1
第四章 导数的应用
§ 4.1 中值定理
§ 4.2 罗必达法则
§ 4.3 函数的单调性
§ 4.4 函数的极值与最值
§ 4.5 曲线的凹性与拐点
§ 4.6 函数作图的基本步骤与方法
§ 4.7 导数在经济中的应用
( ) ( ) ' ( )f b f a f
ba
? ?
? ?
2
第四章 导数的应用
导数是研究函数性质的重要工具, 仅从导数概念出
发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本
定理作为桥梁,
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、
柯西中值定理,
§ 4.1 中值定理
定理 1 (罗尔定理 )设函数 ?(x) 满足下列条件,
(1) 在闭区间 [a,b]上连续 ;
(2) 在开区间 (a,b)上可导 ;
(3) ?(a) = ?(b);
一,罗尔 (Rolle)定理
3
( ) 0,f ?? ?则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
bo x
A B
y=f(x)
a
y
罗尔定理的几何意义,
函数 ?(x)在 [a,b]上的图形是连续曲线弧 AB,如果除
端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间 [a,b]
的两个端点 a与 b处的纵坐标相同,即 ?(a) = ?(b);此时弦
4
显然这些点在最高点或最低点 (局部范围内 )处取
得,由此启发了我们的证明思路,
AB平行于 x 轴 ; 则在弧 AB 上至少能找到一点 C(ξ?
?(ξ)),使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB,即平行于
x轴,从而该点 C处的切线斜率为
( ) 0.f ?? ?
bo x
A B
y = f(x)
a
y
1? 2?
证 因 ?(x)在闭区间 [a,b]上连续,故由第二章定理 16知,
5
?(x)在 [a,b]上必有最大值 M 和最小值 m.
下面分两种情形讨论,
(1) 若 M = m,则 ?(x)在 [a,b]上恒为常数, 从而
(,),( ) 0,x a b f x?? ? ?恒有
o
y
x
y=M
6
故在 (a,b)内的每一点都可取作 ξ, 定理显然成立,
(2) 若,而 ?(a) = ?(b)
Mm?
( ),M f a?
( ) 0.f ?? ?
( ) ( ) 0 ( (,) )f x f x a b? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) 0 ( 1 )f x f
x
??? ? ? ?
?
( ) ( ) 0 ( 2 )f x f
x
??? ? ? ?
?
从而在区间 (a,b)内至少存在一点 ξ.使得 ?(ξ) =M
则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值,不妨设
下面证明
因 ?(ξ)= M,则不论 Δx>0或 Δx<0,恒有
当 Δx > 0时,有
当 Δx < 0时,有
7
而 ?(x)在 (a,b)内可导,则 ( ),f ?? 存在
0
( ) ( )( ) ( ) lim 0
x
f x fff
x
????
?? ??
? ? ??? ? ? ?
?
0
( ) ( )( ) ( ) lim 0
x
f x fff
x
????
?? ??
? ? ??? ? ? ?
?
故必有 ( ) 0.f ?? ?
则对式 (1)和式 (2)取极限有
( ) ( ) ( ) ( ),f f f f? ? ? ???? ? ? ?? ? ?且 存在
8
注 1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可,否
则结论不一定成立,(一般地说结论正确就需证明 ;否则,
只须举反例即可 )用下列各图形分别说明,
o
y
x
a b
y=f(x)
o
y
xa b
y=f(x)
o
y
xa b
y=f(x)
°
°
ξ ξ
( ) ( )f a f b? ?(x)在 [a,b]内
有间断点 ξ
?(x)在 (a,b)内有
不可导点 ξ (尖点 )
注 2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如
9
3
si n 0
4()
35
c os
44
xx
fx
xx
?
??
?
???
?
? ?
? ??
??
2?
此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均
不满足,但是却存在 和 ξ = π,使
o x
y=f(x)
y
°
? π
2
???
( ) ( ) 0,2ff? ?????
10
例 1,验证函数 在区间 [– 1,2]
上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的 ξ 值,
32( ) 4 7 1 0f x x x x? ? ? ?
注 3.罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在
一个 ξ,而不能肯定 ξ 的个数,也没有指出实际计算
ξ 的值的方法, 但对某些简单情形,可从方程中解出
ξ,
11
解 因 ?(x)是一初等函数,其定义域为 (,).?? ??
则 ?(x)在 [–1,2] 上连续,
在 (–1,2)内存在,即 ?(x)在 (–1,2） 可导,
2'( ) 3 8 7f x x x? ? ?
( ) 0fx? ?
4 3 7
3?
???则满足题意的点为
4 37
3x
????23 8 7 0xx? ? ? ?
而 ?(–1) = ?(2) = 0,即 ?(x)在 [– 1,2]上满足罗尔定理
的条件,由
4 37
3?
