1
定理 3,设函数 ?(x) 与 g(x) 在点 x 处可导,则
2
( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
( 2 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 3 ) ( ( ) 0 )
() ()
f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x
f x f x g x f x g x
gx
gx gx
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
?
???? ? ? ?
????
??
§ 3.2 导数的四则运算法则
问题,由导数定义求函数导数,繁 !下面推出导数的
运算法则,利用简单函数的导数,便可求出任何初等
函数在其定义域内的导数,
2
( 1 ), ( ) ( ),
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
y f x g x
y f x x g x x f x g x
xx
??
? ? ? ? ? ? ? ??
??
证 令 则
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]f x x f x g x x g x
xx
? ? ? ? ? ???
??
00
0
( ) ( )
l i m l i m
( ) ( )
li m ( ) ( )
xx
x
y f x x f x
xx
g x x g x
f x g x
x
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
??
? ? ?
??? ? ?
?
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f x g x f x g x? ? ?? ? ?即
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ),f x g x f x g x? ? ?? ? ?同 理 可 证
3
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),f x x f x g x x g xg x x f x
xx
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
??
0 0 0
0
( ) ( )
l i m l i m l i m ( )
( ) ( )
( ) li m
x x x
x
y f x x f x
g x x
xx
g x x g x
fx
x
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ?
??
?
由可导必连续有
( ) ( ) ( ) ( ) ;f x g x f x g x????
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x f x g x f x g x? ? ?? ? ?即
( ) ( ) ( ) ( ) y f x x g x x f x g x
xx
? ? ? ? ? ? ? ??
??则
( 2 ) ( ) ( ),y f x g x??令
4
()
( 3 ),
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
fx
y
gx
y f x x g x f x g x x
x g x g x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
令
则
00
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]l i m l i m
( ) ( )xx
y f x x f x g x f x g x x g x
x g x g x x x? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ?
2
( ) ( ) ( ) ( )
()
f x g x f x g x
gx
????
推论 1
11
[ ( ) ] ( ) ;
nn
ii
ii
f x f x
??
????? [ ( ) ] ( ),u x C u x????特 别 要 注 意
5
1 2 1 2 1 2
1
[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
n
i n n n
i
f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x
?
? ? ? ?? ? ? ??
例 5.已知
2
2 1 0 03 l n 3 c o s s i n,
2 x
dyy x x x a
dx ?
?
?? ? ? ? ? 求
2
1 ( )( 3 ) ( ) 1 [ ]
() ()
gxfx
gx gx
??? ? ?中 的 时,
[ ( ) ] ( ),C u x C u x???特 别 要 注 意
3 2 3 s i ndy xx
d x x? ? ?解
2 2
362 3 s in 3
22x
dy
dx ? ?
?? ?
??? ? ? ? ? ? ? ?
推论 2
6
例 6.求下列函数的导数
3
3( 1 ) l og ( 2 ) ( ) l n si n
( 3 ) t an ( 4 ) se c
1 c os
( 5 )
1
y x x f x x x x
y x y x
x
y
x
? ? ? ?
??
?
?
?
( 2 ) ' ( ) ( l n s i n ) 'f x x x x??
3 3( 1 ) ' ( l og ) 'y x x?? 2
3
13 + l o g xe
x?
l n s i n s i n l n c o sx x x x x x? ? ? ? ?
7
s i n( 3 ) ( t a n )
c o s
xx
x
???
? ? ??
??
1( 4 ) ( s e c )
c o sx x
???
? ? ??
??
2
( 1 c o s ) ( 1 ) ( 1 c o s ) ( 1 )( 5)
( 1 )
x x x xy
x
??? ? ? ? ?? ?
?
2
( s i n ) c o s s i n ( c o s )
c o s
x x x x
x
????
22
2
2
c o s s in s e c
c o s
xx x
x
???
2
(c o s )
c o s
x
x
???
2
s i n t a n s e c
c o s
x xx
x? ? ?
,( c s c ) c o t c s cx x x? ? ? ?同 理
2
( 1 ) s i n ( 1 c o s ),
( 1 )
x x x
x
? ? ??
?
2,( c o t ) c s cxx? ??同 理
8
例 7.设函数
( 2 ) ( ) ( ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x ngx
x x x n
???
? ? ?解 令
( 1 ) ( 2 ) ( )( ),( 1 ),
( 1 ) ( 2 ) ( )
x x x nf x f
x x x n
? ? ? ??
? ? ? 求
( ) 1 ( ) ( 1 ) ( )g x x f x x g x? ? ?从 而 在 处 可 导,则
( ) [ ( 1 ) ( ) ] ( ) ( 1 ) ( )f x x g x g x x g x? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1( 1 ) ( 1 ) 0 ( 1 ) ( 1 ),
( 1 )
nf g g
nn
???? ? ? ? ? ?
?
此例将在讲解复合函数的求导法则之后用对数求导法
来讲解,
P99.3题
21 1 2 3 nf ( x ) x x n x ?? ? ? ? ?令 23 ( 1 )()
1
n
n xxx x x x
x
????
?? ? ? ? ? ? ??
???