1
1.(第一章 ) 单调增加 (或减少 )函数的几何解释, 对应
曲线是上升或下降的,
§ 4.3 函数的单调性
单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要
内容, 它既决定着函数递增和递减的状况,又有助
于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描
绘函数的图形等,
一,函数的单调性
2
2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
o xx
yy
o1x
1x 2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法,
但繁 ! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性,
3
o x xo
y y
反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
( ) 0 ( ( ) 0f x f x????或）
从上图可看出,当曲线为上升 (或下降 )时,其上各点切
线与 x轴正向夹角为锐角 (或钝角 ),则其切线斜率 tanα是非
负 (或非正 )的,
根据导数的几何意义知函数 ?(x)单调增加 (或减少 )时,总有
可见函数的单调性与导数的符号有关,
4
定理 7.(函数单调性的判定方法 ) 设 y =?(x)在区间 [a,b]
上连续,在区间 (a,b)内可导, 有
(,),x a b??
( 1 ) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若,则 在区间 内单调增加
( 2) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若,则 在区间 内单调递减
即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调,
5
1 2 1 2,(,),,x x a b x x? ? ?
1 2 1 2( ) [,] (,)f x x x x x由已知 在 上连续,在 可导
21
12
21
( ) ( ) ( ) ( (,) )f x f x f x x
xx ??
? ???
? 其中
根据拉格朗日中值定理,有
21
21
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0f x f xf x f
xx?
???? ? ?
?当 时，有 从而
21( ) ( )f x f x?? 12,( ),.x x f x a b故由 的任意性,在( ) 内单增
证
6
21
21
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0f x f xf x f
xx?
???? ? ?
?当 时，有 从而
12,( ),.x x f x a b故由 的任意性,在( ) 内单减
例 15 () xf x e?? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内单增
21( ) ( ),f x f x??
() xf x e ??? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内单减
注 1.研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,
哪些区间内递减,由定理 1 对可导函数的单调性,可根据
导数的正负情况予以确定,
2.定理 7的结论对无穷区间也成立,
7
o x
y
3yx?
3.如果函数的导数仅在个别点处为 0,而在其余的点处均
满足定理 1,则定理 1仍成立, 如
32
3
( ) ( ) 2 0 ( ( 0 ) 0 )
(,),
y f x x f x x f
yx
??? ? ? ? ? ?
? ?? ??
有
但 在 增
4.此定理可完善为充要条件, 即若 ?(x)在
(a,b)内可导且单调增加 (或减少 ),则 ?(x)
在 (a,b)内必有
( ) 0 ( ( ) 0),f x f x????或
5.有些函数在它的定义区间上不是单调的,如
2 0,[0,)( ) ( ) 2
0,(,0)
xy f x x f x x
x
? ? ????? ? ? ? ?
? ? ???
但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?
o x
2yx?y
8
o x
y
y=|x|
的点 (单调区间分界点 )来划分函数的定义区间,就能保
证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调
区间及函数的单调性,
( ) 0 ( ) f x f x??? 的解及 不存在
6.函数 y=|x|,x = 0为其连续不可导点, 但它在部分
区间上单调,那么又怎么来求它的单调区间呢?
结论, 如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数
不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程
9
确定某个函数 y=?(x)的单调性的一般步骤是,
(1)确定函数定义域 ;
(2)求出 的点,以这些点为分界
点划分定义域为多个子区间 ;
( ) 0 ( ) f x f x??? 及 不存在
(3)确定 在各子区间内的符号,从而定出 ?(x)在各
子区间的单调性,
( ) fx?
10
例 16 求函数 的单调区间,32( ) 2 9 12 3f x x x x? ? ? ?
(,)?? ??
12 ( ) 0 1,2f x x x? ? ? ?由有
x 1 (1,2) 2
+ – +
?(x)
(,1)?? (2,)??
()fx?
列表讨论如下,
2( ) 6 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?
(,) (,1 ],[ 1,2 ],[ 2,)? ? ? ? ? ? ? ?根 分 三 子
解 定义域为
故 是 ?(x)的递增区间, [1,2] 是递减区间, (端点
可包括也可不包括 )
(,1 ],[ 2,)?? ??
