第二章线性系统的状态空间描述
2.1 线性系统的数学描述
2.2 状态空间的基本概念
2.3 线性定常连续系统的状态空间表达式
2.4 线性离散系统的状态空间表达式
2.5 状态空间的线性变换
2.6 线性定常连续系统状态方程的解
2.7 传递函数矩阵教学要求：
1,正确理解线性系统的数学描述,状态空间的基本概念 。
2,熟练掌握状态空间的表达式,线性变换 。
3,线性定常系统状态方程的求解方法,了解线性离散系统状态方程的求解方法 。
重点内容：
状态空间表达式的建立,状态状态转移矩阵和状态方程的求解,线性变换的基本性质,传递函数矩阵的定义 。
要求熟练掌握通过传递函数,微分方程和结构图建立电路,机电系统的状态空间表达式,并画出状态变量图,以及可控,可观,对角和约当标准型 。
2.1 线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念系统的外部描述 传递函数系统的内部描述 状态空间描述
1.输入、输出描述
2.松弛性,若系统的输出 由输入
输出方程状态方程
))(( 0ttty?
System
12[,,,]
T
pu u u u?
12[,,,]
T
qy y y y?
1y
2y
qy
1u
2u
pu
],)[( 0?ttu 唯一确定,则称系统在 是松弛的。
算子，
在 不存储能量：
瞬时系统无记忆系统
0t
y H u?
0t
H?,H u y G
对 时刻松弛的系统：
对初始松弛的系统：
3.因果性,若系统在 t时刻的输出仅取决于在 t
时刻之前输入，而与 t时刻之后的输入无关，
则称系统具有因果性。
对具有因果性的松弛系统：
00[,) [,)tty H u0t
(,) (,)y H u
(,]( ),ty t H u t
4.线性,一个松弛系统,当且仅当对任何输入及任意常数,均有
(可加性 ),(齐次性 ),则该系统称为线性的，否则为非线性。
5.定常性（时不变性）,
1)定义,-位移算子
21 uu 和
2121 )( HuHuuuH
)()( 11 uHuH
aQ
)()()( tutuQtu a
)( tu
)( tu
t
t
)( ty
)( ty
t
t
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入 u和任意实数,均有则称系统是定常的。
2.2 状态空间的基本概念
1.状态,表征系统运动的信息和行为。
2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量。
3.状态向量：
a a ay H Q u Q H u Q y
12( ) [ ( ),( ),,( ) ] Tnx t x t x t x t?
4.状态空间：以 n个状态变量作为坐标轴所组成的 n维空间,
5.状态方程：
6.输出方程：
7.状态空间表达式 (动态方程 ),{A,B,C,D}
一阶差分方程一阶微分方程
ux
],),(),([)( ttutxftx ]),(),([)( 1 kkkk ttutxftx
xy
u
代数方程
]),(),([)( ttutxgty? ]),(),([)( kkkk ttutxgty?
),,()(
),,(
tuxgty
tuxfx? 1( ) (,,)
( ) (,,)
kk
kk
x t f x u t
y t g x u t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t A t x t B t u t
y t C t x t D t u t
f,g- 线性函数 线性系统线性时变系统线性定常系统 DuCxyBuAxx,?
线性定常离散系统 )()()1( kHukGxkx
)()()( kDukCxky(,kt k T T 采样周期）
B SI C
D
A
x? xu y
H ZI C
D
G
)1(?kx )(kx)(ku )(ky
结构图线性连续系统状态变量结构图线性离散系统状态变量
8,状态变量结构图
2
x
1
x
t
0
))(),((
0201
txtx
))(),((
1211
txtx
状 态 轨迹
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tx
A
B
状态空间分析法举例例 1求图示机械系统的状态空间表达式外力位移
Ku(t)
m
y(t)
b
)(tu
ym?
yb ky
牛顿力学定律
yx?1 yx2令
---弹性系数阻尼系数
kyybuym
21 xx?
)(12 tu
m
y
m
by
m
kyx
)(121 tu
m
x
m
bx
m
k
1xy?
动态方程如下状态空间表达式为：
2
1
x
x
m
b
m
k
10
2
1
x
x
u
m
1
0
2
1
01
x
x
y
例 2求图示 RLC回路的状态空间表达式解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程选
)(ti
diL
dt
)(tuc )(tu
)(tuc
c
1? idt
R L
+
_
+
_
u( t) u c (t)
+
_ yi(t )
输入 输出
Ri
i1x 2x? idt
c
1
C
为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵 — 向量的形式为：
1
x
2
x
dt
di
L
R
1x
L
1
2x )(tu
L
1
c
1 1
x
y 2x )(tuc
1
x
2
x
L
R
L
1
c
1
0
1x
2x
L
1
0
)(tu
令 为状态向量则：
y
1x
2x
10
1x 2x?x
T
x L
R
L
1
c
1
0
x? L
1
0
)(tu
y? 10 x
例 3.试求用电枢电压控制的他激电动机的状态空间表达式解：
由电压定理：
由转矩平衡定律：
转动惯量,粘性摩擦常数,电磁转矩常数,电势常数
aR aL
aiu
fu fR fL
fi const
J
a
a a e
di du R L C
d t d t
2
2ma
ddC i J f
d t d t
J? f? mC? eC?
令
1 2 3,,ax x x i
12
2 2 3
3 2 3
1
m
ea
a a a
xx
Cf
x x x
JJ
CR u
x x x
L L L
yx?
