经典控制理论习题答案
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习题答案
2-2(a) )()]()([)(
21 txftxtxftxm ooio --?
即,)t(xf)t(x)ff()t(xm i1o21o
(b)
)t(xfk)t(xkk)t(x)kk(f i2o21o21
(c) )()()()()( 121 txktxftxkktxf iioo +=++
2-3(a) )t(u)t(u)CRCRCR()t(uCCRR
ooo ++++ 2122112121
(b)
)t(xkk)t(x)kfkfkf()t(xff ooo 2112211121 ++++
2-4(a)
)t(uR)t(uCRR)t(u)RR()t(uCRR i2i21o21o21
(b)
)t(u)t(u)RCRC()t(uCCR ooo +++ 12212 2
（ 2-2题 ~2-4题）（仅供参考，不对之处敬请批评指正，谢谢！）
)()(2)( 121 tutuRCtuCRC iii
)t(xkk)t(x)kfkf()t(xff iii 21122121 +++=
)t(u)CRCR()t(uCCRR ii 22112121 ++=
（说明：书中有印刷错误的习题，在此无法给出答案，请谅解。 2~8章习题答案联系人王凤如,xwfr@sohu.com）
2-5(1) 运动模态,t5.0e? tettx 5.022)( -
(2) tsine
23t5.0? ts ine)t(x 2
3t5.03 32
(3) (1+t)e-t te)t1(1)t(x
2-6
PQ oQ2 2k
2-7 y11.12F
2-8 ))(( s inEe
ooodd
2-9
)2s)(1s(
2s4s( s ) 2
tt2 ee2)t(
dt
)t(dc)t(k
2-10 零 初态 响应 t2ee21)t(c
t1
零 输入 响应 tt2
2 e2e)t(c
总输出 tt eetctctc 2
21 241)()()(
（ 2-5题 ~2-10题）
运动模态：
运动模态：
（ 2-11题 ~2-15题）
2-11
25s23s12
)1s4(1 0 0
)s(R
)s(C
2
25s23s12
)5s23s12(10
)s(R
)s(E
2
2
2-12(a)
sCR
)10sCR)(1sCR(
)s(U
)s(U
1o
oo11
i
o(b) )1sCR(
R
R
)s(U
)s(U
ooo1io
(b)
1sC)RR(
)1sCR(
R
R
)s(U
)s(U
221
22
o
1
i
o
2-13
2123o22113o
21
i
o
RRsCRsCCRR
RR
)s(U
)s(U
2-14
1sT
K
)s(U
)s(
m
1
a
m
1sT
K
)s(M
)s(
m
2
a
m
2-15 111 3 2 k3 )1sT(s kmm?
3 sk
t
111
i? o?
iu
ou
u? 1u 2u au
tu
m3mt3
2
mi
o
kk26.31s)kkk31(sT
26.31
)s(
)s(
（ 2-17题 ~2-21题）
2-17(a)
32
21 GG1 GG)s(R )s(C (b)
2111
2121 HHHG1 )HH1(GG)s(R )s(C
(c)
22112
231 HGGHG1 G)GG()s(R )s(C (d)
3311332211
321 HGHGHGHGHG1 GGG)s(R )s(C
(e)
23212112
3214 HGGHGGHG1 GGGG)s(R )s(C (f)
121
231 HGG1 G)GG()s(R )s(C
2-18(a)
12121
21 HGGGG1 GG)s(R )s(C
12121
12123 HGGGG1 )HGG1(GG)s(N )s(C
(b)
4342
43421 GGGG1 GGGG)G1()s(R )s(C
4342
4 GGGG1 G)s(N )s(C
2-19与 2-17同 2-20与 2-18同
2-21(a)
2311213212311
1134321 HGHGHHGGGHGHG1 )HG1(GGGGG)s(R )s(C
2311213212311
123423
HGHGHHGGGHGHG1
HHGG)HG1(
)s(R
)s(E
(b)
2121
2121 GG3GG1 GG2GG)s(R )s(C
2121
21 GG3GG1 GG1)s(R )s(C
（ 2-22题）2-22(a)
23234313
543216 HGGHGGHG1 GGGGGG)s(R )s(C
(b) 9个单独回路：
5654321545434363242121 HGGGGGGL,HGGGL,HGL,HGL,HGL
1489568178568175654376 HHGL,HGGHGL,HGGGL,HGGGGGL
6对两两互不接触回路,L1L2 L1L3 L2L3 L7L2 L8L2 L9L2
三个互不接触回路 1组,L1L2L3
4条前向通路及其余子式,P1=G1G2G3G4G5G6,Δ1=1 ; P2=G7G3G4G5G6,Δ2=1 ;
P3=-G7H1G8G6,Δ3=1+G4H2 ; P4=G1G8G6,Δ4=1+G4H2 ;
9
1a
6
1
321cba
4
1k
kk
LLLLLL1
P
)s(R
)s(C
(c) 128.15
39
590
)s(R
)s(C (d)
a f c he h g fchbgaf1
)bg1(eda bc d
)s(R
)s(C
(e)
a d e hc e f gb c d e hegcf1
)eg1)(bca(a d eb c d e
)s(R
)s(C
1
a de hc e f gb c d e hegcf1
l e h al e h bc)cf1(le
)s(R
)s(C
2
(f)
fgd e gf1
)cic f d e jc f d h()id e gbb d e jb d h(]a e g ia e j)fg1(ah[
)s(R
)s(C
1
fgd e gf1
fjif d e jf d h
)s(R
)s(C
2
fgd e gf1
e g iej)fg1(h
)s(R
)s(C
3
（ 3-1题 ~3-9题）
3-1 Tte1)t(h TT 3-2 (1) 10)t(k? t10)t(h?
