复习,线性代数,有关内容
1.矩阵与向量
2.矩阵的加减运算
3.非奇异矩阵
4.分块方阵的行列式和逆
5.二次型和向量范数
6.标量函数的定号性
7.凯莱－哈密顿定理
8.非齐次方程组有解的条件
9.线性空间
10.线性变换
11.向量的线性无关和相关
12.矩阵的特征值和特征向量
1.矩阵与向量
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m mn mn
a a a
a a a
A
a a a




1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
m
mT
n n m n nm
a a a
a a a
A
a a a





1
2
12
,
T
n
n
x
x
x x x x x
x






2.矩阵的加减运算设则设则
,ij ijm n m nA a B b
ij ij mnA B a b
,i k k jmn npA a B b
1
,
n
i k k j
k mp
A B a b A B B A



3.非奇异矩阵设 A为方阵
A的逆矩阵为：
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n nn
a a a
a a a
A
a a a






1,0AAA
A

4.分块方阵的行列式和逆设 或则如果 可逆则或
1 1 1 2
220
AA
A
A



11
2 1 2 2
0A
A
AA



1 1 2 2A A A?
1 1 2 2AA和
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2 2
1
220
A A A A
A
A




1
1 11
1 1 1
2 2 2 1 1 1 2 2
0A
A
A A A A




5.二次型和向量范数
a,二次型
(Tf x A x A 对称阵）
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
,
n
n
n n n n n
a a a x
a a a x
Ax
a a a x






,1
n
ij i j
ij
f a x x

如果：
则 正定，且 为正定阵。
如果：
1 1 1 2 1
2 1 2 2 21 1 1 2
11
2 1 2 2
12
0,0,,0
n
n
n n n n
a a a
a a aaa
a
aa
a a a

f A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 21 1 1 22
11
2 1 2 2
12
( 1 ) 0,( 1 ) 0,,( 1 ) 0
n
nn
n n n n
a a a
a a aaa
a
aa
a a a

则 负定，且 为负定阵。
如果：
则 正（负）半定。
f A
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 1 ) 0
n
nn
n n n n
a a a
a a a
a a a

f
b.向量内积设定义向量内积：
1 2 1 2,TTnnx x x x y y y y
11
,,
nn
i i i i
ii
x y x y y x y x


c.向量范数设定义：
如空间两点：
则空间两点之间的距离：
12 Tnx x x x?
1 / 2 2 1 / 2
2
1
,( )
n
i
i
x x x x

m a x ixx
1 11 12 1 2 21 22 2,TTnnx x x x x x x x
2 2 1 / 21 2 1 1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ]nnx x x x x x
6.标量函数的定号性
a,正定性。标量函数 在数域 中对所有
，有,且,则称在 中是正定的。如：
b.负定性。标量函数 在数域 中对所有
，有,且,则称在 中是负定的。
c.正（负）半定性。如果,且 时
，,则 正（负）半定。
()Vx R
0x? ( ) 0Vx? ( 0 ) 0V?
()Vx R
()Vx R
0x? ( ) 0Vx? ( 0 ) 0V?
()Vx R
( 0 ) 0V? 0x?
( ) 0Vx? ()Vx
22
12()V x x x
如：
d.不定性。 在 中可正可负，则 是不定的。
如：
e,的正定性。 在 中，对于有,则 正定。
7.凯莱－哈密顿定理设,的特征多项式：
2
12( ) ( 2 )V x x x
()Vx R ()Vx
12()V x x x?
(,)V x t (,)V x t R 0tt?
(,) 0,( 0,) 0V x t V t且 (,)V x t
:A n n? 方阵 A
11 1 0() nn nf I A a a a
则称,A为 的根。
1
1 1 0()
nn
nf A A a A a A a I

()f?
推论 1.矩阵 A的 k 次幂，可表示为 A的 n-1
阶多项式：
推论 2.矩阵指数 可表示为 A的 n-1阶多项式：
例：已知
()kn?
1
0
n
km
m
m
A a A

Ate
1
0
()
n
A t m
m
m
e a t A

10012,
01
AA



求解：
212( ) 2 1
01
f I A



22( ) 2 0 2f A A A I A A I
3 2 22 2 (2 ) 3 2A A A A A A I A A I
4 3 23 2 4 3A A A A A A I
( 1 )kA k A k I
100 1 2 0 01 0 0 9 9
01
A A I



8.非齐次方程组有解的条件设：
当 存在唯一解存在无穷多解
m n n mA x b
1 2 1 2,TTn n m mx x x x b b b b
11 12 1
21 22 2
12
n
n
mn
m m m n
a a a
a a a
A
a a a




(1) mn?
( 2 ) mn?
有解的充要条件：
r a n k A r a n k A?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a




11 12 1 1
21 22 2 2
12
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
A
a a a b




9.线性空间设在集合 V中（实数域），满足下列运算：
（ 1）对任意的
（ 2）在 V中存在唯一的元素 0，对任意有
（ 3）对 存在唯一的元素有
（ 4）对任意,以及任意实数有
,,,) ( )x y z V x y z x y z有（
xV?
0xx
xV? ()xV
( ) 0xx
,x y V?,
( ) ( ),( )x x x x x
则称 V为线性空间或向量空间如：用
10.线性变换定义：设 均为实数域上的线性空间,T
是由 一个映射，当 T满足：
.
时，称 T为由 的线性变换。
()x y x y
nR
12,,1,2,
T
nix x x x x R i n
12,VV
12VV到
( ),( ) ( )T a b T a T b T a T a
12,,,a b V V R
12VV到
11.向量的线性无关和相关如果当 线性无关。
反之，如果 线性相关。
1 2 2 1 20,,,n n nC C x C x C C C1x ＋ 式中 是常数
1 2 1 20,,,nnC C C x x x= 则向量
12
1,
,,
n
i j j n
j j i
x C x x x x

则称