11
22
33
0 1 0
0
00
1
0
m
ea
a
aa
xx
Cf
x x u
JJ
xx
CR
L
LL
1
2
3
1 0 0
x
yx
x
例 4,一长度为 l,质量为 m的单倒立摆，用铰链安装在质量为 M的小车上，小车受电机操纵，
，在水平方向施加控制力 u，相对参考坐标系产生位移 x。要求建立该系统的状态空间表达式。
M
u
x
l
m
设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在水平方向，由牛顿第二定律即：
在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡
( s i n )xl
x
22
22 ( s in )
d x dM m x l u
d t d t
2( ) c o s s i nM m x m l m l u
2
2 ( s in ) c o s s in
dm x l l m g l
dt
即,
则有：
联立求解：
22c o s c o s s i n c o s s i nx l l g
2s i n 0,c o s 1, 很小时，忽略 项
)M m x m l u（
x l g
1mgxu
MM
( ) 1M m g u
M l M l
消元后：
选取状态变量：
( 4 ) ( ) 1M m g gx x u u
M l M M l
1 2 1 3 4 3,,,x x x x x x x
12
2 1 3
34
4 3 3
1
1
( ) 1
xx
mg
x x x x u
MM
xx
M m g
x x x u
M l M l
y x x
11
22
33
44
0 1 0 0 0
1
0 0 0
0 0 0 1 0
( ) 1
0 0 0
xx
mg
xx
MM
u
xx
xx M m g
M l M l
1
2
3
4
1 0 0 0
x
x
y
x
x
2.3 线性定常连续系统的状态空间表达式微分方程、传递函数、结构图求 {A,B,C,D}
1,由系统微分方程建立状态空间表达式
1） 系统输入量中不含导数项
uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)(
,/,输出－输入uy 已知0110,,,naaa?
给定))((),0(),0(),0( 0)1( tttuyyy n
选取：
状态空间表达式：
Cuy
buAxx
)1(
21,,,
n
n yxyxyx
21 xx
32 xx
nn xx 1?
1
011110
xy
uxaxaxax nnn
n
n
x
x
x
x
x
1
2
1
1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
0
0
0
0
b
001C
u
0? S1 S1 S1
y
1?na 2?na 1a 0a
nx? nx 1?nx 1x2x
状态变量结构图例 1
设求（ A,B,C,D）
解：选
y
y58
y?
6
uy 3?
yx?1
.
yx?2
..
yx?3
则：
21 xx
32 xx
uxxxx 3586 3213
1xy?
状态空间表达式为
u
x
x
x
x
x
x
3
0
0
586
100
010
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
x
x
x
y
210 aaa 0?
2） 系统输入量中含有导数项如果单输入 —单输出系统的微分方程为：
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数 n。为了避免在状态方程中出现 u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。
设,选取：
yayayay nnn 01)1(1)(
ubububub nnnn 01)1(1)(
0?nb
niuhxx
uhyx
iii,,3,211
01
,
uhxx
uhxx
uhxx
uhxx
uhyx
nnn
nnn
iii
11
221
11
112
01
0 1 1,,,nh h h n?其中 是 个待定系数即：
uhxyuhyx 0101
uhuhxyuhuhyx 102102
uhuhuhxy
uhuhuhyx
2103
2103
( 1 ),,,,,n iy y y x u u求出 由 及 表示
uhuhuhyx nnnnn 1)2(1)1(0)1(
uhuhuhxy nnnnn 1)2(1)1(0)1(
uhuhuhyx nnnnn 1)1(1)(0)(
将代入得：
uhuhuhyx nnnnn 1)1(1)(0)(
yayayayay nnnnn 01)2(2)1(1)(
ubububub nnnn 01)1(1)(
1021121
)( xaxaxaxay
nnnn
n
)( 1)2(1)1(01 uhuhuha nnnn
)( 2)3(1)2(02 uhuhuha nnnn
)(
00101 )(
n
n ubuhauhuha
ububub nn 01)1(1
nnnnn xaxaxaxax 1122110
)1(
0111
)(
0 )()(
n
nn
n
n uhahbuhb
)2(
021122 )(
n
nnn uhahahb
uhahahahb nnnnn )( 01322111
uhahahahab nnnn )( 001122110
选择,使得上式中 u的各阶导数项的系数都等于 0，即可解得：
110,,?nhhh?
0
1 1 1 0
2 2 1 1 2 0
3 3 1 2 2 1 3 0
1 1 1 2 2 3 1 0
n
nn
n n n
n n n n
n n n n n
hb
h b a h
h b a h a h
h b a h a h a h
h b a h a h a h
令上式中 u的系数为,则：
最后可得系统的状态方程：
nh
001122110 hahahahabh nnnnn
uhxaxaxaxax
uhxx
uhxx
uhxx
nnnnnn
nnn
1122110
11
232
121
可写成向量 -矩阵的形式：
即：
duCxy
buAxx
1210
1
2
1
1000
0100
0010
nn
n
aaaax
x
x
x
n
n
x
x
x
x
1
2
1
u
h
h
h
h
n
n
1
2
1
uh
x
x
x
y
n
0
2
1
001?
0
1 1 1
1 1 1
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 0
0
1
n
nn
n
nn
bh
b a h
b a h
b a a a h
状态变量结构图
u
nh S1 S1 S1
y
1?na 2?na 1a 0a
nx? nx 1?nx 1x2x
S1
0h1h1nh?
例 2：
试写出它的状态空间表达式。
解：
则：
uuuyyyy 324
3,1,1,0,3 0123 bbbbn
4,2,1 210 aaa
1
0
0221
30
habh
bh
状态空间表达式为
13
3
00112203
011212
hahahabh
hahabh
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
13
3
1
421
100
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
2.传递函数化为状态空间表达式设单输入 /输出系统的传递函数：
)(
)(
)(
)(
01
1
1
01
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
)(
SD
sN
n
asasas
sss
n
asasas
bsbsbsb
su
sy
b
b
sG
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
严格真分式传函前馈系数上式中的系数用长除法得到：
nnnn
nnnn
n
n
bab
bab
bab
bab
111
222
111
000
)(,)( )()( sgsD sNsg令：
nb
（ 1） 串联分解的形式
)(
)()(
sD
sNsg?
)(
01
1
1
)(1)(
0111
syn
n
sz
asasas
su ss
nnn
01
1
1
1
)(
)(
asasassu
sz
n
n
n
uzazazaz nnn 01)1(1)(
选取状态变量
01
1
1)(
)(
ss
n
nsz
sy?
zzzy nn 01)1(1
)1(
321,,,,
n
n zxzxzxzx
则状态方程为：
uxaxaxa
uzazazax
xx
xx
nn
n
nn
12110
)1(
110
32
21
输出方程为：
写成向量 -矩阵形式为：
nn xxxy 12110
Cxy
buAxx
1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
1
0
0
0
b
110, nC
这样的 A阵又称 友矩阵,若状态方程中的 A，
b具有这种形式，则称为可控标准型。
当时,A,b不变。
系统 {A,b,C,D}称为 G（ s）的可控标准形实现。
)(
)()(
sD
sN
nbsG
ubCxy n
S1 S1 S1
1?na 2?na 1a 0a
nx? nx 1?nx 1x2x
y
1?n?
