1
§ 2.6 连续函数
连续函数是非常重要的一类函数,也是函数的一种
重要的性态, 然界中的许多变量都是连续变化着的,即
在很短的时间内,们的变化都是很微小的, 这种现象反
映在函数关系上,就是函数的连续性 ; 对函数曲线来说
就是从起点开始到终点都不间断,
设函数 y =?(x),当 x从 x0变到 x1时,自变量的改变
量 (x在 x0 处的增量 )记为 ?x=x1–x2,相应的函数从 f(x0)
变到 f(x1)时,其函数值之差
10( ) ( )y f x f x? ? ?
一,函数增量 (改变量 )
叫做函数的增量,改变量 Δ x,Δy 可正可负,Δy还可为 0.
2
二, 连续函数的定义
图 1中的函数曲线 (连续 )而不间断, 即
0,0,xy? ? ? ?当 时
而图 2中的函数曲线却间断, 即
0,0,xy? ? ?当 时 不 一 定 趋 于
o x
y
0x
y=?(x)
}Δy
o x
y
° }Δy
0x
y=?(x)
Δx
Δx
图 1
图 2
1x
1x
3
定义 1 设函数 ?(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处给
x一个增量 Δ x,0,0,xy? ? ? ?当 时 有 即
例 22 证明函数 y = sin x 在 x0 处连续,
0 0 0s in( ) s in 2 s in c o s ( )22
xxy x x x x??? ? ? ? ? ? ?
o x
y
y=?(x)
Δx
}Δy
0x 0xx??
则称函数 ?(x)在 x0 处连续, 称 x0 为连续点,
0000l i m l i m [ ( ) ( ) ] 0,xx y f x x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ?
证 在 x0 处给 x 一个增量 Δx,则相应的函数增量为
4
则函数 y = sin x 在 x0 处连续,
00 2 si n c os( ) 2 si n 02 2 2
x x xy x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
0lim 0x y??? ? ?
注,
0 0 0 000l i m [ ( ) ( ) ] 0 l i m ( ) ( ) ;xxf x x f x f x x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?因
从而有函数在一点连续的等价定义
,0x x x x x x? ? ? ? ? ?令 当 时,有, 从 而
0 00
l i m 0 l i m ( ) ( ),x x xy f x f x? ? ?? ? ? ?
定义 2 设函数 ?(x)在 x0 的某邻域内有定义,若
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
则称函数 ?(x)在 x0 处连续, 称 x0为连续点,
5
0
l i m ( )xx f x A? ? ?
00
l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??因
则有
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ? ?
00 0
l i m ( ) l i m ( ) ( )x x x xf x f x f x???? ??
对应有左、右连续的概念,
则称函数 ?(x)在 x0处左连续 ; 记为
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x?? ?
0 0
l i m ( ) ( ),xx f x f x?? ?若
0 00
lim ( ) ( ) ( )xx f x f x f x? ?? ??
0 00
lim ( ) ( ) ( )xx f x f x f x? ?? ??
则称函数 ?(x)在 x0 处右连续, 记为
定义 3 若
6
结论, 函数 ?(x)在 x0 处连续的充要条件是 ?(x)在 x0 处既
左连续又右连续, 即
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ? ?
00 0
l i m ( ) l i m ( ) ( )x x x xf x f x f x???? ??
定义 若函数 ?(x)在开区间 (a,b) 内的每一点都连续,
则称函数 ?(x)在开区间 (a,b) 内连续 ;
若函数 ?(x)在开区间 (a,b) 内连续,且在左端点 a
右连续,在右端点 b 左连续,则称函数 ?(x) 在闭区间
[a,b] 内连续,
7
1,0
( 2 ), ( ) sg n( ) 0,0 ;
1,0
x
f x x x
x
???
?? ? ?
?
? ??
2 1s i n,0
( 3), ( )
0,0
xxfx
x
x
? ??
? ?
? ??
例 23,证明函数 y = x2 在 (-∞,+∞) 连续,
例 24,讨论函数在 x = 0 处的连续性
( 1 ), ( ) ;f x x?
8
例 25,讨论函数 在 x = 12 0 1
() 2 1 2 xxfx xx? ??? ? ? ? ?
?
解
( 1 ) 1f ?
( ) 1,f x x ?故 在 处 连 续
2
11l i m ( ) l i m 1xxf x x???? ??且
11 l i m ( ) l i m ( 2 ) 1xxf x x???? ? ? ?
1l i m ( ) ( 1 ) 1x f x f?? ? ?
