第六章 二阶矩过程与随机分析初步
6.1 二阶矩过程
定义6.1.1：若随机过程TttX ∈),(有∞<
2
)(tXE，则称为二阶矩过程。 )(tX
以记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由Schwarz不等式：，
2
L
2
,LYX ∈
()
22
2
YEXEYXE ≤，对于二阶矩过程其均值函数)()( tEXt =μ，协方差函数
，相关函数总是存在的。 ()(
______________
)()()()(),( ttXssXEts μμ=Γ
______
)()(),( tXsEXtsR =
若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类，即若，则称
0)( =≠YXP
YX =，首先是一个线性空间，定义
2
L
2
,LYX ∈?，YEXYX =),(，为空间上的内积,由此内积还可以诱导出上的一个范数
2
L
),(
2
L?，，
2
LX ∈?
()
2
1
2
2
1
),( XEXXX ==。从而
2
,LYX ∈?，YXYXd?=),(度量了两个随机变量之间的距离。
定理 6.1.1：是 Hilbert 空间(完备的内积空间)。
2
L
6.2 均方收敛、连续、微分和积分
定义6.2.1：{}，，称均方收敛到
2
LX
n
2
LX ∈
n
X X，并记为，若XX
n
n
=
∞→
lim
0lim
2
=?
∞→
XXE
n
n
。
定理 6.2.1：若，XX
n
n
=
∞→
lim YY
n
n
=
∞→
lim，则
1)
2
22
limlim,limlim
n
n
n
n
n
n
n
n
XEXEXEXEEXEX
∞→∞→∞→∞→
====；
2) YEXYEX
mn
m
n
=
∞→
∞→
lim。
定理 6.2.2：(均方收敛准则 ){} 均方收敛
2
LX
n
α=
∞→
∞→
mn
m
n
XEXlim。此外,若均方收敛到
n
X
X,则
2
XE=α。
1
定义6.2.2：二阶矩过程TttX ∈),(称在
0
tt = 处均方连续的若，
即
)()(lim
0
0
tXtX
tt
=
→
0)()(lim
2
0
0
=?
→
tXtXE
tt
。若在每一个t处均方连续，则称随机过程是均方连续的。
)(tX
定理 6.2.3：二阶矩过程 TttX ∈),( 在
0
tt = 处均方连续? 相关函数 在处连续。
),( tsR
),(
00
tt
注意：均方连续并不表明样本轨道连续，例如 Poisson 过程，均方连续但样本轨道不连续。
定义6.2.3：二阶矩过程TttX ∈),(称在 处均方可导的，若存在使得t
2
)( LtY ∈
)(
)()(
lim
0
tY
h
tXhtX
h
=
+
→
，即0)(
)()(
lim
2
0
=?
+
→
tY
h
tXhtX
E
h
，记为
dt
tdX
tXtY
)(
)()( =′=。
( 普通二元函数 称为 广义二次可导,是指),( tsf
hh
tsfhtsfthsfhthsf
h
h
′
+′+?+?′++
→′
→
),(),(),(),(
lim
0
0
存在。广义二次可导一定二次可导，反过来不成立，当
ts
tsf
),(
2
存在且连续时，它们等价。 )
定理 6.2.4：二阶矩过程 TttX ∈),( 在
0
tt = 处均方可导? 相关函数 在处广义二次可导。
),( tsR
),(
00
tt
定理 6.2.5：设以下所涉及的导数存在，则
pq
qp
qp
st
tsR
tXsEX
ts
tsR
st
tsR
tXsXE
t
tsR
tXsEX
s
tsR
tXsXE
=
=
=′′
=′
=′
+
),(
)()(,
),(),(
)()(
),(
)()(,
),(
)()(
_________
)()(
22
_____
__________
设为普通函数，)(tf ],[),( battX ∈为二阶矩过程，令bttta
n
=<<=L
10
，
，，这里。若当()
1
1
max
≤≤
=?
