1
第二章 函数的极限与连续
§ 2.1 数列的极限
§ 2.2 函数的极限
§ 2.3 极限的运算
§ 2.4 极限存在的准则与两个重要极限
§ 2.5 无穷小量与无穷大量
§ 2.6 函数连续的概 念
lim nn yA?? ?
2
第二章 极限与连续
极限概念是微积分学的基本概念, 极限是研究变量
变化趋势的重要工具,后面要用到极限的思想和方法来
研究函数的连续性、微分、积分, 连续性是函数的一种
重要性态,
§ 2.1 数列的极限
定义 1 按一定顺序排列的一列数 a1,a2,…,an,… 叫做一
个数列,数列中的每一个数叫数列的项,第 n项 an 叫数
列的一般项或通项,简记为 { an }.数列也可称作整标函数,
一、数列
3
因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上
的函数, 当自变量 n 按正整数 1,2,3,… 依次增大的顺
序取值时,函数值按相应的顺序排列成一串数,
称为一个无穷数列,简称数列,
问题,什么是有界数列呢?
0,,( ),M n N f n M? ? ? ? ?恒 有
( 1 ),( 2),,( ),f f f n
4
1 1 1 1( 1 ),,,,,
2 2 4 8n na ? 即
1 3 4 5( 2 ), 1,2,,,,
2 3 4na n?? 即
( 3 ), 2,2,4,6,8,nan? 即
1 ( 1 )( 4 ),,0,1,0,1,
2
n
na
??? 即
1 1 1 1( 5 ), ( 1 ),1,,,,
2 3 4nna n? ? ? ?即
1 2 3( 6 ),,,,,
1 2 3 4n
na
n? ? 即
( 1 ) 3 2 5( 7 ),,0,,,,
2 3 4
n
n
na
n
??? 即
例 1
5
从以上几例可以看出,随着 n 逐渐增大时,数列
有着各自的变化趋势, 当 n 无限增大时,数列 (1),(5)
,无限接近”数 0; 数列 (2),(6),(7), 无限接近”
数 1; 数列 (3), 无限增大” ; 数列 (4) 在数 0和 1间摆
动,在几何上,{ an }表示数轴上一列点,也可以把 (n,an )
看成平面上的点,
? ? ? ? ? ??o ?18
116
1
1
2n na ?
数列
o n
na 1?
? ?
? ?
6
n
na
o
?
?
1
–1 ?
?
?
?
?
4(4,)a
数 列 1( 1 ) n
na n??
o n
na
1
1
?2 ?
? ?
?
2nan?数 列
? ? ? ? ? ?1a 2a3a 4a–1 1o o? ? ? ? ?1a 2a 3a 4a
7
结论 当 n 无限增大时,数列的变化趋势有
三种情形,an 无限增大 ; an 的变化趋势不定 ; an,无
限接近”某个常数 A, 此时我们说数列 {an }当 n 无
限增大时,以常数 A 为极限,这便是数列极限的直观描
述,
()n ??
na
o n1
1
?1(1,)a
?2(2,)a
?
?
数列 1 ( 1 )
2
n
na
???
0? ?
1a
3a
2a
4a
1
8
对数列 (2)当,1
nna?? 时 无 限 接 近 于,
23
1 1,1 1 1
1 1,1 1,
nan n
aa
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
令
即从第一项后有
即无论给定多么小的正数,从某项起,以后每项都满
足 |an–1|小于给定的正数, 下面以数列 (2)来说明其含
意,
1, 1,nna n a? ? ? ?即 则当 时 可以任意小
? ? ? ? ?1a2a5a 4a1 2
9
由 ε 的任意性,不等式 |an-1|<ε 表达了 an 与 1 无限接
近,而当 n 无限增大可用 n > N 表示,
10
11 12
10 1 10 2
10
10 10 1010 1
1 1 1 1 1
,1 10,1,1,
10 10 10 10
1 1 1 1 1
,1 100,1,1,
100 100 100 100
1 1 1 1
,1 10,1,
10 10 10
n
n
n
a n a a
n
a n a a
n
a n a
n
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
令 有
令 有
令 有
继续下去,无论多么小的正数 ε 都可以找到相应的一个
正整数使得从第 N 项以后 (n > N)各项都满足 |an-1|<ε
即
1[ ],N
?? 12
1,1,.NNaa ????? ? ? ?
