1
情形,
设 z=?(u,v),而 u=φ(x,y),v=Ψ(x,y),z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))
§ 8.5多元复合函数的微分法
因多元复合函数的求导法则
在多元微积分中占有非常重要的
定义 9
称为 x,y的复合函数，并称 u,v为中间变量,这类二元函
数有下面的求导法则,
地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的
2
都存在,且在对应于 (x,y)的点 (u,v)处,函数 z=?(u,v)
,uuxy????
定理 5 若 u=φ(x,y),v=Ψ(x,y)在点 (x,y)处的偏导数
可微,则复合函数 z=?(φ(x,y),Ψ(x,y))对 x及 y的偏导数都存
在,且,z z u z v
x u x v x
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?
.z z u z vy u y v y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
yz
u
v
x
注 1 此定理也可称为求导的链式法则,记忆可用上图所示
的链子来记,定理中的 等式数为自变量的个数； 每一个等
式中的项数为中间变量的个数, z到 x的路径有两条,一条
是, z→ u→ x”,一条是, z→ v→ x” ; z到 y路径也有两条,
一条是, z→ u→ y”,一条是, z→ v→ y”.
,vvxx????及
3
证 设 y不变而 x有一个改变量 ?x,且 u,v,z的相应改变量
,,,x x xu v z? ? ? 则由 z=?(u,v)可微,知分别为
22( ) ( ) ( ),
x x x x x
zzz u v o u v
uv ??
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?且
() x x xz u vz z o
x u x v x x
?? ? ???? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
当 ?x→0 时,对此式两边取极限,得
,z z u z vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
,z z u z vy u y v y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?同理可得
亦可记为
4
.z f u f vy u y v y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?,z f u f vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
此写法常用于抽象函数的微分运算,
222 0 ( ),,.xy zzz x y
xy
????
??例 设 求
,,.vz u z x y? 从而 是 的复合函数
yz
u
v
x
22,,u x y v x y? ? ?解 令 则
,z z u z vx u x v x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
1,l n,vvzzv u u v
uv
?????而
1 2 l nvvz v u x u u y
x
??? ? ? ? ?
?
2,;uvxyxx??????
2
2 2 2 2
22
2( ) [ l n ( ) ]xy xyx y y x y
xy? ? ? ??
5
z z u z v
y u y v y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?,
2,;uvyxyy??????而
1 2 l nvvz v u y u u x
y
??? ? ? ? ?
?
2
2 2 2 2
22
2( ) [ l n ( ) ]xy xyx y x x y
xy? ? ? ??
6
2 2 22 1 (,),,,.uuuu f x y z x y z
x y z
???? ? ? ? ?
? ? ?例 设 求
(,),,,.u f s t u x y z?则 从而 是 的复合函数
yu
s
t
x
z
u f s f t
x s x t x
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?2
ffx
st
????
??
u f s f t
y s y t y
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?2
ffy
st
????
??
u f s f t
z s z t z
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?2
ffz
st
????
??
2 2 2,,s x y z t x y z? ? ? ? ? ?解令
7
而用 表示, 函数 ?对第 i个中间变量求导,,用 表示if?
ijf??
注 2 在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量,
先对第 i个,后对第 j个中间变量求导,,从而例 22中的结果
可写为,(见上 )
u
x
? ?
? 2
ffx
st
???
??
122f xf????
122f yf????
122f zf????
u
y
?
? 2
ffy
st
????
??
u
z
?
? 2
ffz
st
????
??
yu
s
t
x
z
8
注 3 复合函数的微分法是难点,下面对几种特殊情况给予
(Ⅰ ).若 z=?(u,v)可微,u=φ(x),v=Ψ(x)可导,则 z=?(φ(x),Ψ(x))
d z f d u f d v
d x u d x v d x
??? ? ? ? z
u
v
x
1.只有一个自变量的情形
讨论,
是 x的一元函数,此时 z对 x导数是全导数,其求导法则为
(Ⅱ ).若 z=?(x,y),y=φ(x),
z
x
y
x
则 z=?(x,φ(x))是 x的一元函数,
其全导数为 dz f dx f dy
dx x dx y dx
??? ? ? ?
??,
f f d y
x y d x
??? ? ?
??
9
21 ( 1 ),,si n,;
( 2) (,),.
x
x
dz
z uv u e v x
dx
dz
z f x e
dx
?
? ? ?
?
例 设 求
设求
z
u
v
x
d z z d u z d vd x u d x v d x??? ? ? ?解
c o sxv e u x? ? ? ?
( si n c os ),xe x x??
( 2 ),(,)xy e z f x y???令则
z x
y
x
dz f f dy
dx x y dx
??? ? ? ?
??
.xxyf e f?????
10
2.只有一个中间变量的情形
z x
y
u;uzufxx???????
.uzufyy???????
2
22
222 ( 1 ),( 2 ),,,;
z z zf z f x y
x y x
? ? ???
? ? ?例 设 可微 求
2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) ;z f x y x x f x y
x
? ??? ? ? ? ?
?
z x
y
u
若 ?与 φ可微,且 z=?(u),u=φ(x,y)可导,则 z=?(φ(x,y))是 x,y
的二元函数,此时 z对 x与 y的导数为偏导数,为
22 2u x y??解 令,则
11
z x
y
u
2 2 2 2 ( 2 ) ( 4 ) 4 ( 2 ),z f x y y y f x y
y
? ??? ? ? ? ? ? ?
?
2
2 2 2 2
2 2 ( 2 ) 2 [ ( 2 ) ] x
z f x y x f x y
x
? ? ? ?? ? ? ?
?
x
y
uf?
2 2 2 22 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2f x y x f x y x? ??? ? ? ? ?
2 2 2 2 22 ( 2 ) 4 ( 2 )f x y x f x y? ??? ? ? ?
12
z
v
w
u
y
x,,xv x y w
y??解令
( ) ( )u v u wfu v x w x? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?
()zufuxx?????则
12
1( ) ( ) ;f u y
y??? ? ?? ? ?
( 2) ( ),(,),,.xz f u u x y f dzy????设 与 均可微 求
()zufuyy????? ( ) ( )u v u wfu v y w y? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?
122
1( ) ( ) ;f u x
y??? ? ?? ? ?
13
zzdz dx dy
xy
????
??
12
1( ) ( )f u y dx
y??? ? ?? ? ? 122
1( ) ( )f u x d y
y??? ? ?? ? ?
1 2 1 22
11( (,) ) [ ( ) ( ) ]xf x y y d x x d y
y y y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?
2 3 (,)u u x y?例 设函数 满足方程
,,(,) (,)
.
xyu x y v x y e ???? ???试确定参数 使变换 能将原
方程变为一个不出现一阶偏导数的新方程
22
22 ( ) 0,
u u u uk
x y x y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
14
(,) ( )x y x y x yu v ve v x y e v ex x x? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?解因
22
22 ( ) ( )
x y x yu v v ve v e
x x x x
? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
2( 2 )
xyvv ve
xx
???? ???? ? ?
??
(,) ( )x y x y x yu v ve v x y e v ey y y? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
22
2
22( 2 )
xyu v v ve
y y y
???? ?? ? ?? ? ? ?
? ? ?
22
22
22 ( 2 ) ( 2 ) ) ( ) 0
v v v vk k k k v
x y x y? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
15
要使此方程不含一阶偏导数项,则只需
20
20
k
k
?
?
????
? ? ??
,.22kk??? ? ? ?
22 0kk? ? ? ?? ? ? ? ?
22
22 0.
vv
xy
??? ? ?
??