11
例 17 讨论函数 的单调性,23( ) ( 1 )f x x x??
解 定义域为 (,)?? ??
12
33
1
3
2 5 2( ) ( 1 )
3 3
xf x x x x
x
? ?? ? ? ? ?
x 0
+ – +
?(x)
(,0)?? 2(,)5 ??
()fx?
故在 内 ?(x)是递增的, 在 内递减,2 (,0 ),(,)
5?? ??
2(,)
5 ??
列表讨论如下,
2 0 ( ),x f x?而 是 的不可导点
22 (,) (,0,0,,,)
55? ? ? ? ? ? ? ?这两个点将 分为三个子区间 ）（ ）（
2(0,)5
1
2 ( ) 0
5f x x? ??由有
25
12
例 18 证明不等式
二,函数单调性的应用
下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程
的根的存在性及其个数,
1.证明不等式,关键是根据所证不等式及所给区间构造辅
助函数,并讨论它在指定区间内的单调性,
( 1 ) 1 ( 0 ) ( 2 ) ln ( 1 ) ( 0 )1x xe x x x x xx? ? ? ? ? ? ??
( 1 ) ( ) 1xf x e x? ? ?解令 ( 0 ) 0,( ) 1 0 ( 0 )xf f x e x?? ? ? ? ?而
( ) fx? 单增 1.xex??故 ( ) ( 0) ( 0)f x f x??即
13
1( 2 ) ( ) ln ( 1 ) 1
xf x x
x? ? ? ?解令
11 2( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )( 1 )
xf f x x
x?? ? ? ??而
( ) fx? 单增
11 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 ln ( 1 ) 1
xx
x?? ?故
2 ( ) ln( 1 )f x x x? ? ?令
22( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )1
xf f x x
x
??? ? ? ?
?而
( ) fx? 单减
22 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 l n ( 1 )xx??故
2.讨论方程根的问题,若 y = ?(x)单调且变号,则方程 ?(x) =
0一定有根,而函数曲线与 x 轴的交点,确就是方程的根,
14
例 19 设 ?(x)在 内连续,?(a) < 0当 x >a 时,有
(其中 k为常数 ),求证, 在 内,
方程 ?(x) = 0有且仅有一个实根,
[,)a ?? ( ) 0f x k? ??
()(,)faaa
k?
o x
y y= ?(x)
a
( ) 0f x k? ??
[,)a ??
()[,]faaa
k?
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )f a f a f af a f a f a a
k k k???? ? ? ? ? ? ?
()faa k?
证 因当 x >a时,有,则 ?(x) 在
内单调增加,
在区间 上应用拉格朗日中值定理,得
,( ) 0a f k?? ?? ? ?当时 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) 0f a f af a f a k f akk? ? ? ? ? ? ?
( ) 0fa ?而
由介值定理知方程 ?(x) = 0 在 ()(,)faaa
k?
内至少有一个实根,
故结论得证,
()[ ] 0fafa
k? ? ?
15
例 20 证明方程 (1) 有且仅有一个正根,3 10xx? ? ?
l n 1 ( 0,)xx e? ? ? ?在(2) 内有两个实根,
证 (1) 3( ) 1f x x x? ? ?设
2'( ) 3 1 0,f x x? ? ? 函数单调増加
( 0 ) 1,( 1 ) 1ff? ? ?且
( ) 0,fx??方程 有且仅有一个正根
( 2 ) ( ) ln 1 xf x x e? ? ?设 11'( ) 0,f x x exe? ? ? ?则
' ( ) 0,' ( ) 0x e f x x e f x? ? ? ?且,,
31( ) 0,( ) 0,( ) 0
2f f e f e? ? ?又
( ) 0 ( 0,),fx? ? ? ?方程 在 内有两个实根
1.(第一章 ) 单调增加 (或减少 )函数的几何解释, 对应
曲线是上升或下降的,
§ 4.3 函数的单调性
单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要
内容, 它既决定着函数递增和递减的状况,又有助
于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描
绘函数的图形等,
一,函数的单调性
2
2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
o xx
yy
o1x
1x 2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法,
但繁 ! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性,
3
o x xo
y y
反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?