3-2 (2) t4sine
4
25)t(k t3 )13.53t4s i n (e
4
51)t(h ot3
3-3 (1) 25.1s 0125.0)s( (2) 16s )4s(50s5)s(
22?
(3) )1s3(s 1.0)s(
3-4 s9 1 7.2ts96.1t%4 7 8.9%26.0 spn
3-5 6 8 6.15.2z5.010 0 6 6.1r 2dn
%99.17%s0 1 3 3.6ts156.3ts45.1t spr
3-6 5.2443.1 n 3-7 311.0k44.1k 21
3-8 (a) 10 n 系统临界稳定
(b) s51.7t%8.29%15.01ss 1s)s( sn2
(c) s08.8t%3.16%15.01ss 1)s(
sn2
(b)比 (c)多一个零点,附加零点有削弱阻尼的作用。3-9 (1)
2.0es5.3t%09.35%101015k)1s5.0(s 5)s(G sssn
(2) 249.11r10z1010110k)1s(s )1s1.0(10)s(G dn
1.0es3t%06.37%2 sss
（ 3-11题 ~3-20题）3-11 劳斯表变号两次，有两个特征根在 s右半平面,系统不稳定。
3-12 (1) 有一对纯虚根,2js 2,1 系统不稳定。
(2) 5s1s1s2js 654,32,1 系统不稳定。
(3) 有一对纯虚根,5js 2,1 系统不稳定。
3-13 7.1k0 3-14 00
3-15 (1) ssss ee20k (2) ssss e2.0e10k
(3) 20e0e1.0k ssss
3-16 (1)
(3)
(2) 0k0k50k avp 0k
200
kkk
avp
1kkk avp
3-18 (1) (2) (3)0essr? 0e 1ssn? 0e 2ssn?
3-20 k1 )1sT(s k
1
2?
1sT
1
2?
R u
B
C E(s)=R(s)-C(s)由题意得：
212
21
1
2o2 TTk
TTk
)T(k
1
（ 4-4题 ~4-5题）
-0.88
10j
7=k
-0.293-1.707 -0.9
-4.236 o
p 135±=? o
p 0=?
（ 4-6题 ~4-10题）
4-6 (1) 11k =
(2) 30*k =
63.6301 9 9z ==
-0.404
2.73*k =
036.1=?
op 73.92±=? 6j+-2 -2
10j±
260*k =
-3.29
21j
96*k =
oop 135,45 ±±=?
150kc =
62.9k o =
-21.13
7.70=?
（ 4-11题 ~4-12题）
s1= -9.98s
2,3= -2.46 354.3j±
-4
系统始终不稳定！
55.2j=?
75.22*k =
75.22*k0 << 时稳定
（ 4-13题 ~4-14题）
)3s2s(s
)2s(k)s(G
2 ++
+=′
)2s)(1s(s
)10s(k)s(G
++
+=′
-0.434
j1.697
6k=
-8.47
22 4)2s(
)4s(b)s(G
++
+=′
)40s(s
b30)s(G
+=′
（ 4-15题 ~4-19题）
2j
2*k =
-0.732
536.0*k =
2.732
464.7*k =
整条实轴为根轨迹
2
12*?k
0<k*<12时系统稳定系统始终不稳定
（ 4-20题 ~4-21题）
主导极点离虚轴太近！
主导极点离虚轴太近！
]6)24.3) [ (3.23( )20(10)( 221 ss ssksG t ]6)24.3) [ (3.23( )20(10)( 2222 ss ssksG t
]6)24.3) [ (3.23( 10)( 22
2
3 ss
sksG t
2
1k?
0<k<1系统不稳定,c(t)振荡发散
K=1系统临界稳定,c(t)等幅振荡
k>1系统稳定,c(t)振荡收敛，
5.0)(cn
（ 5-2题 ~5-8题）
5-2
13j)36(
36)j(
)9s)(4s(
36)s(
2
5-3 )57.26t2c o s (79.0)4.48ts i n (6 3 2.0)t(e ooss
或,)90t2c o s (707.0)4.3ts i n (447.0)t(c ooss )t(c)t(r)t(e ssss
5-4 848.1653.0 n
5-5
0
j
0
jTT
5-6 0
j
0
j
0
j
0
j
1?v 2?v 3?v 4?v
5-7
)1s20(s
)1s05.0(10)s(G
5-8 o4.1539.17)5.0j(G o53.3 2 73 8 3.0)2j(G
61?
（ 5-9题 ~5-13题）
j
-10
2
2
0
o90)0j(G
o4.1 5 3)2j(G
o4.3 3 3)2j(G
o3600)j(G
5-9 5-11 (1)
02.6
]20[?125.0
25.0
]40[?
dB)(L?
dB0
5-11 (2)
]40[?
]60[?
]80[?
86
1.0
26
1
1.2
dB0
dB)(L? 5-11 (3)
06.38
02.26
1.0 1 2
43.5
]20[?
]40[?
]60[?
707.0r dB25.1Lm?
dB0
]20[?
]40[?
]60[?
