第四章 线性系统的能控性和能观性
4.1 线性系统能控性和能观性的概念
4.2 线性离散系统的能控性
4.3 线性定常系统的输出能控性
4.4 线性定常连续系统的能观性
4.5 线性定常连续系统的能观性
4.6 线性定常离散系统的能观性
4.7 G(s)为能控性和能观性的关系
4.8 线性定常系统结构分解
4.9 最小实现教学要求：
1.正确理解定常和离散系统可控性与可观性的基本概念与判据 。
2.熟练掌握能控标准型与能观标准型 。
3.掌握对偶原理,规范分解方法 。
4.理解传递函数的实现问题,
重点内容：
能控,能观的含义和定义 。
定常系统的能控,能观的各种判据 。
线性变换的不变性 。
实现与最小实现的特点和性质 。
研究系统的目的,更好地了解系统和控制系统,
含义 1,
控制作用,
对状态变量的支配 能控性,
系统输出能否反映状态变量 能观性,
含义 2:
能控性,能否找到使任意初态 确定终态能观性,能否由输出量的测量值 各状态多变系统两个基本问题,
① 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?
② 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?
简单地说,
如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由 任意的始点 达到终点,则系统能控 (状态能控 ).
如果系统的所有状态变量的 任意形式 的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的,
例 1,给定系统的状态空间描述,
解,展开表明,状态变量,都可通过选择输入 u而由始点 终点完全能控,
输出 y只能反映状态变量,所以不能观测,
xy
u
x
x
x
x
60
2
1
50
04
2
1
2
.
1
.
2
22
.
11
.
6
25 4
xy
uxxuxx
1x 2x
2x 1x
例 2:取 和 作为状态变量,u— 输入,
y= --输出,Li cu
cu
+
-u
L
Li
1R
3R
2R
4R
(1)当
3241 RRRR?
状态可控，可观测
(2)当
3241 RRRR?
u只能控制,
不可控，不可观测．
0cu?
Li
cu
4.1 线性系统能控性和能观性的概念
含义：
能控性,u(t) x(t) 状态方程能观性,y(t) x(t) 输出方程
1,定义：
设若存在一分段连续控制向量 u(t)，
能在 内将系统从 任意 状态转移到 任意 终态,则该系统完全能控,
BuAxx.
] [ 0 ftt )( 0tx
)( ftx
说明：
① 任意初态 (状态空间中任一点 ),零终态 ＝０
能控
② 零初态任意终态
xtx?)( 0
)( ftx
0)( 0?tx
xtx f?)( 能达
2,定理 1
x A x B u设
1
1
n
n
c
B AB A B n
ra nk S ra nk B AB A B n
c
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
S 的秩为即：
例：
判断能控性
uxx
11
11
12
310
020
231
.
3
2
1
.
x
x
x
x
2
1
.
u
u
u
解：
rank =2<3,不能控
442211
442211
452312
] [
2
BAABBS
c
cS
对于：
行数＜列数的情况下求秩时：
rank =rank
cS nn
Tcc SS ][
3,定理 2：若,
若Ａ为对角型，则状态完全能控的充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
BuAxx.
pp ubububxx 121211111 1
pp ubububxx 222212122 2
例：线性系统的状态方程为其中：
试判断该系统的能控性．
buAxx.
2
1
0
0
A?
2
1
b
b
b
解：
如果 rank =2,
则必须要求
] [ AbbS c?
)( 1221
222
111
bb
bb
bb
AbbS c
cS
0,0 21 bb
4,定理 3：设,
若Ａ为 约当型,则状态完全能控的充要条件是：
对应的每一个约当块的最后一行相应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．
BuAxx.
例：设系统的状态方程为其中：
试判断系统的能控性．
buAxx.
2
1
0
1
A?
2
1
b
b
b
解：
而 b1是任意值，且 rank =2
则该系统能控．
] [ AbbS c?
0 22
212
2111 b
bb
bbb
AbbS c
cS
5,当Ａ的特征值,，
且则可以经过 将 A化为约当型,
如下,
重根）11 ( 重根）22 (
重根）ll (? nl21
x P x?
12 ii i i ir r r
且由 的最后一行组成的矩阵：
),,2,1( iik kB
1
2
1,2,,
i
ri
rir
i
ri
b
b
B i l
b
对 均为行线性无关则系统能控例：设,已知BuAxx.
001
010
001
100
010
001
000
B
001
010
1B
r
2 1 0 0
rB?
行线性无关 不全为零
能控
6,线性变换后系统的能控性不变设令 则：
其中：
BuAxx.
] [ 1 BAABBS nC
xPx? uBxAx.
BPBAPPA 11,
] [ 1 BABABS nC
C
n
n
n
n
c
Sr a n k
BAABBr a n k
BAABBPr a n k
BAPABPBPr a n k
BPAPPBPAPPBPr a n kSr a n k
] [
] [
] [
])()( [
1
11
1111
111111
系统的能控性不变
1P 满秩矩阵
7,定理 4：
设如果系统能控，则则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：
buAxx.
] [ 1 BAABBS nC
xPX 1
ubxAx
.
其中：
1 PAPA pbb?
1321
1000
0100
0010
n
aaaa
A
1
0
0
0
b
且：
证明,(由 推得 )? PAPA? 1 PAPA
3212 PAPAP
21 PAP?
1212 nnn PAPAP
nnn PAPAP 111
例：
求能控标准型．
uxx?
1
1
01
11.
解：
rank Sc=2 能控
11
01
] [ AbbS C
11
011
CS
11
11
01
]1 0[1
P
10
11
1
1
AP
P
P?
10
111
P
则
11
101
PAPA?
1
0
Pbb
4.2 线性离散系统的能控性
1,定义：设线性定常离散系统的状态方程,
其中
)()()1( kBukAxkx
nRkx?)( PRku?)(
nnRA npBR
若存在控制向量序列能在有限时间 内，将系统第从 k步的 X(k)转移到至第 n步的 x(n)=0，
则称系统在第 k步上是能控的．如果每个 k系统的 所有 状态能控，则称系统为完全能控,
)1(),1(),( nkukuku?