0?
2?n? 1?
nb
u
可控标准形
例：试求的可控标准形。
解：该系统传递函数：
uuTyyy 22
22
2
1
ss
Ts
su
sySG
2
01
0
2
1
aa
T
2
1
c
c
c x
x
x
可控标准形串联分解并引入中间变量
2
01
2c
A
1
0
cb
1ccT?
sG z
uzzz 22
zzTy
TuTzzTzzTy 221
令则：
zx c?
1 zx c2
22
2
21
21
1 TT
uTyTyTx
c
22
2
212 TT
TuTyyx
c
状态变量图：
可控标准形
u 2x?
s
1 2x
T
s
1
22
y
可观标准形
u 1x?
s
1 1x
T
s
1
2?
2
yx?22x?
可观标准形
1
2
o
o
o
x
x
x
20
12o
A
1
ob T
01oc?
并联分解（对角标准形）
把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式只含单实极点，设 可分解为：
其中 为 系统的单实极点则：
2
sD
sNsg?
sD sNsg?
sD
nssssD21
n,,21
n
i i
i
s
c
su
sy
sD
sNsg
1?
其中：
为极点 的留数
sgsc ii lim
is
ni,,2,1
i?
1
n
i
i i
c
y s u s
s
a,选取状态变量,
将上式整理，并进行拉氏变换，可得状态方程再将 代入,
展开：
1i
i
x s u s
s?
ni,,2,1
tutxsx iii
ix y
n
i
ii txcty
1
uxx 222
uxx nnn
nn xcxcxcy2211
uxx 111
u
x
x
x
x
x
x
nnn
1
1
1
2
1
2
1
2
1
0
0
n
n
x
x
x
cccy
2
1
21
特点,传函极点全 1
对应极点的留数
b,选取状态变量,
C
B
A
su
s
csx
i
i
i
ni,,2,1
ucxx 111
1
ucxx 222
2
ucxx nnnn
12 ny x x x
u
c
c
c
x
x
x
x
x
x
nnnn
2
1
2
1
2
1
2
1
xy 111
0
0
状态变量图（并联结构）
对角标准形 (a)
1c
nc
u y
1x?
nx?
1s?
1s?
1?
n?
1x
2x
1c
u y
nx?
1?s
1x
对角标准形 (b)
1?
nc
1?s
nx
n?
1x?
b,含重实极点为了简单起见，设 g(s)只有 r重极点，则传递函数的部分式展开式为：
sD sNsg?
1
1
12
1
11
rr s
c
s
c
sg
su
sy
n
n
r
rr
s
c
s
c
s
c
1
1
1
1
n
ri i
i
s
c
1?
1
1rn
r?
重极点单极点其中
sgs
ds
d
j
c
r
j
j
j 11
1
1 lim
!1
1
1s
rj?,2,1?
sgsc ii lim
is
nri,,1
选取状态变量的拉氏变换为：
r
s
susx
1
1
1
1
2 rs
susx
1
s
susx
r
1
1
r
r s
susx
n
n s
susx
12
1
1
x s x s
s?
23
1
1
x s x s
s?
sx
s
sx rr
1
1
1
su
s
sx r
1
1
su
s
sx
r
r
1
1
1
su
s
sx
n
n
1
化为状态变量的一阶微分方程，则有
2111 xxx
3212 xxx
1 1 1r r rx x x
.
uxx rr 1
uxx rrr 111
uxx nnn
.输入方程
txctxctxcty rr1212111
txctxc nnrr11
.状态空间表达式
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 0
1
1 0
1
1
1
r r r
r r r
n n n
xx
xx
x x u
xx
xx
0
0
..
n
r
nrr
x
x
x
x
cccccy
2
1
111211
.状态变量图
y
u
rx?
1?rx?
nx?
rx
nx
1?rx
2x? 1x?
2x 1
x
nc
1?rc
12c
11c
1?
1?
1?s1?s
1?
1?s
1r
n?
1?s
1?s
1rc
例：设系统传递函数为：
试求其状态空间表达式。
解：分母三重极点用部分分式为：
323 28126 sssssD
8126
152
23
2
sss
sssg
222
13
2
12
3
11
s
c
s
c
s
c
sg
19152lim2lim 2311 sssgsc 2?s
2?s
1354lim2lim 312 ssgs
ds
d
c
2?s 2?s
2
3
13 2
14
l im 2 l im 2
2 ! 2
d
c s g s
ds
2?s 2?s
状态空间表达式
u
x
x
x
x
x
x
1
0
0
200
120
012
3
2
1
3
2
1
3
2
1
21319
x
x
x
y
11c
13c
12c
2.4 线性离散系统的状态空间表达式离散系统,一处或多处的信号是离散的脉冲序列、数字序列，采样间隔内保持常数。
古典控制理论中：离散系统用 差分方程
（脉冲传递函数）表示。
单输入 \出线性定常离散系统：
采样周期 常数
1 1 011ny k n a y k n a y k a y k
1 1nnb u k n b u k n
kubkub 01 1
ii ba,T
k
k kT
,L y k y zzyzikyL i
初始条件为零时的 变换关系为：
脉冲响应函数
z
1
1 1 0
1
1 1 0
nn
nn
nn
n
yz b z b z b z b
Gz
u z z a z a z a
zD
zN
b
azazaz
zz
b n
n
n
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
zG
在 的串联分解中，引入中间变量,则有选取一组状态变量
0?nb
zQ
zD
zN
zuzQazzQazQzazQz nnn 0111?
zQzzQzQzzy nn 0111
uz
zD
1
zQ
zN
zg
zQzx?1
zzxzzQzx 12
zzxzQzzx nnn 11
则有利用变换关系
zuzxazxazxazQz nnn 12110?
0 1 1 2 1nny z x z x z x z
11 kxzzxL nn
kxzxL ii 1
11 kxzzxL ii
则：
kxkx 21 1
kxkx nn 11
kukxakxakxakx nnn 121101?
kxkx 32 1
kbukAxkx 1kdukCxky
0nb?
0 1 1nny k x k x k
可控标准形
1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
1
0
0
b
110 nc ndb?