]20[?
40
06.78?
dB0?11.0 20
dB)(L? 5-11 (4) 5-13 5-5,τ>T时系统稳定，
5-6,ν=1时系统稳定，
其余不稳定。
T>τ时系统不稳定。
（ 5-14题 ~5-23题）
5-14 (1) Z=0-2(-1)=2 不稳定 (2) z=0 稳定 (3) z=0-2(-1)=2 不稳定
(4) z=0 稳定 (5) Z=0-2(-1)=2 不稳定 (6) z=0-2(1-1)=0 稳定 (7) z=0 稳定
(8) z=0 稳定 (9) Z=1 不稳定 (10) z=2 不稳定
5-15 z=0-2(-1)=2 不稳定
5-16 (1) k<1.5 (2) T<1/9 (3) k-1<1/T 5-17 z=0-0=0 稳定
5-18 （左图）原系统稳定，改变 k值。使 ωc <ω1 或 ωc >ω2 时系统稳定,
（右图）原系统 z=0-2(-1)=2不稳定。改变 k值，使 ωc <ω1 时系统稳定
5-19 K>0时应有 0<k<2.64 ; k<0时应有 -1<k<0
5-20 3 6 8 6.10 5-21 84.021a 4
5-22 oc 1 5 6.659 4 4 5 5.1
5-23 on 17.5324.25 1 7.0
o21 180)()(其中其中 o1 1 8 0)(
5-24 o4o3o2o1 56.33608.1 5 190
（ 6-1题 ~6~7题）
6-1 (1) 1667.11623.30521.4924.26 hk xoc
1 2 4 9.383.77 6 7 3.298 4 7 3.3 hxoc(2)
6-2 (1) 57?k (2) 11.2
27
572 6 7 3.2
vs kst
(3) %2.3%7.02226.28)01.0( )091.0)(3()( stks sssG svc
6-3 取 820 ck sssG c 04.01 4.01)( 验算得,oc 1.62,93.7
6-5 (1)
s
ssG
c 004.01
19.01)(
验算得,dBho 7.161.30
(2)
11 8 0
16.2)(
s
ssG
c
验算得,dBho 3.304.50
6-6 ococ 5 1 3 1.747 9 6 2.025.149 6 9.1
6-7 (1) 取 5.05 cvk
12 0 0
120)(
1?
s
ssG
c
验算得：
oc 4.53,45.0
(2)
13.0
16
12 0 0
120)(
s
s
s
ssG
c
oc 3.51,05.2
验算得：
(6-8题 ~6-15题 )
6-8 (1)
1s10
1s)s(G
c +
+=(a)
(b)
系统不稳定
1s01.0
1s1.0)s(G
c +
+=
oc 5.346.36
44.89 hx
(c)
)1s0 2 5.0)(1s10(
)1s5.0()s(G 2
c ++
+=
oc 2.4810 =′′=′′
dB7.21h,8.58x
6-8 (2) 采用 (c)
6-14 0<k<0.045时系统为过阻尼 ;
k10
s)s(G
r =
时 ess= 0,其中 0<k<0.045
6-15
>+= 0k,k s1)s(G 1
11c
0k,0TTk Tk1k0,sk)s(G 2
2
1oo2c >>+<<=
(6-16题 ~6-17题 )
6-16 95.24 6 6.0)()3 7 4 7.1()( 12 kssGsssG cn
6-17
]1 0 0)2()[12.0(
505024.12.0)( 12223
sss
sssss
e
04.0028.0 12 ==
(Ts+1)寄生因子不影响系统稳定性,且因为它为非主导极点,
所以也不太影响动态性能,但附加极点有增大阻尼的作用。
（ 7-3题 ~7-10题）
7-3 (1) e(nT)=10(2n-1)
)T2t(7)Tt(5)t(3)nTt()3n2()t(*e 0n(2)
7-5 )(e 0)(e(1) (2)
7-7?56)4(c15)3(c4)2(c
7-8 (1) )nTt()4
6
12
2
1
3
1()t(*c0)1(c TtTt
0n
7-9 T7T5T22 2 ez)ee(z z10)z(G(a) (b) )ez zez z(310)z(G T5T2
7-10 (a)
)z(G)z(G)z(GG1
)z(G)z(
3121
1
(b)
)z(GGG1
)z(GRG)z(GGG)z(RG)z(C
43h
4243h1
(c)
)z(GGG)z(D1
)z(NG)z(GGG)]z(D)z(D)[z(R)z(C
21h1
221h21
7-4 (1)
1nnnn20n nn11 a3a],z3
a)[z1(z31)z(E
(2) 25.2 )5.0)(1n3(5.1)ne nn
(2) ])1(1)[1n(4T)nT(c n (3) nnn )3(5)2(7)1(11)n(c
（ 7-11题 ~7-21题）
)nTt()37.047.01()nT(c n7-11
7-13 (1) 0067.0z0587.1z8987.2z8467.2z z0384.0z16.0)z(c 234 23
(2) )T4t(4 1 5.1)T3t(94.0)T2t(4 9 3 8.0)Tt(16.0)t(*c
(3) 因为系统不稳定，所以 不存在。)(c?
