1
§ 9.2 在直角坐标系下二重积分的计算
何意义来寻求二重积分的计算方法,
设曲顶柱体的曲顶是 z=?(x,y)(≥0),底是区域 D,
z
yO
x
D
z=?(x,y)
1()x?
2()x?b
a
D是 xy平面上由直线
12( ),( )y x y x????与曲线
所围成,
x=a,x=b(a<b)
若直接用二重积分的定义去计算它的值，将是复
杂和困难，甚至是不可能的,下面利用二重积分的几
2
12( ) ( )x y x
a x b
??????
???
即 D为
为了确定曲顶柱体的体积 V,在 x轴上任取一点 x,过该点
x
y
O
2()yx??
1()yx??
a bx
D
为了确定积分区域 D的范围,在 x轴上任取一点 x,过该
点作一条垂直于 x轴的直线去穿区域,
之交点不多于两个,即一进一出,
与 D的边界曲线
此区域为 X― 型区域,
3
z
yO
x
D
z=?(x,y)
1()x?
2()x?
x
S(x)
b
a
体积为定积分
则由定积分知,
()baV S x d x? ?
因对于区间 [a,b]上每一个
固定的 x,S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形
的曲边 是由方程 z=?(x,y)确定的关于 y的一元函数,
12( ) ( )xx??到
而底边是沿着 y轴方向从 的线段,
作一个垂直于 x轴的平面 去截曲顶柱体 ;
其截面面积设为 S(x),
平行切面截面面积已知的立体的
4
z
y
z=?(x,y)
1()x? 2()x?
S(x)
2
1
()
()(,) [ (,) ]
bx
axD f x y d f x y d y d x
?
?????? ? ?
故由曲边梯形的面积公式得
2
1
()
()( ) (,)
x
xS x f x y d y
?
?? ?
或称 先对 y再对 x的累次积分,常简写为
2
1
()
()(,) (,)
bx
axD f x y d d x f x y d y
?
?? ??? ? ?
上式右端的积分称为二次积分
5
?(x,y)中的 x看成常数,
12( ) ( )xx??到
此时积分的结果为
量 x的函数 ;
2
1
()
() (,)
x
x f x y d y
?
??
再将此函数 对 x在区间 [a,b]上求定积分,
注 2 去掉上面讨论中的限制 ?(x,y)≥0,等式照样成立,
xO
D
2()xy??
1()xy??
y
注 1 此式告诉我们,在计算二重积分时,首先把被积
将 ?(x,y)对 y从
作定积分 ;
函数
=S(x)是变
在 y轴上任取一点 y,过该点作一条垂直于 y轴的直
交点不多于两个,即一进一出,
与 D的边界曲线之
此区域为 Y― 型区域,
注 3
线去穿区域,
y
6
注 4 同理：当被积函数是 z=?(x,y),积分区域 D(Y― 型
12( ) ( )y x y
c y d
??????
???
即 D为
1 ( ),xy??
此时,?(x,y)的二重积分为 先对 x再对 y的累次积分,
2
1
()
()(,) (,)
dy
cyD f x y d d y f x y d x
?
?? ??? ? ?
y=c,y=d(c<d)与曲线
xO
D
d
c
2()y?
1()y?
y
区域 )是 xy平面 上由直线
2 ()xy??
常简写为
所围成,
7
注 5 若 D既不 是 X― 型区域也不是 Y― 型区域,(如图 ),
x
y
O
2D
1D
3D
1 2 3
(,) (,) (,) (,)
D D D D
f x y d f x y d f x y d f x y d? ? ? ?? ? ??? ?? ?? ??
则可将 D分成若干个部分,使每个部分不是 X― 型区域
就是 Y― 型区域,再利用二重积分对积分区域的可加性
进行计算,
8
注 6 综上所述二重积分的计算就是分别对变量 x和 y
因而应先画出积分区域 D的图形,并写出 D的边界方程,
作两次定积分的计算,
化二重积分为二次积分的关键是,
,选择积分次序和确定积分上、下限,
如何根据区域 D来确定两次定积分的上、下限 呢?
