第五章 线性系统的设计与综合
5.1 状态反馈与输出反馈
5.2 闭环系统的能控性与能观性
5.3 单输入／多输出系统的极点配置
5.4 状态反馈对系统零极点的影响
5.5 输出反馈实现极点配置
5.6 全维状态观测器及其设计教学要求：
1.熟练掌握状态反馈与输出反馈,极点配置
2.熟练掌握状态观测器设计方法
3.掌握分离原理,降维观测器设计方法重点内容：
状态反馈与输出反馈的基本结构,性质和有关定理
单输入,多输出系统的极点配置
全维与降维观测器的设计
状态反馈与观测器的工程应用
5,1 状态反馈与输出反馈
1,状态反馈设原系统,
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
Ｋ
Ｄ
Ｖ
u
y
-
+
+
+ +
DuCxy
BuAxx
.
x
状态反馈控制律：
其中,输入
----状态反馈阵状态反馈系统：
若Ｄ =0，
特征方程
Kxvu
pRv?
npRK
BVxBKAx )(.
DVxDKCy )(
BBKAsICsG k 1)()(
0)( BKAIa
2,输出反馈
a,输出反馈至参考微分处 ( ),x
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
H
u
-
+
+
x
BuxHCAHyBuAxx )(.
y
Cxy?
其中 --输出反馈阵qnRH
1( ) ( )HG s C s I A H C B
b,输出反馈至参考输入：
BvxB F CAx )(.
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
Ｆ
Ｖ
u-
+
+
x
Cxy?
BB F CAsICsG F 1)()(
y
比较：输出反馈
H,F选择的自由度比 K小，输出反馈 部分状态反馈。
C=I,FC=K时，才能等同状态反馈。
因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态。
qy R q n
5.2 闭环系统的能控性与能观性
1,定理 1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统 的动态方程为：
先证引入 u=v-kx的状态反馈后系统的动态方程为：
Cxy
BuAxx
.
0S
RS
BVxBKAx )(.
Cxy?
先证 能控的充要条件是 能控：
的能控性阵：
的能控性阵：
由于
0SRS
0S
RS
BAABBS nc 1
BBkABBKABS ncR 1)()(
pAbAbAbAB?21?
pbBkAbBkAbBkABBkA )()()()( 21
式中 列向量组成 np
i Rpib ),,2,1(?
12
np
pB b b b R
则：
令：
式中 标量这说明 的列 是列的线性组合。
ip
i
i
pii
bk
bk
bk
bbbAbbBkA
2
1
21
)(
ii bkC 11? ii bkC 22? ippi bkC
),,2,1( pjC ji?
)()( 2211 ppiiiii bCbCbCAbbBkA
BBkA )(? ibBkA )(ABB
同理,的列 是列的线性组合。
的列 是列的线性组合。
BBkA 2)(? ibBkA 2)(?
BAABB 2
BBkA n 1)( in bBkA 1)(
BAABB n 1
CCR Sr a n kSr a n k?
另一方面,的状态反馈系统或,是由 经初等变换得到，而初等变换
RSS?0
buxBkBkABuAxx ])[(.
CRC Sr a n kSr a n k
CRC Sr a n kSr a n k?
0S RS
例：
解：
① 判断原系统的能控性，能观性．
xyuxx 10
1
0
01
10.
2
01
10
r a n kAbbr a n k
能控
201 10
r a n k
CA
Cr a n k
Kxvu01?K
能观引入状态反馈：
bVxbKAx )(,Cxy?则：
令：
01
10'AbKA
201 10'
r a n kbAbr a n k 能控
100 10'
r a n k
CA
Cr a n k
1
)()( 21
s
sbAsICsG
不能观原系统：
s
bbKAsIC
bAsICsG K
1
)(
)()(
1
1'
闭环系统：
引入状态反馈后出现零极点对消
2,定理 2：输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观性与能控性．
3,定理 3：输出至状态微分的反馈不改变原系统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
证明：
1) 用对偶原理证明能观性不变设原系统,输出反馈的系统若原系统 能观 对偶系统能控。
由定理 1可知，系统 引入状态反馈后的系统 能控性不变 能观性不变。
),,(:0 CBAS
),),((,CBHCAS H?
),,( CBA
),,( TTT BCA
),,( TTT BCA
),),(( TTTTT BCHCA?