7-15 (1) 不稳定 (2) 不稳定 (3) 不稳定
7-16 (1) 不稳定 (2) 0<k<3.31时 稳定
7-17 1.0)(e4.0k)1z( 8.0z2.1)z(G a
2
7-18 1)(e0k1.0kk avp
7-19 0<k<2.272时系统稳定； ess<0.1时 k应大于 10，此时系统不稳定，
所以 k无值可取。
7-21
1z58.058.1z632.0 368.0z)z(D
7-22
)1z(k
1z2)z(D
（ 8-12题 ~8-19题）
8-12 (2)的准确性高
8-14 (a) )()](1[)(
11 sGsHsG
(b) )(1 )()()(
1
11 sG sHsGsG
8-15 (a) aAAaAkaAakkAN 2)(12a r cs i n2)(
(b) bA
A
b
A
a
A
MAN
])(1)(1[
4)( 22
(c)
k
hA
A
)(1
A
M4)A(N
2
2
kh
8-16 3.5
22
15)2(jG 有自振 ttx s in3.5)(?
8-17
3
20 k 时系统稳定 时系统不稳定 k2
232k 时有自振,tkktx s in2 46)(
8-18 ttcttx 91.3s i n16.0)(91.3s i n8.0)(
8-19 ttcttyttx 2s i n398.0)(2s i n4)(2s i n796.0)(
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9-2:(1)
(2)
u
x
x
x
x
1
0
32
10
2
1
2
.
1
.
1
2
10
x
x
x
21
11
T
u
x
x
x?
1
1
20
01
2
1
.
1
2
11
x
x
x
9-3:
u
x
x
x
x
x
x
1
0
0
6116
100
010
3
2
1
3
.
2
.
1
.
3
2
1
006
x
x
x
y
能控型
u
x
x
x
x
x
x
0
0
6
610
1101
600
3
2
1
3
.
2
.
1
.
3
2
1
100
x
x
x
y
能观型
6
11 66
s
1
s
1
s
1
-
3
.x
3x 2x 1xu
能控型
y
6
11
6
6
s
1
s
1
s
1- y- -
u 3.x 3x
2
.x
1x1
.x
能观型
9-4:
u
x
x
x
x
x
x
0
2
0
320
032
100
3
2
1
3
.
2
.
1
.
3
2
1
001
x
x
x
y
2 2
s
1
s
1
s
1
3 3 2
2
.x
3x2x
yx?1u
3
.x
9-5:
2
1
3
2
1
3
.
2
.
1
.
20
12
01
6116
100
010
u
u
x
x
x
x
x
x
3
2
1
112
011
x
x
x
y
2 s1 s1 s1
2
6 11 6
2
2u
1u
1y
2y
1x2
x3x3x
9-6:能控型：
u
x
x
x
x
1
0
43
10
2
1
2
.
1
.
uxy 25
能观型：
u
x
x
x
x
2
5
41
30
2
1
2
.
1
.
uxy 10
对角型：
u
x
x
x
x
1
1
30
01
2
1
2
.
1
.
uxy
2
1
2
3
9-7：
2
1
3
2
1
3
.
2
.
1
.
1
1
0
200
010
011
u
u
x
x
x
x
x
x
3
2
1
555
x
x
x
y
9-9:
9-11:
t
t
At
e
e
e
0
0
tt
t
At
ete
e
e
0
t
t
te
e
tx
2
12
)(
9-13:
9-15:
)3)(2)(1(
372)( 2
sss
sssG
1 1 1
( 1 ) ( 2)
2 6 3
()
1 1 2
( 1 ) ( 2)
2 6 3
kk
kk
xk
1
2
()
( ) 3 2
()
1 5 1
( 1 ) ( 2 )
2 6 3
kk
xk
yk
xk
9-16:
9-17:1)不能控； 2)不能控；
3)能控； 4)不能控；
5)不能控； 6)能控。
)(
1 9 5.3
0 9 8.1
)(
3 8 9.70
1 9 5.31
)1( kukxkx?
)(01)( kxky?
9-19,或
9-20,可化为对角型或能观型
9-21:1)输出能控；
2)输出不能控。
9-22,1)不能观； 2)能观；
3)能观； 4)不能观。
9-23,a-b=-1时能观
4,2,1 aaa
0)1( 2 bab 1)( bab
uxx?
1
0
510
10.
9-25:
9-24:能控，能观
9-26:能控不能观实现：
不能控能观实现：
uxx?
1
1
20
01.
xy 10?
uxx?
1
0
20
01.
xy 11?
不能控不能观实现：
9-27:
uxx?
1
0
20
01.
xy 10?
能控子系统：
1
1 1 1 0
0 0 0 1
3 3 0 0
2 11 0 0
c
T
.
25 16
04
19 27
22 4
7 2 0
99
9 27
c
c c
x x x u
不能控子系统：
9-29,k=[4 1.2 2.1]
c
c xx
20
3
2
3,
cxy 342
cxy 1011?
s
1
s
1
s
110
10
1.2
2.1
4
-
+
+
+
+
-
-
1x2x3x
uv
9-30:
.
^^
22
3 1 0 3
2 0 1 2
rr
x x u y
s
1
s
1
s
1
s
1
- -
-
+
2
.xu?
2x yx?1
2
^x 1^x
22r
3r
2
5
6
21
5
18
s
1
s
1
s
1
- -
9-32,k=[18 21 5]
1xy?2x3xuv
9-34:1)大范围渐进稳定；
2)系统不稳定。
9-35:1)非渐近稳定
9-36,0<k<2
（ 联系地址,xwfr@sohu.com）
习题答案
2-2(a) )()]()([)(
21 txftxtxftxm ooio --?
