1
§ 2.5 无穷小量与无穷大量
研究函数极限时,有两种变量非常重要, 一种是
在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有
多小 ; 一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而
且要多么大就有多大,我们分别将它们称为无穷小量
和无穷大量,
2
一, 无穷小量
定义 以零为极限的变量称为无穷小量, 例
1,x
x? ? ?是 时 的 无 穷 小 量
0l i m s i n 0 s i n 0,x x x x? ? ? ?是 时 的 无 穷 小 量
1
l i m 0
l i m 0
l i m 0
x
x
x
x
x
x
e
e
??
? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
,xex? ? ? ?是 时 的 无 穷 小 量
,xex?? ? ? ?是 时 的 无 穷 小 量
lim 0 ( 1 ),nnn q q q n?? ? ? ? ? ?是 时 的 无 穷 小 量
0 0 0 0
l i m ( ) 0,xx x x x x x x? ? ? ? ? ?是 时 的 无 穷 小 量
1l i m ( 2 ) 1,1 2,x x x x? ? ? ? ? ?时 不 是 无 穷 小 量
3
注 1,很小很小的非零常量不是无穷小量,但数,0”
是无穷小量 ; 而无穷小量却不一定是数,0”,仅极
限值为 0.
无穷小量的性质
性质 1,
i 0 ( 1,2,,),in? ??设 在 某 一 极 限 过 程 下 有 则
在 此 极 限 过 程 下 有
注 2,无穷小量与自变量的变化过程有关,
1
( 1 ), 0 ;
n
i
i
?
?
?? 1( 2 ),0,
n
i
i
?
?
??
4
性质 2,有界变量 ?(x)与无穷小量 α(x)之积仍为无穷小量,
证明
( ),0,( ),( ) ;f x M x D f f x M? ? ? ? ?因 有 界 则 恒 有
例
0
11
li m si n 0,li m si n 1.
si n ( 1 )
li m 0 ; li m 0.
xx
n
xn
xx
xx
x
xn
? ? ?
? ? ? ?
??
?
??
但
( ),x?因 为 无 穷 小 量
( ) ( ), ( ) ( ),f x x M f x xM?? ? ?? ? ? ? ? 为 无 穷 小 量
0,( ),xMM?? ?? ? ? ?则 某 个 时 刻, 在 此 时 刻 后,
5
定理 8,(函数与其极限间的关系 )函数 ?(x)的极限为 A
的充要条件是函数 ?(x )等于 A与无穷小量 α 的和,
即 ?(x) = A + α.
设 lim ?(x) =A,则对
0???
""?
""?
0???
设 ?(x ) = A +α,且 α为无穷小量,则对
证明
故 lim ?(x) =A.
总存在一个时刻,在此时刻,
以后,就恒有 |?(x)– A|<ε,从而 ? (x )?A为无穷小量,记
为 α,则 ? (x )=A+α
总存在
一个时刻,在此时刻以后,就恒有 | α |= |? (x)– A|< ε,
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二, 无穷大量
定义 若对,函数 ?(x)在其自变量的变化过程
中,总存在一个时刻,在此时刻以后,就恒有 | ?(x) |
>M,则称函数 ?(x)为该变化过程下的无穷大量, 记为
0M??
0
l i m ( ) l i m ( )x x xf x f x? ? ?? ? ? ?（ 或 ）
注 1.无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而
不是一个很大的常量, 当 ?(x)取正值无限增大 (取负值
绝对值无限增大 )时,称为正无穷大量 (负无穷大量 ),
l i m ( ) l i m ( )f x f x? ? ? ? ? ?（ 或 ）
注 2.通常 lim ( ) fx ??
{( 1) }n?
0
11li m 0,
x xxx? ? ? ? ?是 时 的 无 穷 大 量
例
l i m,xxx e e x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是 时 的 无 穷 大 量
记为
是极限不存在的记号 ; 但它又
不同于变量 (无限增大的趋势 ).
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无穷小量与无穷大量的关系：
定理 9,在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒
数为无穷小量 ;非零无穷小量的倒数为无穷大量,
由此定理可知,要证 lim ( ) fx ??
1lim 0
()fx ?
例 21.求 2
21
3l i m,
54x
x
xx?
?
??
22
2211
5 4 3lim = 0,lim
3 5 4xx
x x x
x x x??
? ? ?? ? ?
? ? ?解
只需证
即可,
8
(1).若
三, 无穷小量阶的比较
无穷小量都是以 0为极限,但它们趋于 0
的“速度”却不一定相同,例
2 0,,2,,x x x x?当 时 都 是 无 穷 小 量
y=2x
y=x
2 2 0,0,x x x x??但 的 速 度 比, 慢, 的 速 度 比, 快,
为了描述这种情况,有下述定义,设 α(x),
β(x)是同一极限过程中的两个无穷小量,
()lim 0
()
x
x
?