kk
nk
n
tt
2
1
1
))(()( LttuXufY
n
k
kkkkn
∈?=
∑
=
kkk
tut ≤≤
1
2
0→?
n
，均方收敛，则称均方可积，的均方极限值记为
。
n
Y )()( tXtf
n
Y
∫
b
a
dttXtf )()(
定理 6.2.6：均方可积)()( tXtf? dsdttsRtfsf
b
a
b
a
),()()(
_____
∫∫
存在。
定理 6.2.7：均方可积，则 )()( tXtf
1) ；
∫∫
=
b
a
b
a
dttEXtfdttXtfE )()()()(
2) 。 dsdttsRtfsfdttXtfdssXsfE
b
a
b
a
b
a
b
a
),()()()()()()(
_____
_________________
∫∫∫∫
=
在一般条件下数学期望 E 可与均方极限 lim,导 数
dt
d
、积 分 交换(注意交换的含义)。
∫
b
a
例6.2.1：设零均值的二阶矩过程，协方差函数为)(tX
22
)(
1
),(
tsa
ts
X
+
=Γ，
dt
tdX
tY
)(
)( =，求的均值函数与协方差函数。 )(tY
0)()( == tEYt
Y
μ，
[ ]
[]
3
22
22
)(
)(32
),(
tsa
tsa
ts
Y
+
=Γ
例6.2.2：设为Poisson过程，)(tX
∫
=
t
dssX
t
tY
0
)(
1
)(，求的均值函数与协方差函数。
)(tY
ttEYt
Y
λμ
2
1
)()( ==，
>?
≤?
==Γ
∫∫
ts
s
t
t
ts
t
s
s
dudvvu
st
ts
st
Y
,
6
1
2
1
,
6
1
2
1
),min(
1
),(
2
2
00
λ
λ
λ
λ
λ
6.3 普通函数关于正交增量过程的积分
定义6.3.1：设为二阶矩过程，若对任意],[),( battX ∈
4321
0 tttt <≤<≤有
，则称为正交增量过程 (orthogonal 0])()()][()([
__________________
3412
= tXtXtXtXE )(tX
3
increment process)。
一般假定，若0)( =aX?∞=a，假定0)(lim =
∞→
tX
t
。令
2
)()( tXEtF =，则
。设，则0)( =aF (),min()()(),(
______
tsFtXsEXtsR == st >
)()()()(0
2
sFtFsXtXE?=?≤，故为单调非降函数。 )(tF
设位零均值 有右连续轨道的正交增量过程，],[),( battX ∈
2
)()( tXEtF =此时即为方差函数，令
∞<=
∫
b
a
tdFtftfdFL )()()()(
2
2
。是一个线性空间，
定义，，为空间上的内积,
由此内积还可以诱导出上的一个范数
)(
2
dFL
)()(),(
2
dFLtgtf ∈? )()()(),(
______
tdFtgtfgf
b
a
∫
= )(
2
dFL ),(
)(
2
dFL?，，
2
Lf ∈?
2
1
2
2
1
)()(),(
==
∫
b
a
tdFtffff。从而
2
,Lgf ∈?，gfgfd?=),(度量了它们之间的距离。也是一个Hilbert空间。 )(
2
dFL
对，定义积分
∫
，分三步,)()(
2
dFLtf ∈
b
a
tdXtf )()(
1,当(其中)为示性函数，定义；
)()()(
2],[
dFLtItf
dc
∈= ],[],[ badc?
)()()()(
],[
cXdXtdXtI
b
a
dc
=
∫
2,当为简单函数，定义；
)()()(
2
1
],[
dFLtIktf
n
i
dci
ii
∈=
∑
=
[]
∑
∫
∑
==
=
n
i
iii
b
a
n
i
dci
dXcXktdXtIk
ii
11
],[
)()()()(
3.,为简单函数使得)()(
2
dFLtf ∈? )(tf
n
0)()()(lim
2
=?