Tn kxkxkxkx?21?
,Ab
2.5 状态空间的线性变换前面已指出一个给定的动态系统、状态变量的选取有许多方法。因此一个系统有许不同的状态空间表达式来描述。状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。
一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同的方法（如前面的 电路），
因此状态空间表达式也不同，即一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。
RLC
状态变量的不同选取 状态向量的线性变换（或坐标变换）
1,系统状态的线性变换目的,便于揭示系统特性及分析计算且不会改变系统的性质如果 是一组由 个状态变量构成的 维状态向量，则的线性组合 也完全可以作为一组新的状态变量，构成新的状态向量,
Tnxxxx,,,21 n
n nxxx,,21?
nxxx,,,21?
x
在 与 之间存在如下的非奇异线性变换关系：
或其中 是 非奇异变换矩阵
x x
x Px? 1x P x
P nn?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1
12
n
n
n
n n n n
p p p
p p p
P p p
p p p
1p 2p np
于是有：
虽然状态变量和状态表达式不同，但 和都是描述同一系统动态行为的描述。
nnnnnn
nn
xpxpxpx
xpxpxpx
2111
12121111
x x
设线性常定系统的状态空间表达为令则其中
BuAxx DuCxy
x Px?
11x P A P x P B u y C P x D u
uBxAx uDxCy
1A P AP 1B P B C CP? DD?
例：设系统的状态空间表达式为：
取变换矩阵 则
u
x
x
x
x
1
0
32
10
2
1
2
1
2
106
x
x
y
1
0
2
13
22
P
1 62
20P
1 1 21
21
6262
220
x x xx P x
xx
uxx?
1
0
02
26
2
3
2
1
2
1
0
32
10
02
26
0 2 2
1 3 0xu
xxy 30
2
3
2
1
2
1
0
06?
11
12
P
1 21
11
P
1 21
11
x P x x?
取变换矩阵 则对角化！状态变量之间解耦
xx?
21
11
32
10
11
12
u?
1
0
11
12
xxy 66
21
11
06
1 0 1
0 2 1
xu
2,化 为为对角标准形（对角规范化）
已知线性定常系统的状态方程当系统矩阵 的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵,通过线性变换,则有
A
n,,,21?A
BuAxx
P
x Px?
uBxAx
1
21
n
A P AP
0
0
nd iag21
12 nP p p p?
的特征值所对应的特征解，且习题：试将状态方程变换为对角标准形
i?
A
i?ip
ni?,2,1?
i i iA p p
uxx
3
2
7
120
010
112
2.6 线性定常连续系统状态方程的解
１,齐次状态方程的解幂级数法设 的解是 的向量幂级数式子中,都是 维向量，则
Axx
1
tAxx
kk tbtbtbbtx 2210 n
n
kbbx,,,0?
121 2 kk tkbtbbtx
kk tbtbbA 10
且,故其中：
2
1 0 2 0 0
11,,,
2!
k
kb Ab b A b b A bk
00 bx?
0
!
122
2
1 xtA
k
tAAtItx kk?
00
!
1
0
xextA
k
Atk
k
k
k
k
k
kkAt A
k
ttA
k
tAAtIe?
0
22
!!
1
2
1
状态转移矩阵，记为：
拉普拉斯变换法：
Atete At
2
0xsAxssx,0xsxAsI
01 xAsIsx,011 xAsILtx
11 AsILe At
２,状态转移矩阵的特性且有
1 I?011 AsILe At
L 拉氏变换符号
2 AttAt A?0
3122121 tttttt
4tt 1,tt 1
500 txtttx
000010 txtttxttxttx
6011202 tttttt
0022 txtttx0011 txtttx
001121122 txtttttxtttx
002 txtt
7ktt k k 函数
kteeet ktAk A tkAtk
8 AtBtBtAttBA eeeee
BAAB?
AtBtBtAttBA eeeeeBAAB?
例：已知 求解：
01
10
A
Ate
3322
!3
1
!2
1 tAtAAtIe At
2
2
0
0
!2
1
0
0
10
01
t
t
t
t
0
0
!3
1
3
3
t
t
!4!2
1
!5!3
!5!3!42
1
4253
5342
tttt
t
tt
t
tt
tt
tt
c o ss i n
s i nc o s
拉氏变换法例：已知 求解：
211 AsILe At
t?
11
22
01
23
xx
32
1
32
10
0
0
s
s
s
s
AsI
s
s
ssAsI
AsIadjAsI
2
13
21
11
2 1 1 1
1 2 1 2
2 2 1 2
1 2 1 2
s s s s
s s s s
tttt
tttt
eeee
eeeeAsILt
22
22
11
222
2?
3,非齐次状态方程的解积分法设 有
1
BuAxx
BueAxxe AtAt
AxxexexAexet AtAtAtAt
Buexet
AtAt
dBuextxe
t
AAt
0
0
dBuexetx
t
tAAt
0
0
dButxt
t
0
0
同理，选 为初始时刻，
拉氏变换
0t
dButtxtttx
t
t
0
00
2
sBuxsAxssx 0
sBuAsIxAsIsx 11 0
isBuAsILxAsILtx 1111 0
sF1
sF2
利用拉氏变换差积定理则例：线性定常系统的状态方程
dftfsFsFL 2
1
0
121
1
dBuexetx
t
tAAt
0
0
dButxt t
0
0
0 0t令 ＝,
初始状态 时，求解：由于系统矩阵 约当标准形
uxx
4
1
0
200
010
011
txTx 1210?
