1
§ 6.3 微积分学基本定理
由 § 6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过
求积分和的极限来得到定积分的值,却非常困难 ; 下面
寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 ——牛顿莱布
尼兹 (Netwon-Laibniz)公式 计算法,
一, 积分上限函数
设 ?(x)在 [a,b]上连续,[,],x a b??
区间 [a,x]上方的曲边梯形的面积为
?(x)在区间 [a,x]上的定积分 ( ),x
a f x dx?
2
为了区别积分变量与积分上限,特将积分变量记为 t,
这是一个关于积分上限 x的函数,并记为 Φ(x),即
( ) ( )xax f t d t?? ?
注 1 ( ) 0,( ) ( ),b
aa b f x dx? ? ? ? ?
定理 5 若 ?(x)在 [a,b]上连续,则 在 [a,b]上( ) ( )x
ax f t d t?? ?
可导,且 ( ) [ ( ) ] ( ),x
ax f t d t f x??? ? ??
证 设 x,x+?x ∈ [a,b],则有
?Φ(x)=Φ(x+? x)–Φ(x) ( ) ( ) ( )x x x x x
a a xf t d t f t d t f t d t
? ? ? ?? ? ?? ? ?
由积分中值定理得 ?Φ(x)=?(ξ)? x(ξ在 x与 x +? x之间 ),
当 ? x →0 时,必有 ξ→ x,从而
3
l im ( ) ( )x f f x? ????
而 ( ) ( ),( ) ( )a f a b f b
????? ? ? ?
[,],( ),x a b x? ? ?故 有 可导
注 2 对于变上限的复合函数有以下两个推论
0
()( ) l i m
x
xx
x??
?????
?
( ) [ ( ) ] ( )xax f x d x f x??? ? ??且
推论 1 若 ?(x)在 [a,b]上连续,?(x)在 [a,b]上可导,则
() ( ) [ ( ) ] ( )x
a
d f t d t f x x
dx
? ?? ????
(被积函数代积分上限且积分上限对 x求导 )
() ( ) ( ),( ),x
a f t d t Y u u x
? ?? ? ??变上限函数 可看成 复合而成证
() ()x
a
d d Yf t d t
d x d x
? ??则 [ ( ) ] ( )f x x?? ???dY du
du d??
( ) ( )f u x? ???
4
推论 2若 ?(x)在 [a,b]上连续,
12( ),( )xx??
2
1
()
2 2 1 1() ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )
x
x
d f t d t f x x f x x
dx
?
? ? ? ? ???? ? ? ??
2 2 1
1
( ) ( ) ( )
() ( ) ( ) ( )
x x x
x c cf t d t f t d t f t d t
? ? ?
? ??? ? ?因
例 7 计算下列各题
2
0(1 ) c o s
xd t d t
dx ?
22
0 c o s c o s
xd t d t x
dx ??解
证
在 [a,b]上可导,则
2
1
()
2 2 1 1() ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )
x
x
d f t d t f x x f x x
dx
?
? ? ? ? ???? ? ? ??
3( 2 ) x t
a
d e d t
da ? 3 x tad e d tda ??解 33()a taxd e d t eda ? ? ??
则
5
2
2
1( 3 ) s in
x
x
d t d t
dx ??
2
2
1 s i n
x
x
d t d t
dx ??解
2
2
2
0
0 2
0
()
l i m
x t
xx t
e d t
t e d t?
?
?
解
2 2 2s in 2 s in ( 1 )x x x? ? ?
22
2
0
20
2
l i m
x tx
xx
e dt e
xe?
?
? ?
2
2
0
0
2
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x t
xx
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? ?
2
220
2l i m
2
x
xxx
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e x e x?? ??
2
2
2
0
0 2
0
()
( 4 ) l i m
x t
xx t
e d t
t e d t?
?
?
2 2 2 2s in s in ( 1 ) ( 1 )x x x ?? ? ? ? ?