∫
∞→
b
a
n
n
tdFtftf，由于为空间的基本列(Cauchy列)，故使得
∫
b
a
n
tdXtf )()(
2
L
2
LY ∈?
4
YtdXtf
b
a
n
n
=
∫
∞→
)()(lim，记。
∫
=
b
a
tdXtfY )()(
上述定义的积分满足以下性质,
1) ;
∫
=
b
a
tdXtfE 0)()(
2) ; ),()()()(
],[
cXdXtdXtI
b
a
dc
=
∫
3) ; []
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
tdXtgtdXtftdXtgtf )()()()()()()( βαβα
4),特别
∫∫∫
=
b
a
b
a
b
a
tdFtgtftdXtgtdXtfE )()()()()()()(
_____
_______________
∫∫
=
b
a
b
a
tdFtftdXtfE )()()()(
2
2
。
实际上，对于零均值有右连续轨道的正交增量过程,)(tX
2
)()( tXEtF =,我们所定义的积分 是 的一个积分算子：
。 该算子满足线性
)(,)()()(
2
dFLftdXtffI
b
a
∈=
∫
22
)( LdFL →
2
)( LfIf ∈→ )()()( gIfIgfI?+?=?+? βαβα,且是保持内积、范数不变，即 ()
)(
22
),()(),(
dFLL
gfgIfI =,
)(
22
)(
dFLL
ffI = 。
例6.3.1：考虑线性随机微分方程,
0)0(,
)(
2)(
)(
=+?= Y
dt
tdX
tY
dt
tdY
这里为零均值的有右连续轨道的正交增量过程，协方差函数为
，求随机过程的协方差函数。
0),( ≥ttX
),min(),( tsts
X
=Γ 0),( ≥ttY
∫
=
t
ut
udXetY
0
)(
)(2)(,[]124),(
),min(2)(
),min(
0
)()(
==Γ
+
∫
tsts
ts
utus
Y
eedueets
5
6.1 二阶矩过程
定义6.1.1：若随机过程TttX ∈),(有∞<
2
)(tXE，则称为二阶矩过程。 )(tX
以记所有二阶绝对矩有限的随机变量全体。由Schwarz不等式：，
2
L
2
,LYX ∈
()
22
2
YEXEYXE ≤，对于二阶矩过程其均值函数)()( tEXt =μ，协方差函数
，相关函数总是存在的。 ()(
______________
)()()()(),( ttXssXEts μμ=Γ
______
)()(),( tXsEXtsR =
若把几乎处处相等的两个随机变量看成一个等价类，即若，则称
0)( =≠YXP
YX =，首先是一个线性空间，定义
2
L
2
,LYX ∈?，YEXYX =),(，为空间上的内积,由此内积还可以诱导出上的一个范数
2
L
),(
2
L?，，
2
LX ∈?
()
2
1
2
2
1
),( XEXXX ==。从而
2
,LYX ∈?，YXYXd?=),(度量了两个随机变量之间的距离。
定理 6.1.1：是 Hilbert 空间(完备的内积空间)。
2
L
6.2 均方收敛、连续、微分和积分
定义6.2.1：{}，，称均方收敛到
2
LX
n
2
LX ∈
n
X X，并记为，若XX
n
n
=
∞→
lim
0lim
2
=?
∞→
XXE
n
n
。
定理 6.2.1：若，XX
n
n
=
∞→
lim YY
n
n
=
∞→
lim，则
1)
2
22
limlim,limlim
n
n
n
n
n
n
n
n
XEXEXEXEEXEX
∞→∞→∞→∞→
====；
2) YEXYEX
mn
m
n
=
∞→
∞→
lim。
定理 6.2.2：(均方收敛准则 ){} 均方收敛
2
LX
n
α=
∞→
∞→
mn
m
n
XEXlim。此外,若均方收敛到
n
X
X,则
2
XE=α。
1
定义6.2.2：二阶矩过程TttX ∈),(称在
0
tt = 处均方连续的若，
即
)()(lim
0
0
tXtX
tt
=
→
0)()(lim
2
0
0
=?