即,)t(xf)t(x)ff()t(xm i1o21o
(b)
)t(xfk)t(xkk)t(x)kk(f i2o21o21
(c) )()()()()( 121 txktxftxkktxf iioo +=++
2-3(a) )t(u)t(u)CRCRCR()t(uCCRR
ooo ++++ 2122112121
(b)
)t(xkk)t(x)kfkfkf()t(xff ooo 2112211121 ++++
2-4(a)
)t(uR)t(uCRR)t(u)RR()t(uCRR i2i21o21o21
(b)
)t(u)t(u)RCRC()t(uCCR ooo +++ 12212 2
（ 2-2题 ~2-4题）（仅供参考，不对之处敬请批评指正，谢谢！）
)()(2)( 121 tutuRCtuCRC iii
)t(xkk)t(x)kfkf()t(xff iii 21122121 +++=
)t(u)CRCR()t(uCCRR ii 22112121 ++=
（说明：书中有印刷错误的习题，在此无法给出答案，请谅解。 2~8章习题答案联系人王凤如,xwfr@sohu.com）
2-5(1) 运动模态,t5.0e? tettx 5.022)( -
(2) tsine
23t5.0? ts ine)t(x 2
3t5.03 32
(3) (1+t)e-t te)t1(1)t(x
2-6
PQ oQ2 2k
2-7 y11.12F
2-8 ))(( s inEe
ooodd
2-9
)2s)(1s(
2s4s( s ) 2
tt2 ee2)t(
dt
)t(dc)t(k
2-10 零 初态 响应 t2ee21)t(c
t1
零 输入 响应 tt2
2 e2e)t(c
总输出 tt eetctctc 2
21 241)()()(
（ 2-5题 ~2-10题）
运动模态：
运动模态：
（ 2-11题 ~2-15题）
2-11
25s23s12
)1s4(1 0 0
)s(R
)s(C
2
25s23s12
)5s23s12(10
)s(R
)s(E
2
2
2-12(a)
sCR
)10sCR)(1sCR(
)s(U
)s(U
1o
oo11
i
o(b) )1sCR(
R
R
)s(U
)s(U
ooo1io
(b)
1sC)RR(
)1sCR(
R
R
)s(U
)s(U
221
22
o
1
i
o
2-13
2123o22113o
21
i
o
RRsCRsCCRR
RR
)s(U
)s(U
2-14
1sT
K
)s(U
)s(
m
1
a
m
1sT
K
)s(M
)s(
m
2
a
m
2-15 111 3 2 k3 )1sT(s kmm?
3 sk
t
111
i? o?
iu
ou
u? 1u 2u au
tu
m3mt3
2
mi
o
kk26.31s)kkk31(sT
26.31
)s(
)s(
（ 2-17题 ~2-21题）
2-17(a)
32
21 GG1 GG)s(R )s(C (b)
2111
2121 HHHG1 )HH1(GG)s(R )s(C
(c)
22112
231 HGGHG1 G)GG()s(R )s(C (d)
3311332211
321 HGHGHGHGHG1 GGG)s(R )s(C
(e)
23212112
3214 HGGHGGHG1 GGGG)s(R )s(C (f)
121
231 HGG1 G)GG()s(R )s(C
2-18(a)
12121
21 HGGGG1 GG)s(R )s(C
12121
12123 HGGGG1 )HGG1(GG)s(N )s(C
(b)
4342
43421 GGGG1 GGGG)G1()s(R )s(C
4342
4 GGGG1 G)s(N )s(C
2-19与 2-17同 2-20与 2-18同
2-21(a)
2311213212311
1134321 HGHGHHGGGHGHG1 )HG1(GGGGG)s(R )s(C
2311213212311
123423
HGHGHHGGGHGHG1
HHGG)HG1(
)s(R
)s(E
(b)
2121
2121 GG3GG1 GG2GG)s(R )s(C
2121
21 GG3GG1 GG1)s(R )s(C
（ 2-22题）2-22(a)
23234313
543216 HGGHGGHG1 GGGGGG)s(R )s(C
(b) 9个单独回路：
5654321545434363242121 HGGGGGGL,HGGGL,HGL,HGL,HGL
1489568178568175654376 HHGL,HGGHGL,HGGGL,HGGGGGL
6对两两互不接触回路,L1L2 L1L3 L2L3 L7L2 L8L2 L9L2
三个互不接触回路 1组,L1L2L3
4条前向通路及其余子式,P1=G1G2G3G4G5G6,Δ1=1 ; P2=G7G3G4G5G6,Δ2=1 ;
P3=-G7H1G8G6,Δ3=1+G4H2 ; P4=G1G8G6,Δ4=1+G4H2 ;
9
1a
6
1
321cba
4
1k
kk
LLLLLL1
P
)s(R
)s(C
(c) 128.15
39
590
)s(R
)s(C (d)
a f c he h g fchbgaf1
)bg1(eda bc d
)s(R
)s(C
(e)
a d e hc e f gb c d e hegcf1
)eg1)(bca(a d eb c d e
)s(R
)s(C
1
a de hc e f gb c d e hegcf1
l e h al e h bc)cf1(le
)s(R
)s(C
2
(f)
fgd e gf1
)cic f d e jc f d h()id e gbb d e jb d h(]a e g ia e j)fg1(ah[
)s(R
)s(C
1
fgd e gf1
fjif d e jf d h
)s(R
)s(C
2
fgd e gf1
e g iej)fg1(h
)s(R
)s(C
3
（ 3-1题 ~3-9题）
3-1 Tte1)t(h TT 3-2 (1) 10)t(k? t10)t(h?