再由 D的形状找出区域 D内点的坐标所满足的不等式,
同学们会感觉困难 !
9
特殊地,若区域 D是一矩形, a≤x≤b,c≤y≤d,
(,) (,) (,)b d d ba c c a
D
f x y d d x f x y d y d y f x y d x? ???? ? ? ? ?
x
y
O
d
c
a b
即积分区域 D是一矩形时,其积分次序可交换,
则二重积分
224 ( 1 ),
D
I x y d x d y? ? ???例 计算
,1 1,2 2,D x y? ? ? ? ? ?其中 为矩形
10
12 22
12 ( 1 )I dx x y dy??? ? ???解 — — 这是先对 y再对 x的
累次积分,同学们一
定要注意
1 2 3 2
21
1[]
3x y y y d x??? ? ??
1 2
1
2 8 6 4( 4 ),
33x d x?? ? ??
21 22
21 ( 1 )I d y x y d x??? ? ???或者
2 3 2 1
12
1[]
3 x y x x d y??? ? ??
2 2
2
8 6 4( 2 ),
33y d y?? ? ??
要固定 x为常数,
对 y积分时
— — 这是先对 x再对 y的
累次积分,同学们一
定要注意
要固定 y为常数,
对 x积分时
11
5 ( 6 ),
D
x y d ?????例 计算
解 先作出区域 D的图形：
x
y
O
2D1D
?1 1
1y=x+1
y=1－ x
如果按 先对 y再对 x积分,则 D应分为
1
01:
10
yxD
x
? ? ???
? ? ?? 2
01,
01
yxD
x
? ? ??
? ???和
此时对二重积分的计算需计算两个二次积分 ;如果按
1,1 0,D y x y x y? ? ? ? ?其中 由 和 围成
12
x
y
O?1 1
1x=y
?1 x=1?y先对 x再对 y积分,则 D可表为
11:
01
y x yD
y
? ? ? ???
???
此时对二重积分的计算只需计算一个二次积分,
11,
01
y x yD
y
? ? ? ???
???解因
11
01
19( 6) ( 6),
3
y
yD x y d dy x y dx?
?
?? ? ? ? ? ??? ? ?故
13
si n6,
D
y dx dy
y??例 计算
2,D y x x y??其中 由直线 及抛物线 所围成的区域
解 (如图 )若 先对 y后对 x积分,则有
1
0
si n si nx
xD
yydx dy dx dy??? ? ?
函数表示,积分难以进行 ;故不用此法,
siny
y
x
y
O
y=x
1
1
2xy?
x
y
O
y=x
1
1
2xy?
若 (如图 )先对 x后对 y积分,则
积分区域 D为,2
01
y x y
y
? ???
???
因 的原函数不能用初等
14
2
1
0
si n si n y
y
D
yydx dy dy dx
yy??? ? ?则
2
1
0
sin y
y
y x d y
y???
1 2
0
si n ()y y y dy
y???
11
00sin siny d y y y d y????
1 s i n 1 0, 1 5 8 5,? ? ?
并请同学们注意：凡遇 22s i n,s i n,c o s,x d x x d x x d x
x? ? ?
1
,lnx dxe dx x??22,,xxe d x e d x???
等不能用初初等函数表示
的积分,均须更换积分次序,但 在更换积分次序时,必须
15
先画出积分区域 D的图形,再 根据积分次序的要求,重新
写出 D的边界方程,
2
2
11
117 ( 1 ), (,),
x
xd x f x y d y
?
? ? ???例 更换 的积分次序
2211
,
11
x y xD
x
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
解 由题知积分区域 满足
y
x
1
1o
21yx?? ?
21yx??
?1
?1
16
改变积分次序后区域
1
11,
01
y x yD
y
? ? ? ? ? ??