处的连续性,
9
例 26.设
2
3 1 0
( ) 0
si n
1 0
x x x
f x k x
x
x
x
? ? ? ?
?
?
?
???
?
? ??
??
当 k 为何值时,?(x)在 x = 0点连续,
解
2
00( 0 ),l i m ( ) l i m ( 3 1 ) 1xxf k f x x x????? ? ? ? ?且
( 0) 1,( ) 0,f k f x x? ? ?故 当 时 在 处 连 续
00
si n l i m ( ) l i m ( 1 ) 1
xx
xfx
x???? ? ? ?
00l i m ( ) l i m ( ) 1xx f x f x????? ? ?
10
例 27 确定常数 a,b,使 2 1 2
2( ) lim 1
n
nn
x ax bxfx
x
?
??
???
?
为连续函数,
2
1
1
1
( ) 1
( 1 ) 1
2
1
( 1 ) 1
2
ax bx x
x
x
fx
a b x
a b x
? ??
?
?
?
?
?
? ?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
?
?
解
∴ 要使 ?(x)连续，则 ?(x)就必须在 x = ± 1处连续。
11
11
l i m ( ) l i m ( ) ( 1 )
,
l i m ( ) l i m ( ) ( 1 )
xx
xx
f x f x f
f x f x f
??
??
??
? ? ? ?
????
? ? ? ?
??
由 得
11
1
1 ( 1 )
12
11
1 ( 1 )
2
a b a b
ab
ab
a b a b
?
? ? ? ? ??
????
??
? ? ???
? ? ? ? ? ?
??
即
解之, 得 a = 0,b = 1
故 当 a = 0且 b = 1时，函数 ?(x) 连续。
由定义 2可知：
求连续函数在某点的的极限即为求此点的函数值,
12
三,函数的间断点
00( 2 ) ( ) ( ),f x f x??存 在 且 存 在
0 0 0( 3 ) ( ) ( ) ( )f x f x f x????
由函数在一点连续的等价定义 2知,函数要在一点
连续必有
(1) ?(x)在 x0 处有定义 ;
其中有一个条件不满足就称 ?(x)在 x0 处间断, 即
13
(2) ?(x)在 x0 处虽有定义,但 不存在 ;
0
lim ( )xx fx?
定义 4 如果函数 ?(x)在 x0 处满足下述条件中的任何一
个,
(1) ?(x)在 x0 处没有定义 ;
(3) ?(x)在 x0 处虽有定义,且 存在,
但,0
lim ( )xx fx?
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
则称 ?(x)在 x0 处间断,并称 x=x0 为函数的间断点,
14
x = 0是函数 的无穷间断点 ;
根据间断点的不同特点可进一步分为
00
00
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
f x f x
??
??
? ? ?
? ?
?? ?
?
??
??
??
可 去 间 断 点,
第 一 类 间 断 点, 左 右 极 限 都 存 在 的 间 断 点
跳 跃 间 断 点,
无 穷 间 断 点
第 二 类 间 断 点, 左 右 极 限 中 至 少 有 一 个 不 存 在 的 间 断 点
振 荡 间 断 点
1y
x?
例 28 x = 0是函数 s g n (x) 的跳跃间断点 ;
1
() 1
12
xx
fx
x
???
? ?
???
1()
1 1
xxgx
x
??? ?
??
此时函数 g(x)
x =1是函数 可去间断点,
可重新定义函数
在 x = 1处连续,
15
1s i n 0
()
0 0
xfx
x
x
? ??
? ?
? ??
x = 0是函数
思考题,讨论函数 2( ) lim nn
nnn
xxfx
xx
??
???
??
?
2
1 0 1
( ) 0 1
1
x
f x x
xx
? ? ? ?
???
?
? ?
?
x = 1,0,–1 为间断点,
振荡间断点,
的连续性,
16
四, 连续函数的性质
1,连续函数的四则运算
定理 13 函数 ?(x)与 g(x)在 x0 处连续,则函数 ?(x) + g(x),
?(x)g(x),
0
() ( ( ) 0 )
()
fx gx
gx ?
在 x0 处也连续,
例 29 (p84.6) 求函数 的连续区间,
并求
32
2
33()
6
x x xfx
xx
? ? ??
??
0 2 3l i m ( ),l i m ( ),l i m ( ),x x xf x f x f x? ? ? ?
3 2 2 2
2
3 3 ( 3 ) ( 1 ) 1( ) 3
6 ( 3 ) ( 2 ) 2
x x x x x xf x x
x x x x x
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?