t
t
tt
At
e
e
tee
e
2
00
00
0
dBuexetx t tAAt
0
0
t
t
t
e
e
te
2
2
1
1
2.7 传递函数矩阵定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系 传递函数矩阵 （简称传递矩阵）
表达式：设动态方程令初始条件为零，求拉氏变换式：
1
2
BuAxx DuCxy
sBuAsIsx 1
susGsuDBAsIsy 1
则系统传递矩阵表达式为：
其展开式
DBAsICsG 1 pqsG?:
1
2
1
1
221
111
1
2
1
p
p
pq
qpq
p
p
q
q
su
su
su
sgg
sgsg
sgsg
sy
sy
sy
2.1 线性系统的数学描述
2.2 状态空间的基本概念
2.3 线性定常连续系统的状态空间表达式
2.4 线性离散系统的状态空间表达式
2.5 状态空间的线性变换
2.6 线性定常连续系统状态方程的解
2.7 传递函数矩阵教学要求：
1,正确理解线性系统的数学描述,状态空间的基本概念 。
2,熟练掌握状态空间的表达式,线性变换 。
3,线性定常系统状态方程的求解方法,了解线性离散系统状态方程的求解方法 。
重点内容：
状态空间表达式的建立,状态状态转移矩阵和状态方程的求解,线性变换的基本性质,传递函数矩阵的定义 。
要求熟练掌握通过传递函数,微分方程和结构图建立电路,机电系统的状态空间表达式,并画出状态变量图,以及可控,可观,对角和约当标准型 。
2.1 线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念系统的外部描述 传递函数系统的内部描述 状态空间描述
1.输入、输出描述
2.松弛性,若系统的输出 由输入
输出方程状态方程
))(( 0ttty?
System
12[,,,]
T
pu u u u?
12[,,,]
T
qy y y y?
1y
2y
qy
1u
2u
pu
],)[( 0?ttu 唯一确定,则称系统在 是松弛的。
算子，
在 不存储能量：
瞬时系统无记忆系统
0t
y H u?
0t
H?,H u y G
对 时刻松弛的系统：
对初始松弛的系统：
3.因果性,若系统在 t时刻的输出仅取决于在 t
时刻之前输入，而与 t时刻之后的输入无关，
则称系统具有因果性。
对具有因果性的松弛系统：
00[,) [,)tty H u0t
(,) (,)y H u
(,]( ),ty t H u t
4.线性,一个松弛系统,当且仅当对任何输入及任意常数,均有
(可加性 ),(齐次性 ),则该系统称为线性的，否则为非线性。
5.定常性（时不变性）,
1)定义,-位移算子
21 uu 和
2121 )( HuHuuuH
)()( 11 uHuH
aQ
)()()( tutuQtu a
)( tu
)( tu
t
t
)( ty
)( ty
t
t
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入 u和任意实数,均有则称系统是定常的。
2.2 状态空间的基本概念
1.状态,表征系统运动的信息和行为。
2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量。
3.状态向量：
a a ay H Q u Q H u Q y
12( ) [ ( ),( ),,( ) ] Tnx t x t x t x t?
4.状态空间：以 n个状态变量作为坐标轴所组成的 n维空间,
5.状态方程：
6.输出方程：
7.状态空间表达式 (动态方程 ),{A,B,C,D}
一阶差分方程一阶微分方程
ux
],),(),([)( ttutxftx ]),(),([)( 1 kkkk ttutxftx
xy
u
代数方程
]),(),([)( ttutxgty? ]),(),([)( kkkk ttutxgty?
),,()(
),,(
tuxgty
tuxfx? 1( ) (,,)
( ) (,,)
kk
kk
x t f x u t
y t g x u t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t A t x t B t u t
y t C t x t D t u t
f,g- 线性函数 线性系统线性时变系统线性定常系统 DuCxyBuAxx,?
线性定常离散系统 )()()1( kHukGxkx
)()()( kDukCxky(,kt k T T 采样周期）
B SI C
D
A
x? xu y
H ZI C
D
G
)1(?kx )(kx)(ku )(ky
结构图线性连续系统状态变量结构图线性离散系统状态变量
8,状态变量结构图
2
x
1
x
t
0
))(),((
0201
txtx
))(),((
1211
txtx
状 态 轨迹
)(
)(
)(
2
1
tx
tx
tx
A
B
状态空间分析法举例例 1求图示机械系统的状态空间表达式外力位移
Ku(t)
m
y(t)
b
)(tu
ym?
yb ky
牛顿力学定律
yx?1 yx2令
---弹性系数阻尼系数
kyybuym
21 xx?
)(12 tu
m
y
m
by
m
kyx
)(121 tu
m
x
m
bx
m
k
1xy?
动态方程如下状态空间表达式为：
2
1
x
x
m
b
m
k
10
2
1
x
x
u
m
1
0
2
1
01
x
x
y
例 2求图示 RLC回路的状态空间表达式解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程选
)(ti
diL
dt
)(tuc )(tu
)(tuc
c
1? idt
R L
+
_
+
_
u( t) u c (t)
+
_ yi(t )
输入 输出
Ri
i1x 2x? idt
c
1
C
为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵 — 向量的形式为：
1
x
2
x
dt
di
L
R
1x
L
1
2x )(tu
L
1
c
1 1
x
y 2x )(tuc
1
x
2
x
L
R
L
1
c
1
0
1x
2x
L
1
0
)(tu
令 为状态向量则：
y
1x
2x
10
1x 2x?x
T
x L
R
L
1
c
1
0
x? L
1
0
)(tu
y? 10 x
例 3.试求用电枢电压控制的他激电动机的状态空间表达式解：
由电压定理：
由转矩平衡定律：
转动惯量,粘性摩擦常数,电磁转矩常数,电势常数
aR aL
aiu
fu fR fL
fi const
J
a
a a e
di du R L C
d t d t
2
2ma
ddC i J f
d t d t
J? f? mC? eC?
令
1 2 3,,ax x x i
12
2 2 3
3 2 3
1
m
ea
a a a
xx
Cf
x x x
JJ
CR u
x x x
L L L
yx?
11
22
33
0 1 0
0
00
1
0
m
ea
a
aa
xx
Cf
x x u
JJ
xx
CR
L
LL
1
2
3
1 0 0
x
yx
x
例 4,一长度为 l,质量为 m的单倒立摆，用铰链安装在质量为 M的小车上，小车受电机操纵，
，在水平方向施加控制力 u，相对参考坐标系产生位移 x。要求建立该系统的状态空间表达式。
M
u
x
l
m
设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在水平方向，由牛顿第二定律即：
在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡
( s i n )xl
x
22
22 ( s in )
d x dM m x l u
d t d t
2( ) c o s s i nM m x m l m l u
2
2 ( s in ) c o s s in
dm x l l m g l
dt
即,
则有：
联立求解：
22c o s c o s s i n c o s s i nx l l g
2s i n 0,c o s 1, 很小时，忽略 项
)M m x m l u（
x l g
1mgxu
MM
( ) 1M m g u
M l M l
消元后：
选取状态变量：
( 4 ) ( ) 1M m g gx x u u
M l M M l
1 2 1 3 4 3,,,x x x x x x x
12
2 1 3
34
4 3 3
1
1
( ) 1
xx
mg
x x x x u
MM
xx
M m g
x x x u
M l M l
y x x
11
22
33
44
0 1 0 0 0
1
0 0 0
0 0 0 1 0
( ) 1
0 0 0
xx
mg
xx
MM
u
xx
xx M m g
M l M l
1
2
3
4
1 0 0 0
x
x
y
x
x
2.3 线性定常连续系统的状态空间表达式微分方程、传递函数、结构图求 {A,B,C,D}
1,由系统微分方程建立状态空间表达式
1） 系统输入量中不含导数项
uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)(
,/,输出－输入uy 已知0110,,,naaa?
