1
定理 4,设函数 y =?(x)在 x 的某领域内连续且严格单
调,y =?(x) 在 x 处可导,且 f′(x)≠0,则 y=?(x)的反
函数 x=φ(y) 在 y 处可导,且
11( ) ( )
( ) ( )y f xf x y? ???????或
§ 3.3 反函数和复合函数的求导法则
一,反函数的求导法则
证明 设 x = φ(y) 在点 y 的改变量是 Δy ≠ 0.
则 Δx = φ( y + Δ y ) –φ(y),Δy = ?( x + Δ x ) –?(x)
2
由 y = ?(x) 的连续性和单调性及第二章定理 14知, 反
函数 φ(y)也连续和单调,则当 Δ y ≠ 0 时,有 Δx ≠ 0
1,x
yy
x
???
??
?
0 0yx? ? ? ?当 时, 必 有
再由 y = ?(x) 的可导性,则
00
11( ) l i m l i m
()yx
xy
yy f x
x
?
? ? ? ?
?? ? ? ?
? ??
?
1 ( ) 0,( ) 0 ( ),
()f x y f x y? ?? ? ?? ? ? ? ?而 则
3
例 8,求函数 y = ax (a>0,a≠1)的导数,
1
ln
11 ( ) ln ln,
( log )
xx
a ya
a y a a ay? ? ? ? ??解
例 9,求下列函数的导数,
(1) y = arc sin x (2) y = arc cos x
(3) y = arc tan x (4) y = arc cot x
( 1 ) a r c s in ( 1 1 )
s in ( )
22
y x x
x y y??
? ? ? ?
? ? ? ?
解 的 反 函 数 是
( ),xxee? ?特 别 地
11( s in )
( s in ) c o sa r c x yy? ?? ?
2
1 ( s in ) ( 1 1 ),
1
a r c x x
x
? ? ? ? ?
?
即
22
11 ( 1 1 )
1 si n 1
x
yx
? ? ? ? ?
??
4
1( 3 ) ( t a n )
( t a n )a r c x y? ? ?2 2 2
1 1 1
s e c 1 t a n 1y y x? ? ???
2
1 ( c o t ),
1a r c x x? ?? ?同 理
2
1 ( c o s ) ( 1 1 )
1
a r c x x
x
? ? ? ? ? ?
?
同 理,
5
定理 5,如果函数 u = φ(x)在点 x处可导,y=?(u)在对
应的点 u 处可导,则复合函数 y=?[φ(x)] 在点 x 处也可
导,且其导数为 { [ ( ) ] } ' ( ) ( ) f x f u x?? ????
,x x u u??证 明 设 取 得 改 变 量 中 间 变 量 有 相 应
二,复合函数的求导法则
d y d y d ud x d u d x??即 x u xy y u? ? ???或
(函数对中,中对自 )
,yy??函 数 有 相 应
u 0,,y y ux u x? ? ?? ? ? ?? ? ?则 当 时 有
( ) 0 0u x x u?? ? ? ? ? ?由 可 导 则 必 连 续 当 时
6
0 0 0l i m l i m l i m ( ) ( )x u x
y y u f u x
x u x ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ??? ? ?
? ? ?
[ ( ) ]
{ [ ( ) ] } ' ( ) ( ), 0 ( )
( ) 0 ( ) ( ) 0, [ ( ) ]
( ),{ [ ( ) ] } ' 0,
y f x x
f x f u x u u x
x f u x f x
f c f x
?
? ? ?
? ? ?
?
?
??? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
??
则 复 合 函 数 在 点 处 可 导 且
而 当 时,
为 常 数 而
为 常 数 从 而
注 1,.
xuyy??与 是 不 同 的
注 2,复合函数求导的关键在于要正确地设出“中
间变量” (会分解 ).