[,]kT nT
2,定理：设则系统完全能控的充要条件：
rankSc=n
其中：
)()()1( kBukAxkx
] [ 1 BAABBS nC
证明,(以单输入为例 )
设假设,
)()()1( kbukAxkx
)()0()(
1
0
1 ibuAxAnx
n
i
inn?
0)(?nx
)1(
)1(
)0(
] [
)]1()1()0([
)()0(
21
21
1
0
1
nu
u
u
bAbAbA
nbuAbuAbuA
ibuAx
n
n
n
i
i
)0(] [
)1(
)2(
)1(
121
xbAbAbA
nu
u
u
n
这里 x(0)是任意的
nbAbAbAr a n k n ] [ 21?要求为满秩矩阵可求出 u(0),u(1),u(n-1)
nA
nbAAbbAr a n k nn ] [ 1?
nbAAbbr a n kS nC ] [ 1?当
例 1：
判断系统的能控性．
1 0 0 1
( 1 ) 0 2 2 ( ) 0 ( )
1 1 0 1
x k x k u k
解：
311
220
111
] [
2
bAAbbS
c
3?CSr a n k
该系统 能控若已知 求 u(0),u(1),u(2)
0
1
2
)0(x
)0()0()1( buAxx
)1()0()0(
)1()1()2(
2 buA b uxA
buAxx
32
( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )
x A x b u
A x A b u A b u b u
3
1 0 0 1
( 3 ) 0 2 2 ( 0 ) 2 ( 0 )
1 1 0 3
11
2 ( 1 ) 0 ( 2)
11
x x u
uu
设 x(3)=0
3
1 1 1 ( 0 ) 1 0 0
2 2 0 ( 1 ) 0 2 2 ( 0 )
3 1 1 ( 2 ) 1 1 0
u
ux
u
解得：
因此，对于任意 x(0)，都能求出
u(0),u(1),u(2),使 x(0) x(3)=0
( 0 ) 5
( 1 ) 1 1
( 2 ) 8
u
u
u
例 2：
① 判断能控性
② 能否存在对任意 x(0) x(1)=0？
)()(1 kBukAxkx
041
020
122
A
01
10
00
B?
)(
)(
)(
2
1
ku
ku
ku
)0(
)0(
)0(
2
1
u
u
u
解：
①
2
[ ]
0 0 1 2 2 4
0 1 0 2 0 4
1 0 0 4 1 10
C
S B AB A B?
rank Sc=3
因此该系统 能控所以一定可使任意 x(0) x(3)=0
0)0()0()1( BuAxx
)0(
)0(
32
5.00
21
)0()0(
2
11
u
u
BuAx
1
( 0 ) 0,
2
x
设
- 1 2 - 1 2 - 1
0 0.5 0 0.5 0 2
2 - 3 2 - 3 2
r ank r ank
u ( 0 ) 1,u ( 0 ) 0可求出
1
0
)0(
)0()0(
2
1
u
uu
3
5.0
2
)0(x设但不能对任意 x(0) x(1)=0
4.4 线性定常系统的输出能控性在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控,
设,
定义,在 上,任意解出 u(t),输出能控
．
BuAxx,DuCxy
pqn RuRyRx,,
],[ 0 ftt 0)()( 0 ftyty
2,定理：
系统输出完全能控的 充要 条件：
例：
判断系统是否输出能控．
解,rank[CB CABD]=rank[1 -2 0]=1=q
输出能控
rankSc=rank[b Ab]=1<2
状态不能控
uxx?
2
1
32
14.
xy 01?
4.5 线性定常连续系统的能观性在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,
但输入变量总是可以获取和测量的,
能观性 — 能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量．
0t
ft
设线性定常连续系统状态空间表式：
1,定义：对任意给定 u(t)，在内输出 y(t)可唯一确定系统的初态
x( ),则系统是 完全能观 的．
y x( ) 能观
y x( ) 能检
0t
],[ 0 ftt
确定确定
BuAxx,DuCxy
2,定理 1：
系统状态完全能观的 充要 条件：
nSr a n kSr a n k T00
])( [ 10 TnTTTT CACACS
TnT CACACS ] [ 1
0
证明：
设
0
0
) ()
0( ) ( ) ( )
tA t t At
t
x t e x t e B u d（
dBueCtxCety t
t
tAttA )()()(
0
0 )(
0
)(
0)(?tu 00?t
)0(])()()([
)0()()0()()0()(
)0()()0()(
1
110
1
110
1
0
x
CA
CA
C
ItaItaIta
xCAtaC A xtaCxta
xAtaCxCety
n
qnqq
n
n
m
n
m
m
At
这里,是一个单位阵．
要使 y(t) x(0)
qqqIR
确定
nr a n k Sr a n k S T 00
3,定理 2:
若 A为 对角型,则系统 完全能控能观 的充要条件是：
输出阵 C中 没有 任何一 列 的元素全为零．
例：系统状态方程为
u
b
b
xx?
2
1
2
1
.
0
0
xccy 21?
TTT CACS?0
)( 12210 ccS
01?c 02?c
)( 21
系统能控能观则要求即 rank =2
0S
4,定理 3：
若 A为 约当型,则系统完全能观的充要条件是：
C阵中与每个约当块的 第一列 相对应的各列中，没有一列的元素 全 为零．
如：
能观
u
b
b
b
xx
3
2
1
2
1
1
.
00
00
01
x
ccc
ccc
y?
232221
131211
13
23
0
0
c
c
例：设系统的状态方程为：
判断系统的能观性．
解：
u
b
b
xx?
2
1
2
1
.
0
1
xccy 21?
2112
111
0 ] [ ccc
cc
CACS TTT
2
10 cS? 2 0?Sra n k
能观 01?c
5,约当型判据：
设 A有 ( 重根 ),( 重根 )，
( 重根 ),
buAxx.
duCxy udxCy
ubxAx
.
xpx?