给定))((),0(),0(),0( 0)1( tttuyyy n
选取：
状态空间表达式：
Cuy
buAxx
)1(
21,,,
n
n yxyxyx
21 xx
32 xx
nn xx 1?
1
011110
xy
uxaxaxax nnn
n
n
x
x
x
x
x
1
2
1
1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
0
0
0
0
b
001C
u
0? S1 S1 S1
y
1?na 2?na 1a 0a
nx? nx 1?nx 1x2x
状态变量结构图例 1
设求（ A,B,C,D）
解：选
y
y58
y?
6
uy 3?
yx?1
.
yx?2
..
yx?3
则：
21 xx
32 xx
uxxxx 3586 3213
1xy?
状态空间表达式为
u
x
x
x
x
x
x
3
0
0
586
100
010
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
x
x
x
y
210 aaa 0?
2） 系统输入量中含有导数项如果单输入 —单输出系统的微分方程为：
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数 n。为了避免在状态方程中出现 u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。
设,选取：
yayayay nnn 01)1(1)(
ubububub nnnn 01)1(1)(
0?nb
niuhxx
uhyx
iii,,3,211
01
,
uhxx
uhxx
uhxx
uhxx
uhyx
nnn
nnn
iii
11
221
11
112
01
0 1 1,,,nh h h n?其中 是 个待定系数即：
uhxyuhyx 0101
uhuhxyuhuhyx 102102
uhuhuhxy
uhuhuhyx
2103
2103
( 1 ),,,,,n iy y y x u u求出 由 及 表示
uhuhuhyx nnnnn 1)2(1)1(0)1(
uhuhuhxy nnnnn 1)2(1)1(0)1(
uhuhuhyx nnnnn 1)1(1)(0)(
将代入得：
uhuhuhyx nnnnn 1)1(1)(0)(
yayayayay nnnnn 01)2(2)1(1)(
ubububub nnnn 01)1(1)(
1021121
)( xaxaxaxay
nnnn
n
)( 1)2(1)1(01 uhuhuha nnnn
)( 2)3(1)2(02 uhuhuha nnnn
)(
00101 )(
n
n ubuhauhuha
ububub nn 01)1(1
nnnnn xaxaxaxax 1122110
)1(
0111
)(
0 )()(
n
nn
n
n uhahbuhb
)2(
021122 )(
n
nnn uhahahb
uhahahahb nnnnn )( 01322111
uhahahahab nnnn )( 001122110
选择,使得上式中 u的各阶导数项的系数都等于 0，即可解得：
110,,?nhhh?
0
1 1 1 0
2 2 1 1 2 0
3 3 1 2 2 1 3 0
1 1 1 2 2 3 1 0
n
nn
n n n
n n n n
n n n n n
hb
h b a h
h b a h a h
h b a h a h a h
h b a h a h a h
令上式中 u的系数为,则：
最后可得系统的状态方程：
nh
001122110 hahahahabh nnnnn
uhxaxaxaxax
uhxx
uhxx
uhxx
nnnnnn
nnn
1122110
11
232
121
可写成向量 -矩阵的形式：
即：
duCxy
buAxx
1210
1
2
1
1000
0100
0010
nn
n
aaaax
x
x
x
n
n
x
x
x
x
1
2
1
u
h
h
h
h
n
n
1
2
1
uh
x
x
x
y
n
0
2
1
001?
0
1 1 1
1 1 1
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 0
0
1
n
nn
n
nn
bh
b a h
b a h
b a a a h
状态变量结构图
u
nh S1 S1 S1
y
1?na 2?na 1a 0a
nx? nx 1?nx 1x2x
S1
0h1h1nh?
例 2：
试写出它的状态空间表达式。
解：
则：
uuuyyyy 324
3,1,1,0,3 0123 bbbbn
4,2,1 210 aaa
1
0
0221
30
habh
bh
状态空间表达式为
13
3
00112203
011212
hahahabh
hahabh
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001
13
3
1
421
100
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
2.传递函数化为状态空间表达式设单输入 /输出系统的传递函数：
)(
)(
)(
)(
01
1
1
01
2
2
1
1
01
1
1
01
1
1
)(
SD
sN
n
asasas
sss
n
asasas
bsbsbsb
su
sy
b
b
sG
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
严格真分式传函前馈系数上式中的系数用长除法得到：
nnnn
nnnn
n
n
bab
bab
bab
bab
111
222
111
000
)(,)( )()( sgsD sNsg令：
nb
（ 1） 串联分解的形式
)(
)()(
sD
sNsg?
)(
01
1
1
)(1)(
0111
syn
n
sz
asasas
su ss
nnn
01
1
1
1
)(
)(
asasassu
sz
n
n
n
uzazazaz nnn 01)1(1)(
选取状态变量
01
1
1)(
)(
ss
n
nsz
sy?
zzzy nn 01)1(1
)1(
321,,,,
n
n zxzxzxzx
则状态方程为：
uxaxaxa
uzazazax
xx
xx
nn
n
nn
12110
)1(
110
32
21
输出方程为：
写成向量 -矩阵形式为：
nn xxxy 12110
Cxy
buAxx
1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
1
0
0
0
b
110, nC
这样的 A阵又称 友矩阵,若状态方程中的 A，
b具有这种形式，则称为可控标准型。
当时,A,b不变。
系统 {A,b,C,D}称为 G（ s）的可控标准形实现。
)(
)()(
sD
sN
nbsG
ubCxy n
S1 S1 S1
1?na 2?na 1a 0a
nx? nx 1?nx 1x2x
y
1?n?