? ?
,则称 α(x)是比 β(x)更高阶的
无穷小量,记为 α(x) = o(β)
9
(3).若,则称 α(x)是比 β(x)更低阶的无穷小量,
记为
()lim 0
()
x C
x
?
? ??
()lim
()
x
x
?
? ??
(2).若,则称 α(x)与 β(x)是同阶的无穷小量,
特别地,当 C = 1时,则称 α(x)与 β(x)是等价的无穷小量,
记为 α(x) ~ β(x)
α(x) = O(β (x)),例
0
11, lim,
22x
x
x? ?
故当 x→0 时,x与 2 x 是同阶的无穷小量,
故当 x→ ０ 时,x2是比 x 更高阶的无穷小量,
故当 x→∞ 时,1/x 是比 1/x 更高阶的无穷小量,
故当 x→0 时,sin x与 x是等价的无穷小量,
0
sin4, lim 1,
x
x
x? ?
2
02, lim 0,x
x
x? ?
2
1
3, lim 0,1
x
x
x
??
?
10
定理 10,α与 β是等价的无穷小量的充要条件是
α = β + o(β).
定理 11,若在同一极限过程中,α,β,γ 均为无穷小
量,则
(1),α ~ α; (反身性 )
(2).若 α ~ β; 则 β ~ α; (对称性 )
(3).若 α ~ β,β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性 )
(4).若 α ~ β; 则 αγ ~ γ β,
四, 无穷小量代换原理
11
定理 12,(等价代换原理 )设 α,α１,β,β１,为同一极限
1
1
lim??
1
1
li m li m,?????
注 1:由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时,如果
分子,分母的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的
等价无穷小量来代换原来的分子,分母,使计算简化,
请记住以下几个常用的等价无穷小量,
过程中无穷小量且 α～ α１,β～ β１,若 存在,则
12
0 x ?当 时
1.sin x ~ x; 2.tan x ~ x;
3.ln(1+x) ~ x; 4.arcsin x ~ x;
6,1 ~ l n,xa x a?
27.1 c os ~ ;
2
xx? 1
8,( 1 ) 1 ~,n aax xn??
1 ~ ;xex?
例 21.求下列函数的极限
0
t a n 2( 1 ), lim ;
sin 3x
x
x?
t a n 2 2,s i n 3 3 ( 0)x x x x x? ? ?解
00
t a n 2 2 2 lim lim
s in 3 3 3xx
xx
xx??? ? ?
5.arctan x ~ x;
13
3 2
0
11( 2), l i m ;
1 c o sx
x
x?
??
?
22
3 21 1 ~ ( ),1 c o s ~ ( 0 )
32
xxx x x? ? ? ? ?解
2
3 2
200
1 1 23
li m li m
1 c os 3
2
xx
x
x
xx??
???
? ? ? ?
?
t an 20
( 1 c os )( 3 ), l i m ;
( 1 ) si nxx
xx
ex?
?
?
t a n 2 21 ~ t a n,s in ~ ( 0 )xe x x x x x??解
2
t an 2 200
( 1 c os ) 12l i m l i m
( 1 ) si n 2xxx
xx
xx
e x x x??
??
? ? ?
??
14
30
t a n sin( 4 ), lim ;
x
xx
x?
?
3300
t a n s inlim lim,
xx
x x x x
xx??
?? ?注 意,
33
00
2
0
1
sin ( 1 )
t a n sin c o s
lim lim
sin ( 1 c o s )
li m
c o s
xx
x
x
xx x
xx
xx
x x x
??
?
?
?
?
?
??
解
2
200
sin sin 12lim lim
c o s 2 c o sxx
x
xx
x x x x x??
??
00
s in 1 1lim lim
2 c o s 2xx
x
xx????
15
1
2 1 c o s
0
( 5), l i m ( 1 s i n ),x
x
x ?
?
?
2
2
200
1
l i m si n l i m 2
1 c os
2
xx
x
x
xx??
? ? ?
?
解
1
221 c o s
0
l i m ( 1 s i n ) x
x
xe?
?
? ? ?
2
0
1 s i n
lim
221 c o s 1 c o s
0
( 5) 1,
l i m ( 1 s i n ) x
x
xx
x
x e e?
?
??
?
? ? ?
属 于 型 （ 重 要 极 限 ） 也 可 直 接 求 极 限,
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注 2,使用无穷小量的等价替换,是求解函数的极限的常
用方法, 在求乘除运算的极限时,可以大胆使用 ; 而
在求和差运算的极限时,则须慎用,如例 20的 (4); 因
为代换,会使无穷小量之比的“阶数”发生变化,