TnTTTT
TnTTTTTTTT
TnTTTT
CHCACHCACr a n k
CHCACHCACr a n k
CACACr a n k
1
1
1
))(()(
)()(
)(
2)证明能控性不变：
设原系统能控 能观),,( TTT BCA
Cn
TTnTTTTTTTT
SBAABB
BABABS
1
1
0 )()))(()()()(
系统 的能控性阵,),),(( TTTTT BCHCA?
Hn
TTnTTTTTTTTTTTT
H
SBHCABHCAB
BHCABHCABS
0
1
1
0
)()(
)()))(()()()(
CH
H
r a n kSr a n k
Sr a n kSr a n k
S
C
00
5.3 单输入 /多输出系统的极点配置设原系统：
Cxy
BuAxx
.
qn RyRx,
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
Ｋ
u-
+
+
yxv
原系统闭环系统引入状态反馈：
Kxvu
nRK 1
bVxbKAKxVbAxx )()(
.
Cxy?
bKA?
bKAI
----闭环状态阵闭环特征多项式定理,用状态反馈任意配置闭环极点的 充要条件 是：原系统 能控,
证明：充分性 设原系统能控任意配置极点．
原系统能控，一定存在将 ( A,b) 能控标准型．
xpx 1
xCyubxAx
.
1210
1
1000
0100
0010
n
aaaa
P A PA
110
122120
111110
1
qnqq
n
n
CPC
TPbb 100
引入状态反馈,其中其中：
Kxvu
110 nKKKK?
xCyVbxKbAx )(
.
1
1
2
2
1
1
0
0
1000
0100
0010
n
n
KaKaKaKa
KbA
),( bKbA 是能控型特征多项式：
比较 与
0)()()(
)()(
001111
1
KaxKaxKa
KbAIa
n
nn
n
*
0
*
1
1*
1
**
2
*
1
* ))(()(
aaa
a
n
n
n
n
（）
)(*?a)(?a
1,,2,1,0,* niaaK iii?
可任意配置极点．
PKK
)()()( * abKAIKbAI
能控标准型 可直接求出Ｋ
u v K x v K P x v K x
必要性：任意配置极点 原系统能控．
反证法：原系统不可能设
xpx 1
c
c
x
x
x
22
12111
0 A
AA
P A PA?
0
1bPbb
10 KKK?
0))((
0
)()(
22
22
0111
1
22
11120111
1
AIKbAI
AI
KbAKbAI
KbAIbKAI
22A? 的特征值 ( 的极点 )
不能任意配置 与已知矛盾，所以反设不成立。
0222 AI?
1
2
0
0
II
I
＊求解状态反馈阵Ｋ的步骤：
① 验证原系统的能控性．
② 闭环系统特征方程：
③ 希望的闭环系统的特征方程：
④ 计算Ｋ
*
0
*
1
1*
1
**
2
*
1
* ))(()(
aaa
a
n
n
n
n
（）
11 1 0( ) ( ) nn na I A b K a a a
a) 原系统是能控标准型：
b) 原系统不是能控型，比较 与
a) 写出闭环系统状态方程：
1,,2,1,0,* niaaK iii?
)(?a )(*?a
iK
bVxbKAx )(.
Cxy?
例 1：
要求通过状态反馈将闭环极点配置在解：
① 能控标准型 能控．
设
xuxx 001y,
1
0
0
320
100
010
.
210 KKKK?
1 2,32,1 j
0464
)1)(1)(2()(
23
*
jja
2,1,0,* iaaK iii
1,4,4 210 KKK
②,
③,
32
2 1 0
( ) ( )
( 3 ) ( 2 ) 0
a I A b K
K K K
1/s 1/s 1/s
4
1
2
3
4
－ － － － －
Ｖ U 3x3
.x
2x yx?1
2K
1K
0K
原系统状态反馈例 2:
要求通过状态反馈将闭环极点设置在解：
①
31,2 * 3,2*1 j
3
100
110
001
2
r a n k
bAAbbr a n kSr a n k
T
c
原系统能控
0 0 0 1
1 1 0 0,0 1 1
0 1 1 0
x x u y x
210 KKKK?
(2) 设
32
0 0 1 0 1 2
( ) ( )
( 2 ) ( 2 1 ) ( ) 0
a I A b K
K K K K K K
884
)31)(31)(2()(
23
*
jja
)()( * aa?