0?
2?n? 1?
nb
u
可控标准形
例：试求的可控标准形。
解：该系统传递函数：
uuTyyy 22
22
2
1
ss
Ts
su
sySG
2
01
0
2
1
aa
T
2
1
c
c
c x
x
x
可控标准形串联分解并引入中间变量
2
01
2c
A
1
0
cb
1ccT?
sG z
uzzz 22
zzTy
TuTzzTzzTy 221
令则：
zx c?
1 zx c2
22
2
21
21
1 TT
uTyTyTx
c
22
2
212 TT
TuTyyx
c
状态变量图：
可控标准形
u 2x?
s
1 2x
T
s
1
22
y
可观标准形
u 1x?
s
1 1x
T
s
1
2?
2
yx?22x?
可观标准形
1
2
o
o
o
x
x
x
20
12o
A
1
ob T
01oc?
并联分解（对角标准形）
把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式只含单实极点，设 可分解为：
其中 为 系统的单实极点则：
2
sD
sNsg?
sD sNsg?
sD
nssssD21
n,,21
n
i i
i
s
c
su
sy
sD
sNsg
1?
其中：
为极点 的留数
sgsc ii lim
is
ni,,2,1
i?
1
n
i
i i
c
y s u s
s
a,选取状态变量,
将上式整理，并进行拉氏变换，可得状态方程再将 代入,
展开：
1i
i
x s u s
s?
ni,,2,1
tutxsx iii
ix y
n
i
ii txcty
1
uxx 222
uxx nnn
nn xcxcxcy2211
uxx 111
u
x
x
x
x
x
x
nnn
1
1
1
2
1
2
1
2
1
0
0
n
n
x
x
x
cccy
2
1
21
特点,传函极点全 1
对应极点的留数
b,选取状态变量,
C
B
A
su
s
csx
i
i
i
ni,,2,1
ucxx 111
1
ucxx 222
2
ucxx nnnn
12 ny x x x
u
c
c
c
x
x
x
x
x
x
nnnn
2
1
2
1
2
1
2
1
xy 111
0
0
状态变量图（并联结构）
对角标准形 (a)
1c
nc
u y
1x?
nx?
1s?
1s?
1?
n?
1x
2x
1c
u y
nx?
1?s
1x
对角标准形 (b)
1?
nc
1?s
nx
n?
1x?
b,含重实极点为了简单起见，设 g(s)只有 r重极点，则传递函数的部分式展开式为：
sD sNsg?
1
1
12
1
11
rr s
c
s
c
sg
su
sy
n
n
r
rr
s
c
s
c
s
c
1
1
1
1
n
ri i
i
s
c
1?
1
1rn
r?
重极点单极点其中
sgs
ds
d
j
c
r
j
j
j 11
1
1 lim
!1
1
1s
rj?,2,1?
sgsc ii lim
is
nri,,1
选取状态变量的拉氏变换为：
r
s
susx
1
1
1
1
2 rs
susx
1
s
susx
r
1
1
r
r s
susx
n
n s
susx
12
1
1
x s x s
s?
23
1
1
x s x s
s?
sx
s
sx rr
1
1
1
su
s
sx r
1
1
su
s
sx
r
r
1
1
1
su
s
sx
n
n
1
化为状态变量的一阶微分方程，则有
2111 xxx
3212 xxx
1 1 1r r rx x x
.
uxx rr 1
uxx rrr 111
uxx nnn
.输入方程
txctxctxcty rr1212111
txctxc nnrr11
.状态空间表达式
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 0
1
1 0
1
1
1
r r r
r r r
n n n
xx
xx
x x u
xx
xx
0
0
..
n
r
nrr
x
x
x
x
cccccy
2
1
111211
.状态变量图
y
u
rx?
1?rx?
nx?
rx
nx
1?rx
2x? 1x?
2x 1
x
nc
1?rc
12c
11c
1?
1?
1?s1?s
1?
1?s
1r
n?
1?s
1?s
1rc
例：设系统传递函数为：
试求其状态空间表达式。
解：分母三重极点用部分分式为：
323 28126 sssssD
8126
152
23
2
sss
sssg
222
13
2
12
3
11
s
c
s
c
s
c
sg
19152lim2lim 2311 sssgsc 2?s
2?s
1354lim2lim 312 ssgs
ds
d
c
2?s 2?s
2
3
13 2
14
l im 2 l im 2
2 ! 2
d
c s g s
ds
2?s 2?s
状态空间表达式
u
x
x
x
x
x
x
1
0
0
200
120
012
3
2
1
3
2
1
3
2
1
21319
x
x
x
y
11c
13c
12c
2.4 线性离散系统的状态空间表达式离散系统,一处或多处的信号是离散的脉冲序列、数字序列，采样间隔内保持常数。
古典控制理论中：离散系统用 差分方程
（脉冲传递函数）表示。
单输入 \出线性定常离散系统：
采样周期 常数
1 1 011ny k n a y k n a y k a y k
1 1nnb u k n b u k n
kubkub 01 1
ii ba,T
k
k kT
,L y k y zzyzikyL i
初始条件为零时的 变换关系为：
脉冲响应函数
z
1
1 1 0
1
1 1 0
nn
nn
nn
n
yz b z b z b z b
Gz
u z z a z a z a
zD
zN
b
azazaz
zz
b n
n
n
n
n
n
n
01
1
1
01
1
1
zG
在 的串联分解中，引入中间变量,则有选取一组状态变量
0?nb
zQ
zD
zN
zuzQazzQazQzazQz nnn 0111?
zQzzQzQzzy nn 0111
uz
zD
1
zQ
zN
zg
zQzx?1
zzxzzQzx 12
zzxzQzzx nnn 11
则有利用变换关系
zuzxazxazxazQz nnn 12110?
0 1 1 2 1nny z x z x z x z
11 kxzzxL nn
kxzxL ii 1
11 kxzzxL ii
则：
kxkx 21 1
kxkx nn 11
kukxakxakxakx nnn 121101?
kxkx 32 1
kbukAxkx 1kdukCxky
0nb?