( ) 0 ( ( ) 0f x f x????或）
从上图可看出,当曲线为上升 (或下降 )时,其上各点切
线与 x轴正向夹角为锐角 (或钝角 ),则其切线斜率 tanα是非
负 (或非正 )的,
根据导数的几何意义知函数 ?(x)单调增加 (或减少 )时,总有
可见函数的单调性与导数的符号有关,
4
定理 7.(函数单调性的判定方法 ) 设 y =?(x)在区间 [a,b]
上连续,在区间 (a,b)内可导, 有
(,),x a b??
( 1 ) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若,则 在区间 内单调增加
( 2) ( ) 0 ( ) (,) f x f x a b? ?若,则 在区间 内单调递减
即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调,
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1 2 1 2,(,),,x x a b x x? ? ?
1 2 1 2( ) [,] (,)f x x x x x由已知 在 上连续,在 可导
21
12
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( ) ( ) ( ) ( (,) )f x f x f x x
xx ??
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? 其中
根据拉格朗日中值定理,有
21
21
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0f x f xf x f
xx?
???? ? ?
?当 时，有 从而
21( ) ( )f x f x?? 12,( ),.x x f x a b故由 的任意性,在( ) 内单增
证
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21
21
( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0f x f xf x f
xx?
???? ? ?
?当 时，有 从而
12,( ),.x x f x a b故由 的任意性,在( ) 内单减
例 15 () xf x e?? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内单增
21( ) ( ),f x f x??
() xf x e ??? ( ) 0 (,) (,),xxf x e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在 内单减
注 1.研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,
哪些区间内递减,由定理 1 对可导函数的单调性,可根据
导数的正负情况予以确定,
2.定理 7的结论对无穷区间也成立,
7
o x
y
3yx?
3.如果函数的导数仅在个别点处为 0,而在其余的点处均
满足定理 1,则定理 1仍成立, 如
32
3
( ) ( ) 2 0 ( ( 0 ) 0 )
(,),
y f x x f x x f
yx
??? ? ? ? ? ?
? ?? ??
有
但 在 增
4.此定理可完善为充要条件, 即若 ?(x)在
(a,b)内可导且单调增加 (或减少 ),则 ?(x)
在 (a,b)内必有
( ) 0 ( ( ) 0),f x f x????或
5.有些函数在它的定义区间上不是单调的,如
2 0,[0,)( ) ( ) 2
0,(,0)
xy f x x f x x
x
? ? ????? ? ? ? ?
? ? ???
但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?
o x
2yx?y
8
o x
y
y=|x|
的点 (单调区间分界点 )来划分函数的定义区间,就能保
证函数在各个部分区间内保持固定符号,从而可得单调
区间及函数的单调性,
( ) 0 ( ) f x f x??? 的解及 不存在
6.函数 y=|x|,x = 0为其连续不可导点, 但它在部分
区间上单调,那么又怎么来求它的单调区间呢?
结论, 如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数
不存在的点外导数都存在且连续,那么只要用方程
9
确定某个函数 y=?(x)的单调性的一般步骤是,
(1)确定函数定义域 ;
(2)求出 的点,以这些点为分界
点划分定义域为多个子区间 ;
( ) 0 ( ) f x f x??? 及 不存在
(3)确定 在各子区间内的符号,从而定出 ?(x)在各
子区间的单调性,
( ) fx?
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例 16 求函数 的单调区间,32( ) 2 9 12 3f x x x x? ? ? ?
(,)?? ??
12 ( ) 0 1,2f x x x? ? ? ?由有
x 1 (1,2) 2
+ – +
?(x)
(,1)?? (2,)??
()fx?
列表讨论如下,
2( ) 6 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ?
(,) (,1 ],[ 1,2 ],[ 2,)? ? ? ? ? ? ? ?根 分 三 子
解 定义域为
故 是 ?(x)的递增区间, [1,2] 是递减区间, (端点
可包括也可不包括 )
(,1 ],[ 2,)?? ??