? ???
?
22
2
11,
10
y x yD
y
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
y
x
2D
1D
1
1o
21xy? ? ?
1xy?? ? 1xy??
21xy??
?1
?1
2
2
11
11 (,)
x
xd x f x y d y
?
? ? ???则
2
2
1 1 0 1
0 1 1 1 (,) (,)
yyd y f x y d x d y f x y d x??
? ? ? ? ???? ? ? ?
12 D D D??
17
2 121 3 ( 3 )
0 0 1 0( 2 ), (,) (,),
xxd x f x y d y d x f x y d y??? ? ? ?
12,D D D??解 积分区域 且
x
y
2D1D 31o
2
1
0,
01
yxD
x
? ???
???
2
10 ( 3 )
, 2
13
yx
D
x
? ? ? ??
?
? ???
且
,D改变积分次序后的区域
xy?
x=3?2y
32
01
y x y
y
? ? ? ??
? ???
?
2 121 3 ( 3 )
0 0 1 0 (,) (,)
xxd x f x y d y d x f x y d y??? ? ? ?则
1 3 2
0 (,),
y
yd y f x y d x
?? ??
18
211
08,
y
xdx e dy
???例 计算
解 因 的原函数积不出来,按先对 y后对 x的积分次 序2ye?
x
y
O 1
1由题意知其 X― 型区域为：
(Y― 型区域 )
1
01
xy
x
????
???
0
01
xy
y
???? ?
???
2 2 21 1 1 1 1
0 0 0 0
1 ( 1 ),
2
yy y y
xd x e d y d y e d x y e d y e
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?则
无法计算出结果,故须改变积分次序,
另解,利用分部积分公式,令 21,y
xu e d y v x
????
则有
19
221 1 11
0 0 ( )
yy
xxx e dy x d e dy
????? ? ?
221 1 1 1
00 ( )
yy
xxd x e d y e d y d x
???? ? ? ?
21
00
xxe d x??? ?
注 7 当积分区域 D是一矩形,a≤x≤b,c≤y≤d,且
?(x,y)=g(x)h(y)时,
(,) ( ( ) ) ( ( ) )bdac
D
f x y d x d y g x d x h y d y???? ? ?
则二重积分
20
9 ( ),( ) [,],f x g x a b例 设 均为 上的严格单增的连续函数
,( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x d x f x d x g x d x??? ? ?求证
C ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ?证令
C ( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a ad y f x g x d x f y d y g x d x??? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a af x g x d x d y f y g x d x d y??? ? ? ?
[ ( ) ( ) ] ( )bbaa f x f y g x dx dy????
则
21
[ ( ) ( ) ] ( )bbaaC f y f x g y d x d y????同理
2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]bbaaC f x f y g x g y d x d y? ? ? ???
( ),( ) [,],f x g x a b而 均为 上的严格单增的连续函数 则
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0 0f x f y g x g y C? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x dx f x dx g x dx??? ? ?
21 0 2,y x y x? ? ?例 求由曲线 与 所围成平面图形的面积
22
x
y
O
y=x
2
?1
2 2yx??
?2
x
y
2D
1D
1o
2yx?
?1
2
2D
,D解 由题知积分区域 满足
2
22 2
1 2 1
9 ( 2),
2
y
yD d dy dx y y dy? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?则
2 2
12y x yy? ? ? ?? ? ? ?
?
? ?21 1,(,) 1,0 2,
D
y x d x d y D x y x y? ? ? ? ???例 计算 其中
22
2
22
y x y x
yx
x y y x
? ???
?? ?
????
解因
23
1 2 3
2 2 2
D D D D
y x dx dy y x dx dy x y dx dy
?
? ? ? ? ??? ?? ??
2
2
1 2 122
1 1 0
x
xd x y x d y d x x y d y??? ? ? ?? ? ? ?
5,
32
???
x
y
2D
1D
1o
2yx?
?1
2
2D