3-2 (2) t4sine
4
25)t(k t3 )13.53t4s i n (e
4
51)t(h ot3
3-3 (1) 25.1s 0125.0)s( (2) 16s )4s(50s5)s(
22?
(3) )1s3(s 1.0)s(
3-4 s9 1 7.2ts96.1t%4 7 8.9%26.0 spn
3-5 6 8 6.15.2z5.010 0 6 6.1r 2dn
%99.17%s0 1 3 3.6ts156.3ts45.1t spr
3-6 5.2443.1 n 3-7 311.0k44.1k 21
3-8 (a) 10 n 系统临界稳定
(b) s51.7t%8.29%15.01ss 1s)s( sn2
(c) s08.8t%3.16%15.01ss 1)s(
sn2
(b)比 (c)多一个零点,附加零点有削弱阻尼的作用。3-9 (1)
2.0es5.3t%09.35%101015k)1s5.0(s 5)s(G sssn
(2) 249.11r10z1010110k)1s(s )1s1.0(10)s(G dn
1.0es3t%06.37%2 sss
（ 3-11题 ~3-20题）3-11 劳斯表变号两次，有两个特征根在 s右半平面,系统不稳定。
3-12 (1) 有一对纯虚根,2js 2,1 系统不稳定。
(2) 5s1s1s2js 654,32,1 系统不稳定。
(3) 有一对纯虚根,5js 2,1 系统不稳定。
3-13 7.1k0 3-14 00
3-15 (1) ssss ee20k (2) ssss e2.0e10k
(3) 20e0e1.0k ssss
3-16 (1)
(3)
(2) 0k0k50k avp 0k
200
kkk
avp
1kkk avp
3-18 (1) (2) (3)0essr? 0e 1ssn? 0e 2ssn?
3-20 k1 )1sT(s k
1
2?
1sT
1
2?
R u
B
C E(s)=R(s)-C(s)由题意得：
212
21
1
2o2 TTk
TTk
)T(k
1
（ 4-4题 ~4-5题）
-0.88
10j
7=k
-0.293-1.707 -0.9
-4.236 o
p 135±=? o
p 0=?
（ 4-6题 ~4-10题）
4-6 (1) 11k =
(2) 30*k =
63.6301 9 9z ==
-0.404
2.73*k =
036.1=?
op 73.92±=? 6j+-2 -2
10j±
260*k =
-3.29
21j
96*k =
oop 135,45 ±±=?
150kc =
62.9k o =
-21.13
7.70=?
（ 4-11题 ~4-12题）
s1= -9.98s
2,3= -2.46 354.3j±
-4
系统始终不稳定！
55.2j=?
75.22*k =
75.22*k0 << 时稳定
（ 4-13题 ~4-14题）
)3s2s(s
)2s(k)s(G
2 ++
+=′
)2s)(1s(s
)10s(k)s(G
++
+=′
-0.434
j1.697
6k=
-8.47
22 4)2s(
)4s(b)s(G
++
+=′
)40s(s
b30)s(G
+=′
（ 4-15题 ~4-19题）
2j
2*k =
-0.732
536.0*k =
2.732
464.7*k =
整条实轴为根轨迹
2
12*?k
0<k*<12时系统稳定系统始终不稳定
（ 4-20题 ~4-21题）
主导极点离虚轴太近！
主导极点离虚轴太近！
]6)24.3) [ (3.23( )20(10)( 221 ss ssksG t ]6)24.3) [ (3.23( )20(10)( 2222 ss ssksG t
]6)24.3) [ (3.23( 10)( 22
2
3 ss
sksG t
2
1k?
0<k<1系统不稳定,c(t)振荡发散
K=1系统临界稳定,c(t)等幅振荡
k>1系统稳定,c(t)振荡收敛，
5.0)(cn
（ 5-2题 ~5-8题）
5-2
13j)36(
36)j(
)9s)(4s(
36)s(
2
5-3 )57.26t2c o s (79.0)4.48ts i n (6 3 2.0)t(e ooss
或,)90t2c o s (707.0)4.3ts i n (447.0)t(c ooss )t(c)t(r)t(e ssss
5-4 848.1653.0 n
5-5
0
j
0
jTT
5-6 0
j
0
j
0
j
0
j
1?v 2?v 3?v 4?v
5-7
)1s20(s
)1s05.0(10)s(G
5-8 o4.1539.17)5.0j(G o53.3 2 73 8 3.0)2j(G
61?
（ 5-9题 ~5-13题）
j
-10
2
2
0
o90)0j(G
o4.1 5 3)2j(G
o4.3 3 3)2j(G
o3600)j(G
5-9 5-11 (1)
02.6
]20[?125.0
25.0
]40[?
dB)(L?
dB0
5-11 (2)
]40[?
]60[?
]80[?
86
1.0
26
1
1.2
dB0
dB)(L? 5-11 (3)
06.38
02.26
1.0 1 2
43.5
]20[?
]40[?
]60[?
707.0r dB25.1Lm?
dB0
]20[?
]40[?
]60[?
]20[?