1? 1
2? 2
l?
l? nl21
且要使系统完全能观，则由的第一列组成的矩阵：
对 均 列线性无关 。
iiii irrr21
),,2,1( iik kC
iiiii
CCCC
111
'
21
6,定理 4:
设如果系统能观，但不是能观标准型，
则存在,将原系统化为能观标准型：
buAxx.
Cxy?
(单输入单输出系统 )
xpx T?
xCy
ubxAx
.
其中
1
2
1
0
100
010
001
000
n
a
a
a
a
A
TT
T
T
A P AP
b P b
C C P
其中：
1
2
1
1
0
0
0
1
n
C
CA
P CA
CA
1
1 1 1
nP P A P A P
7,线性变换后系统能观性不变设令
buAxx,DuCxy
])( [ 1T0 TTnTT CACACS
xPx?
xCy
ubxAx
.
APPA 1
BPB 1
CPC?
DD?
])( [ 1T0 TTnTT CACACS
0
1
1
1
111
0
])( [
])( [
])( [
])(])[()()( )[(
Sr a n k
CACACr a n k
CACACPr a n k
CAPCAPCPr a n k
CPAPPCPAPPCPr a n kSr a n k
TTnTTT
TTnTTTT
TTnTTTTTT
TTnTTT
TP? 满秩矩阵
4.6 线性定常离散系统的能观性设
1,定义：已知 u(k)，如果能由确定 x(k)，则第 k步是能观的。如果 每个 k步都能观，则系统 完全能观 。
)()()1( kBukAxkx
)()( kCxky?
)1(),(?kyky
)1( nky?
y(k)
y(k+1)
y(k+n-1)
已知 u(k) x(k)=
)(
)(
)(
2
1
kx
kx
kx
n
2,定理：系统状态完全能观的 充要 条件：
其中：
nSr a n kSr a n k T 00
])( [ 10 TnTTTT CACACS
1
0
n
T
CA
CA
C
S
证明：令 u(k)=0
k=0 y(0)=Cx(0)
k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0)
k=n-1 y(n-1)=
)0(1 xCA n?
)0(
)1(
)1(
)0(
1
x
CA
CA
C
ny
y
y
n?
_)1(
)1(
)0(
)0(
1
1
ny
y
y
CA
CA
C
x
n
当 时,x(0)有解。 nSr a n k T?
0
例：
解：
)(
1
1
2
)(
203
120
101
)1( kukxkx
)(010 kxy?
043
120
010
2
0
CA
CA
C
S
T
能观 3 0TSr a n k
4.7 对偶原理由第二章：
对偶原理,o
T T T
C o C C oA A B B C C
CxyBuAxxS,:
.
1
),,,( DCBA
zBwvCzAzS TTT,:
.
2
),,,( TTTT DBCA
其中,
与 互为对偶,
qp
nnn
RvyRwu
RARzx
,,
,
1S 2S
1,SBAABBS nc 11
2,S
1
20
1
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
T T T T T T T T n T T
c
S B A B A B
S
11 ()T T T T n TOS C A C A C
:2S
:1S
1
2
1
()T T T T n Tc
O
S C A C A C
S
12 SS能控 能观能控能观 21 SS
:1S 11 ( ) ( )G s C S I A B
:2S 112 ( ) ( ) [ ( ) ]T T T T T TG s B S I A C B S I A C
)()]( [ 12 sGsG T
4.7 G(s)为能控性和能观性的关系设 单输入定理,系统能控能观的充要条件是 G(s)中 没有零极点对消
buAxx,Cxy?
)(
)()(
)()(
1
sD
sN
b
ASI
ASIadj
C
bASICsG
设 A的特征值,,则系统可化为,n,,,21?
u
b
b
b
xx
nn
2
1
2
1
.
n
i
iin xCxCCCy
1
21?
当当
0
0
i
i
C
b
不能控不能观i
x
ix
0
0
i
i
C
b 系统能控能观验证能控性,
设 不能控,则一定存在零极点对消,
01?b 1x bASI 1)(
验证能观性,
设 不能观,则一定存在零极点对消,
01?C 1)( AsIC
1
2
1
2
1
0)(
n
n
s
s
s
CCAsIC
1x
nnn
n
n
n
CssCss
sss
s
s
C
s
C
s
)()()()(0
)())((
0
1223
21
1
2
2
1
例,
解,
① 能控型,
5.25.1
5.2
)1)(5.2(
5.2)(
2
ss
s
ss
ssG
uxx?
1
0
5.15.2
10,xy 15.2?
15.2
15.2
0 CA
C
S T
1 0?TSra n k
不能观?
② 能观型,
uxx?
1
5.2
5.11
5.20,xy 10?
2,5 2,5,111CcS B A B r a n k S
不能控
③ 不能控不能观,
uxx?
0
1
5.20
01,10yx?
不能控不能观
2x
4.8 线性定常系统结构分解
0
0
0
c
cc
c
c
x
x
x
x
0cx
0cx
x
--能控能观
--能控不能观
--不能控能观
--不能控不能观
cox
cox
1,系统的能控性分解设其中,系统不能控,
引入 变换,
中 r个线性无关列向量,
任意 n-r个列向量,存在
BuAxx,Cxy?
nrSr a n k c
1?CT xTx C 1
1?CT
CT
则 uBxAx.
22
12111
0 A
AAATTA
cc
211 CCCTC c
0
r
C
BBTB
c
c
x
x
x
r
c Rx?
rn
c Rx
--能控状态子向量
--不能控状态子向量
r
n-r
r n-r
r
nr?
nr?r
则有,
能控子系统,
不能控子系统,
cc xAx 22
.
uBxAxAx ccc 11211
.
.
1 1 1 2 1cc cx A x A x B u
2121 yyxCxCy cc
cxCy 11?
CxCy 22?
22ccx A x?
y
u
1B s/1 1C
11A
12A
s/1 2C
22A
cx
cx
cx cx
1y
2y
1
11
1
1 1 1 2 1
12
22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
00
c c c c
G s G s C sI A B
CT sI T A T T B
AA B
C C sI
A
1
11 12 1
12
22
11
11 11 12 22 1
12
1
22
1
11 11
00
( ) ( ) ( )
00 ( )
( ) ( )
()
co
co
sI A A B
CC
sI A
sI A sI A A sI A B
CC
sI A
C sI A B G s
Gs
能控能观的子系统例 1：
进行能控性分解．
解：
所以不能控．
xyuxx 210
0
1
1
310
301
100
.