???而 舍去
12
例 2,不求函数 ?(x) = (x–1) (x–2) (x–3) x 的导数,说明
方程 有几个实根?并指出它们所在区间,
( ) [0,1 ],( ) [ 1,2 ],( ) [ 2,3 ] ;f x C f x C f x C? ? ?解
( ) 0fx? ?
( ) ( 0,1 ),( ) ( 1,2 ),( ) ( 2,3 )f x D f x D f x D? ? ?
( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )f f f f? ? ?且
1 2 3 ( ) 0,,;fx ? ? ?? ?故方程 有三个不相等的根
1 2 3 ( 0,1 ),( 1,2 ),( 2,3 ),? ? ?? ? ?且
13
例 3.设 ?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且
?(a)= ?(b) = 0,试证, 在 (a,b)内至
少存在一点 ξ,使得
( ) ( )ff??? ??
( ) ( ) xF x f x e?令
( ) ( ) 0 ff??? ??于是
显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有
证
则 F(x) 在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且
F(a) = F(b) = 0,即满足罗尔定理的条件,
则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
( ) [ ( ) ( ) ] 0 ( (,b) ) F f f e a?? ? ? ??? ? ? ? ?
( ) ( ) ( (,b ) ) f f a? ? ?? ? ? ?故
14
二,拉格朗日 (Lagrange)中值定理
定理 2 拉格朗日 (Lagrange)中值定理 )
设函数 ?(x)满足下列条件,
(1) 在闭区间 [a,b]上连续 ;
(2) 在开区间 (a,b)上可导 ;
则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
( ) ( )() f b f af
ba?
?? ?
?
o x
y
y = f(x)
a
A
b
B
1? 2?
C
或 也称微分中值定理,( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?
几何意义, 如果在连续曲线弧 AB上,除端点外,处处具有
不垂直 于 x轴的切线,又因弦 AB的斜率为 则
在弧 AB上至少
( ) ( ),f b f a
ba
?
?
D
15
o x
y
y = f(x)
a
A
b
B
1? 2?
既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的
特殊情形,下面利用分析的方法来构造
辅助函数,
要证 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?
故只须令 F(x) = [ ?(b)–?(a)](x–a) –[ ?(x)–?(a)](b–a)
C
能找到一点 C,使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.
( ) ( ) ( ) ( ) 0f b f a f b a??? ? ? ?移项得
{ [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) } 0xf b f a x a f x f a b a ???? ? ? ? ? ? ?
从而只需验证 F(x) 满足罗尔定理的条件即可, 易验
证这个函数的连续性、可导性以及端点条件,
注,在 [a,b]内的任意闭区间 上,拉格朗日中值定理
均成立, 12[,]xx
D
16
特别地,若 x 与 x +Δ x为区间 (a,b)内的任意两点,
则有
( ) ( ) ( ) ( 0 1 )y f x x f x f x x x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
由于当 Δx为有限时,上式是 Δy的准确表达式,
因而也把上式称为有限增量公式, 而函数的微分
仅是 Δy的近似表达式,因而有限增量
公式在理论上十分有用,
()d y f x d x??
17
例 4,验证函数 ?(x) = ln x在 [1,e]上满足拉格朗日中值
定理, 若满足求出 ξ.
解 因 ?(x) 在 [1,e]上连续,在 (1,e)内可导, 即 ?(x)
在 [1,e]上满足拉格朗日中值定理, 而 1()fx x? ?
1ln ln 1 ( 1 )
xee x ??? ? ?
则由拉格朗日中值公式有
11 ( 1 ) 1.ee ?
?? ? ? ? ? ?
18
推论 1,(,),( ) 0x a b f x?? ? ? ?(,),( ),x a b f x C? ? ?
几何意义,斜率处处为 0 的曲线,一定是平行于 x 轴的
直线,
推论 2,(,),( ) ( )x a b f x g x??? ? ? ?(,),( ) ( ),x a b f x g x C? ? ? ?
下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式,
例 5.证明 22sin c o s 1 ( R )x x x? ? ? ?
证 22( ) s in c o sf x x x??令
( ) 2 s i n c o s 2 c o s ( s i n ) 0f x x x x x? ? ? ? ?
( ) ( (,) )f x C x a b? ? ?
22s i n c o s 1xx??
22 0,( 0 ) s in 0 c o s 0 1x f C? ? ? ? ?特殊地取 有
19
例 6,证明不等式
ln ( 0 )b a b b a abb a a??? ? ? ?
分析,因 0 < a < b,从而 b – a不为 0,即只须证
1 ln ln 1 ba
b b a a
???
?
是函数值之差,可以考虑用拉格朗日中值定理ln lnbaba??
解 令 ?(x) = ln x
因 ?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导, 即 ?(x)在 [a,b]上
满足拉格朗日中值定理, 从而
1l n l n ( ) ( ) ( ) ( (,) )b a f b a b a a b??