332210 KKKK
VxbVbKAx
0
0
1
110
011
332
)(
.
xy 110?
(3)
(4) 令
(5)
1/s 1/s 1/s
2
3
3
- - -
+
+
y
v
2
.x
1x1
.x
2x 1x1
.x
状态反馈
⑥ 闭环系统的传递函数：
bbKAsICsG 1)()(
1
2
2 3 3 1
0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 0
1
24
s
s
s
ss
5.4 状态反馈对系统零极点的影响设单输入／出系统：
已知 (A,b,c,d)能控，则经过 将
(A,b,c,d)化为能控型
ducxy
buAxx
.
xpx 1
udxcyubxAx
.
),,,( dcbA
1210
1
1000
0100
0010
n
aaaa
P A PA
1
0
0
0
b110 nc
dd?
d
asasas
ssssG
n
n
n
n
n
n
n?
01
1
1
01
2
2
1
1)(
01
1
1
00
1
11
0
)()()(
asasas
dasdadssG
n
n
n
n
nn
n
Kxvu引入状态反馈,
dvxKdcyvbxKbAx )( )(
.
110 nKKKK?设,
o
1
1
2
2
1
1
0
0
1000
0100
0010
n
n
KaKaKaKa
KbA
1
0
0
0
b
111100
nn KdKdKd
Kdc
零点不变，极点可变,
1
1 1 0 0
1
1 1 0 0
1
1 1 0 0
1
1 1 0 0
( ) ( )
()
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n
nn
k nn
nn
nn
nn
nn
nn
d K s d K
G s d
s a K s a K
d s d a s d a
s a K s a K
5.5 输出反馈实现极点配置
1,输出反馈 状态微分设多输入／单输出系统：
CxyhyBuAxx,
.
CxyBuxhCAx,)(
.
.
x
B
A
1/s C
h
u
y
.x,x
- +
定理：由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观．
证明：运用对偶原理：
若 (A,B,C)能观，则能控，可由状态反馈实现极点配置：
可求出 h．
x
),,( TTT BCA
)()()( * ahCAIa TTT Th
)()(
)()(
*
ahCAI
hCAIhCAI TTTTTTT
2,输入反馈至参考输入的极点配置：
B
A
1/s C
f
u,x,x
- +
引入输出反馈,1 pRffyvu
y
( ),x A B f C x B v y C x
5.6 全维状态观测器及其设计状态观测器状态估计器状态重构原系统状态估计状态 全维状态观测器．
nRx?
nxR?
b I/S C
A
观测器k
-
.x
xu y
^x
要求,)()(lim ^ txtx
t
v
原系统带观测器的闭环系统
1,状态观测器的构成：
原系统：
模拟系统,
由于：
cxyBuAxx,
^^^
.
^
xcyBuxAx
)()( 0^0 txtx?
^ 0 xx
(1)
2,全维观测器的设计：
^^^^
.
^
)( xcyyyHBuxAx
HyBuxHcA
xxHcBuxAx
^
^^
.
^
)(
)(
HcA?
----观测器的系统阵
qnRH ----观测器的输出反馈阵
(2)
观测器存在的条件：
(2)-(1)可得：
令其解为：
)()( 0^0 txtx? 0)(
^lim
xx
x
))((
^.
.
^
xxHcAxx
)]()([ 0^))((^ 0 txtxexx ttHcA
^~ xxx
~
.
~
)( xHcAx
当 输出反馈 起作用,可选择Ｈ，使当 输出反馈 不起作用,
Ｈ的选择：
要求：观测器的响应速度 大于 状态反馈系统的响应速度．
)()( 0^0 txtx? )()( ^ txtx?
)()( 0^0 txtx? )()( ^ txtx?
xx?
( ) ( ) ( )a I A H C a
^x
Ｂ 1/S Ｃ
Ａ
u
-
+
+
Ｂ 1/S Ｃ
Ａ
+
H
K
v
.
^
x
-
^y
状态反馈部分观测器部分
.x x y
-
定理,若系统 (A,B,C)完全能观，则可用如下的全维观测器对原状态来进行估计：
HyBuxHcA
xxHcBuxAx
^
^^
.