32
210
311
101
2
r a n k
bAAbbr a n kSr a n k
c
选取通过则
111
211
221
3
1
110
011
201
1
CC TT
xTx C 1
.
0 1 1 1
1 2 2 0 1 1 2
0 0 1 0
x x u y x
能控子系统：
不能控子系统：
c
cc
c
xy
uxxx
11
0
1
2
1
21
10
1
cc xx?
.
cxy 22
2,系统的能观性分解设其中 所以不能观．
引入 变换：
中 个线性无关的行向量任意 个行向量 存在则
BuAxx,Cxy?
Tor a n k S l n
1oT? 1
ox T x
oT
ToS
1oT?
uBxAx
.
xCy?
l
nl?
11
2 1 2 2
0T
oo
A
A T A T
AA
1
2
o
BB T B
B
1 1 0
oC C T C
o
o
x
x
x
loxR?
nl
oxR
--能观子状态
--不能观子状态
l nl?
nl?
l
nl?
l
q
pl nl?
则能观子系统：
不能观子系统：
uBxAx 10110,
.
2 1 2 2 2o o ox A x A x B u
1 oy C x?
1 1 1 11,o o ox A x B u y C x y
2 1 2 2 2 2,0oo ox A x A x B u y
1B s/1 1C
11A
s/12B
22A
ox ox
u ＋
yy?1
21A
ox
ox
例：
进行能观性分解．
解：
xuxx 2-10y
0
1
1
310
301
100
2
0 1 2
1 2 3 2 3
2 3 4
T
o
C
rank S rank C A rank
CA
不能观选取经过
0 1 2
1 2 3,
0 0 1
oT
1
2 1 1
102
0 0 1
oT
1ox T x
.
0 1 0 1
1 2 0 1
1 0 1 0
x x u
xy 001?
能观子系统：
不能观子系统：
10 1 1 1 01 2 1o oox x u y x
21 0,0oo ox x x y
3,系统的标准分解：
假设系统：
不能控也不能观．
①
②,
BuAxx,Cxy?
c
c
c x
x
Tx 1
能控性分解
1
1
co
co
co
x
xT
x
能控子系统能观性分解
③,
1
2
co
co
co
x
xT x
不能控子系统，能观性分解
11
1
1 1 1
11
1 1 1
2
11
2
c o c o
c c c c o co
c
c c o c oc c
co co
T T x
x T x T T x
xT
x T x T T x
T T x
11
1
11
1
11
2
11
2
coCo
coCo
coCo
coCo
xTT
xTT
x
xTT
xTT
xTx 1
1T?
x
11 13 1
21 22 23 24 2
33
43 44
00
0 0 0 0
000
c o c o
c o c o
c o c o
c o c o
AAxx B
A A A A B
u
xx A
AA
131 2 3 4 00
co
co
co
co
x
x
y y y y y C C
x
x
1x T x经过 的线性变换后，系统化为：
能控能观,
能控不能观,
不能控能观不能控不能观
1 1 1 3 1 11 c o c o c o c ox A x A x B u y C x
2 1 2 2 2 3 2 4 2
2
0
c o c o c o c o c ox A x A x A x A x B u
y
:co?
:co?
:co? 33 3
3,co c o c ox A x y C x
4 3 4 4 4,0 c o c o c ox A x A x y:
co?
u yco?
co?
co?
co?
1y
3y
11 1 11 ( ) ( )
coC s I A B G s
1( ) ( )G s C s I A B
例 3:
进行能控能观性分解,
解,
①
xuxx 2-10y
0
1
1
310
301
100
32 0 Tc Sr a n kSr a n k
系统不能控不能观,
② (A,b,c)能控性分解 (,,)A b c
xTx c 1
c
c
x
x
x
取则：
110
011
001
1
cT
111
011
001
cT
100
220
110
1
cc ATTA
0
0
1
bTb c
2111cCTC
xuxx 2-1-1y
0
0
1
100
221
110
.
c
cc
c
xy
uxxx
11
0
1
2
1
21
10.
ccc xyxx 2
,
能控子系统：
不能控子系统：
显然
c coxx 能观
③ 能控系统能观性分解：
取
1
111
11
11
T
o
CS
CA
1 2Tor a n k S
11
01oT
1 11
01oT
1
cox T x
co
co
x
x
x
1
01
12
11
20
c o c o
oo
c o c o
oo co
xx
x T T
xx
T x T u
1 0 1 1
1 1 2 0
co
co
co
x
xux
11 1 1 0c o c oo
c o c o
xx
yT
④ 标准分解,
1 0 1 1
1 1 2 0
0 0 1 0
c o c o
c o c o
c o c o
xx
x x u
xx
1 0 2
co
co
co
x
yx
x
4.9 最小实现
a,定义,G(s)的一个最小实现：
如果 G(s)不存在其它实现使 的维数 小于 x的维数，则称 (Ａ,Ｂ,Ｃ )是Ｇ (s)的一个最小实现,
CxyBuAxx,
~~~~~
.
