1
2
0,1,J r D ??仅在 处为零 故不论闭区域 是否含有极点注
,换元公式仍成立 即
(,) ( c o s,s i n ),
DD
f x y d x d y f r r r d r d? ? ?
?
??? ??
注 2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域 D与
是同一平面区域,只是 D的边界方程是关于 x,y的方
程,而 的边界方程是关于 r,θ 的方程,故上式又可
写成,
D?
D?
(,) ( c o s,s i n ),
DD
f x y d x d y f r r r d r d? ? ???? ??
注 3 当二重积分的积分区域 D的边界曲线用极坐标
表示比较方便 (如 D为圆形、环形、扇形等 )或被积函
数用极坐标变量 r,θ 表示比较简 单 (如被积函数为
3
4
2
1
()
()( c o s,s in ) ( c o s,s in )
r
rD f r r r d r d d f r r r d r
??
??? ? ? ? ? ???? ? ?
而积分区域 D为如图所示的曲边扇形,
有两种特殊情形需注意：
(1) 极点 o在区域 D的边界上,此时
1 ( ) 0,r ? ?
r
D
α
β
()rr??
θ=β
θ=α
O
可用 不等式表示为
20 ( ),rrD ?
? ? ?
????
???
且有
()
0( c o s,s in ) ( c o s,s in )
r
D
f r r r d r d d f r r r d r???? ? ? ? ? ???? ? ?
5
(2) 极点 o在区域 D的内部 (如图 ),此时积分区域 D可用
r
D
θ
()rr??
O
20 ( ):
02
rrD ?
??
????
???
且有
2 ( )
00( c o s,s in ) ( c o s,s in )
r
D
f r r r d r d d f r r r d r??? ? ? ? ? ???? ? ?
不等式表示为
22 221 4,,1,xy
D
I e d x d y D x y??? ? ???例 计算 其中 为圆域
r
D
θ 1r?O 01
,,02 rD ?????? ??
?
解 在极坐标系下
6
22 xy
D
I e d x d y??? ??则
2r
D
e rd rd??? ??
221
00
rd e rdr? ? ?? ??
2 11
0
12 [ ] ( 1 ),
2
ree????? ? ? ?
注 5 此题如不用极坐标而用直角坐标,因 2xe dx??
用 初等函数表示,积分就难以进一步计算,故采用
坐标,
积分之值,
不能
极
不仅可简化计算,甚至 只有它才能计算出二重
7
2 2 2 21 5,2
D
x y d D x y x?? ? ???例 计算 其中 是由圆
2cosr ??
xo
222x y x??2
????
D
θ
2???
.所围成的区域
解 积分区域 D如图所示,并
c o s
s i n
xr
yr
?
?
???
??令
则 D的边界方程为 r=2cosθ.
0 2 c os
,:
22
r
D
?
???
???
?
? ? ? ?
??
故在极坐标系下
22
DD
x y d r r d r d??? ? ??? ??则 2 c o s 22 0
2
d r d
? ?
? ??? ??
y
8
22 2 1 1
0 0 2 2 0
16 ( ) ( )
.
xxyy
I dx f dy dx f dy
xx
?
??? ? ? ?例 把积分
化为极坐标形式的累次积分
x
y
o
Dθ
22
(,)2 2 2 2?
解 在直角坐标系下积分区域 D如图所示,显然
1
01,
04
rD
??
????
???即
14
00 ( t a n )I d f r r d r
? ???? ??
区域 D为扇形,则将其转换为极坐标形式,
32
0
16 32 c os
3 9.d
?
?????32
2
8 c o s
3 d
?
? ???? ?
9
22 3 2 2
22
17 [ si n l n( 1 ) 2],
, ( 2) 4.
yx
D
I e x y x e x y d
D x y
?? ? ? ? ?
? ? ?
??例 计算
其中
分析,此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系,
223 2 2 s i n l n ( 1 )yxe x y x e x y??和
x
y
o
D 2
但如图,积分区域 D关于 y轴对称,
223 2 2s i n l n ( 1 ) 2yxe x y x e x y? ? ? ?
因被积函数
的原函数
都求不出来,常规解法已失效,
何种积分次序,
关于 x是 奇函数,则
22 3 2 2[ s i n l n ( 1 ) ] 0yx
D
e x y x e x y d ?? ? ? ???
故此时可 先对 x再 对 y进行累次积分计,
10
定理 3 若函数 ?(x,y)在闭区域 D上连续,区域 D关于
(1) 若 ?(x,y)关于 x是奇函数,即 ?(–x,y)=–?(x,y),则
(,) 0
D
f x y d ? ???
(2) 若 ?(x,y)关于 x是偶函数,即 ?(–x,y)=?(x,y),则
1
(,) 2 (,)
DD
f x y d f x y d????? ??
y轴对称,
1D D y其中 为区域 在 轴右边的子区域.
2
D
Id??? ?? 2 8,
D
d ??????
11
注 6 关于 x轴对称的区域 D,对于坐标 y,函数 ?(x,y)
221 8 ( ),,( 1 ) 1,
D
x y d D x y?? ? ? ???例 计算 其中
(同学们课后做 !)
注 7 极坐标系中的面积元素为 dσ = rdrdθ,从而
D
rd rd??? ??
有类似的计算性质,
2 2 2 2 2 21 9, ( ) 2 ( )
0,
D x y a x y
x
? ? ?
?
例 已知区域 由双纽曲线
所围成且,D求区域 的面积
12
x
O
y
2a
D
解 D的边界为双纽曲线,在点 (0,0)处不可导,
c o s
s i n
xr
yr
?
?
???
??令
则 D的边界方程为
2 2 2 2( ) 2 c os 2r a r ??
222 c o s 2ra ??? 22 c o s 2ra ???
44
???? ? ? ?
22 cos 2ra ??
20 2 c os 2
:
44
ra
D
?
??
?
? ??
?
?
? ? ??
?
故区域
D
rd rd???? ??
22 c o s 2
4
04
ad r d r? ?
? ??? ??
2.a?
13
2 2 2 22 0 2,z x y z x y? ? ? ? ?例 求 与 所围立体体积
yO
x
2
1
1·
解 由题意,所围立体图形如图所示,
利用二重积分的几何
22
22
2 z x y
z x y
? ? ? ?
? ??
?
则交线为
22 1
1xyz? ??? ?
?
即
从而将立体投影在 xy平面,得区域 22, 1
xyD x y??
01,:,
02xy
rD
??
????
???在极坐标系下
xyD
z
意义,有
2 2 2 2[ ( 2 ) ( ) ]
xyD
V x y x y d x d y? ? ? ? ???
14
21 2
00 ( 2 2 )d r rd r
? ????? ??
2 2 2
2 1,( ) (,) ( 0 ),
x y t
f F t f x y d x d y t
??
????例 已知函数 连续 且
x
y
o
D
r=t
θ=0
θ=2π
c o s,
s i n
xr
yr
?
?
???
??解令
0:
02
rtD
??
????
???则区域
2 2 2
( ) (,)
x y t
F t f x y d x d y
??
?? ??
( ).Ft?求
2
00 ( c o s,sin )
td f r r rd r? ? ? ?? ??
2
00 ( ( c os,si n ) )
t f r r rd dr? ? ? ?? ??
2
0( ) ( c os,sin ),F t f t t td
? ? ? ???? ?