^
)(
)(
Ｈ —适当选取．
例：
设计观测器，使观测器的极点为：
解：
1)
uxx?
1
0
10
12.
xy 01?
32,1
12
01
0 CA
C
S T 2 0?
TSra n k
原系统能观 观测器的极点可任意配置。
2) 又
3) 设
4) 令
96)3()( 22*a
1
0
h
h
H?
1
12
1
0
h
h
HCA
)2()3(
1
12
)()(
100
2
1
0
hhh
h
h
HCAIa
)()( * aa?
5) 。
4
3
1
0
h
h
H
yux
HyBuxHCAx
4
3
1
0
14
15
)(
^
^
.
^
3,分离定理：
原系统引入状态反馈：
全维观测器：
cxyBuAxx,
^xkvu
cxyBvxBkAxx,^.
BvH c xxHcBkA
yyHBuxAx
^
^^
.
^
)(
)(
^^ xcy?
(1)
(2)
2n阶复合系统：
v
B
B
x
x
HCBkAHC
BkA
x
x
^.
^
.
^0
x
x
Cy
由 (1)-(2):
与 u,v无关。 不可控用 直观引入如下变换：
)]()([ 0
^
0
))((^ 0 txtxexx ttHcA
^~ xxx
~^ xxx
xpx?
^
0
x
x
x?
^
xx
x
x
( ) ( )x x A H c x x
nn
n
II
I
p
01
AppA 1
0
1 BBpB
nn
n
II
I
p
0
01 ccpc
xcyvBxAx
.
v
B
B
xx
x
HCA
BkBkA
xx
x
^.
^.
.
0
^0
xx
x
cy
BBkAsIc
B
HcAsI
BkBkAsI
c
sGsG
n
n
n
1
1
)]([
0)(0
)(
0
)()(
cxyBvxBkAkxvBAxx,)()(
.
状态反馈子系统
0)()(
)(0
)(
HcAIBkAI
HcAI
BkBkAI
nn
n
n
K和 H相互独立设计分离定理,若系统 能控能观，用形成状态反馈后,K和 H
的设计可以分别独立进行。
),,( CBA
^x
5.1 状态反馈与输出反馈
5.2 闭环系统的能控性与能观性
5.3 单输入／多输出系统的极点配置
5.4 状态反馈对系统零极点的影响
5.5 输出反馈实现极点配置
5.6 全维状态观测器及其设计教学要求：
1.熟练掌握状态反馈与输出反馈,极点配置
2.熟练掌握状态观测器设计方法
3.掌握分离原理,降维观测器设计方法重点内容：
状态反馈与输出反馈的基本结构,性质和有关定理
单输入,多输出系统的极点配置
全维与降维观测器的设计
状态反馈与观测器的工程应用
5,1 状态反馈与输出反馈
1,状态反馈设原系统,
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
Ｋ
Ｄ
Ｖ
u
y
-
+
+
+ +
DuCxy
BuAxx
.
x
状态反馈控制律：
其中,输入
----状态反馈阵状态反馈系统：
若Ｄ =0，
特征方程
Kxvu
pRv?
npRK
BVxBKAx )(.
DVxDKCy )(
BBKAsICsG k 1)()(
0)( BKAIa
2,输出反馈
a,输出反馈至参考微分处 ( ),x
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
H
u
-
+
+
x
BuxHCAHyBuAxx )(.
y
Cxy?
其中 --输出反馈阵qnRH
1( ) ( )HG s C s I A H C B
b,输出反馈至参考输入：
BvxB F CAx )(.
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
Ｆ
Ｖ
u-
+
+
x
Cxy?
BB F CAsICsG F 1)()(
y
比较：输出反馈
H,F选择的自由度比 K小，输出反馈 部分状态反馈。
C=I,FC=K时，才能等同状态反馈。
因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态。
qy R q n
5.2 闭环系统的能控性与能观性
1,定理 1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证能观性．
证明：设原系统 的动态方程为：
先证引入 u=v-kx的状态反馈后系统的动态方程为：
Cxy
BuAxx
.
0S
RS
BVxBKAx )(.
Cxy?
先证 能控的充要条件是 能控：
的能控性阵：
的能控性阵：
由于
0SRS
0S
RS
BAABBS nc 1
BBkABBKABS ncR 1)()(
pAbAbAbAB?21?
pbBkAbBkAbBkABBkA )()()()( 21
式中 列向量组成 np
i Rpib ),,2,1(?
