 1 元 。 令
n }
nn
X F,
{ }
1
:min
+
==
nn
XXnN,表示赌徒被强迫退出时已赌的局数。由于 { }
nn
X F,为非负鞅，由收敛定理，以概率 1 的有 存在且有限。又由于若,则
n
n
X
∞→
lim nN > 1
1
≥?
+ nn
XX,因此 。
也就是以概率 1 赌徒最终要输光。
1)( =∞<NP
3.4 连续指标鞅
设 为概率空间，),,( PF? { }
t
F 为一族单调增的子 σ -代数，即若,则；对任意 t,为 可测的，则称随机过程 对于 { 是 适应的
(adapted)。
ts <
ts
FF? )(tX
t
F )(tX }
t
F
定义 3.4.1,随机过程 称为鞅,若对任意,{0,),( ≥ttX
t
F } t ∞<)(tXE,且对任意
，ts < ())()( sXtXE
s
=F 。
在一定条件下，前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。
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