??? ? ? ? ? ?
另一方面 1 1 1
ba??? ln ln ln
b a b b aba
b a a
??? ? ? ? ?
显然,利用拉格朗日中值定理证明等式的关键是,
20
( ),f x C? 00,( ),x f x C由 算出
( ) ( ) ( ) ( ), ( )f b f a f b a a b???? ? ? ? ?
()f ??
例 7.当 x > 1时,证明不等式,xe ex?
最后特殊取点
(2) 根据不等式的特点选取适当的函数 ?(x)及对应区间 [a,b],
使其满足定理的条件,便有
再根据 a < ξ < b 放大或缩小导数 证出不等式,
解 令 ( ) ( [ 1,) )xf x e x? ? ? ? ?
1 ( 1 ) ( ( 1,) 1 )xe e e x x? ??? ? ? ? ?即
( ) [ 1,),( ) ( 1,)f x C f x D? ? ? ? ? ?
( 1 ),xxe e e e e x e e x? ? ? ? ? ? ? ?
(1) 根据等式特点选取适当的函数 ?(x),先证 ( ) 0,fx? ?
再证
21
则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
( 3 ) (,),( ) 0,x a b g ??? ? ?均有
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f
g b g a g
?
?
?? ?
??
(2) 辅助函数可令
F(x) = [ ?(b)–?(a)][g(x)–g(a)]–[ ?(x)–?(a)] [g(b)–g(a)],
且由 ( ) 0 ( ) ( ),g g b g a?? ??可知
定理 3(柯西 Cauchy中值定理 )
(1) 在闭区间 [a,b]上连续 ； (2)在开区间 (a,b)上可导 ；
理论证明略, 提示,
(3)当 g(x) = x时,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理,
若函数 ?(x),g(x)满足下列条件：
(1) 其证明不能分别利用拉格朗日中值定理,
三, 柯西 (Cauchy)中值定理
22
例 8.若 ?(x) 在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导且 a >0,试证
在 (a,b)内方程 至少存在
一个根,
222 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )x f b f a b a f x?? ? ?
证 因 222 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )x f b f a b a f x?? ? ? 可以改
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
f x f x f b f a
x x b a
?? ???
? ?
而 在 [a,b]上满足柯西中值定理的条件,2( ),f x x
所以在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
22
( ) ( ) ( )
2
f f b f a
ba
?
?
? ??
?
222 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f b f a b a f?? ?? ? ?
故在 (a,b)内方程至少存在一个根 ξ,
23
结论, 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 ; 柯西
中值定理又是拉格朗日中值定理的推广, 柯西中值
定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中
值定理的特殊情形为罗尔定理,
CR L
?(a) = ?(b) g(x) = x
24
多项式对数值计算和理论分析都十分方便,所以在
研究某些复杂函数时,常常希望将它们表示为一个多项
式, 假设 ?(x)在 内能够表示为一个多项
式,问题,
00 ()x N x的某邻域
()nPx
( ) ( )nf x P x?
()nPx(1)多项式 的系数应如何确定呢?
(2) 又为多少呢?
四, 泰勒 (Taylor)中值定理
25
(1)若 ?(x)为一个关于 x的多项式,即 01() nnf x b b x b x? ? ? ?
00()x N x的某邻域 0xx? ( ),nPx
0 1 0 0( ) ( ) ( ) nnnP x a a x x a x x? ? ? ? ? ?
因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边
求 x的 1至 n阶导数,有
11 2 0 0( ) 2 ( ) ( ) nnnP x a a x x n a x x ?? ? ? ? ? ? ?
() ( ) ( 1 ) 3 2 1nnnP x n n a? ? ? ? ?
2
2 3 0 0( ) 2 3 2 ( ) ( 1 ) ( )
nP x a a x x n n a x x ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
假设 ?(x)在 内表示为 的多项式 即
下面对 ?(x)分两种情形来讨论以上问题,
26
在上列各式中,令,则得
0xx?
()
0() ( 0,1,2,,)
!
k
n
k
Pxa k n
k??
由 ()
0()( ) ( ),( 0,1,2,,)
!
k
nk
fxP x f x a k n
k? ? ?则
从而
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x P x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
27
并记 ?(x)与 之误差为 从而有()
nPx ( ),nRx ( ) ( ) ( ),nnf x P x R x??
()nRx ()nPx
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
nf x f xf x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
?(x),即有
当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 去近
似代替
(2)若 ?(x)不是多项式,而是一个在 内具有
直到 (n+1)阶导数的一般函数,则我们可仿照上式构造一
个关于 x的多项式
00()x N x的某 域
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xP x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
28
()nRx
定理 4.(泰勒 Taylor中值定理 ) 若函数 ?(x)在 \
内 具有直到 (n+1)阶导数,则 均有
00 (,)x U x ?的某邻域
(,),x a b??