12
np
pB b b b R
则：
令：
式中 标量这说明 的列 是列的线性组合。
ip
i
i
pii
bk
bk
bk
bbbAbbBkA
2
1
21
)(
ii bkC 11? ii bkC 22? ippi bkC
),,2,1( pjC ji?
)()( 2211 ppiiiii bCbCbCAbbBkA
BBkA )(? ibBkA )(ABB
同理,的列 是列的线性组合。
的列 是列的线性组合。
BBkA 2)(? ibBkA 2)(?
BAABB 2
BBkA n 1)( in bBkA 1)(
BAABB n 1
CCR Sr a n kSr a n k?
另一方面,的状态反馈系统或,是由 经初等变换得到，而初等变换
RSS?0
buxBkBkABuAxx ])[(.
CRC Sr a n kSr a n k
CRC Sr a n kSr a n k?
0S RS
例：
解：
① 判断原系统的能控性，能观性．
xyuxx 10
1
0
01
10.
2
01
10
r a n kAbbr a n k
能控
201 10
r a n k
CA
Cr a n k
Kxvu01?K
能观引入状态反馈：
bVxbKAx )(,Cxy?则：
令：
01
10'AbKA
201 10'
r a n kbAbr a n k 能控
100 10'
r a n k
CA
Cr a n k
1
)()( 21
s
sbAsICsG
不能观原系统：
s
bbKAsIC
bAsICsG K
1
)(
)()(
1
1'
闭环系统：
引入状态反馈后出现零极点对消
2,定理 2：输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观性与能控性．
3,定理 3：输出至状态微分的反馈不改变原系统的能观性，但可能改变原系统的能控性．
证明：
1) 用对偶原理证明能观性不变设原系统,输出反馈的系统若原系统 能观 对偶系统能控。
由定理 1可知，系统 引入状态反馈后的系统 能控性不变 能观性不变。
),,(:0 CBAS
),),((,CBHCAS H?
),,( CBA
),,( TTT BCA
),,( TTT BCA
),),(( TTTTT BCHCA?
TnTTTT
TnTTTTTTTT
TnTTTT
CHCACHCACr a n k
CHCACHCACr a n k
CACACr a n k
1
1
1
))(()(
)()(
)(
2)证明能控性不变：
设原系统能控 能观),,( TTT BCA
Cn
TTnTTTTTTTT
SBAABB
BABABS
1
1
0 )()))(()()()(
系统 的能控性阵,),),(( TTTTT BCHCA?
Hn
TTnTTTTTTTTTTTT
H
SBHCABHCAB
BHCABHCABS
0
1
1
0
)()(
)()))(()()()(
CH
H
r a n kSr a n k
Sr a n kSr a n k
S
C
00
5.3 单输入 /多输出系统的极点配置设原系统：
Cxy
BuAxx
.
qn RyRx,
.xＢ 1/S Ｃ
Ａ
Ｋ
u-
+
+
yxv
原系统闭环系统引入状态反馈：
Kxvu
nRK 1
bVxbKAKxVbAxx )()(
.
Cxy?
bKA?
bKAI
----闭环状态阵闭环特征多项式定理,用状态反馈任意配置闭环极点的 充要条件 是：原系统 能控,
证明：充分性 设原系统能控任意配置极点．
原系统能控，一定存在将 ( A,b) 能控标准型．
xpx 1
xCyubxAx
.
1210
1
1000
0100
0010
n
aaaa
P A PA
110
122120
111110
1
qnqq
n
n
CPC
TPbb 100
引入状态反馈,其中其中：
Kxvu
110 nKKKK?
xCyVbxKbAx )(
.
1
1
2
2
1
1
0
0
1000
0100
0010
n
n
KaKaKaKa
KbA
),( bKbA 是能控型特征多项式：
比较 与
0)()()(
)()(
001111
1
KaxKaxKa
KbAIa
n
nn
n
*
0
*
1
1*
1
**
2
*
1
* ))(()(
aaa
a
n
n
n
n
（）
)(*?a)(?a
1,,2,1,0,* niaaK iii?
