1
则称此级数为正项级数。
1
中的n
n
u
?
?
?
1
11
1 1 ( 1 ),1 0 1 0
2例如
n
nn n
?? ?
??
?? ? ? ? ? ???
注 1 不少级数的敛散性问题都可归结为它的敛散性问
题,请同学们务必掌握好其敛散性的判别法。
§ 7.2 正项级数
一,正项级数的概念
定义 3 若数项级数 0 ( 1,2,),nun??各项
注 2 因为对任意 nN? 均有各项 0nu ?
11n n nS S u????
则有
于是正项级数的部分和是一个单 増 数列 ? ?.
nS
2
定理 6 正项级数 收敛的充要条件是部分和序列
有上界。
1
n
n
u?
?
?
? ?nS
证, ?,有单调有界准则知极限 存在，
,?” 若 收敛,则 存在,lim
nn S??
nS
其等价命题是
lim,nn S?? ? ??
下面利用此定理导出正项级数是否收敛的几个判别法。
从而正项级数收敛,
1
n
n
u?
?
?
由极限存在准则知,
lim nn S??
nS
有界,从而 有上界。
从而正项级数发散。”
nS
,若 无上界,则
3
设两个正项级数定理 7 (比较判别法 )
的对应项满足,
11
nn
nn
uv??
??
??及
( 1,2,,0 )nnu c v n c? ? ?
则 (1)当级数 也收敛 ;收敛时,级数
1
n
n
v?
?
?
1
n
n
u?
?
?
（大收小收）
(2)当级数
1
n
n
u?
?
?
发散时,级数
1
n
n
v
?
?
? 也发散。
（小发大发）
证 设
1
n
n
v?
?
?
1
,n
n
u?
?
? 部分和分别是,,nnST
( 1,2,,0)nnu c v n c? ? ?因
1 2 1 2,( )n n n nS u u u c v v v c T? ? ? ? ? ? ? ? ?于是
4
则 (1)当级数
1
n
n
v?
?
? 收敛时,nT n有上界,那么S 也有界。
故级数
1
n
n
u?
?
? 收敛。
(2)当级数
1
n
n
u?
?
? 发散时,lim,nn S?? ? ?? lim nn T?? ? ? ?于是
故级数
1
n
n
v?
?
?
发散。
注 3 因级数增加或去掉有限项不影响它的敛散性。故
定理中的不等式不一定从首项就开始面满足。
注 4 当级数
1
n
n
v?
?
? 发散时,不一定有级数
1
n
n
u?
?
?
2
1
1 1 1 1,
( 1 ) nn n n n n
?
?
??? ?例 但 发散，而
1
1
( 1)n nn
?
? ?
?
发散。
收敛。
5
例 6 判定级数
11
11, 2 sin ; 2,
32
n
nnnn n
???
?? ?
?? 的敛散性,
2 1, 2 s i n ( )
33
nn
n
? ??解因
112,
22nnn ??因
1
2 s in 3n n
n
??
?
?
1
2()
3
n
n
? ?
?
?而 收敛,则 收敛 ;
1
1
2nn n
?
? ?
?
1
1
2 nn
?
?
?而 收敛,则 收敛。
6
例 7判定 p级数
1
1 1 11 ( 0 )
2p p pn pnn
?
?
? ? ? ? ? ??
1
1
n n
?
?
?由于
的敛散性。
解 (1)当 p≤1 时,因为 pnn?, 11,
p nn ?有
1
1
pn n
?
?
?发散,则 发散。
(2)当 p≤1 时,设 1 2,n x n n? ? ? ?（ ）有
11
ppnx?
11
11nn
ppd x d xnx?????
10
pn?? 11
1 1 1[]
1 ( 1 ) ppp n n??????
11 2
1 1 1[ ],
1 ( 1 )n n npp nu u Sp nn
?
?? ???? ? ?令 且 的部分和是
7
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1[ ( 1 ) ( ) ( ) ]
1 2 2 3 ( 1 )n p p p p pS p nn? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
1
11 [ 1 ]
1 ( 1 ) pp n ???? ?
1
11lim lim [ 1 ]
1 ( 1 )n pnn S pn ?? ? ? ??? ??于是
2
n
n
u
?
?
?故 收敛,则
1
1
pn n
?
?
? 收敛。
1
1p? ?
重要结论, p级数 在当 p>1时收敛 ;
1
1
pn n
?
?
?
当 p≤1 时发散,
8
例 8 判定级数
314
11( 1 ), ; ( 2),
( 1 ) 10nnnn nn
??
??? ?