11
例 17 讨论函数 的单调性,23( ) ( 1 )f x x x??
解 定义域为 (,)?? ??
12
33
1
3
2 5 2( ) ( 1 )
3 3
xf x x x x
x
? ?? ? ? ? ?
x 0
+ – +
?(x)
(,0)?? 2(,)5 ??
()fx?
故在 内 ?(x)是递增的, 在 内递减,2 (,0 ),(,)
5?? ??
2(,)
5 ??
列表讨论如下,
2 0 ( ),x f x?而 是 的不可导点
22 (,) (,0,0,,,)
55? ? ? ? ? ? ? ?这两个点将 分为三个子区间 ）（ ）（
2(0,)5
1
2 ( ) 0
5f x x? ??由有
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例 18 证明不等式
二,函数单调性的应用
下面利用函数的单调性,来证明不等式和判断方程
的根的存在性及其个数,
1.证明不等式,关键是根据所证不等式及所给区间构造辅
助函数,并讨论它在指定区间内的单调性,
( 1 ) 1 ( 0 ) ( 2 ) ln ( 1 ) ( 0 )1x xe x x x x xx? ? ? ? ? ? ??
( 1 ) ( ) 1xf x e x? ? ?解令 ( 0 ) 0,( ) 1 0 ( 0 )xf f x e x?? ? ? ? ?而
( ) fx? 单增 1.xex??故 ( ) ( 0) ( 0)f x f x??即
13
1( 2 ) ( ) ln ( 1 ) 1
xf x x
x? ? ? ?解令
11 2( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )( 1 )
xf f x x
x?? ? ? ??而
( ) fx? 单增
11 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 ln ( 1 ) 1
xx
x?? ?故
2 ( ) ln( 1 )f x x x? ? ?令
22( 0 ) 0,( ) 0 ( 0 )1
xf f x x
x
??? ? ? ?
?而
( ) fx? 单减
22 ( ) ( 0 ) ( 0 )f x f x??即 l n ( 1 )xx??故
2.讨论方程根的问题,若 y = ?(x)单调且变号,则方程 ?(x) =
0一定有根,而函数曲线与 x 轴的交点,确就是方程的根,
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例 19 设 ?(x)在 内连续,?(a) < 0当 x >a 时,有
(其中 k为常数 ),求证, 在 内,
方程 ?(x) = 0有且仅有一个实根,
[,)a ?? ( ) 0f x k? ??
()(,)faaa
k?
o x
y y= ?(x)
a
( ) 0f x k? ??
[,)a ??
()[,]faaa
k?
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) [ ] ( )f a f a f af a f a f a a
k k k???? ? ? ? ? ? ?
()faa k?
证 因当 x >a时,有,则 ?(x) 在
内单调增加,
在区间 上应用拉格朗日中值定理,得
,( ) 0a f k?? ?? ? ?当时 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) 0f a f af a f a k f akk? ? ? ? ? ? ?
( ) 0fa ?而
由介值定理知方程 ?(x) = 0 在 ()(,)faaa
k?
内至少有一个实根,
故结论得证,
()[ ] 0fafa
k? ? ?
15
例 20 证明方程 (1) 有且仅有一个正根,3 10xx? ? ?
l n 1 ( 0,)xx e? ? ? ?在(2) 内有两个实根,
证 (1) 3( ) 1f x x x? ? ?设
2'( ) 3 1 0,f x x? ? ? 函数单调増加
( 0 ) 1,( 1 ) 1ff? ? ?且
( ) 0,fx??方程 有且仅有一个正根
( 2 ) ( ) ln 1 xf x x e? ? ?设 11'( ) 0,f x x exe? ? ? ?则
' ( ) 0,' ( ) 0x e f x x e f x? ? ? ?且,,
31( ) 0,( ) 0,( ) 0
2f f e f e? ? ?又
( ) 0 ( 0,),fx? ? ? ?方程 在 内有两个实根