20
2l im 2
12x x????
6
例 8 设 ?(t)是正值连续函数,( ) ( ),a
af x x t t d t????? 且
x t t xxt
t x t x
?????
? ???证
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaaxf x t d t x x x x x x t t d t x x? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???
曲线在 [–a,a]上是上凹的,
x∈ [– a,a](a>0).证曲线 y =?(x)在 [– a,a]上是上凹的,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaaxf x x t t d t t x t d t???? ? ? ???
( ) ( )xxaax t dt t t dt???????? ( ) ( )aaxxt t dt x t dt??????
( ) ( )xaaxt dt t t dt???????
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0f x x x x? ? ??? ? ? ? ?
7
定理 6 (原函数存在定理 )
( ) ( )xax f t d t?? ?
注 3 由定理 5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数,
若 ?(x)在 [a,b]上连续,则
的一个原函数,
是 ?(x)在 [a,b]上
注 4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性,又揭示了
定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数
来计算定积分的公式,
8
二, 牛顿 — 莱布尼兹公式
定理 7(微积分学基本定理 ) 若 ?(x)在 [a,b]上连续,而
F(x)是 ?(x)在 [a,b]上的一个原函数,则
( ) ( ) ( ) ( )ba bf x d x F b F a F x a?? ? ??
C =Φ(a)–F ( a)= –F(a),
( ) ( )xax f t d t?? ?
( ) ( ) ( ) ( )ba bf x d x F b F a F x a?? ? ??
证 因 F(x)与 均为 ?(x)的原函数,所以有
于是 Φ(x)= F(x)–F ( a)
令 x=b,则上式有 Φ(b) = F(b)–F(a),故
Φ(x) = F(x) + C
( ) ( ) 0,aaa f t dt? ? ??由得
9
注 5上式就是牛顿 — 莱布尼兹公式,
由牛顿 —莱布尼兹公式知, 要求 ?(x)在 [a,b]上的定积分
( ),ba f x d x? 只须先求出 ?(x)在 [a,b]上的一个原函数 F(x),再
计算 F(x)在 [a,b]上的改变量 F(b) – F(a)即可,
注 6牛顿 —莱布尼兹公式当然也可 ( ) ( ( ) )b
a
bf x d x f x d x
a???
它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方
法,而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系,
这样记,
10
例 9 计算下列定积分
3(1) b
a x dx?
1
3
1 (2 ) dx
x
?
??
1
3
11 ln
3d x xx
?
?
??
??解
4
3
4
b
a
bxx d x
a??解
441 ()
4 ba??
l n 1 l n 3 l n 3? ? ?
3
0( 3 ) x x t d x??
3
0) 0,0,a t x t x x t d x? ? ? ??当 时由 得
3
0
9( ) 9
2x x t d x t? ? ? ??
此定积分的被积函数含参数 t并带绝对值, 而 t 的
取值又无限制,它既可在 [0,3]之内,也可在 [0,3]之外,
故应分以下三种情况讨论,
11
) 0 3,,t x x tb t x t x t x t???? ? ? ? ? ??
?
当 时 由 得
33
00 ( ) ( )
t
tx x t d x x t x d x x x t d x? ? ? ? ?? ? ?
) 3,0,c t x t? ? ?当 时 由 得
33
00 ( )x x t dx x t x dx? ? ???
9 9
2 t??
3
3
0
9
90
2
19
9 0 3
32
9
9 3
2
tt
x x t d x t t t
tt
?
??
?
?
?
? ? ? ? ? ??
?
?
???
?
?故
319 932tt? ? ?
12
2 ( ),baI x d x a b? ? ??令则
) 2,2,a a b x b? ? ? ?当 时 由 得
( 4 ) 2ba x d x??
) 2,2 2,b a b x x? ? ? ?当 时 由 在 两侧异号 得
此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分,
当 ∣ x–2∣ =0时,得 x = 2.