2,反函数与复合函数的连续性
定理 14 设函数 y = ?(x)在某个区间上单调且连续,则
其反函数 y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续,
17
定理 15 设函数 u=φ(x)在 x0 处连续,且 而函数 ?(u)
在 u0 处连续,则复合函数 y =?[φ(x)]在 x0 处也连续,
00( ),xu? ?
证明
0
0 0 0
0
00
0
00
li m ( ) ( )
li m [ ( ) ] li m ( ) [ ( ) ] [ li m ( ) ]
li m ( ) ( ) [ ( ) ]
xx
x x u u x x
uu
x x u
f x f u f x f x
f u f u f x
??
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?? ??
? ? ? ??
?? ?
?注, 由此可知连续函数符号可与极限符号交换位置, 实
际上此定理中的内函数的连续性,可削弱为极限存在即
可,由连续的定义可证明, 基本初等函数在其定义域内连
续, 从而一切初等函数在其有定义的区间连续,
c os
c os
2
2
2
l i m ( 1 )
( 1 )
( 1 ), l i m 1
s i n l i m s i n 2
x
x
e
e
x
x
x
x
x
xx
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ?
例 30,求下列函数极限
18
0
l n ( 1 )( 2 ), l i m
t
t
t?
?
1 2 2 1 ( ) ( )n n n n n na b a b a a b a b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1
1( 3), l i m ; (,)
1
m
nx
x m n N
x?
? ?
?
12
1211
1 ( 1 ) ( 1 )
lim lim
1 ( 1 ) ( 1 )
n
n n n
m m mxx
m
x x x x
x x x x
??
????
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
1
0lim ln( 1 )
t
t t???
1
0l n l i m ( 1 ) l n 1
t
t te?? ? ? ?
n
m?
22( 4 ), l i m ( 1 1 )
x x x x x? ?? ? ? ? ? ?
22 11
lim
x
x x x x
x x x x? ? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
22
2lim 1
11x
x
x x x x? ? ?
??
? ? ? ? ?
19
( 5 ), l i m [ l n l n ( 2 ) ]
n
n n n
??
??
l i m l n 2
n
nn
n??? ?解 原 式
2l i m l n ( 1 )
2n n n???? ?
2l i m l n ( 1 )
2
n
n n??
?? ?
2lim
22l n l n 2,n
n
nee??
?
??? ? ? ?
例 31.当 a,b,c为何值时有
2
1l i m 1,
x
x
a x b x c??
? ?
??
0,1,.a b c R? ? ?
2
1l i m 1
x
x
a x b x c??
? ?
??解 由 知
2l n l i m ( 1 )
2
n
n n??
?? ?
20
3,闭区间上连续函数的性质
定理 16 (最大值与最小值定理 )若函数 ?(x)在闭区间
[a,b]上连续,则在 [a,b]上 ?(x)一定有最大值与最小值,
如右图中的 ξ1 与 ξ2 便分别是最小值点与最大值点,
o x
y y=?(x)
a
b
1? 2?
21
注, 定理中的连续性与闭区间条件缺一不可, 如函
数 y = x 在 (0,1)内连续却没有最大、小值, 又如
1 0 1
( ) 1 1
3 1 2
xx
f x x
xx
? ? ??
???
?
? ? ? ?
?
o x
y
°
o
?1
1
在闭区间 [0,2]上有间断点 x = 1,而函数 ?(x)
在 [0,2]上却无最大、小值,
2
22
定理 17 (有界性定理 )若函数 ?(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,
则 ?(x)在 [a,b]上一定有界,显然有 m≤f(x)≤M
定理 18 (介值定理 )若函数 ?(x) 在闭区间
[a,b]上连续,且 m 与 M 分别为 ?(x)在
[a,b]上的最小值与最大值,则对于任意
介于 m与 M之间的实数 C (m<C<M),至
少存在一点 o x
y
mC
M
a b
1? 2?
y=?(x)
(,),( ),a b f C????使 得
几何意义, (如上图 )介于 [a,b]内的连续曲线的最高点与
最低点之间的任意直线 y = C(m<C<M),至少与该曲线
y = ?(x)相交于一点,
23
定理 19 (零点存在定理 )若函数 ?(x)在
闭区间 [a,b]上连续,且 ?(a)与 ?(b) 异
号 (即 ?(a)?(b) < 0),至少存在一点
(,),( ) 0,a b f????使 得
o x
y
a b
1? 2?
?? ?