0 1 1nny k x k x k
可控标准形
1210
1000
0100
0010
n
aaaa
A
1
0
0
b
110 nc ndb?
Tn kxkxkxkx?21?
,Ab
2.5 状态空间的线性变换前面已指出一个给定的动态系统、状态变量的选取有许多方法。因此一个系统有许不同的状态空间表达式来描述。状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。
一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同的方法（如前面的 电路），
因此状态空间表达式也不同，即一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。
RLC
状态变量的不同选取 状态向量的线性变换（或坐标变换）
1,系统状态的线性变换目的,便于揭示系统特性及分析计算且不会改变系统的性质如果 是一组由 个状态变量构成的 维状态向量，则的线性组合 也完全可以作为一组新的状态变量，构成新的状态向量,
Tnxxxx,,,21 n
n nxxx,,21?
nxxx,,,21?
x
在 与 之间存在如下的非奇异线性变换关系：
或其中 是 非奇异变换矩阵
x x
x Px? 1x P x
P nn?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1
12
n
n
n
n n n n
p p p
p p p
P p p
p p p
1p 2p np
于是有：
虽然状态变量和状态表达式不同，但 和都是描述同一系统动态行为的描述。
nnnnnn
nn
xpxpxpx
xpxpxpx
2111
12121111
x x
设线性常定系统的状态空间表达为令则其中
BuAxx DuCxy
x Px?
11x P A P x P B u y C P x D u
uBxAx uDxCy
1A P AP 1B P B C CP? DD?
例：设系统的状态空间表达式为：
取变换矩阵 则
u
x
x
x
x
1
0
32
10
2
1
2
1
2
106
x
x
y
1
0
2
13
22
P
1 62
20P
1 1 21
21
6262
220
x x xx P x
xx
uxx?
1
0
02
26
2
3
2
1
2
1
0
32
10
02
26
0 2 2
1 3 0xu
xxy 30
2
3
2
1
2
1
0
06?
11
12
P
1 21
11
P
1 21
11
x P x x?
取变换矩阵 则对角化！状态变量之间解耦
xx?
21
11
32
10
11
12
u?
1
0
11
12
xxy 66
21
11
06
1 0 1
0 2 1
xu
2,化 为为对角标准形（对角规范化）
已知线性定常系统的状态方程当系统矩阵 的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵,通过线性变换,则有
A
n,,,21?A
BuAxx
P
x Px?
uBxAx
1
21
n
A P AP
0
0
nd iag21
12 nP p p p?
的特征值所对应的特征解，且习题：试将状态方程变换为对角标准形
i?
A
i?ip
ni?,2,1?
i i iA p p
uxx
3
2
7
120
010
112
2.6 线性定常连续系统状态方程的解
１,齐次状态方程的解幂级数法设 的解是 的向量幂级数式子中,都是 维向量，则
Axx
1
tAxx
kk tbtbtbbtx 2210 n
n
kbbx,,,0?
121 2 kk tkbtbbtx
kk tbtbbA 10
且,故其中：
2
1 0 2 0 0
11,,,
2!
k
kb Ab b A b b A bk
00 bx?
0
!
122
2
1 xtA
k
tAAtItx kk?
00
!
1
0
xextA
k
Atk
k
k
k
k
k
kkAt A
k
ttA
k
tAAtIe?
0
22
!!
1
2
1
状态转移矩阵，记为：
拉普拉斯变换法：
Atete At
2
0xsAxssx,0xsxAsI
01 xAsIsx,011 xAsILtx
11 AsILe At
２,状态转移矩阵的特性且有
1 I?011 AsILe At
L 拉氏变换符号
2 AttAt A?0
3122121 tttttt
4tt 1,tt 1
500 txtttx
000010 txtttxttxttx
6011202 tttttt
0022 txtttx0011 txtttx
001121122 txtttttxtttx
002 txtt
7ktt k k 函数
kteeet ktAk A tkAtk
8 AtBtBtAttBA eeeee
BAAB?
AtBtBtAttBA eeeeeBAAB?
例：已知 求解：
01
10
A
Ate
3322
!3
1
!2
1 tAtAAtIe At
2
2
0
0
!2
1
0
0
10
01
t
t
t
t
0
0
!3
1
3
3
t
t
!4!2
1
!5!3
!5!3!42
1
4253
5342
tttt
t
tt
t
tt
tt
tt
c o ss i n
s i nc o s
拉氏变换法例：已知 求解：
211 AsILe At
t?
11
22
01
23
xx
32
1
32
10
0
0
s
s
s
s
AsI
s
s
ssAsI
AsIadjAsI
2
13
21
11
2 1 1 1
1 2 1 2
2 2 1 2
1 2 1 2
s s s s
s s s s
tttt
tttt
eeee
eeeeAsILt
22
22
11
222
2?
3,非齐次状态方程的解积分法设 有
1
BuAxx
BueAxxe AtAt
AxxexexAexet AtAtAtAt
Buexet
AtAt
dBuextxe
t
AAt
0
0
dBuexetx
t
tAAt
0
0
dButxt
t
0
0
同理，选 为初始时刻，
拉氏变换
0t
dButtxtttx
t
t
0
00
2
sBuxsAxssx 0
sBuAsIxAsIsx 11 0
isBuAsILxAsILtx 1111 0
sF1
sF2
利用拉氏变换差积定理则例：线性定常系统的状态方程
dftfsFsFL 2
1
0
121
1
dBuexetx
t
tAAt
0
0
dButxt t
0
0
0 0t令 ＝,
初始状态 时，求解：由于系统矩阵 约当标准形
uxx
4
1
0
200
010
011
txTx 1210?
t
t
tt
At
e
e
tee
e
2
00
00
0
dBuexetx t tAAt
0
0
t
t
t
e
e
te
2
2
1
1
2.7 传递函数矩阵定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系 传递函数矩阵 （简称传递矩阵）
表达式：设动态方程令初始条件为零，求拉氏变换式：
1
2
BuAxx DuCxy
sBuAsIsx 1
susGsuDBAsIsy 1
则系统传递矩阵表达式为：
其展开式
DBAsICsG 1 pqsG?:
1
2
1
1
221
111
1
2
1
p
p
pq
qpq
p
p
q
q
su
su
su
sgg
sgsg
sgsg
sy
sy
sy