可任意配置极点．
PKK
)()()( * abKAIKbAI
能控标准型 可直接求出Ｋ
u v K x v K P x v K x
必要性：任意配置极点 原系统能控．
反证法：原系统不可能设
xpx 1
c
c
x
x
x
22
12111
0 A
AA
P A PA?
0
1bPbb
10 KKK?
0))((
0
)()(
22
22
0111
1
22
11120111
1
AIKbAI
AI
KbAKbAI
KbAIbKAI
22A? 的特征值 ( 的极点 )
不能任意配置 与已知矛盾，所以反设不成立。
0222 AI?
1
2
0
0
II
I
＊求解状态反馈阵Ｋ的步骤：
① 验证原系统的能控性．
② 闭环系统特征方程：
③ 希望的闭环系统的特征方程：
④ 计算Ｋ
*
0
*
1
1*
1
**
2
*
1
* ))(()(
aaa
a
n
n
n
n
（）
11 1 0( ) ( ) nn na I A b K a a a
a) 原系统是能控标准型：
b) 原系统不是能控型，比较 与
a) 写出闭环系统状态方程：
1,,2,1,0,* niaaK iii?
)(?a )(*?a
iK
bVxbKAx )(.
Cxy?
例 1：
要求通过状态反馈将闭环极点配置在解：
① 能控标准型 能控．
设
xuxx 001y,
1
0
0
320
100
010
.
210 KKKK?
1 2,32,1 j
0464
)1)(1)(2()(
23
*
jja
2,1,0,* iaaK iii
1,4,4 210 KKK
②,
③,
32
2 1 0
( ) ( )
( 3 ) ( 2 ) 0
a I A b K
K K K
1/s 1/s 1/s
4
1
2
3
4
－ － － － －
Ｖ U 3x3
.x
2x yx?1
2K
1K
0K
原系统状态反馈例 2:
要求通过状态反馈将闭环极点设置在解：
①
31,2 * 3,2*1 j
3
100
110
001
2
r a n k
bAAbbr a n kSr a n k
T
c
原系统能控
0 0 0 1
1 1 0 0,0 1 1
0 1 1 0
x x u y x
210 KKKK?
(2) 设
32
0 0 1 0 1 2
( ) ( )
( 2 ) ( 2 1 ) ( ) 0
a I A b K
K K K K K K
884
)31)(31)(2()(
23
*
jja
)()( * aa?
332210 KKKK
VxbVbKAx
0
0
1
110
011
332
)(
.
xy 110?
(3)
(4) 令
(5)
1/s 1/s 1/s
2
3
3
- - -
+
+
y
v
2
.x
1x1
.x
2x 1x1
.x
状态反馈
⑥ 闭环系统的传递函数：
bbKAsICsG 1)()(
1
2
2 3 3 1
0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 0
1
24
s
s
s
ss
5.4 状态反馈对系统零极点的影响设单输入／出系统：
已知 (A,b,c,d)能控，则经过 将
(A,b,c,d)化为能控型
ducxy
buAxx
.
xpx 1
udxcyubxAx
.
),,,( dcbA
1210
1
1000
0100
0010
n
aaaa
P A PA
1
0
0
0
b110 nc
dd?
d
asasas
ssssG
n
n
n
n
n
n
n?
01
1
1
01
2
2
1
1)(
01
1
1
00
1
11
0
)()()(
asasas
dasdadssG
n
n
n
n
nn
n
Kxvu引入状态反馈,
dvxKdcyvbxKbAx )( )(
.
110 nKKKK?设,
o
1
1
2
2
1
1
0
0
1000
0100
0010
n
n
KaKaKaKa
KbA
1
0
0
0
b
111100
nn KdKdKd
Kdc
零点不变，极点可变,
1
1 1 0 0
1
1 1 0 0
1
1 1 0 0
1
1 1 0 0
( ) ( )
()
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n
nn
k nn
nn
nn
nn
nn
nn
d K s d K
G s d
s a K s a K
d s d a s d a
s a K s a K
5.5 输出反馈实现极点配置
1,输出反馈 状态微分设多输入／单输出系统：
CxyhyBuAxx,
.
CxyBuxhCAx,)(
.