→
tXtXE
tt
。若在每一个t处均方连续，则称随机过程是均方连续的。
)(tX
定理 6.2.3：二阶矩过程 TttX ∈),( 在
0
tt = 处均方连续? 相关函数 在处连续。
),( tsR
),(
00
tt
注意：均方连续并不表明样本轨道连续，例如 Poisson 过程，均方连续但样本轨道不连续。
定义6.2.3：二阶矩过程TttX ∈),(称在 处均方可导的，若存在使得t
2
)( LtY ∈
)(
)()(
lim
0
tY
h
tXhtX
h
=
+
→
，即0)(
)()(
lim
2
0
=?
+
→
tY
h
tXhtX
E
h
，记为
dt
tdX
tXtY
)(
)()( =′=。
( 普通二元函数 称为 广义二次可导,是指),( tsf
hh
tsfhtsfthsfhthsf
h
h
′
+′+?+?′++
→′
→
),(),(),(),(
lim
0
0
存在。广义二次可导一定二次可导，反过来不成立，当
ts
tsf
),(
2
存在且连续时，它们等价。 )
定理 6.2.4：二阶矩过程 TttX ∈),( 在
0
tt = 处均方可导? 相关函数 在处广义二次可导。
),( tsR
),(
00
tt
定理 6.2.5：设以下所涉及的导数存在，则
pq
qp
qp
st
tsR
tXsEX
ts
tsR
st
tsR
tXsXE
t
tsR
tXsEX
s
tsR
tXsXE
=
=
=′′
=′
=′
+
),(
)()(,
),(),(
)()(
),(
)()(,
),(
)()(
_________
)()(
22
_____
__________
设为普通函数，)(tf ],[),( battX ∈为二阶矩过程，令bttta
n
=<<=L
10
，
，，这里。若当()
1
1
max
≤≤
=?
kk
nk
n
tt
2
1
1
))(()( LttuXufY
n
k
kkkkn
∈?=
∑
=
kkk
tut ≤≤
1
2
0→?
n
，均方收敛，则称均方可积，的均方极限值记为
。
n
Y )()( tXtf
n
Y
∫
b
a
dttXtf )()(
定理 6.2.6：均方可积)()( tXtf? dsdttsRtfsf
b
a
b
a
),()()(
_____
∫∫
存在。
定理 6.2.7：均方可积，则 )()( tXtf
1) ；
∫∫
=
b
a
b
a
dttEXtfdttXtfE )()()()(
2) 。 dsdttsRtfsfdttXtfdssXsfE
b
a
b
a
b
a
b
a
),()()()()()()(
_____
_________________
∫∫∫∫
=
在一般条件下数学期望 E 可与均方极限 lim,导 数
dt
d
、积 分 交换(注意交换的含义)。
∫
b
a
例6.2.1：设零均值的二阶矩过程，协方差函数为)(tX
22
)(
1
),(
tsa
ts
X
+
=Γ，
dt
tdX
tY
)(
)( =，求的均值函数与协方差函数。 )(tY
0)()( == tEYt
Y
μ，
[ ]
[]
3
22
22
)(
)(32
),(
tsa
tsa
ts
Y
+
=Γ
例6.2.2：设为Poisson过程，)(tX
∫
=
t
dssX
t
tY
0
)(
1
)(，求的均值函数与协方差函数。
)(tY
ttEYt
Y
λμ
2
1
)()( ==，
>?
≤?