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x f x f x x x x x x x R x
n
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 1 )
1
00
()( ) ( ) ( ),
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x x x
n
? ?? ???
? 介于 与 之
其中
那么,误差 如何确定呢?
29
则 F(t)在区间 上连续且可导,并有
00[,] [,]x x x x或
( 1 ) ( ) ( 1 )
1
0
( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ] ( )
! ! !
k k nn
k k n
k
f t f t f tF t x t k x t x t
k k n
??
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
1( ) ( ),nG t x t ???
( ) ( )
2
0
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( )
2 ! ! !
nk n
nk
k
f t f t f tF t f x f t f t x t x t x t f x x t
?
???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
理论证明可不讲,(证明提示 )作辅助函数
令
则 F(t)和 G(t)满足柯西中值定理的条件,故在
30
0 xx与之
至少存在一点 ξ,使得
( 1 )0
0
( ) ( ) ( ) 1 1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ! ( 1 ) ( )
nn
n
F x F x F fx
G x G x G n n x
? ??
??
??? ? ? ? ?
?? ? ?
( 1 )
0
1( ) ( ) ( )
( 1 ) !
n
nR x f G xn ?
?? ? ?
?
( 1 )1 ()
( 1 ) !
nf
n ?
??
?
0 ( ) ( ) 0,( ) ( )nF x G x F x R x? ? ?而
( 1 )
1
00
() ( ) ( )
( 1 ) !
n
nf x x x x
n
? ?? ???
? 在 与 之间
31
为函数 ?(x)在 处的 n 阶泰勒多项式,
称
而式
称为函数 ?(x)在 处的 n 阶拉格朗日余项,
注 2.若 ?(x)满足定理的条件,则,其误差可由
来估计,
注 1.将
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x f x f x x x x x x x R x
n
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
称为函数 ?(x)在 处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式,
0xx?
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xP x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
0xx?
0xx?
( 1 )
1
0
()( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
?? ???
?
( ) ( )nf x P x?
( 1 )
1
0
()( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
?? ???
?
32
注 4.在泰勒公式中令 则又可得到马克劳林 (Maclaurin)
公式或马克劳林 (Maclaurin)展开式, 即为
因此,泰勒公式是拉格朗日公式的推广,
注 3.在泰勒公式中令 n = 0,则又可得到拉格朗日公式
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )f x f x f x x x x f x x R x? ? ???? ? ? ? ?在 与 之间), 其中
0 0x ?
()
2( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 ) ( )
2 ! !
n
n
n
fff x f f x x x R x
n
???? ? ? ? ? ?
1
1()( ) (
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
? ?? ??
?其中 在0与 之间),
1
1()( ) ( 0 1 )
( 1 ) !
n
n
n
fxR x x
n
? ?? ?? ? ?
?或
33
例 9.写出 的 n阶马克劳林展开式,
注,在上式中令 x = 1,则得无理数 e的近似值
() xf x e?
( ) 1( ) ( ) ( ) ( )n n xf x f x f x f x e??? ? ? ?解
()( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1nf f f?? ? ? ?且 1 ( ) ( 0? )nxf x e ???? ? ? ?而
() xf x e?则 的马克劳林展开式为
2111 ( )
2 ! !
xn
ne x x x R xn? ? ? ? ? ?
( 1 )
1()( ) ( 0 1 )
( 1 ) !
n
n
n
fxR x x
n
? ?? ?? ? ?
?其中
1111
2 ! !e n? ? ? ? ?
此时所产生的误差为 3
( 1 ) ! ( 1 ) !n
eR
nn????
1 0 2, 7 1 8 2 8 2,ne?? -6当 时,可计算出 其误差不超过1 0
34
注,泰勒中值定理可用来近似求函数值,并且 n 取得越大
近似程度越好,
解
例 10.写出函数 ?(x) = ln(1+x)在 n = 2 时的马克劳林展开式,
1 2 3'( ) ( 1 ),"( ) ( 1 ),"'( ) 2 ! ( 1 )f x x f x x f x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?
3'( 0 ) 1,"( 0 ) 1 !,'"( ) 2 ! ( 1 )f f f ?? ?? ? ? ? ?且
( ) 1 l n ( 1 )f x x? ? ?则 的2 阶马克劳林展开式为
2
2
'( 0 ) "( 0 )ln( 1 ) ( 0 ) ( )
1 ! 2 !
ffx f x x R x? ? ? ? ?
2
2
1 ()
2x x R x? ? ?
3
3
2 3
' " ( )( ) ( 0 )
3 ! 3 ( 1 )
fxR x x x? ?
??? ?其中 介于 与 之间
第四章 导数的应用
§ 4.1 中值定理
§ 4.2 罗必达法则
§ 4.3 函数的单调性
§ 4.4 函数的极值与最值
§ 4.5 曲线的凹性与拐点
§ 4.6 函数作图的基本步骤与方法
§ 4.7 导数在经济中的应用
( ) ( ) ' ( )f b f a f
ba
? ?