40
06.78?
dB0?11.0 20
dB)(L? 5-11 (4) 5-13 5-5,τ>T时系统稳定，
5-6,ν=1时系统稳定，
其余不稳定。
T>τ时系统不稳定。
（ 5-14题 ~5-23题）
5-14 (1) Z=0-2(-1)=2 不稳定 (2) z=0 稳定 (3) z=0-2(-1)=2 不稳定
(4) z=0 稳定 (5) Z=0-2(-1)=2 不稳定 (6) z=0-2(1-1)=0 稳定 (7) z=0 稳定
(8) z=0 稳定 (9) Z=1 不稳定 (10) z=2 不稳定
5-15 z=0-2(-1)=2 不稳定
5-16 (1) k<1.5 (2) T<1/9 (3) k-1<1/T 5-17 z=0-0=0 稳定
5-18 （左图）原系统稳定，改变 k值。使 ωc <ω1 或 ωc >ω2 时系统稳定,
（右图）原系统 z=0-2(-1)=2不稳定。改变 k值，使 ωc <ω1 时系统稳定
5-19 K>0时应有 0<k<2.64 ; k<0时应有 -1<k<0
5-20 3 6 8 6.10 5-21 84.021a 4
5-22 oc 1 5 6.659 4 4 5 5.1
5-23 on 17.5324.25 1 7.0
o21 180)()(其中其中 o1 1 8 0)(
5-24 o4o3o2o1 56.33608.1 5 190
（ 6-1题 ~6~7题）
6-1 (1) 1667.11623.30521.4924.26 hk xoc
1 2 4 9.383.77 6 7 3.298 4 7 3.3 hxoc(2)
6-2 (1) 57?k (2) 11.2
27
572 6 7 3.2
vs kst
(3) %2.3%7.02226.28)01.0( )091.0)(3()( stks sssG svc
6-3 取 820 ck sssG c 04.01 4.01)( 验算得,oc 1.62,93.7
6-5 (1)
s
ssG
c 004.01
19.01)(
验算得,dBho 7.161.30
(2)
11 8 0
16.2)(
s
ssG
c
验算得,dBho 3.304.50
6-6 ococ 5 1 3 1.747 9 6 2.025.149 6 9.1
6-7 (1) 取 5.05 cvk
12 0 0
120)(
1?
s
ssG
c
验算得：
oc 4.53,45.0
(2)
13.0
16
12 0 0
120)(
s
s
s
ssG
c
oc 3.51,05.2
验算得：
(6-8题 ~6-15题 )
6-8 (1)
1s10
1s)s(G
c +
+=(a)
(b)
系统不稳定
1s01.0
1s1.0)s(G
c +
+=
oc 5.346.36
44.89 hx
(c)
)1s0 2 5.0)(1s10(
)1s5.0()s(G 2
c ++
+=
oc 2.4810 =′′=′′
dB7.21h,8.58x
6-8 (2) 采用 (c)
6-14 0<k<0.045时系统为过阻尼 ;
k10
s)s(G
r =
时 ess= 0,其中 0<k<0.045
6-15
>+= 0k,k s1)s(G 1
11c
0k,0TTk Tk1k0,sk)s(G 2
2
1oo2c >>+<<=
(6-16题 ~6-17题 )
6-16 95.24 6 6.0)()3 7 4 7.1()( 12 kssGsssG cn
6-17
]1 0 0)2()[12.0(
505024.12.0)( 12223
sss
sssss
e
04.0028.0 12 ==
(Ts+1)寄生因子不影响系统稳定性,且因为它为非主导极点,
所以也不太影响动态性能,但附加极点有增大阻尼的作用。
（ 7-3题 ~7-10题）
7-3 (1) e(nT)=10(2n-1)
)T2t(7)Tt(5)t(3)nTt()3n2()t(*e 0n(2)
7-5 )(e 0)(e(1) (2)
7-7?56)4(c15)3(c4)2(c
7-8 (1) )nTt()4
6
12
2
1
3
1()t(*c0)1(c TtTt
0n
7-9 T7T5T22 2 ez)ee(z z10)z(G(a) (b) )ez zez z(310)z(G T5T2
7-10 (a)
)z(G)z(G)z(GG1
)z(G)z(
3121
1
(b)
)z(GGG1
)z(GRG)z(GGG)z(RG)z(C
43h
4243h1
(c)
)z(GGG)z(D1
)z(NG)z(GGG)]z(D)z(D)[z(R)z(C
21h1
221h21
7-4 (1)
1nnnn20n nn11 a3a],z3
a)[z1(z31)z(E
(2) 25.2 )5.0)(1n3(5.1)ne nn
(2) ])1(1)[1n(4T)nT(c n (3) nnn )3(5)2(7)1(11)n(c
（ 7-11题 ~7-21题）
)nTt()37.047.01()nT(c n7-11
7-13 (1) 0067.0z0587.1z8987.2z8467.2z z0384.0z16.0)z(c 234 23
(2) )T4t(4 1 5.1)T3t(94.0)T2t(4 9 3 8.0)Tt(16.0)t(*c
(3) 因为系统不稳定，所以 不存在。)(c?