==Γ
∫∫
ts
s
t
t
ts
t
s
s
dudvvu
st
ts
st
Y
,
6
1
2
1
,
6
1
2
1
),min(
1
),(
2
2
00
λ
λ
λ
λ
λ
6.3 普通函数关于正交增量过程的积分
定义6.3.1：设为二阶矩过程，若对任意],[),( battX ∈
4321
0 tttt <≤<≤有
，则称为正交增量过程 (orthogonal 0])()()][()([
__________________
3412
= tXtXtXtXE )(tX
3
increment process)。
一般假定，若0)( =aX?∞=a，假定0)(lim =
∞→
tX
t
。令
2
)()( tXEtF =，则
。设，则0)( =aF (),min()()(),(
______
tsFtXsEXtsR == st >
)()()()(0
2
sFtFsXtXE?=?≤，故为单调非降函数。 )(tF
设位零均值 有右连续轨道的正交增量过程，],[),( battX ∈
2
)()( tXEtF =此时即为方差函数，令
∞<=
∫
b
a
tdFtftfdFL )()()()(
2
2
。是一个线性空间，
定义，，为空间上的内积,
由此内积还可以诱导出上的一个范数
)(
2
dFL
)()(),(
2
dFLtgtf ∈? )()()(),(
______
tdFtgtfgf
b
a
∫
= )(
2
dFL ),(
)(
2
dFL?，，
2
Lf ∈?
2
1
2
2
1
)()(),(
==
∫
b
a
tdFtffff。从而
2
,Lgf ∈?，gfgfd?=),(度量了它们之间的距离。也是一个Hilbert空间。 )(
2
dFL
对，定义积分
∫
，分三步,)()(
2
dFLtf ∈
b
a
tdXtf )()(
1,当(其中)为示性函数，定义；
)()()(
2],[
dFLtItf
dc
∈= ],[],[ badc?
)()()()(
],[
cXdXtdXtI
b
a
dc
=
∫
2,当为简单函数，定义；
)()()(
2
1
],[
dFLtIktf
n
i
dci
ii
∈=
∑
=
[]
∑
∫
∑
==
=
n
i
iii
b
a
n
i
dci
dXcXktdXtIk
ii
11
],[
)()()()(
3.,为简单函数使得)()(
2
dFLtf ∈? )(tf
n
0)()()(lim
2
=?
∫
∞→
b
a
n
n
tdFtftf，由于为空间的基本列(Cauchy列)，故使得
∫
b
a
n
tdXtf )()(
2
L
2
LY ∈?
4
YtdXtf
b
a
n
n
=
∫
∞→
)()(lim，记。
∫
=
b
a
tdXtfY )()(
上述定义的积分满足以下性质,
1) ;
∫
=
b
a
tdXtfE 0)()(
2) ; ),()()()(
],[
cXdXtdXtI
b
a
dc
=
∫
3) ; []
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
tdXtgtdXtftdXtgtf )()()()()()()( βαβα
4),特别
∫∫∫
=
b
a
b
a
b
a
tdFtgtftdXtgtdXtfE )()()()()()()(
_____
_______________
∫∫
=
b
a
b
a
tdFtftdXtfE )()()()(
2
2
。
实际上，对于零均值有右连续轨道的正交增量过程,)(tX
2
)()( tXEtF =,我们所定义的积分 是 的一个积分算子：
。 该算子满足线性
)(,)()()(
2
dFLftdXtffI
b
a
∈=
∫
22
)( LdFL →
2
)( LfIf ∈→ )()()( gIfIgfI?+?=?+? βαβα,且是保持内积、范数不变，即 ()
)(
22
),()(),(
dFLL
gfgIfI =,
)(
22
)(
dFLL
ffI = 。
例6.3.1：考虑线性随机微分方程,
0)0(,
)(
2)(
)(
=+?= Y
dt
tdX
tY
dt
tdY
这里为零均值的有右连续轨道的正交增量过程，协方差函数为
，求随机过程的协方差函数。
0),( ≥ttX
),min(),( tsts
X
=Γ 0),( ≥ttY
∫
=
t
ut
udXetY
0
)(
)(2)(,[]124),(
),min(2)(
),min(
0
)()(
==Γ
+
∫
tsts
ts
utus
Y
eedueets
5