? ?
2
第四章 导数的应用
导数是研究函数性质的重要工具, 仅从导数概念出
发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本
定理作为桥梁,
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、
柯西中值定理,
§ 4.1 中值定理
定理 1 (罗尔定理 )设函数 ?(x) 满足下列条件,
(1) 在闭区间 [a,b]上连续 ;
(2) 在开区间 (a,b)上可导 ;
(3) ?(a) = ?(b);
一,罗尔 (Rolle)定理
3
( ) 0,f ?? ?则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
bo x
A B
y=f(x)
a
y
罗尔定理的几何意义,
函数 ?(x)在 [a,b]上的图形是连续曲线弧 AB,如果除
端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间 [a,b]
的两个端点 a与 b处的纵坐标相同,即 ?(a) = ?(b);此时弦
4
显然这些点在最高点或最低点 (局部范围内 )处取
得,由此启发了我们的证明思路,
AB平行于 x 轴 ; 则在弧 AB 上至少能找到一点 C(ξ?
?(ξ)),使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB,即平行于
x轴,从而该点 C处的切线斜率为
( ) 0.f ?? ?
bo x
A B
y = f(x)
a
y
1? 2?
证 因 ?(x)在闭区间 [a,b]上连续,故由第二章定理 16知,
5
?(x)在 [a,b]上必有最大值 M 和最小值 m.
下面分两种情形讨论,
(1) 若 M = m,则 ?(x)在 [a,b]上恒为常数, 从而
(,),( ) 0,x a b f x?? ? ?恒有
o
y
x
y=M
6
故在 (a,b)内的每一点都可取作 ξ, 定理显然成立,
(2) 若,而 ?(a) = ?(b)
Mm?
( ),M f a?
( ) 0.f ?? ?
( ) ( ) 0 ( (,) )f x f x a b? ? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) 0 ( 1 )f x f
x
??? ? ? ?
?
( ) ( ) 0 ( 2 )f x f
x
??? ? ? ?
?
从而在区间 (a,b)内至少存在一点 ξ.使得 ?(ξ) =M
则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值,不妨设
下面证明
因 ?(ξ)= M,则不论 Δx>0或 Δx<0,恒有
当 Δx > 0时,有
当 Δx < 0时,有
7
而 ?(x)在 (a,b)内可导,则 ( ),f ?? 存在
0
( ) ( )( ) ( ) lim 0
x
f x fff
x
????
?? ??
? ? ??? ? ? ?
?
0
( ) ( )( ) ( ) lim 0
x
f x fff
x
????
?? ??
? ? ??? ? ? ?
?
故必有 ( ) 0.f ?? ?
则对式 (1)和式 (2)取极限有
( ) ( ) ( ) ( ),f f f f? ? ? ???? ? ? ?? ? ?且 存在
8
注 1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可,否
则结论不一定成立,(一般地说结论正确就需证明 ;否则,
只须举反例即可 )用下列各图形分别说明,
o
y
x
a b
y=f(x)
o
y
xa b
y=f(x)
o
y
xa b
y=f(x)
°
°
ξ ξ
( ) ( )f a f b? ?(x)在 [a,b]内
有间断点 ξ
?(x)在 (a,b)内有
不可导点 ξ (尖点 )
注 2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如
9
3
si n 0
4()
35
c os
44
xx
fx
xx
?
??
?
???
?
? ?
? ??
??
2?
此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均
不满足,但是却存在 和 ξ = π,使
o x
y=f(x)
y
°
? π
2
???
( ) ( ) 0,2ff? ?????
10
例 1,验证函数 在区间 [– 1,2]
上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的 ξ 值,
32( ) 4 7 1 0f x x x x? ? ? ?
注 3.罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在
一个 ξ,而不能肯定 ξ 的个数,也没有指出实际计算
ξ 的值的方法, 但对某些简单情形,可从方程中解出
ξ,
11
解 因 ?(x)是一初等函数,其定义域为 (,).?? ??
则 ?(x)在 [–1,2] 上连续,
在 (–1,2)内存在,即 ?(x)在 (–1,2） 可导,
2'( ) 3 8 7f x x x? ? ?
( ) 0fx? ?
4 3 7
3?
???则满足题意的点为
4 37
3x
????23 8 7 0xx? ? ? ?
而 ?(–1) = ?(2) = 0,即 ?(x)在 [– 1,2]上满足罗尔定理
的条件,由
4 37
3?
???而 舍去
12
例 2,不求函数 ?(x) = (x–1) (x–2) (x–3) x 的导数,说明
方程 有几个实根?并指出它们所在区间,
( ) [0,1 ],( ) [ 1,2 ],( ) [ 2,3 ] ;f x C f x C f x C? ? ?解
( ) 0fx? ?