10
对 使得当 n > N时,恒有 |an-1|<ε 成立, 0,,N?? ? ?
定义 2 (,ε— N”) 对于数列 {an}及常数 A,如果
0,,N?? ? ?
naA ???
从而当 n→∞ 时 an={1+1/n} 以 1为极限 ?
则称数列 {an}在 n→∞ 时以常数 A为极限,也称数列
收敛于 A.记
li m nn aA?? ? 或 ()na A n? ? ?
否则说数列发散,
当 n > N时,有
11
例如数列 (1),(5)和 (6) 收敛于 0; 数列 (2),(7)收敛于 1;
数列 (3),(4)发散,记为
注,定义中 ε 是用来刻划 an与 A的接近程度的 ; an与 A
要多么接近就有多么接近,
而 N与 ε有关,一般 ε 越小,N越大 ; 由于数列极限是数列
项的“变化趋势”,所以只需考查“充分大后面”即 (N项
以后 )各项是否满足不等式 |an-A|<ε即可
1lim 0,
2 nn?? ?
1l i m ( 1 ) 0,n
n n?? ?? li m 1,1n
n
n?? ??
1li m (1 ) 1,
n n?? ??
( 1 )l i m 1,n
n
n
n??
?? ?
12
因不等式 |an-A|<ε (n > N)可改写成 A-ε<an<A+ε
(n > N),则
几何意义
(1) 若把 an 看成数轴上的点,在数轴上任意取定 A的
ε 邻域,aN 以后的所有点都落在 A 的 ε 邻域内,
2
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
A+ε
A
A–ε1a 2a3a 4a
Na2Na ?1Na?
13
??
(2) 若把 (n,an) 看成平面上的点,在平面上取两直线
y=A–ε 和 y=A+ε; 当 n > N时,所有点 (n,an)都落在两
直线所形成的带形区域内,如图
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
??? ???
??? ????
A–ε
A+ε
A
N no
na
14
(a) 由 |an-A|<ε 解出 n > f (ε),取 N = [f (ε) ];
(b) N 不唯一, 求 N 可采用放大不等式,
例 2 用数列极限定义证明
23( 1 ), lim 2 ;
( 2 ), lim 0 ( 1 ),
n
n
n
n
n
pp
??
??
? ?
??
注,用, ε— N” 定义证明数列极限需注意,
15
0,
2 3 3 3
2,
3
,
n
n n n
n
?
?
?
??
??
? ? ? ?
?
证 ( 1) 对 要 使 不 等 式
只 要
3
0,[ ],
23
2,
23
l i m 2.
n
N
nN
n
n
n
n
?
?
?
??
? ? ? ?
?
?
??
?
?
对 只 要 取 正 整 数
则 当 时,就 恒 有
故 由 数 列 极 限 的 定 义 知,
16
性质 (1),收敛 数列的极限唯一,(反证法证明 )
(2),收敛数列必有界,(留作习题 )
0,( 1 ) 0,
ln
l n l n,
ln
nnpp
n p n
p
? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
??
证 ( 2 ) 对 不 妨 假 设 要 使 不 等 式
只 要 即 便 可,
ln
0,[ ],
ln
0,
,li m 0.
n
n
n
N n N
p
p
p
?
?
?
??
? ? ? ? ?
??
?
对 只 要 取 正 整 数 则 当 时,就 恒 有
故 由 数 列 极 限 的 定 义 知,