??
1 1 1 ( 1 )
1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nn n n n?? ?? ? ?解因
3
23
11
( 1 )10 nnn ? ??
3
22
1
( 1 )n n
?
? ?
?而 34 1 10n nn
?
? ?
?
的敛散性。
1
1
1n n
?
? ?
?而 发散,则
1
1
( 1 )n nn
?
? ?
? 发散。
收敛,则 收敛。
33( 2 ) 1 0 ( 1 ) ( 5 )n n n n? ? ? ? ?因
9
定理 8 (比较判别法的极限形式 )
11
nn
nn
uv??
??
??及 lim,nn
n
u k
v?? ?
,,2k N n N? ? ? ?使得
若两个正项级数 满足,
(1)当 0<k<+∞时,级数
11
nn
nn
uv??
??
??和 同敛散 ;
(2)当 k= 0且级数
1
n
n
v?
?
? 也收敛 ;1 nn u
?
?
?收敛时,级数
(3)当 k= +∞且 级数 也发散,
1
n
n
v?
?
? 发散时,级数 1 nn u???
30
2 2 2
nnuuk k kk
vv? ? ? ? ? ?有
( 1) l i m,n
n n
u k
v?? ?由
证 则对于
3,
22n n n
kkv u v??于是
11
nn
nn
uv??
??
??和 同敛散 ;则级数
10
0 ( )nun? ? ?,nu nu
1 pn
推论 若正项级数
11
nn
nn
uv??
??
??和的 通项 nnuv与
或等价 无穷小量,则
11
nn
nn
uv??
??
??和 同敛散,
注 5 在使用比较判别法的极限形式时,首先观察级数
如例 8中的两个级数
314
11( 1 ),( 2 )
( 1 ) 10nnnn nn
??
??? ?
??
1( 1 ) 0 ( ),
( 1 ) nnn ? ? ??有
1
( 1 )
li m li m 1
1 ( 1 )nn
nn n
nn
n
? ? ? ?
?
??
?
而
为同阶
是 的多少阶无穷小,
的一般项 是否趋向于 0,若 那么就看
11
注 6 利用此推论,可将许多复杂级数
1
n
n
u?
?
?
nu nv
1
n
n
v?
?
?
3
1( 2 ) 0 ( ),
10 nnn ? ? ??
再如级数
1
( 1 ) ( 1 )n
n
aa?
?
???
当 a = 1时级数显然收敛 ;
1l i m l n
1
n
n
a a
n
??
? ?
则级数
3
2
3
2
3
3
1
10lim lim 1
1 10nn
nnn
nn
n
? ? ? ?
? ??
?
而
发散,
1
( 1 ) ( 1 )n
n
aa?
?
???
的敛散性问题,
的敛散性
当 a >1时,因
问题转化为一个以与 等价的变量
更简单级数
为一般项的
12
例 9 判定下列级数的敛散性
1 1 1
( 1 ) s i n ; ( 2 ) ar c t an ( ) ; ( 3 ) l n ( 1 ) ( 1 )4
n
n
npn n n
ep p
n
?
?
? ? ?
? ? ?
??? ? ?
( 1 ) sin,44nnnn??解 由于
1 4
n
nn
??
?
?而
1
sin 4
n
n
n
??
?
?
收敛,则
收敛,
( 3) l n ( 1 ) ( 1 ),pppp pnn??由于
1 pn
p
n
?
?
?而
( 2 ) a r c t a n ( ) ( ),nnee??由于 收敛,
1
()n n
i
e
???而
1
a rcta n ( ) n
n
e
?
?
?
? 收敛,
收敛,
1
ln (1 )p
n
p
n
?
?
?? 收敛,
则
则
则
13
例 10 设级数 收敛,且常数 c>0,2
1
n
n
u?
?
?
21
n
n
u
nc
?
? ?
?
2
nu
nc?
因 nun 2 211( ),2 nu n??
21
n
n
u
nc
?
? ?
?故
注 7 使用比较判别法,需记住一些已知其收敛性的级数,
证
2
2
11
1
n
nn
u n
??
??
??而与 收敛,从而 收敛,
1
n
n
u
n
?
?
?
收敛,
而且建立不等式关系也较繁,下面取几何级数为比较的
标准,可得出在实用上很方便的判别法,
求证 收敛,
14
定理 9 (达朗贝尔比值判别法 )
若正项级数
1
n
n
u?
?
? 满足 1lim,nn
n
u l
u
?
?? ?
则 (1)当 0≤l<1时,级数
1
n
n
u?
?