( ) ( 0,1 ),( ) ( 1,2 ),( ) ( 2,3 )f x D f x D f x D? ? ?
( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )f f f f? ? ?且
1 2 3 ( ) 0,,;fx ? ? ?? ?故方程 有三个不相等的根
1 2 3 ( 0,1 ),( 1,2 ),( 2,3 ),? ? ?? ? ?且
13
例 3.设 ?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且
?(a)= ?(b) = 0,试证, 在 (a,b)内至
少存在一点 ξ,使得
( ) ( )ff??? ??
( ) ( ) xF x f x e?令
( ) ( ) 0 ff??? ??于是
显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有
证
则 F(x) 在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且
F(a) = F(b) = 0,即满足罗尔定理的条件,
则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
( ) [ ( ) ( ) ] 0 ( (,b) ) F f f e a?? ? ? ??? ? ? ? ?
( ) ( ) ( (,b ) ) f f a? ? ?? ? ? ?故
14
二,拉格朗日 (Lagrange)中值定理
定理 2 拉格朗日 (Lagrange)中值定理 )
设函数 ?(x)满足下列条件,
(1) 在闭区间 [a,b]上连续 ;
(2) 在开区间 (a,b)上可导 ;
则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
( ) ( )() f b f af
ba?
?? ?
?
o x
y
y = f(x)
a
A
b
B
1? 2?
C
或 也称微分中值定理,( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?
几何意义, 如果在连续曲线弧 AB上,除端点外,处处具有
不垂直 于 x轴的切线,又因弦 AB的斜率为 则
在弧 AB上至少
( ) ( ),f b f a
ba
?
?
D
15
o x
y
y = f(x)
a
A
b
B
1? 2?
既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的
特殊情形,下面利用分析的方法来构造
辅助函数,
要证 ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a??? ? ?
故只须令 F(x) = [ ?(b)–?(a)](x–a) –[ ?(x)–?(a)](b–a)
C
能找到一点 C,使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.
( ) ( ) ( ) ( ) 0f b f a f b a??? ? ? ?移项得
{ [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) } 0xf b f a x a f x f a b a ???? ? ? ? ? ? ?
从而只需验证 F(x) 满足罗尔定理的条件即可, 易验
证这个函数的连续性、可导性以及端点条件,
注,在 [a,b]内的任意闭区间 上,拉格朗日中值定理
均成立, 12[,]xx
D
16
特别地,若 x 与 x +Δ x为区间 (a,b)内的任意两点,
则有
( ) ( ) ( ) ( 0 1 )y f x x f x f x x x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
由于当 Δx为有限时,上式是 Δy的准确表达式,
因而也把上式称为有限增量公式, 而函数的微分
仅是 Δy的近似表达式,因而有限增量
公式在理论上十分有用,
()d y f x d x??
17
例 4,验证函数 ?(x) = ln x在 [1,e]上满足拉格朗日中值
定理, 若满足求出 ξ.
解 因 ?(x) 在 [1,e]上连续,在 (1,e)内可导, 即 ?(x)
在 [1,e]上满足拉格朗日中值定理, 而 1()fx x? ?
1ln ln 1 ( 1 )
xee x ??? ? ?
则由拉格朗日中值公式有
11 ( 1 ) 1.ee ?
?? ? ? ? ? ?
18
推论 1,(,),( ) 0x a b f x?? ? ? ?(,),( ),x a b f x C? ? ?
几何意义,斜率处处为 0 的曲线,一定是平行于 x 轴的
直线,
推论 2,(,),( ) ( )x a b f x g x??? ? ? ?(,),( ) ( ),x a b f x g x C? ? ? ?
下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式,
例 5.证明 22sin c o s 1 ( R )x x x? ? ? ?
证 22( ) s in c o sf x x x??令
( ) 2 s i n c o s 2 c o s ( s i n ) 0f x x x x x? ? ? ? ?
( ) ( (,) )f x C x a b? ? ?
22s i n c o s 1xx??
22 0,( 0 ) s in 0 c o s 0 1x f C? ? ? ? ?特殊地取 有
19
例 6,证明不等式
ln ( 0 )b a b b a abb a a??? ? ? ?
分析,因 0 < a < b,从而 b – a不为 0,即只须证
1 ln ln 1 ba
b b a a
???
?
是函数值之差,可以考虑用拉格朗日中值定理ln lnbaba??
解 令 ?(x) = ln x
因 ?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导, 即 ?(x)在 [a,b]上
满足拉格朗日中值定理, 从而
1l n l n ( ) ( ) ( ) ( (,) )b a f b a b a a b??
??? ? ? ? ? ?
另一方面 1 1 1
ba??? ln ln ln
b a b b aba
b a a
??? ? ? ? ?