1( 2 ) ( ) ( 4 )
2
b
aI x d x b a a b? ? ? ? ? ??
2
2( 2 ) ( 2)
b
aI x dx x dx? ? ? ???
224 2 2
2
abab ?? ? ? ?
因此时的区间 [a,b]位置没定,故它可能在被积函数的零
点的两侧,也可能在零点之间,亦可能包含零点,
13
) 2,2,c a b x? ? ?当 时 由 得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2ba baI x d x b ?? ? ? ? ??
22
1
( ) ( 4 ) 2
2
4 2 2 2
2
( 2) ( 2) 2
2
b a a b a b
ab
I a b a b
ba
b a b
?
? ? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ? ? ? ??
?
??
? ? ? ?
?
?
14
例 10设 12
0( ) 2 ( ),f x x f x d x?? ?
解 令 1
0 ( ),f x d x A??
2( ) 2,f x x A??
两边从 0到 1积分,得
11 2
00( ) ( 2 )f x d x A x A d x? ? ???
1 2
3 A??
1
3A ??于是
则
求 ?(x).
2 2 ( )
3f x x??故
§ 6.3 微积分学基本定理
由 § 6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过
求积分和的极限来得到定积分的值,却非常困难 ; 下面
寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 ——牛顿莱布
尼兹 (Netwon-Laibniz)公式 计算法,
一, 积分上限函数
设 ?(x)在 [a,b]上连续,[,],x a b??
区间 [a,x]上方的曲边梯形的面积为
?(x)在区间 [a,x]上的定积分 ( ),x
a f x dx?
2
为了区别积分变量与积分上限,特将积分变量记为 t,
这是一个关于积分上限 x的函数,并记为 Φ(x),即
( ) ( )xax f t d t?? ?
注 1 ( ) 0,( ) ( ),b
aa b f x dx? ? ? ? ?
定理 5 若 ?(x)在 [a,b]上连续,则 在 [a,b]上( ) ( )x
ax f t d t?? ?
可导,且 ( ) [ ( ) ] ( ),x
ax f t d t f x??? ? ??
证 设 x,x+?x ∈ [a,b],则有
?Φ(x)=Φ(x+? x)–Φ(x) ( ) ( ) ( )x x x x x
a a xf t d t f t d t f t d t
? ? ? ?? ? ?? ? ?
由积分中值定理得 ?Φ(x)=?(ξ)? x(ξ在 x与 x +? x之间 ),
当 ? x →0 时,必有 ξ→ x,从而
3
l im ( ) ( )x f f x? ????
而 ( ) ( ),( ) ( )a f a b f b
????? ? ? ?
[,],( ),x a b x? ? ?故 有 可导
注 2 对于变上限的复合函数有以下两个推论
0
()( ) l i m
x
xx
x??
?????
?
( ) [ ( ) ] ( )xax f x d x f x??? ? ??且
推论 1 若 ?(x)在 [a,b]上连续,?(x)在 [a,b]上可导,则
() ( ) [ ( ) ] ( )x
a
d f t d t f x x
dx
? ?? ????
(被积函数代积分上限且积分上限对 x求导 )
() ( ) ( ),( ),x
a f t d t Y u u x
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() ()x
a
d d Yf t d t
d x d x
? ??则 [ ( ) ] ( )f x x?? ???dY du
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( ) ( )f u x? ???
4
推论 2若 ?(x)在 [a,b]上连续,
12( ),( )xx??
2
1
()
2 2 1 1() ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )
x
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2 2 1
1
( ) ( ) ( )
() ( ) ( ) ( )
x x x
x c cf t d t f t d t f t d t
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? ??? ? ?因
例 7 计算下列各题
2
0(1 ) c o s
xd t d t
dx ?
22
0 c o s c o s
xd t d t x
dx ??解
证
在 [a,b]上可导,则
2
1
()
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x
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5
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2
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2 2 2s in 2 s in ( 1 )x x x? ? ?