几何意义, (如右图 )在 [a,b]上连续的曲线 y = ?(x)
的两个端点如果分布在 x 轴的两侧,则在 (a,b)内,
此曲线必与 X 轴至少有一个交点,
3?
y=?(x)
代数应用,零点存在定理给了大家一个判定方程在某
个区间上是否有根以及寻找近似根的方法,
24
例 31,证明方程 x 3-4x2+1=0 在区间 (0,1)内至少有一个
实根,并求出根的近似值,
324 1 0 (0 1 )? ? ?? ? ? ? ?
证明 设 ?(x)= x3 -4x2 +1=0,则 ?(x)在闭区间 [0,1]上满足零点
存在定理 ;则 ?(x)在闭区间 [0,1]上满足零点存在定理 ;
故方程 x3-4x2+1=0在区间 (0,1)内至少有一个实根 ξ.
近似根的求法,(对分区间法 )
0 1 1 1 1( ) ( ) 0 (,1 )
2 2 8 2ff
? ? ? ? ? 在 内 方 程 至 少 有 一 根 ；
12 1 3 5 3 1 3( ) ( ) 0 (,)
2 4 6 4 2 4ff
? ? ? ? ? ?而 在 内 方 程 至 少 有 一 根 ；
3124 5 1 5( ) ( ) 0, 3 2 0 (,)
2 8 2 8ff
? ? ? ? ? ?而 在 内 方 程 至 少 有 一 根 ；
25
0
0
1 1 5 9
2 2 8 1 6
1 5 1 1
( ),
2 8 2 1 6
??
??
? ? ?
? ? ? ?
继 续 下 去, 可 求 出 满 足 精 度 要 求 的 近 似 根 。 若 令 近 似
根 为 （ ）, 则 它 与 精 确 值 的 误 差 的 绝 对
值 不 超 过 区 间 长 的 一 半, 即
相关习题提示； p84.8题
,( ) ( 1,2,,)im M m f x M i n? ? ? ?有
因 ?(x)在 [a,b]上连续,则
p86.8题
设 ?(x) = x–a sin x– b,只需证 ?(x)在 [0,a+b]内
满足零点存在定理即可,
12( ) ( ) ( ),nn m f x f x f x n M? ? ? ? ?
26
1.利用极限的四则运算法则,以及对于 (,”
,”) 型的求极限过程,常常需要因式分解、约分、
通分或分子分母同乘以函数来化简, 记住结论,
0
0
?
?
0
0
0
( ) ( ) ( )li m,li m
( ) ( ) ( )
n n n
x x xm m m
P x P x P x
Q x Q x Q x? ? ??
归纳求极限的常见方法,
2.利用重要极限
3.利用函数的连续性
1
00
s i n 1l i m 1,l i m ( 1 ) l i m ( 1 )x t
x x t
x te
xx? ? ? ?? ? ? ? ?
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
27
4.利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价
代换
5.利用数列求和公式和基本极限, 如书 p85.2(3)题, 又
如
1 1 11,li m
1 2 1 2 3 1 2nn nxx n ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 求
2 2 21
2 3 3 4 ( 1 )nx nn? ? ? ? ?? ? ? ?
1 1 1 1 1 1 21 2 ( ) 2 lim 2,
2 3 3 4 1 1 nn xn n n ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
28
6.利用对数方法求幂指函数极限
()( ) l n ( )( ) ( ( ) 0 ),gxg x f xy f x e f x? ? ? 两 边 取 极 限 有
例 求 1
1
1
1li m ( ),
2
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
7.利用极限存在准则,证明极限的存在,并求极限,
如书 p65.1题,又如
11
10,( ) ( 1,2,,0 ) li m
2n n nnn
au u u n a u
u? ??? ? ? ? ?且, 求
()
0
0
l i m l n ( )lim gx
x x
fx
xx
ye ?
?
?
1
11 12 1l i m l n ln
21 23 22 ( ),
3
x
x
xxee?
?
??? ? ?解 原 式
29
1
1lim lim ( )
2nnnn n
auu
u?? ? ? ???
21 ( ),.
2
aA A A a A a
A? ? ? ? ? ?
l i m,l i m,0nnnn u u A A a? ? ? ?? ? ? ?则
1
12
11 ( 1 ) ( 1 ) 1
22
n
n n n
n n
u aa u u u
ua u
?