7-15 (1) 不稳定 (2) 不稳定 (3) 不稳定
7-16 (1) 不稳定 (2) 0<k<3.31时 稳定
7-17 1.0)(e4.0k)1z( 8.0z2.1)z(G a
2
7-18 1)(e0k1.0kk avp
7-19 0<k<2.272时系统稳定； ess<0.1时 k应大于 10，此时系统不稳定，
所以 k无值可取。
7-21
1z58.058.1z632.0 368.0z)z(D
7-22
)1z(k
1z2)z(D
（ 8-12题 ~8-19题）
8-12 (2)的准确性高
8-14 (a) )()](1[)(
11 sGsHsG
(b) )(1 )()()(
1
11 sG sHsGsG
8-15 (a) aAAaAkaAakkAN 2)(12a r cs i n2)(
(b) bA
A
b
A
a
A
MAN
])(1)(1[
4)( 22
(c)
k
hA
A
)(1
A
M4)A(N
2
2
kh
8-16 3.5
22
15)2(jG 有自振 ttx s in3.5)(?
8-17
3
20 k 时系统稳定 时系统不稳定 k2
232k 时有自振,tkktx s in2 46)(
8-18 ttcttx 91.3s i n16.0)(91.3s i n8.0)(
8-19 ttcttyttx 2s i n398.0)(2s i n4)(2s i n796.0)(
现代控制理论习题答案
（ 联系地址,wangcq@nuaa.edu.cn）
9-2:(1)
(2)
u
x
x
x
x
1
0
32
10
2
1
2
.
1
.
1
2
10
x
x
x
21
11
T
u
x
x
x?
1
1
20
01
2
1
.
1
2
11
x
x
x
9-3:
u
x
x
x
x
x
x
1
0
0
6116
100
010
3
2
1
3
.
2
.
1
.
3
2
1
006
x
x
x
y
能控型
u
x
x
x
x
x
x
0
0
6
610
1101
600
3
2
1
3
.
2
.
1
.
3
2
1
100
x
x
x
y
能观型
6
11 66
s
1
s
1
s
1
-
3
.x
3x 2x 1xu
能控型
y
6
11
6
6
s
1
s
1
s
1- y- -
u 3.x 3x
2
.x
1x1
.x
能观型
9-4:
u
x
x
x
x
x
x
0
2
0
320
032
100
3
2
1
3
.
2
.
1
.
3
2
1
001
x
x
x
y
2 2
s
1
s
1
s
1
3 3 2
2
.x
3x2x
yx?1u
3
.x
9-5:
2
1
3
2
1
3
.
2
.
1
.
20
12
01
6116
100
010
u
u
x
x
x
x
x
x
3
2
1
112
011
x
x
x
y
2 s1 s1 s1
2
6 11 6
2
2u
1u
1y
2y
1x2
x3x3x
9-6:能控型：
u
x
x
x
x
1
0
43
10
2
1
2
.
1
.
uxy 25
能观型：
u
x
x
x
x
2
5
41
30
2
1
2
.
1
.
uxy 10
对角型：
u
x
x
x
x
1
1
30
01
2
1
2
.
1
.
uxy
2
1
2
3
9-7：
2
1
3
2
1
3
.
2
.
1
.
1
1
0
200
010
011
u
u
x
x
x
x
x
x
3
2
1
555
x
x
x
y
9-9:
9-11:
t
t
At
e
e
e
0
0
tt
t
At
ete
e
e
0
t
t
te
e
tx
2
12
)(
9-13:
9-15:
)3)(2)(1(
372)( 2
sss
sssG
1 1 1
( 1 ) ( 2)
2 6 3
()
1 1 2
( 1 ) ( 2)
2 6 3
kk
kk
xk
1
2
()
( ) 3 2
()
1 5 1
( 1 ) ( 2 )
2 6 3
kk
xk
yk
xk
9-16:
9-17:1)不能控； 2)不能控；
3)能控； 4)不能控；
5)不能控； 6)能控。
)(
1 9 5.3
0 9 8.1
)(
3 8 9.70
1 9 5.31
)1( kukxkx?
)(01)( kxky?
9-19,或
9-20,可化为对角型或能观型
9-21:1)输出能控；
2)输出不能控。
9-22,1)不能观； 2)能观；
3)能观； 4)不能观。
9-23,a-b=-1时能观
4,2,1 aaa
0)1( 2 bab 1)( bab
uxx?
1
0
510
10.
9-25:
9-24:能控，能观
9-26:能控不能观实现：
不能控能观实现：
uxx?
1
1
20
01.
xy 10?
uxx?
1
0
20
01.
xy 11?
不能控不能观实现：
9-27:
uxx?
1
0
20
01.
xy 10?
能控子系统：
1
1 1 1 0
0 0 0 1
3 3 0 0
2 11 0 0
c
T
.
25 16
04
19 27
22 4
7 2 0
99
9 27
c
c c
x x x u
不能控子系统：
9-29,k=[4 1.2 2.1]
c
c xx
20
3
2
3,
cxy 342
cxy 1011?
s
1
s
1
s
110
10
1.2
2.1
4
-
+
+
+
+
-
-
1x2x3x
uv
9-30:
.
^^
22
3 1 0 3
2 0 1 2
rr
x x u y
s
1
s
1
s
1
s
1
- -
-
+
2
.xu?
2x yx?1
2
^x 1^x
22r
3r
2
5
6
21
5
18
s
1
s
1
s
1
- -
9-32,k=[18 21 5]
1xy?2x3xuv
9-34:1)大范围渐进稳定；
2)系统不稳定。
9-35:1)非渐近稳定
9-36,0<k<2