? 收敛 ;
(2)当 l >1时,级数
1
n
n
u?
?
? 发散 ;
(3)当 l=1时,级数
1
n
n
u?
?
? 可能收敛,也可能发散,
证 (1)当 l< 1时,则对任意给定的 ε 且满足 1,lr?? ? ?
1,,n
n
uN n N l
u ?
?? ? ?存在 使 有 1 1n
n
u lr
u ?
?? ? ? ? ?
1,nnn N u ru???于是 有
15
1
( 0 1 )n N
n
r u r?
?
???而
11
()nNnN
n N n
u r u?? ?
? ? ?
???
1 1,n
n
u lq
u ?
?? ? ? ? ?
lim 0,nn u????
1
n
n
u?
?
?于是
212,,,,nN N N N N n Nu ru u r u u r u? ? ?? ? ? ?
收敛,则 收敛,
1
n
n
u?
?
?从而在它前面增加 N项的级数 也收敛,
(2)当 l > 1时,则对任意给定的 ε>0且满足 1,lq?? ? ?
1,,n
n
uN n N l
u ?
?? ? ?存在 使 有
则当 n>N时,后项 始终大于前项
1nu? nu
发散,
(3)当 l = 1时,级数
1
n
n
u?
?
? 可能收敛,也可能发散,
16
但当 p >1时,p 级数收敛 ; 当 p ≤1 时,p 级数发散,
例 11 判定下列级数的敛散性,
0 1 1 1
10 00 2 !( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
! 2 1 21
n n n
nn n n n
nx
n n n
? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ?
1l i m 1
1( 1 )n p
n
??
??
?
1 ( 1 ) li m n
n n
u
u
?
??解因
1100 0 ! 100 0
l i m l i m 0 11 ! 11000
n
nnn
n
nn
?
? ? ? ?? ? ? ? ???（）
故原级数收敛,
比如 p 级数
1
1,
pn n
?
?
? 无论 p取何值,均有
1l i m l i m
( 1 )
p
n
pnn
n
u n
un
?
? ? ? ?? ?
212 lim 2 1
21n
n
n??
?? ? ?
?
1( 2 ) li m n
n n
u
u
?
??因
12 2 1
lim 2 ( 1 ) 1 2
n
nn
n
n
?
??
???
??
故原级数发散,
17
1
( 1 ) ! 2 1lim
2 1 !
n
nn
n
n???
????
?
1 ( 3 ) li m n
n n
u
u
?
??因
故原级数发散,
1 ( 4 ) l i m n
n n
u
u
?
??因
lim 1n n xxn??? ? ??
故当 0 < x <1时,原级数收敛 ; 当 x≥1 时原级数发散,
定理 10 (柯西根值判别法 )
若正项级数
1
n
n
u?
?
? 满足 li m,n nn ul?? ?
则 (1)当 0≤l<1时,级数
1
n
n
u?
?
? 收敛 ;
(2)当 l >1时,级数
1
n
n
u?
?
? 发散 ;
(3)当 l=1时,级数
1
n
n
u?
?
? 可能收敛,也可能发散,
1
1
2lim ( 1 ) 1
1
2
2
n
n
n
n
??
?
? ? ? ? ?
?
1lim
1
n
nn
xn
nx
?
?????
18
例 12 判定级数 21
1
()31 n
n
n
n
? ?
? ?
?
21 l i m l i m
31
nn n
nnn
nu
n
?
? ? ? ?? ?解 因 （ ）
21
lim 31
n
n
n
n
n
?
??? ?（）
12 l n
31lim
n
nn
n e
? ?
???
（）
12ln
3e? 2 ln 3 1e ???
故原级数收敛,
的敛散性,
若正项级数
1
n
n
u?
?
? 则级数 21n ni u??
证
也收敛,定理 11
2
lim lim 0,n n
nnn
u u
u? ? ? ???因
而级数
1
n
n
u?
?
?
由定理 8知级数 2
1
n
n
i
u
?
?
收敛,
也收敛,
19
5n
5l m,
!) i (
n
n??求
5
5l i m 0 1
( 1 )n n??? ? ??
5n
5 l i m 0,
( ! )
n
n?? ?必有
例 13
解 因级数
51
5
( !)
n
n n
?
?
? 的通项
15
1
5
5 ( ! )l i m l i m
( ( 1 ) ! ) 5
n
n
nnn
n
u n
u n
?
?
?? ???? ?而
5
5,
( !)
n
nu n?
于是级数
51
5
( !)
n
n n
?
?
? 收敛,故
这里实际上给了一个计算极限的方法,