?? ? ? ? ? ?而, 则, 从 而 单 减 ；
lim nn ua?? ?故
1
1 ( ),;
2n n n nnn
aau u u a u
uu? ? ? ? ? ?解 因 则 有 下 界
§ 2.6 连续函数
连续函数是非常重要的一类函数,也是函数的一种
重要的性态, 然界中的许多变量都是连续变化着的,即
在很短的时间内,们的变化都是很微小的, 这种现象反
映在函数关系上,就是函数的连续性 ; 对函数曲线来说
就是从起点开始到终点都不间断,
设函数 y =?(x),当 x从 x0变到 x1时,自变量的改变
量 (x在 x0 处的增量 )记为 ?x=x1–x2,相应的函数从 f(x0)
变到 f(x1)时,其函数值之差
10( ) ( )y f x f x? ? ?
一,函数增量 (改变量 )
叫做函数的增量,改变量 Δ x,Δy 可正可负,Δy还可为 0.
2
二, 连续函数的定义
图 1中的函数曲线 (连续 )而不间断, 即
0,0,xy? ? ? ?当 时
而图 2中的函数曲线却间断, 即
0,0,xy? ? ?当 时 不 一 定 趋 于
o x
y
0x
y=?(x)
}Δy
o x
y
° }Δy
0x
y=?(x)
Δx
Δx
图 1
图 2
1x
1x
3
定义 1 设函数 ?(x)在 x0的某邻域内有定义,在 x0 处给
x一个增量 Δ x,0,0,xy? ? ? ?当 时 有 即
例 22 证明函数 y = sin x 在 x0 处连续,
0 0 0s in( ) s in 2 s in c o s ( )22
xxy x x x x??? ? ? ? ? ? ?
o x
y
y=?(x)
Δx
}Δy
0x 0xx??
则称函数 ?(x)在 x0 处连续, 称 x0 为连续点,
0000l i m l i m [ ( ) ( ) ] 0,xx y f x x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ?
证 在 x0 处给 x 一个增量 Δx,则相应的函数增量为
4
则函数 y = sin x 在 x0 处连续,
00 2 si n c os( ) 2 si n 02 2 2
x x xy x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
0lim 0x y??? ? ?
注,
0 0 0 000l i m [ ( ) ( ) ] 0 l i m ( ) ( ) ;xxf x x f x f x x f x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?因
从而有函数在一点连续的等价定义
,0x x x x x x? ? ? ? ? ?令 当 时,有, 从 而
0 00
l i m 0 l i m ( ) ( ),x x xy f x f x? ? ?? ? ? ?
定义 2 设函数 ?(x)在 x0 的某邻域内有定义,若
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
则称函数 ?(x)在 x0 处连续, 称 x0为连续点,
5
0
l i m ( )xx f x A? ? ?
00
l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??因
则有
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ? ?
00 0
l i m ( ) l i m ( ) ( )x x x xf x f x f x???? ??
对应有左、右连续的概念,
则称函数 ?(x)在 x0处左连续 ; 记为
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x?? ?
0 0
l i m ( ) ( ),xx f x f x?? ?若
0 00
lim ( ) ( ) ( )xx f x f x f x? ?? ??
0 00
lim ( ) ( ) ( )xx f x f x f x? ?? ??
则称函数 ?(x)在 x0 处右连续, 记为
定义 3 若
6
结论, 函数 ?(x)在 x0 处连续的充要条件是 ?(x)在 x0 处既
左连续又右连续, 即
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ? ?
00 0
l i m ( ) l i m ( ) ( )x x x xf x f x f x???? ??
定义 若函数 ?(x)在开区间 (a,b) 内的每一点都连续,
则称函数 ?(x)在开区间 (a,b) 内连续 ;
若函数 ?(x)在开区间 (a,b) 内连续,且在左端点 a
右连续,在右端点 b 左连续,则称函数 ?(x) 在闭区间
[a,b] 内连续,
7
1,0
( 2 ), ( ) sg n( ) 0,0 ;
1,0
x
f x x x
x
???
?? ? ?
?
? ??
2 1s i n,0
( 3), ( )
0,0
xxfx
x
x
? ??
? ?
? ??
例 23,证明函数 y = x2 在 (-∞,+∞) 连续,
例 24,讨论函数在 x = 0 处的连续性
( 1 ), ( ) ;f x x?
8
例 25,讨论函数 在 x = 12 0 1
() 2 1 2 xxfx xx? ??? ? ? ? ?
?
解
( 1 ) 1f ?
( ) 1,f x x ?故 在 处 连 续
2
11l i m ( ) l i m 1xxf x x???? ??且
11 l i m ( ) l i m ( 2 ) 1xxf x x???? ? ? ?
1l i m ( ) ( 1 ) 1x f x f?? ? ?