~
xCyuBxAx
~x
b,定理：Ｇ (s)的一个实现 (Ａ,Ｂ,Ｃ )既能控又能观 严格的真有理分式Ｇ (s)
的实现．
说明,G(s)只能反映系统中能控的动态行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会影响系统的 G(s)，或如果有不能控或不能观的状态分量存在将使系统成为不是最小实现．
c,确定 G(s)最小实现的步骤：
① 给定 G(s)，选一种实现 (A,B,C) 能控型 (或能观型 )．检查其实现的能观性 (或能控性 )，若为能控又能观，则 (A,B,C)
是最小实现，否则进行下一步．
② 对上述标准型 (A,B,C)进行结构分解，找出其完全能控又能观的子系统
G(s)的一个最小实现,0c
S
),,( 111 CBA
4.1 线性系统能控性和能观性的概念
4.2 线性离散系统的能控性
4.3 线性定常系统的输出能控性
4.4 线性定常连续系统的能观性
4.5 线性定常连续系统的能观性
4.6 线性定常离散系统的能观性
4.7 G(s)为能控性和能观性的关系
4.8 线性定常系统结构分解
4.9 最小实现教学要求：
1.正确理解定常和离散系统可控性与可观性的基本概念与判据 。
2.熟练掌握能控标准型与能观标准型 。
3.掌握对偶原理,规范分解方法 。
4.理解传递函数的实现问题,
重点内容：
能控,能观的含义和定义 。
定常系统的能控,能观的各种判据 。
线性变换的不变性 。
实现与最小实现的特点和性质 。
研究系统的目的,更好地了解系统和控制系统,
含义 1,
控制作用,
对状态变量的支配 能控性,
系统输出能否反映状态变量 能观性,
含义 2:
能控性,能否找到使任意初态 确定终态能观性,能否由输出量的测量值 各状态多变系统两个基本问题,
① 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?
② 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?
简单地说,
如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由 任意的始点 达到终点,则系统能控 (状态能控 ).
如果系统的所有状态变量的 任意形式 的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的,
例 1,给定系统的状态空间描述,
解,展开表明,状态变量,都可通过选择输入 u而由始点 终点完全能控,
输出 y只能反映状态变量,所以不能观测,
xy
u
x
x
x
x
60
2
1
50
04
2
1
2
.
1
.
2
22
.
11
.
6
25 4
xy
uxxuxx
1x 2x
2x 1x
例 2:取 和 作为状态变量,u— 输入,
y= --输出,Li cu
cu
+
-u
L
Li
1R
3R
2R
4R
(1)当
3241 RRRR?
状态可控，可观测
(2)当
3241 RRRR?
u只能控制,
不可控，不可观测．
0cu?
Li
cu
4.1 线性系统能控性和能观性的概念
含义：
能控性,u(t) x(t) 状态方程能观性,y(t) x(t) 输出方程
1,定义：
设若存在一分段连续控制向量 u(t)，
能在 内将系统从 任意 状态转移到 任意 终态,则该系统完全能控,
BuAxx.
] [ 0 ftt )( 0tx
)( ftx
说明：
① 任意初态 (状态空间中任一点 ),零终态 ＝０
能控
② 零初态任意终态
xtx?)( 0
)( ftx
0)( 0?tx
xtx f?)( 能达
2,定理 1
x A x B u设
1
1
n
n
c
B AB A B n
ra nk S ra nk B AB A B n
c
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
S 的秩为即：
例：
判断能控性
uxx
11
11
12
310
020
231
.
3
2
1
.
x
x
x
x
2
1
.
u
u
u
解：
rank =2<3,不能控
442211
442211
452312
] [
2
BAABBS
c
cS
对于：
行数＜列数的情况下求秩时：
rank =rank
cS nn
Tcc SS ][
3,定理 2：若,
若Ａ为对角型，则状态完全能控的充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
BuAxx.
pp ubububxx 121211111 1
pp ubububxx 222212122 2
例：线性系统的状态方程为其中：
试判断该系统的能控性．
buAxx.
2
1
0
0
A?
2
1
b
b
b
解：
如果 rank =2,
则必须要求
] [ AbbS c?
)( 1221
222
111
bb
bb
bb
AbbS c
cS
0,0 21 bb
4,定理 3：设,
若Ａ为 约当型,则状态完全能控的充要条件是：
对应的每一个约当块的最后一行相应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．
BuAxx.
例：设系统的状态方程为其中：
试判断系统的能控性．
buAxx.
2
1
0
1
A?
2
1
b
b
b
解：
而 b1是任意值，且 rank =2
则该系统能控．
] [ AbbS c?
0 22
212
2111 b
bb
bbb
AbbS c
cS
5,当Ａ的特征值,，
且则可以经过 将 A化为约当型,
如下,
重根）11 ( 重根）22 (
重根）ll (? nl21
x P x?
12 ii i i ir r r
且由 的最后一行组成的矩阵：
),,2,1( iik kB
1
2
1,2,,
i
ri
rir
i
ri
b
b
B i l
b
对 均为行线性无关则系统能控例：设,已知BuAxx.
001
010
001
100
010
001
000
B
001
010
1B
r
2 1 0 0
rB?
行线性无关 不全为零
能控
6,线性变换后系统的能控性不变设令 则：
其中：
BuAxx.
] [ 1 BAABBS nC
xPx? uBxAx.
BPBAPPA 11,
] [ 1 BABABS nC
C
n
n
n
n
c
Sr a n k
BAABBr a n k
BAABBPr a n k
BAPABPBPr a n k
BPAPPBPAPPBPr a n kSr a n k
] [
] [
] [
])()( [
1
11
1111
111111
系统的能控性不变
1P 满秩矩阵
7,定理 4：
设如果系统能控，则则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：
buAxx.
] [ 1 BAABBS nC
xPX 1
ubxAx
.
其中：
1 PAPA pbb?
1321
1000
0100
0010
n
aaaa
A
1
0
0
0
b
且：
证明,(由 推得 )? PAPA? 1 PAPA
3212 PAPAP
21 PAP?
1212 nnn PAPAP
nnn PAPAP 111
例：
求能控标准型．
uxx?
1
1
01
11.
解：
rank Sc=2 能控
11
01
] [ AbbS C
11
011
CS
11
11
01
]1 0[1
P
10
11
1
1
AP
P
P?
10
111
P
则
11
101
PAPA?
1
0
Pbb
4.2 线性离散系统的能控性
1,定义：设线性定常离散系统的状态方程,
其中
)()()1( kBukAxkx
nRkx?)( PRku?)(
nnRA npBR
若存在控制向量序列能在有限时间 内，将系统第从 k步的 X(k)转移到至第 n步的 x(n)=0，
则称系统在第 k步上是能控的．如果每个 k系统的 所有 状态能控，则称系统为完全能控,
)1(),1(),( nkukuku?