7
例 10.设
25( 2 5 ),dyyx
dx??, 求
2 5 5 2 ( 2 5),2 5,y x y u u x? ? ? ? ?解 可 看 成 由 复 合 而 成 的
求下列函数的导数
4 5 4d y d y d u ux
d x d u d x? ? ? ? ?则
42 0 u x u 回 代 242 0 ( 2 5)xx ?
2( 1 ) c o syx? 2 ' ( c o s ) ' 2 c o s ( c o s ) 'y x x x? ? ?解
t a n t a n ' ( ) ' ( t a n ) 'xxy e e x? ? ?解
22
4
1 ' ( s in ) ' ( ) '
1
y a r c x x
x
? ? ?
?
解2( 3) s i ny a r c x?
t a n( 2 ) xye?
2 c o s s i n s i n 2x x x? ? ?
2 t a ns e c xxe??
4
2
1
x
x
?
?
8
0,[ l n ( ) ] 'x y x?? ? ? ?解 当 时
1 0,( l n ) ; x y x
x??? ? ?当 时
1 ( l ),x
x? ?即
l n l n xxx e e?????解
l n l n( ) ( ) ( l n )xxx e e x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
( 4 ) ln ( 0 )y x x??
( 5 ) ( )y x R? ???
11xx
x
???? ?? ? ? ?
11
xx
? ?
?
1( 6 ) t a ny
x?
1 1 1' ( t a n ) ' s e c ( ) 'y
x x x??解 2
11s e c
xx??
9
2( 7) 1yx?? 2
2
2
( 1 ) '' ( 1 ) '
21
xyx
x
?? ? ?
?
解
( 8 ) xy x e ??? ( ) '' ( ) '
2
x
x
x
xey x e
xe
?
?
?
?? ? ?
?
解
2( 9 ) 1
xy
x? ?
22
22
' 1 ( 1 ) '' ( ) '
11
x x x x xy
xx
? ? ???
??解
2
2
2
23
2 2
1
11
1
( 1 )
x
x
x
x
x
??
???
?
?
( 10 ) l n si nyx? ( sin ) '' ( ln sin ) '
sin
xyx
x??解
c os ( ) '
si n
x x
x??
1 c ot
2 xx?
1
2
x
x
e
xe
?
?
??
?
21
x
x
??
?
10
例 11,设 ?可导,求
的导数
2 ()( 1 ) ( ),( 2 )x e f xy f e x y a? ? ?
( 1 ) ( ) ( )x e x edy f e x e xdx ??? ? ? ?解 1( ) ( )x e x ee e x f e x? ?? ? ?
2 ( ) 2( 2 ) l n [ ( ) ]fxy a a f x???? 2 ()2 ( ) ( ) l nfxf x f x a a??
2( 1 1 ) l n (,1)y x x? ? ?
2
2
2
( 1 ) '' [ l n ( 1 ) ] '
1
xxy x x
xx
??? ? ? ?
??
解
2
2
1 ( 1 ) '
1
x
xx
???
??
2
2
1
1
1
x
x
xx
?
??
?? 2
1
1 x? ?
11
三,基本初等函数的导数公式
1
0
()
C
xx??? ?
? ?
? ?
( ) lnxxa a a? ?
2
2
( si n ) c os
( c os ) si n
( t an ) se c
( c ot ) c sc
( se c ) se c t an
( c sc ) c sc c ot
xx
xx
xx
xx
x x x
x x x
? ?
? ??
? ?
? ??
? ?
? ??
2
2
2
2
1
( a r c si n )
1
1
( a r c c o s )
1
1
( a r c t a n )
1
1
( c o t )
1
x
x
x
x
x
x
a rc x
x
? ?
?
? ??
?
? ?
?
? ??
?
1(ln )x
x? ?
()xxee? ?1(lo g )
lna x xa? ?
( ) 1x ? ? 1()
2x x? ?
1
2 1()
2x xx
? ? ??
2
11()
x x? ??
结论, 有了这些公式和求导法则,可证明所有的初等函
数在其定义域内皆可导,