处的连续性,
9
例 26.设
2
3 1 0
( ) 0
si n
1 0
x x x
f x k x
x
x
x
? ? ? ?
?
?
?
???
?
? ??
??
当 k 为何值时,?(x)在 x = 0点连续,
解
2
00( 0 ),l i m ( ) l i m ( 3 1 ) 1xxf k f x x x????? ? ? ? ?且
( 0) 1,( ) 0,f k f x x? ? ?故 当 时 在 处 连 续
00
si n l i m ( ) l i m ( 1 ) 1
xx
xfx
x???? ? ? ?
00l i m ( ) l i m ( ) 1xx f x f x????? ? ?
10
例 27 确定常数 a,b,使 2 1 2
2( ) lim 1
n
nn
x ax bxfx
x
?
??
???
?
为连续函数,
2
1
1
1
( ) 1
( 1 ) 1
2
1
( 1 ) 1
2
ax bx x
x
x
fx
a b x
a b x
? ??
?
?
?
?
?
? ?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
?
?
解
∴ 要使 ?(x)连续，则 ?(x)就必须在 x = ± 1处连续。
11
11
l i m ( ) l i m ( ) ( 1 )
,
l i m ( ) l i m ( ) ( 1 )
xx
xx
f x f x f
f x f x f
??
??
??
? ? ? ?
????
? ? ? ?
??
由 得
11
1
1 ( 1 )
12
11
1 ( 1 )
2
a b a b
ab
ab
a b a b
?
? ? ? ? ??
????
??
? ? ???
? ? ? ? ? ?
??
即
解之, 得 a = 0,b = 1
故 当 a = 0且 b = 1时，函数 ?(x) 连续。
由定义 2可知：
求连续函数在某点的的极限即为求此点的函数值,
12
三,函数的间断点
00( 2 ) ( ) ( ),f x f x??存 在 且 存 在
0 0 0( 3 ) ( ) ( ) ( )f x f x f x????
由函数在一点连续的等价定义 2知,函数要在一点
连续必有
(1) ?(x)在 x0 处有定义 ;
其中有一个条件不满足就称 ?(x)在 x0 处间断, 即
13
(2) ?(x)在 x0 处虽有定义,但 不存在 ;
0
lim ( )xx fx?
定义 4 如果函数 ?(x)在 x0 处满足下述条件中的任何一
个,
(1) ?(x)在 x0 处没有定义 ;
(3) ?(x)在 x0 处虽有定义,且 存在,
但,0
lim ( )xx fx?
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
则称 ?(x)在 x0 处间断,并称 x=x0 为函数的间断点,
14
x = 0是函数 的无穷间断点 ;
根据间断点的不同特点可进一步分为
00
00
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
f x f x
??
??
? ? ?
? ?
?? ?
?
??
??
??
可 去 间 断 点,
第 一 类 间 断 点, 左 右 极 限 都 存 在 的 间 断 点
跳 跃 间 断 点,
无 穷 间 断 点
第 二 类 间 断 点, 左 右 极 限 中 至 少 有 一 个 不 存 在 的 间 断 点
振 荡 间 断 点
1y
x?
例 28 x = 0是函数 s g n (x) 的跳跃间断点 ;
1
() 1
12
xx
fx
x
???
? ?
???
1()
1 1
xxgx
x
??? ?
??
此时函数 g(x)
x =1是函数 可去间断点,
可重新定义函数
在 x = 1处连续,
15
1s i n 0
()
0 0
xfx
x
x
? ??
? ?
? ??
x = 0是函数
思考题,讨论函数 2( ) lim nn
nnn
xxfx
xx
??
???
??
?
2
1 0 1
( ) 0 1
1
x
f x x
xx
? ? ? ?
???
?
? ?
?
x = 1,0,–1 为间断点,
振荡间断点,
的连续性,
16
四, 连续函数的性质
1,连续函数的四则运算
定理 13 函数 ?(x)与 g(x)在 x0 处连续,则函数 ?(x) + g(x),
?(x)g(x),
0
() ( ( ) 0 )
()
fx gx
gx ?
在 x0 处也连续,
例 29 (p84.6) 求函数 的连续区间,
并求
32
2
33()
6
x x xfx
xx
? ? ??
??
0 2 3l i m ( ),l i m ( ),l i m ( ),x x xf x f x f x? ? ? ?
3 2 2 2
2
3 3 ( 3 ) ( 1 ) 1( ) 3
6 ( 3 ) ( 2 ) 2
x x x x x xf x x
x x x x x
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?