显然,利用拉格朗日中值定理证明等式的关键是,
20
( ),f x C? 00,( ),x f x C由 算出
( ) ( ) ( ) ( ), ( )f b f a f b a a b???? ? ? ? ?
()f ??
例 7.当 x > 1时,证明不等式,xe ex?
最后特殊取点
(2) 根据不等式的特点选取适当的函数 ?(x)及对应区间 [a,b],
使其满足定理的条件,便有
再根据 a < ξ < b 放大或缩小导数 证出不等式,
解 令 ( ) ( [ 1,) )xf x e x? ? ? ? ?
1 ( 1 ) ( ( 1,) 1 )xe e e x x? ??? ? ? ? ?即
( ) [ 1,),( ) ( 1,)f x C f x D? ? ? ? ? ?
( 1 ),xxe e e e e x e e x? ? ? ? ? ? ? ?
(1) 根据等式特点选取适当的函数 ?(x),先证 ( ) 0,fx? ?
再证
21
则在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
( 3 ) (,),( ) 0,x a b g ??? ? ?均有
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f
g b g a g
?
?
?? ?
??
(2) 辅助函数可令
F(x) = [ ?(b)–?(a)][g(x)–g(a)]–[ ?(x)–?(a)] [g(b)–g(a)],
且由 ( ) 0 ( ) ( ),g g b g a?? ??可知
定理 3(柯西 Cauchy中值定理 )
(1) 在闭区间 [a,b]上连续 ； (2)在开区间 (a,b)上可导 ；
理论证明略, 提示,
(3)当 g(x) = x时,柯西中值定理即为拉格朗日中值定理,
若函数 ?(x),g(x)满足下列条件：
(1) 其证明不能分别利用拉格朗日中值定理,
三, 柯西 (Cauchy)中值定理
22
例 8.若 ?(x) 在 [a,b]上连续,在 (a,b)内可导且 a >0,试证
在 (a,b)内方程 至少存在
一个根,
222 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )x f b f a b a f x?? ? ?
证 因 222 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )x f b f a b a f x?? ? ? 可以改
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
f x f x f b f a
x x b a
?? ???
? ?
而 在 [a,b]上满足柯西中值定理的条件,2( ),f x x
所以在 (a,b)内至少存在一点 ξ,使得
22
( ) ( ) ( )
2
f f b f a
ba
?
?
? ??
?
222 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f b f a b a f?? ?? ? ?
故在 (a,b)内方程至少存在一个根 ξ,
23
结论, 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 ; 柯西
中值定理又是拉格朗日中值定理的推广, 柯西中值
定理的特殊情形为拉格朗日中值定理,拉格朗日中
值定理的特殊情形为罗尔定理,
CR L
?(a) = ?(b) g(x) = x
24
多项式对数值计算和理论分析都十分方便,所以在
研究某些复杂函数时,常常希望将它们表示为一个多项
式, 假设 ?(x)在 内能够表示为一个多项
式,问题,
00 ()x N x的某邻域
()nPx
( ) ( )nf x P x?
()nPx(1)多项式 的系数应如何确定呢?
(2) 又为多少呢?
四, 泰勒 (Taylor)中值定理
25
(1)若 ?(x)为一个关于 x的多项式,即 01() nnf x b b x b x? ? ? ?
00()x N x的某邻域 0xx? ( ),nPx
0 1 0 0( ) ( ) ( ) nnnP x a a x x a x x? ? ? ? ? ?
因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边
求 x的 1至 n阶导数,有
11 2 0 0( ) 2 ( ) ( ) nnnP x a a x x n a x x ?? ? ? ? ? ? ?
() ( ) ( 1 ) 3 2 1nnnP x n n a? ? ? ? ?
2
2 3 0 0( ) 2 3 2 ( ) ( 1 ) ( )
nP x a a x x n n a x x ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
假设 ?(x)在 内表示为 的多项式 即
下面对 ?(x)分两种情形来讨论以上问题,
26
在上列各式中,令,则得
0xx?
()
0() ( 0,1,2,,)
!
k
n
k
Pxa k n
k??
由 ()
0()( ) ( ),( 0,1,2,,)
!
k
nk
fxP x f x a k n
k? ? ?则
从而
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x P x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
27
并记 ?(x)与 之误差为 从而有()
nPx ( ),nRx ( ) ( ) ( ),nnf x P x R x??
()nRx ()nPx
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
nf x f xf x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
?(x),即有
当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 去近
似代替
(2)若 ?(x)不是多项式,而是一个在 内具有
直到 (n+1)阶导数的一般函数,则我们可仿照上式构造一
个关于 x的多项式
00()x N x的某 域
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xP x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
28
()nRx
定理 4.(泰勒 Taylor中值定理 ) 若函数 ?(x)在 \
内 具有直到 (n+1)阶导数,则 均有
00 (,)x U x ?的某邻域
(,),x a b??
