1
§ 2.4 极限存在准则与两个重要极限
本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重
要极限,
一,极限存在准则
准则 ? (夹逼定理 )若,
均有
0
0(,) ( )x U x x M?? ? ?或
则有 lim ?(x) = A.
g(x) ≤ ?(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A,
2
证明 由 lim g(x) = lim h(x ) = A,对 则总存
在那么一个时刻,在此时刻以后,同时有
0,???
| g(x) –A| < ε 与 | h(x) –A| < ε 成立,即
A –ε < g(x) < A + ε 与 A –ε < h(x) < A + ε
从而在此时刻以后,就有 | ?(x) – A|< ε,故
lim ?(x) = A.
而 g(x) ≤ ?(x) ≤ h(x),
则 A –ε < g(x) ≤?(x) ≤ h(x) < A + ε
对于此定理的理解关键在于“夹”、“逼”二字,对
于数列,定理仍成立,
3
例 15,利用夹逼定理证明
1( 1 ), l i m 1 ; ( 2 ), l i m 0
!
n
nnn n n? ? ? ???
1 ), 1,( 1 ) nn nnn x n x? ? ? ?证 ( 令 则 ；
22( 1 ) ( 1 ) 1
2 ! 2
n
n n n n
n n n nn nx x x x??? ? ? ? ? ?而
2 220 l i m 0
1 1n n nnx x xn n ??? ? ? ? ? ? ?? ?
l i m l i m ( 1 ) 1,n nnnnx? ? ? ?? ? ? ?
( 2 ), !nnn n n? ? ?证 1 1 1
!nn nn??
11l i m 0,l i m 0
nnn n? ? ? ???而
1lim 0
!nn n????
4
若 {an} 单减,{an}有两种可能,即移向负无穷远或无
限接近某一定点 A,因 {an}有下界 M,则 存在且不
小于 M.
M
A? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
准则 ?? (单调有界准则 ) 若数列 {an} 单调有界,则
lim nn a??
若 an 单增,an 有两种可能,即移向无穷远或无限接
近某一定点 A,因 an 有上界 M,则 存在且不超过 M.lim
nn a??
o
1a 2a
A
lim nn a??
1a2a
o
M
其理论证明 (略 ).从几何上说明,
存在,
5
如数列 1
{}nn? {}1nn?
由准则 ?? 知 1
li m li m 1nnnnnn? ? ? ?? ?及
1lim 1,lim 1,
1nn
nn
nn? ? ? ?
? ??
?
及 分别是单调减少且下界
为 1及单调增加且上界为 1的数列,
存在, 实际上
6
二,两个重要极限
0
si n( 1 ), l i m 1
x
x
x? ?
0
s in 0lim ( " ",)
0??
?
? 型 三 统 一 或
1sin
0 lim ( " ",)
1 0? ? ?
?
?
型 三 统 一
从而可求
0 0 0
s in s in 3 s in 3li m ; li m ; li m,
22x x x
xxx
x x x? ? ?
1
A
o BC D
?
x?证明 因 s in( ) ( )xf x f xx? ? ?
故只须讨论 x > 0 的情形,
在如右图的单位圆中,设 ( 0 )
2AO B x x
?? ? ? ?
而 ΔAOB的面积 < 扇形 AOB的面积 < ΔAOD的面积
从而 1 1 1s in t a n
2 2 2x x x? ? ?s in t a n ( 0 )2x x x x
?? ? ? ?
7
从而
1 s in1 c o s 1
s in c o s
xx x
x x x? ? ? ? ?
2
22sin0 1 1 c o s 2 sin 2 ( ) 0
2 2 2
x x x xx
x? ? ? ? ? ? ? ? ?
00
s in s inlim ( 1 ) 0 lim 1
xx
xx
xx??? ? ? ?
例 16,求
0
t a n( 1 ), lim ;
x
x
x?
同除以 sinx 得
故
20
1 c o s( 2 ), lim ;
x
x
x?
?
00
t a n s in 1,li m li m 1
c o sx
xx
x x x? ? ?? ? ?解
22
2
220 0 0 0
2
2 s in s in s in1 c o s 1 1 1
2 2 2lim lim lim [ lim ]
2 2 2()
22
x x x x
x x x
x
xxxx? ? ? ?
?
? ? ? ?解
8
2
20
sin 2( 4 ), lim ;
c o sx
x
xx?
1( 3 ) lim sin ;
x x x??
1
s in1
lim s in lim 1
1xx
xx
x
x
? ? ? ?
??解
0
t an( 5 ), lim ;
t anx
xx
xx?
?
?
22
2200
si n 2 si n 2 1li m 4 li m 4
c os ( 2 ) c osxx
xx
x x x x?? ? ? ?解
0
a r c s in( 6 ), lim,
3x
x
x?