2,反函数与复合函数的连续性
定理 14 设函数 y = ?(x)在某个区间上单调且连续,则
其反函数 y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续,
17
定理 15 设函数 u=φ(x)在 x0 处连续,且 而函数 ?(u)
在 u0 处连续,则复合函数 y =?[φ(x)]在 x0 处也连续,
00( ),xu? ?
证明
0
0 0 0
0
00
0
00
li m ( ) ( )
li m [ ( ) ] li m ( ) [ ( ) ] [ li m ( ) ]
li m ( ) ( ) [ ( ) ]
xx
x x u u x x
uu
x x u
f x f u f x f x
f u f u f x
??
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?? ??
? ? ? ??
?? ?
?注, 由此可知连续函数符号可与极限符号交换位置, 实
际上此定理中的内函数的连续性,可削弱为极限存在即
可,由连续的定义可证明, 基本初等函数在其定义域内连
续, 从而一切初等函数在其有定义的区间连续,
c os
c os
2
2
2
l i m ( 1 )
( 1 )
( 1 ), l i m 1
s i n l i m s i n 2
x
x
e
e
x
x
x
x
x
xx
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ?
例 30,求下列函数极限
18
0
l n ( 1 )( 2 ), l i m
t
t
t?
?
1 2 2 1 ( ) ( )n n n n n na b a b a a b a b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1
1( 3), l i m ; (,)
1
m
nx
x m n N
x?
? ?
?
12
1211
1 ( 1 ) ( 1 )
lim lim
1 ( 1 ) ( 1 )
n
n n n
m m mxx
m
x x x x
x x x x
??
????
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
1
0lim ln( 1 )
t
t t???
1
0l n l i m ( 1 ) l n 1
t
t te?? ? ? ?
n
m?
22( 4 ), l i m ( 1 1 )
x x x x x? ?? ? ? ? ? ?
22 11
lim
x
x x x x
x x x x? ? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
22
2lim 1
11x
x
x x x x? ? ?
??
? ? ? ? ?
19
( 5 ), l i m [ l n l n ( 2 ) ]
n
n n n
??
??
l i m l n 2
n
nn
n??? ?解 原 式
2l i m l n ( 1 )
2n n n???? ?
2l i m l n ( 1 )
2
n
n n??
?? ?
2lim
22l n l n 2,n
n
nee??
?
??? ? ? ?
例 31.当 a,b,c为何值时有
2
1l i m 1,
x
x
a x b x c??
? ?
??
0,1,.a b c R? ? ?
2
1l i m 1
x
x
a x b x c??
? ?
??解 由 知
2l n l i m ( 1 )
2
n
n n??
?? ?
20
3,闭区间上连续函数的性质
定理 16 (最大值与最小值定理 )若函数 ?(x)在闭区间
[a,b]上连续,则在 [a,b]上 ?(x)一定有最大值与最小值,
如右图中的 ξ1 与 ξ2 便分别是最小值点与最大值点,
o x
y y=?(x)
a
b
1? 2?
21
注, 定理中的连续性与闭区间条件缺一不可, 如函
数 y = x 在 (0,1)内连续却没有最大、小值, 又如
1 0 1
( ) 1 1
3 1 2
xx
f x x
xx
? ? ??
???
?
? ? ? ?
?
o x
y
°
o
?1
1
在闭区间 [0,2]上有间断点 x = 1,而函数 ?(x)
在 [0,2]上却无最大、小值,
2
22
定理 17 (有界性定理 )若函数 ?(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,
则 ?(x)在 [a,b]上一定有界,显然有 m≤f(x)≤M
定理 18 (介值定理 )若函数 ?(x) 在闭区间
[a,b]上连续,且 m 与 M 分别为 ?(x)在
[a,b]上的最小值与最大值,则对于任意
介于 m与 M之间的实数 C (m<C<M),至
少存在一点 o x
y
mC
M
a b
1? 2?
y=?(x)
(,),( ),a b f C????使 得
几何意义, (如上图 )介于 [a,b]内的连续曲线的最高点与
最低点之间的任意直线 y = C(m<C<M),至少与该曲线
y = ?(x)相交于一点,
23
定理 19 (零点存在定理 )若函数 ?(x)在
闭区间 [a,b]上连续,且 ?(a)与 ?(b) 异
号 (即 ?(a)?(b) < 0),至少存在一点
(,),( ) 0,a b f????使 得
o x
y
a b
1? 2?
?? ?