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x f x f x x x x x x x R x
n
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
( 1 )
1
00
()( ) ( ) ( ),
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x x x
n
? ?? ???
? 介于 与 之
其中
那么,误差 如何确定呢?
29
则 F(t)在区间 上连续且可导,并有
00[,] [,]x x x x或
( 1 ) ( ) ( 1 )
1
0
( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ] ( )
! ! !
k k nn
k k n
k
f t f t f tF t x t k x t x t
k k n
??
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
1( ) ( ),nG t x t ???
( ) ( )
2
0
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( )
2 ! ! !
nk n
nk
k
f t f t f tF t f x f t f t x t x t x t f x x t
?
???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
理论证明可不讲,(证明提示 )作辅助函数
令
则 F(t)和 G(t)满足柯西中值定理的条件,故在
30
0 xx与之
至少存在一点 ξ,使得
( 1 )0
0
( ) ( ) ( ) 1 1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ! ( 1 ) ( )
nn
n
F x F x F fx
G x G x G n n x
? ??
??
??? ? ? ? ?
?? ? ?
( 1 )
0
1( ) ( ) ( )
( 1 ) !
n
nR x f G xn ?
?? ? ?
?
( 1 )1 ()
( 1 ) !
nf
n ?
??
?
0 ( ) ( ) 0,( ) ( )nF x G x F x R x? ? ?而
( 1 )
1
00
() ( ) ( )
( 1 ) !
n
nf x x x x
n
? ?? ???
? 在 与 之间
31
为函数 ?(x)在 处的 n 阶泰勒多项式,
称
而式
称为函数 ?(x)在 处的 n 阶拉格朗日余项,
注 2.若 ?(x)满足定理的条件,则,其误差可由
来估计,
注 1.将
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xf x f x f x x x x x x x R x
n
???? ? ? ? ? ? ? ? ?
称为函数 ?(x)在 处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式,
0xx?
()
200
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 ! !
n
n
n
f x f xP x f x f x x x x x x x
n
???? ? ? ? ? ? ? ?
0xx?
0xx?
( 1 )
1
0
()( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
?? ???
?
( ) ( )nf x P x?
( 1 )
1
0
()( ) ( )
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
?? ???
?
32
注 4.在泰勒公式中令 则又可得到马克劳林 (Maclaurin)
公式或马克劳林 (Maclaurin)展开式, 即为
因此,泰勒公式是拉格朗日公式的推广,
注 3.在泰勒公式中令 n = 0,则又可得到拉格朗日公式
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )f x f x f x x x x f x x R x? ? ???? ? ? ? ?在 与 之间), 其中
0 0x ?
()
2( 0 ) ( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 ) ( )
2 ! !
n
n
n
fff x f f x x x R x
n
???? ? ? ? ? ?
1
1()( ) (
( 1 ) !
n
n
n
fR x x x
n
? ?? ??
?其中 在0与 之间),
1
1()( ) ( 0 1 )
( 1 ) !
n
n
n
fxR x x
n
? ?? ?? ? ?
?或
33
例 9.写出 的 n阶马克劳林展开式,
注,在上式中令 x = 1,则得无理数 e的近似值
() xf x e?
( ) 1( ) ( ) ( ) ( )n n xf x f x f x f x e??? ? ? ?解
()( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1nf f f?? ? ? ?且 1 ( ) ( 0? )nxf x e ???? ? ? ?而
() xf x e?则 的马克劳林展开式为
2111 ( )
2 ! !
xn
ne x x x R xn? ? ? ? ? ?
( 1 )
1()( ) ( 0 1 )
( 1 ) !
n
n
n
fxR x x
n
? ?? ?? ? ?
?其中
1111
2 ! !e n? ? ? ? ?
此时所产生的误差为 3
( 1 ) ! ( 1 ) !n
eR
nn????
1 0 2, 7 1 8 2 8 2,ne?? -6当 时,可计算出 其误差不超过1 0
34
注,泰勒中值定理可用来近似求函数值,并且 n 取得越大
近似程度越好,
解
例 10.写出函数 ?(x) = ln(1+x)在 n = 2 时的马克劳林展开式,
1 2 3'( ) ( 1 ),"( ) ( 1 ),"'( ) 2 ! ( 1 )f x x f x x f x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?
3'( 0 ) 1,"( 0 ) 1 !,'"( ) 2 ! ( 1 )f f f ?? ?? ? ? ? ?且
( ) 1 l n ( 1 )f x x? ? ?则 的2 阶马克劳林展开式为
2
2
'( 0 ) "( 0 )ln( 1 ) ( 0 ) ( )
1 ! 2 !
ffx f x x R x? ? ? ? ?
2
2
1 ()
2x x R x? ? ?
3
3
2 3
' " ( )( ) ( 0 )
3 ! 3 ( 1 )
fxR x x x? ?
??? ?其中 介于 与 之间