[,]kT nT
2,定理：设则系统完全能控的充要条件：
rankSc=n
其中：
)()()1( kBukAxkx
] [ 1 BAABBS nC
证明,(以单输入为例 )
设假设,
)()()1( kbukAxkx
)()0()(
1
0
1 ibuAxAnx
n
i
inn?
0)(?nx
)1(
)1(
)0(
] [
)]1()1()0([
)()0(
21
21
1
0
1
nu
u
u
bAbAbA
nbuAbuAbuA
ibuAx
n
n
n
i
i
)0(] [
)1(
)2(
)1(
121
xbAbAbA
nu
u
u
n
这里 x(0)是任意的
nbAbAbAr a n k n ] [ 21?要求为满秩矩阵可求出 u(0),u(1),u(n-1)
nA
nbAAbbAr a n k nn ] [ 1?
nbAAbbr a n kS nC ] [ 1?当
例 1：
判断系统的能控性．
1 0 0 1
( 1 ) 0 2 2 ( ) 0 ( )
1 1 0 1
x k x k u k
解：
311
220
111
] [
2
bAAbbS
c
3?CSr a n k
该系统 能控若已知 求 u(0),u(1),u(2)
0
1
2
)0(x
)0()0()1( buAxx
)1()0()0(
)1()1()2(
2 buA b uxA
buAxx
32
( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
( 0 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )
x A x b u
A x A b u A b u b u
3
1 0 0 1
( 3 ) 0 2 2 ( 0 ) 2 ( 0 )
1 1 0 3
11
2 ( 1 ) 0 ( 2)
11
x x u
uu
设 x(3)=0
3
1 1 1 ( 0 ) 1 0 0
2 2 0 ( 1 ) 0 2 2 ( 0 )
3 1 1 ( 2 ) 1 1 0
u
ux
u
解得：
因此，对于任意 x(0)，都能求出
u(0),u(1),u(2),使 x(0) x(3)=0
( 0 ) 5
( 1 ) 1 1
( 2 ) 8
u
u
u
例 2：
① 判断能控性
② 能否存在对任意 x(0) x(1)=0？
)()(1 kBukAxkx
041
020
122
A
01
10
00
B?
)(
)(
)(
2
1
ku
ku
ku
)0(
)0(
)0(
2
1
u
u
u
解：
①
2
[ ]
0 0 1 2 2 4
0 1 0 2 0 4
1 0 0 4 1 10
C
S B AB A B?
rank Sc=3
因此该系统 能控所以一定可使任意 x(0) x(3)=0
0)0()0()1( BuAxx
)0(
)0(
32
5.00
21
)0()0(
2
11
u
u
BuAx
1
( 0 ) 0,
2
x
设
- 1 2 - 1 2 - 1
0 0.5 0 0.5 0 2
2 - 3 2 - 3 2
r ank r ank
u ( 0 ) 1,u ( 0 ) 0可求出
1
0
)0(
)0()0(
2
1
u
uu
3
5.0
2
)0(x设但不能对任意 x(0) x(1)=0
4.4 线性定常系统的输出能控性在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控,
设,
定义,在 上,任意解出 u(t),输出能控
．
BuAxx,DuCxy
pqn RuRyRx,,
],[ 0 ftt 0)()( 0 ftyty
2,定理：
系统输出完全能控的 充要 条件：
例：
判断系统是否输出能控．
解,rank[CB CABD]=rank[1 -2 0]=1=q
输出能控
rankSc=rank[b Ab]=1<2
状态不能控
uxx?
2
1
32
14.
xy 01?
4.5 线性定常连续系统的能观性在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,
但输入变量总是可以获取和测量的,
能观性 — 能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量．
0t
ft
设线性定常连续系统状态空间表式：
1,定义：对任意给定 u(t)，在内输出 y(t)可唯一确定系统的初态
x( ),则系统是 完全能观 的．
y x( ) 能观
y x( ) 能检
0t
],[ 0 ftt
确定确定
BuAxx,DuCxy
2,定理 1：
系统状态完全能观的 充要 条件：
nSr a n kSr a n k T00
])( [ 10 TnTTTT CACACS
TnT CACACS ] [ 1
0
证明：
设
0
0
) ()
0( ) ( ) ( )
tA t t At
t
x t e x t e B u d（
dBueCtxCety t
t
tAttA )()()(
0
0 )(
0
)(
0)(?tu 00?t
)0(])()()([
)0()()0()()0()(
)0()()0()(
1
110
1
110
1
0
x
CA
CA
C
ItaItaIta
xCAtaC A xtaCxta
xAtaCxCety
n
qnqq
n
n
m
n
m
m
At
这里,是一个单位阵．
要使 y(t) x(0)
qqqIR
确定
nr a n k Sr a n k S T 00
3,定理 2:
若 A为 对角型,则系统 完全能控能观 的充要条件是：
输出阵 C中 没有 任何一 列 的元素全为零．
例：系统状态方程为
u
b
b
xx?
2
1
2
1
.
0
0
xccy 21?
TTT CACS?0
)( 12210 ccS
01?c 02?c
)( 21
系统能控能观则要求即 rank =2
0S
4,定理 3：
若 A为 约当型,则系统完全能观的充要条件是：
C阵中与每个约当块的 第一列 相对应的各列中，没有一列的元素 全 为零．
如：
能观
u
b
b
b
xx
3
2
1
2
1
1
.
00
00
01
x
ccc
ccc
y?
232221
131211
13
23
0
0
c
c
例：设系统的状态方程为：
判断系统的能观性．
解：
u
b
b
xx?
2
1
2
1
.
0
1
xccy 21?
2112
111
0 ] [ ccc
cc
CACS TTT
2
10 cS? 2 0?Sra n k
能观 01?c
5,约当型判据：
设 A有 ( 重根 ),( 重根 )，
( 重根 ),
buAxx.
duCxy udxCy
ubxAx
.
xpx?