几何意义, (如右图 )在 [a,b]上连续的曲线 y = ?(x)
的两个端点如果分布在 x 轴的两侧,则在 (a,b)内,
此曲线必与 X 轴至少有一个交点,
3?
y=?(x)
代数应用,零点存在定理给了大家一个判定方程在某
个区间上是否有根以及寻找近似根的方法,
24
例 31,证明方程 x 3-4x2+1=0 在区间 (0,1)内至少有一个
实根,并求出根的近似值,
324 1 0 (0 1 )? ? ?? ? ? ? ?
证明 设 ?(x)= x3 -4x2 +1=0,则 ?(x)在闭区间 [0,1]上满足零点
存在定理 ;则 ?(x)在闭区间 [0,1]上满足零点存在定理 ;
故方程 x3-4x2+1=0在区间 (0,1)内至少有一个实根 ξ.
近似根的求法,(对分区间法 )
0 1 1 1 1( ) ( ) 0 (,1 )
2 2 8 2ff
? ? ? ? ? 在 内 方 程 至 少 有 一 根 ；
12 1 3 5 3 1 3( ) ( ) 0 (,)
2 4 6 4 2 4ff
? ? ? ? ? ?而 在 内 方 程 至 少 有 一 根 ；
3124 5 1 5( ) ( ) 0, 3 2 0 (,)
2 8 2 8ff
? ? ? ? ? ?而 在 内 方 程 至 少 有 一 根 ；
25
0
0
1 1 5 9
2 2 8 1 6
1 5 1 1
( ),
2 8 2 1 6
??
??
? ? ?
? ? ? ?
继 续 下 去, 可 求 出 满 足 精 度 要 求 的 近 似 根 。 若 令 近 似
根 为 （ ）, 则 它 与 精 确 值 的 误 差 的 绝 对
值 不 超 过 区 间 长 的 一 半, 即
相关习题提示； p84.8题
,( ) ( 1,2,,)im M m f x M i n? ? ? ?有
因 ?(x)在 [a,b]上连续,则
p86.8题
设 ?(x) = x–a sin x– b,只需证 ?(x)在 [0,a+b]内
满足零点存在定理即可,
12( ) ( ) ( ),nn m f x f x f x n M? ? ? ? ?
26
1.利用极限的四则运算法则,以及对于 (,”
,”) 型的求极限过程,常常需要因式分解、约分、
通分或分子分母同乘以函数来化简, 记住结论,
0
0
?
?
0
0
0
( ) ( ) ( )li m,li m
( ) ( ) ( )
n n n
x x xm m m
P x P x P x
Q x Q x Q x? ? ??
归纳求极限的常见方法,
2.利用重要极限
3.利用函数的连续性
1
00
s i n 1l i m 1,l i m ( 1 ) l i m ( 1 )x t
x x t
x te
xx? ? ? ?? ? ? ? ?
0 0
l i m ( ) ( )xx f x f x? ?
27
4.利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价
代换
5.利用数列求和公式和基本极限, 如书 p85.2(3)题, 又
如
1 1 11,li m
1 2 1 2 3 1 2nn nxx n ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 求
2 2 21
2 3 3 4 ( 1 )nx nn? ? ? ? ?? ? ? ?
1 1 1 1 1 1 21 2 ( ) 2 lim 2,
2 3 3 4 1 1 nn xn n n ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
28
6.利用对数方法求幂指函数极限
()( ) l n ( )( ) ( ( ) 0 ),gxg x f xy f x e f x? ? ? 两 边 取 极 限 有
例 求 1
1
1
1li m ( ),
2
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
7.利用极限存在准则,证明极限的存在,并求极限,
如书 p65.1题,又如
11
10,( ) ( 1,2,,0 ) li m
2n n nnn
au u u n a u
u? ??? ? ? ? ?且, 求
()
0
0
l i m l n ( )lim gx
x x
fx
xx
ye ?
?
?
1
11 12 1l i m l n ln
21 23 22 ( ),
3
x
x
xxee?
?
??? ? ?解 原 式
29
1
1lim lim ( )
2nnnn n
auu
u?? ? ? ???
21 ( ),.
2
aA A A a A a
A? ? ? ? ? ?
l i m,l i m,0nnnn u u A A a? ? ? ?? ? ? ?则
1
12
11 ( 1 ) ( 1 ) 1
22
n
n n n
n n
u aa u u u
ua u
?
?? ? ? ? ? ?而, 则, 从 而 单 减 ；
lim nn ua?? ?故
1
1 ( ),;
2n n n nnn
aau u u a u
uu? ? ? ? ? ?解 因 则 有 下 界
