1
§ 4.6 函数作图的基本步骤与方法
利用函数的性态如函数的单调性、极值、凹性、
拐点、渐近线及基本性质如周期性、对称性等 ; 再
利用描点 (特殊选点 )作图,就可比较准确地作出函数图
形, 描绘函数图形的 一般步骤是,
(1)确定函数 y = ?(x) 的定义域,讨论其周期性和对称性 ;
(2)确定曲线的渐近线 ;
2
( ) 0fx? ? ( ) 0fx?? ?
()fx? ()fx??
(3)求 和 在函数定义域内的全部
实根及 和 不存在的点,并用这些根和点
把函数的定义域分成几个子区间,以确定函数的单
调区间、凹性区间、极值和拐点,
(4)根据需要,在各部分子区间内选取图形上的关键
点 (如极值点、拐点与坐标轴之交点及间断点等 ),并
补充一些各部分区间内的特殊点,有利于决定图形变
化趋势的点,
(5)根据以上讨论,列表、描点并作出函数 y = ?(x)的
图形,
3
例 32 作函数 的图形,221()
2 ?
x
f x e ??
解 (1)定义域 (,)D ? ?? ??
(2)因 ?(–x)= ?(x),则 ?(x)为偶函数,其图形关于 y 轴对
称,从而只讨论 ?(x) 在 的情形[0,)??
2
21( 3),l i m 0
2 ?
x
x
xe ?
? ? ?
? ?? ?当时
0y?? 是曲线的一条水平渐近线
2
2( 4) ( ) 0,
2 ?
xx
f x e ?? ? ? ?
令 0x ?得唯一驻点
2
2( 1 ) ( 1 )( ) 0,1,
2 ?
xxx
f x e x????? ? ? ?
令
得
4
x 0 (0,1) 1
0 – – –
– – 0 +
?(x) 极大值 拐点
(1,)??
()fx?
()fx??
1(1,)
2 e?
1
2?
1 [0 ) ( 0,1 ) ( 1,),x ? ? ? ? ?用点 将区间, 分成两个子区间 与 并列表如下：
5
11( 5 ) ( 0,),( 1,)
22?? e描出点
(6)综合上述讨论,可画出函数
在 y 轴右侧的图形,再按图形
关于 y轴对称,画出 y轴左侧的
图形, 如左图,
o x
y
1 2–1–2
0.1
0.2
0.3
0.4?
??
6
例 32 作函数 的图形,
2
2()
1
xf x x
x?? ?
(,1 ) ( 1,1 ) ( 1,)D ? ?? ? ? ??
(0,1 ) (1,)??
2( 3 ) 1,,1, 4x y x b a c? ? ? ? ?当 时 所以 是一条铅垂渐近线
2 4 2
2 2 2 2
2 2 4 1( 4 ) ( ) 1
( 1 ) ( 1 )
x x xfx
xx
? ? ?? ? ? ?
??
解 (1)定义域
(2) x = ± 1 为无穷间断点, 而 ?(–x) = –?(x),则 ?(x)为奇函数,
其图形关于原点对称,从而只讨论 ?(x)在 的情形,
2
( ) 2lim lim ( 1 ) 1
1xx
fxa
xx? ? ? ?? ? ? ??
2
2lim [ ( ) ] lim ( ) 0
1xx
xb f x a x x x
x? ? ? ?? ? ? ? ? ??而
yx?? 是曲线的一条斜渐近线
2
23
4 ( 3 )()
( 1 )
xxfx
x
??? ?
?
7
( ) 0,2 5 2 ( 3 )f x x y? ? ? ? ? ?令得
x 0 (0,1) 1 (1,2) 2
– – 0 +
0 – + +
?(x) 拐点 间断 极小值
(2,)??
()fx?
()fx??
(5)由以上讨论,结合 ?(x)的奇偶
性,就可画出函数的完整图形,
o x
y
1 2–1–2
1
2
3
4
由对称性知,点 (0,0)为拐点,
( ) 0,0,,f x x?? ??令 得 列表讨论如下
作业, 讨论函数 的
单调性、极值、极值点、凹
性及拐点,
xy xe ??