00
t a n
1t a n
lim lim 0
t a nt a n
1
xx
x
xx x
xxx
x
??
??
??
? ?
解
00
a r c s in 1li m a r c s in li m
3 3 s in 3xt
xttx
xt?? ??解 令
9
12, li m ( 1 ) x
x ex?? ??
1lim ( 1 ) ( " 1 " ) ??
? ? ? ? ? 型, 三 统 一 或
1
0 l i m ( 1 ) ( " 1 ",)
??
?? ?? 型 三 统 一
考虑 x 取正整数 n 且趋于 ∞ 时的情形, 下先证
存在,1li m (1 )
n
n n?? ?
2
1 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 1 1( 1 ) 1
1 ! 2 ! !
n
n n
n n n n na
n n n n n
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 ! 3 ! !
n
n n n n n n n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
同理 1
1
1 1 1 1 1 2( 1 ) 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1 2 ! 1 3 ! 1 1
n
na n n n n
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
1 1 2 1 1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
! 1 1 1 ( 1 ) ! 1 1 1
nn
n n n n n n n n
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
10
从而
因
1 1 1 ( 1,2,,1 )1kk knnn? ? ? ? ? ??
1na?
对任意的 n有
1 1 1
11
2 ! 3 ! !
1 1 1
1 1
1 2 2 3 ( 1 )
1 1 1 1 1
1 1 ( 1 ) ( ) ( )
2 2 3 1
1
3 3,
n
a
n
nn
nn
n
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
故 {an} 有上界,1li m (1 ) n
n n?? ?
且 多了最后一项,从而 {an} 单增,
注,这个极限值被瑞士欧拉首先用字母 e(是一个无理
数,其值用 e = 2.7182818284……) 来表示,即
1lim( 1 ),n
n en?? ??
存在,
11
利用 准则 ? I 可证明 1
l i m ( 1 ),xx ex?? ??
例 17.求
551( 1 ), li m ( 1 ) x
x ex?? ??
若 lim ?(x) = 0,lim g(x) = ∞ 且 lim ?(x)g(x) = m,则
()lim[ 1 ( ) ] g x mf x e??
为使计算简化,我们给出 (不证明 )上面公式的一
个对, 1∞” 型非常适用的结论,
3e??
3( 2 ), lim ( 1 ) x
x x??
?
12
例 18.求下列极限
521( 1 ), lim ( 1 ) ;x
x x
?
??
?
1
0( 2 ), l i m ( 1 2 ) ;
x
x x? ?
1( 3 ), lim ( 1 ) ;
2
x
x x?? ? ?
5 2 5 511,lim ( 1 ) [ lim ( 1 ) ]xx
xx exx
?
? ? ? ?? ? ? ?解
11
222
00l i m ( 1 2 ) [li m ( 1 2 ) ]
xx
xx x x e
???
??? ? ? ?解
( 2 ) 211lim ( 1 ) lim ( 1 )
22
xx
xx exx
??
? ? ? ?? ? ? ???解
13
3
1
0
1 t a n( 4 ), l i m ( ) ;
1 s i n
x
x
x
x?
?
?
33
11
00
1 t an t an si n l i m ( ) l i m ( 1 )
1 si n 1 si n
xx
xx
x x x
xx??
?? ??
??解
30
20
t an si n 1
l i m
1 si n
si n 1 c os 1 1
l i m
c os ( 1 si n ) 2
x
x
xx
xx
xx
x x x x
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
而
1
2
0
1 t a n lim ( )
1 sinx
x e
x?
???
?
14
21( 5 ), lim ( c o s ),x
x x??
2
2
2
2 2
2 2
11
lim ( c o s ) lim ( c o s )
1
li m ( 1 si n )
x
x
xx
x
x
xx
x
? ? ? ?
??
?
??
解
2
2 11 lim ( si n )
22x
x
x?? ? ? ? ?而
2 121 lim ( c o s ) x
x
ex ?
??
??
15
例 19,已知 2 2 0 0 01001li m ( ),
5
xc
x
x e
x
?
??
? ?
?
求 c.
2 2 0 0 0
5 1 0 0 6
2
20001 0 0 6 5
1001
l i m ( )
5
10 06 10 01
li m ( 1 ) li m ( )
55
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ?
??
解
2 0 1 2c??
5 2 0 1 2
20121 0 0 6 51006 = lim ( 1 )
5
xx
cx
x
eex
? ?
?
??
? ? ??
16
例 20,对第一章中的例 19,若即时产生即使结算 (按连
续复利计算 ),求银行 t期末的本利和,按连续复利 (将利
息记入本金,时刻结算本利和的方法 )计算,实质上就是
每期的结算次数 m→∞ 时的本利和,即
00li m ( 1 )
m t r t
m
rA A e
m?? ??