1? 1
2? 2
l?
l? nl21
且要使系统完全能观，则由的第一列组成的矩阵：
对 均 列线性无关 。
iiii irrr21
),,2,1( iik kC
iiiii
CCCC
111
'
21
6,定理 4:
设如果系统能观，但不是能观标准型，
则存在,将原系统化为能观标准型：
buAxx.
Cxy?
(单输入单输出系统 )
xpx T?
xCy
ubxAx
.
其中
1
2
1
0
100
010
001
000
n
a
a
a
a
A
TT
T
T
A P AP
b P b
C C P
其中：
1
2
1
1
0
0
0
1
n
C
CA
P CA
CA
1
1 1 1
nP P A P A P
7,线性变换后系统能观性不变设令
buAxx,DuCxy
])( [ 1T0 TTnTT CACACS
xPx?
xCy
ubxAx
.
APPA 1
BPB 1
CPC?
DD?
])( [ 1T0 TTnTT CACACS
0
1
1
1
111
0
])( [
])( [
])( [
])(])[()()( )[(
Sr a n k
CACACr a n k
CACACPr a n k
CAPCAPCPr a n k
CPAPPCPAPPCPr a n kSr a n k
TTnTTT
TTnTTTT
TTnTTTTTT
TTnTTT
TP? 满秩矩阵
4.6 线性定常离散系统的能观性设
1,定义：已知 u(k)，如果能由确定 x(k)，则第 k步是能观的。如果 每个 k步都能观，则系统 完全能观 。
)()()1( kBukAxkx
)()( kCxky?
)1(),(?kyky
)1( nky?
y(k)
y(k+1)
y(k+n-1)
已知 u(k) x(k)=
)(
)(
)(
2
1
kx
kx
kx
n
2,定理：系统状态完全能观的 充要 条件：
其中：
nSr a n kSr a n k T 00
])( [ 10 TnTTTT CACACS
1
0
n
T
CA
CA
C
S
证明：令 u(k)=0
k=0 y(0)=Cx(0)
k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0)
k=n-1 y(n-1)=
)0(1 xCA n?
)0(
)1(
)1(
)0(
1
x
CA
CA
C
ny
y
y
n?
_)1(
)1(
)0(
)0(
1
1
ny
y
y
CA
CA
C
x
n
当 时,x(0)有解。 nSr a n k T?
0
例：
解：
)(
1
1
2
)(
203
120
101
)1( kukxkx
)(010 kxy?
043
120
010
2
0
CA
CA
C
S
T
能观 3 0TSr a n k
4.7 对偶原理由第二章：
对偶原理,o
T T T
C o C C oA A B B C C
CxyBuAxxS,:
.
1
),,,( DCBA
zBwvCzAzS TTT,:
.
2
),,,( TTTT DBCA
其中,
与 互为对偶,
qp
nnn
RvyRwu
RARzx
,,
,
1S 2S
1,SBAABBS nc 11
2,S
1
20
1
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )
T T T T T T T T n T T
c
S B A B A B
S
11 ()T T T T n TOS C A C A C
:2S
:1S
1
2
1
()T T T T n Tc
O
S C A C A C
S
12 SS能控 能观能控能观 21 SS
:1S 11 ( ) ( )G s C S I A B
:2S 112 ( ) ( ) [ ( ) ]T T T T T TG s B S I A C B S I A C
)()]( [ 12 sGsG T
4.7 G(s)为能控性和能观性的关系设 单输入定理,系统能控能观的充要条件是 G(s)中 没有零极点对消
buAxx,Cxy?
)(
)()(
)()(
1
sD
sN
b
ASI
ASIadj
C
bASICsG
设 A的特征值,,则系统可化为,n,,,21?
u
b
b
b
xx
nn
2
1
2
1
.
n
i
iin xCxCCCy
1
21?
当当
0
0
i
i
C
b
不能控不能观i
x
ix
0
0
i
i
C
b 系统能控能观验证能控性,
设 不能控,则一定存在零极点对消,
01?b 1x bASI 1)(
验证能观性,
设 不能观,则一定存在零极点对消,
01?C 1)( AsIC
1
2
1
2
1
0)(
n
n
s
s
s
CCAsIC
1x
nnn
n
n
n
CssCss
sss
s
s
C
s
C
s
)()()()(0
)())((
0
1223
21
1
2
2
1
例,
解,
① 能控型,
5.25.1
5.2
)1)(5.2(
5.2)(
2
ss
s
ss
ssG
uxx?
1
0
5.15.2
10,xy 15.2?
15.2
15.2
0 CA
C
S T
1 0?TSra n k
不能观?
② 能观型,
uxx?
1
5.2
5.11
5.20,xy 10?
2,5 2,5,111CcS B A B r a n k S
不能控
③ 不能控不能观,
uxx?
0
1
5.20
01,10yx?
不能控不能观
2x
4.8 线性定常系统结构分解
0
0
0
c
cc
c
c
x
x
x
x
0cx
0cx
x
--能控能观
--能控不能观
--不能控能观
--不能控不能观
cox
cox
1,系统的能控性分解设其中,系统不能控,
引入 变换,
中 r个线性无关列向量,
任意 n-r个列向量,存在
BuAxx,Cxy?
nrSr a n k c
1?CT xTx C 1
1?CT
CT
则 uBxAx.
22
12111
0 A
AAATTA
cc
211 CCCTC c
0
r
C
BBTB
c
c
x
x
x
r
c Rx?
rn
c Rx
--能控状态子向量
--不能控状态子向量
r
n-r
r n-r
r
nr?
nr?r
则有,
能控子系统,
不能控子系统,
cc xAx 22
.
uBxAxAx ccc 11211
.
.
1 1 1 2 1cc cx A x A x B u
2121 yyxCxCy cc
cxCy 11?
CxCy 22?
22ccx A x?
y
u
1B s/1 1C
11A
12A
s/1 2C
22A
cx
cx
cx cx
1y
2y
1
11
1
1 1 1 2 1
12
22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
00
c c c c
G s G s C sI A B
CT sI T A T T B
AA B
C C sI
A
1
11 12 1
12
22
11
11 11 12 22 1
12
1
22
1
11 11
00
( ) ( ) ( )
00 ( )
( ) ( )
()
co
co
sI A A B
CC
sI A
sI A sI A A sI A B
CC
sI A
C sI A B G s
Gs
能控能观的子系统例 1：
进行能控性分解．
解：
所以不能控．
xyuxx 210
0
1
1
310
301
100
.