.
x
B
A
1/s C
h
u
y
.x,x
- +
定理：由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观．
证明：运用对偶原理：
若 (A,B,C)能观，则能控，可由状态反馈实现极点配置：
可求出 h．
x
),,( TTT BCA
)()()( * ahCAIa TTT Th
)()(
)()(
*
ahCAI
hCAIhCAI TTTTTTT
2,输入反馈至参考输入的极点配置：
B
A
1/s C
f
u,x,x
- +
引入输出反馈,1 pRffyvu
y
( ),x A B f C x B v y C x
5.6 全维状态观测器及其设计状态观测器状态估计器状态重构原系统状态估计状态 全维状态观测器．
nRx?
nxR?
b I/S C
A
观测器k
-
.x
xu y
^x
要求,)()(lim ^ txtx
t
v
原系统带观测器的闭环系统
1,状态观测器的构成：
原系统：
模拟系统,
由于：
cxyBuAxx,
^^^
.
^
xcyBuxAx
)()( 0^0 txtx?
^ 0 xx
(1)
2,全维观测器的设计：
^^^^
.
^
)( xcyyyHBuxAx
HyBuxHcA
xxHcBuxAx
^
^^
.
^
)(
)(
HcA?
----观测器的系统阵
qnRH ----观测器的输出反馈阵
(2)
观测器存在的条件：
(2)-(1)可得：
令其解为：
)()( 0^0 txtx? 0)(
^lim
xx
x
))((
^.
.
^
xxHcAxx
)]()([ 0^))((^ 0 txtxexx ttHcA
^~ xxx
~
.
~
)( xHcAx
当 输出反馈 起作用,可选择Ｈ，使当 输出反馈 不起作用,
Ｈ的选择：
要求：观测器的响应速度 大于 状态反馈系统的响应速度．
)()( 0^0 txtx? )()( ^ txtx?
)()( 0^0 txtx? )()( ^ txtx?
xx?
( ) ( ) ( )a I A H C a
^x
Ｂ 1/S Ｃ
Ａ
u
-
+
+
Ｂ 1/S Ｃ
Ａ
+
H
K
v
.
^
x
-
^y
状态反馈部分观测器部分
.x x y
-
定理,若系统 (A,B,C)完全能观，则可用如下的全维观测器对原状态来进行估计：
HyBuxHcA
xxHcBuxAx
^
^^
.
^
)(
)(
Ｈ —适当选取．
例：
设计观测器，使观测器的极点为：
解：
1)
uxx?
1
0
10
12.
xy 01?
32,1
12
01
0 CA
C
S T 2 0?
TSra n k
原系统能观 观测器的极点可任意配置。
2) 又
3) 设
4) 令
96)3()( 22*a
1
0
h
h
H?
1
12
1
0
h
h
HCA
)2()3(
1
12
)()(
100
2
1
0
hhh
h
h
HCAIa
)()( * aa?
5) 。
4
3
1
0
h
h
H
yux
HyBuxHCAx
4
3
1
0
14
15
)(
^
^
.
^
3,分离定理：
原系统引入状态反馈：
全维观测器：
cxyBuAxx,
^xkvu
cxyBvxBkAxx,^.
BvH c xxHcBkA
yyHBuxAx
^
^^
.
^
)(
)(
^^ xcy?
(1)
(2)
2n阶复合系统：
v
B
B
x
x
HCBkAHC
BkA
x
x
^.
^
.
^0
x
x
Cy
由 (1)-(2):
与 u,v无关。 不可控用 直观引入如下变换：
)]()([ 0
^
0
))((^ 0 txtxexx ttHcA
^~ xxx
~^ xxx
xpx?
^
0
x
x
x?
^
xx
x
x
( ) ( )x x A H c x x
nn
n
II
I
p
01
AppA 1
0
1 BBpB
nn
n
II
I
p
0
01 ccpc
xcyvBxAx
.
v
B
B
xx
x
HCA
BkBkA
xx
x
^.
^.
.
0
^0
xx
x
cy
BBkAsIc
B
HcAsI
BkBkAsI
c
sGsG
n
n
n
1
1
)]([
0)(0
)(
0
)()(
cxyBvxBkAkxvBAxx,)()(
.
状态反馈子系统
0)()(
)(0
)(
HcAIBkAI
HcAI
BkBkAI
nn
n
n
K和 H相互独立设计分离定理,若系统 能控能观，用形成状态反馈后,K和 H
的设计可以分别独立进行。
),,( CBA
^x