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2
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6
例 8 设 ?(t)是正值连续函数,( ) ( ),a
af x x t t d t????? 且
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?????
? ???证
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaaxf x t d t x x x x x x t t d t x x? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???
曲线在 [–a,a]上是上凹的,
x∈ [– a,a](a>0).证曲线 y =?(x)在 [– a,a]上是上凹的,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaaxf x x t t d t t x t d t???? ? ? ???
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( ) ( )xaaxt dt t t dt???????
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0f x x x x? ? ??? ? ? ? ?
7
定理 6 (原函数存在定理 )
( ) ( )xax f t d t?? ?
注 3 由定理 5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数,
若 ?(x)在 [a,b]上连续,则
的一个原函数,
是 ?(x)在 [a,b]上
注 4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性,又揭示了
定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数
来计算定积分的公式,
8
二, 牛顿 — 莱布尼兹公式
定理 7(微积分学基本定理 ) 若 ?(x)在 [a,b]上连续,而
F(x)是 ?(x)在 [a,b]上的一个原函数,则
( ) ( ) ( ) ( )ba bf x d x F b F a F x a?? ? ??
C =Φ(a)–F ( a)= –F(a),
( ) ( )xax f t d t?? ?
( ) ( ) ( ) ( )ba bf x d x F b F a F x a?? ? ??
证 因 F(x)与 均为 ?(x)的原函数,所以有
于是 Φ(x)= F(x)–F ( a)
令 x=b,则上式有 Φ(b) = F(b)–F(a),故
Φ(x) = F(x) + C
( ) ( ) 0,aaa f t dt? ? ??由得
9
注 5上式就是牛顿 — 莱布尼兹公式,
由牛顿 —莱布尼兹公式知, 要求 ?(x)在 [a,b]上的定积分
( ),ba f x d x? 只须先求出 ?(x)在 [a,b]上的一个原函数 F(x),再
计算 F(x)在 [a,b]上的改变量 F(b) – F(a)即可,
注 6牛顿 —莱布尼兹公式当然也可 ( ) ( ( ) )b
a
bf x d x f x d x
a???
它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方
法,而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系,
这样记,
10
例 9 计算下列定积分
3(1) b
a x dx?
1
3
1 (2 ) dx
x
?
??
1
3
11 ln
3d x xx
?
?
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4
3
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441 ()
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3
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此定积分的被积函数含参数 t并带绝对值, 而 t 的
取值又无限制,它既可在 [0,3]之内,也可在 [0,3]之外,
故应分以下三种情况讨论,
11
) 0 3,,t x x tb t x t x t x t???? ? ? ? ? ??
?
当 时 由 得
33
00 ( ) ( )
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33
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?故
319 932tt? ? ?
12
2 ( ),baI x d x a b? ? ??令则
) 2,2,a a b x b? ? ? ?当 时 由 得
( 4 ) 2ba x d x??
) 2,2 2,b a b x x? ? ? ?当 时 由 在 两侧异号 得
此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分,
当 ∣ x–2∣ =0时,得 x = 2.
1( 2 ) ( ) ( 4 )
2
b
aI x d x b a a b? ? ? ? ? ??
2
2( 2 ) ( 2)
b
aI x dx x dx? ? ? ???
224 2 2
2
abab ?? ? ? ?
因此时的区间 [a,b]位置没定,故它可能在被积函数的零
点的两侧,也可能在零点之间,亦可能包含零点,
13
) 2,2,c a b x? ? ?当 时 由 得
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2ba baI x d x b ?? ? ? ? ??
22
1
( ) ( 4 ) 2
2
4 2 2 2
2
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例 10设 12
0( ) 2 ( ),f x x f x d x?? ?
解 令 1
0 ( ),f x d x A??
2( ) 2,f x x A??
两边从 0到 1积分,得
11 2
00( ) ( 2 )f x d x A x A d x? ? ???
1 2
3 A??
1
3A ??于是
则
求 ?(x).
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3f x x??故