32
210
311
101
2
r a n k
bAAbbr a n kSr a n k
c
选取通过则
111
211
221
3
1
110
011
201
1
CC TT
xTx C 1
.
0 1 1 1
1 2 2 0 1 1 2
0 0 1 0
x x u y x
能控子系统：
不能控子系统：
c
cc
c
xy
uxxx
11
0
1
2
1
21
10
1
cc xx?
.
cxy 22
2,系统的能观性分解设其中 所以不能观．
引入 变换：
中 个线性无关的行向量任意 个行向量 存在则
BuAxx,Cxy?
Tor a n k S l n
1oT? 1
ox T x
oT
ToS
1oT?
uBxAx
.
xCy?
l
nl?
11
2 1 2 2
0T
oo
A
A T A T
AA
1
2
o
BB T B
B
1 1 0
oC C T C
o
o
x
x
x
loxR?
nl
oxR
--能观子状态
--不能观子状态
l nl?
nl?
l
nl?
l
q
pl nl?
则能观子系统：
不能观子系统：
uBxAx 10110,
.
2 1 2 2 2o o ox A x A x B u
1 oy C x?
1 1 1 11,o o ox A x B u y C x y
2 1 2 2 2 2,0oo ox A x A x B u y
1B s/1 1C
11A
s/12B
22A
ox ox
u ＋
yy?1
21A
ox
ox
例：
进行能观性分解．
解：
xuxx 2-10y
0
1
1
310
301
100
2
0 1 2
1 2 3 2 3
2 3 4
T
o
C
rank S rank C A rank
CA
不能观选取经过
0 1 2
1 2 3,
0 0 1
oT
1
2 1 1
102
0 0 1
oT
1ox T x
.
0 1 0 1
1 2 0 1
1 0 1 0
x x u
xy 001?
能观子系统：
不能观子系统：
10 1 1 1 01 2 1o oox x u y x
21 0,0oo ox x x y
3,系统的标准分解：
假设系统：
不能控也不能观．
①
②,
BuAxx,Cxy?
c
c
c x
x
Tx 1
能控性分解
1
1
co
co
co
x
xT
x
能控子系统能观性分解
③,
1
2
co
co
co
x
xT x
不能控子系统，能观性分解
11
1
1 1 1
11
1 1 1
2
11
2
c o c o
c c c c o co
c
c c o c oc c
co co
T T x
x T x T T x
xT
x T x T T x
T T x
11
1
11
1
11
2
11
2
coCo
coCo
coCo
coCo
xTT
xTT
x
xTT
xTT
xTx 1
1T?
x
11 13 1
21 22 23 24 2
33
43 44
00
0 0 0 0
000
c o c o
c o c o
c o c o
c o c o
AAxx B
A A A A B
u
xx A
AA
131 2 3 4 00
co
co
co
co
x
x
y y y y y C C
x
x
1x T x经过 的线性变换后，系统化为：
能控能观,
能控不能观,
不能控能观不能控不能观
1 1 1 3 1 11 c o c o c o c ox A x A x B u y C x
2 1 2 2 2 3 2 4 2
2
0
c o c o c o c o c ox A x A x A x A x B u
y
:co?
:co?
:co? 33 3
3,co c o c ox A x y C x
4 3 4 4 4,0 c o c o c ox A x A x y:
co?
u yco?
co?
co?
co?
1y
3y
11 1 11 ( ) ( )
coC s I A B G s
1( ) ( )G s C s I A B
例 3:
进行能控能观性分解,
解,
①
xuxx 2-10y
0
1
1
310
301
100
32 0 Tc Sr a n kSr a n k
系统不能控不能观,
② (A,b,c)能控性分解 (,,)A b c
xTx c 1
c
c
x
x
x
取则：
110
011
001
1
cT
111
011
001
cT
100
220
110
1
cc ATTA
0
0
1
bTb c
2111cCTC
xuxx 2-1-1y
0
0
1
100
221
110
.
c
cc
c
xy
uxxx
11
0
1
2
1
21
10.
ccc xyxx 2
,
能控子系统：
不能控子系统：
显然
c coxx 能观
③ 能控系统能观性分解：
取
1
111
11
11
T
o
CS
CA
1 2Tor a n k S
11
01oT
1 11
01oT
1
cox T x
co
co
x
x
x
1
01
12
11
20
c o c o
oo
c o c o
oo co
xx
x T T
xx
T x T u
1 0 1 1
1 1 2 0
co
co
co
x
xux
11 1 1 0c o c oo
c o c o
xx
yT
④ 标准分解,
1 0 1 1
1 1 2 0
0 0 1 0
c o c o
c o c o
c o c o
xx
x x u
xx
1 0 2
co
co
co
x
yx
x
4.9 最小实现
a,定义,G(s)的一个最小实现：
如果 G(s)不存在其它实现使 的维数 小于 x的维数，则称 (Ａ,Ｂ,Ｃ )是Ｇ (s)的一个最小实现,
CxyBuAxx,
~~~~~
.
~
xCyuBxAx
~x
b,定理：Ｇ (s)的一个实现 (Ａ,Ｂ,Ｃ )既能控又能观 严格的真有理分式Ｇ (s)
的实现．
说明,G(s)只能反映系统中能控的动态行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会影响系统的 G(s)，或如果有不能控或不能观的状态分量存在将使系统成为不是最小实现．
c,确定 G(s)最小实现的步骤：
① 给定 G(s)，选一种实现 (A,B,C) 能控型 (或能观型 )．检查其实现的能观性 (或能控性 )，若为能控又能观，则 (A,B,C)
是最小实现，否则进行下一步．
② 对上述标准型 (A,B,C)进行结构分解，找出其完全能控又能观的子系统
G(s)的一个最小实现,0c
S
),,( 111 CBA
