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§ 9.5 广义二重积分
即可分为积分区域无限与被积函数 无
定义 3 设 D是 xoy面上的无界区域,?(x,y)在 D上连续且 G
l i m (,)GD
G
f x y d x d y I? ???
为 ?(x,y)在无界区域 D上的二重积分,并I
类似于一元函数的广义积分,对于二元函数也有两
类广义二重积分,
界两种,下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法,
是 D上的任意一个闭区域上,若 G以任何方式无限扩展且
趋于 D时,均有
则称此极限值
记为
(,) l i m (,)GD
DG
f x y d x d y f x y d x d y???? ??
2
存在时,则称广义二重积分I
(,)
D
f x y d xd y??
注 1 由定义 3知,要求广义二重积分,只需仿照一元 广
收敛 ;否则,称广义二重积分发散,
再求二重极限即可,
当极限值
义积分,先求二重积分,
222 2,,
,.
xy
D
e d x d y D x y
xy
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??例 计算 其中 是整个 平面
即
, 0,0 2x y D r ??? ? ? ? ? ?解 整个 平面用极坐标表示是
2 2 2 2 x y x y
D
e d x d y e d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ?2
2
00
rd e rdr? ? ?? ?? ??
22
00[ l i m ]
b r
b e r dr d
? ??
? ??? ??
212 l i m ( 1 ),
2
b
b e??
?
? ? ?? ? ? ?
3
4
注 3 若在普哇松积分 中令
12,xy?
2
21 2,xe dx ??? ?
?? ??则
2
21 1,
2
xe d x
?
?? ?
?? ??则
此式中的被积函数 2
21()
2
xxe?
?
??
标准正态分布的密度函数,
2xe dx?? ?
???
是统计学中常用的
5
22
12
22
12
( ) ( )
22
12
12
124 ( 0,0)
2
xx
e dx dy
??
?? ??
? ? ?
????
? ? ? ?
? ? ? ?
????例 计算
12,,
22
xyuv ??
??
????解令 11
22
2
2
x
y
??
??
? ???
? ??
??
则得
12
(,) 2.
(,)
xyJ
uv ??
?? ? ?
?
22
12
22
12
( ) ( )
22
12
1
2
xx
e dx dy
??
??
?? ?
????
? ? ? ?
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? ??
221 uve d u d v
?
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6
谢谢 !
祝同学们暑假愉快 !