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第五章 不定积分
§ 5.1不定积分的概念和性质
§ 5.2基本积分表
§ 5.3基本积分法
§ 5.4有理函数及三角函数有理式的积分
c o s?x d x ??
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第五章 不定积分
回顾, 微分学的基本问题是“已知一个函数,
如何求它的导数,”
积分学包括两个 基本部分, 不定积分和定积
分, 本章研究不定积分的概念,性质和基本积分
方法,
那么,如果已知一个函数的导数,要求原来
的函数,这类问题,是微分法的逆问题, 这就产
生了积分学,
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问题, 若某一函数的导数为 ?(x),求这一个函数,
设这函数为 F(x),则 ( ) ( ) ( ) ( ),F x f x d F x f x d x? ??或
则称 F(x)是已知函数 ?(x)在该区间 I上的一个原函数,
,xI??
( ) ( ) ( ) ( ),F x f x d F x f x d x? ??或
例 设 ?(x) = cos x,则 F(x) = sinx,sinx–1,…,sin x+C.
一,原函数的定义
定义 1 设 ?(x)定义在区间 I上,若存在函数 F(x),有
§ 5.1 不定积分的概念和性质
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定理 1 若函数 ?(x)在区间 I上连续,则 ?(x)在区间 I上的原函
数一定存在,
(证明略 )
问题, 1.原函数存在的条件?
2.原函数的个数?
3.不同的原函数之间的关系?
定理 2 设 F(x)是函数 ?(x)在区间 I上的一个原函数,则对任
何常数 C,F(x) + C也是函数 ?(x)的原函数,
证 因
注,?(x)有无限多个原函数,它们之间相差一个常数 C.即有
( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x??? ? ?
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定理 3 设 F(x)和 G(x)都是函数 ?(x)的原函数,则
F(x) – G(x) ≡ C (常数 )
证 ( ( ) ( ) )F x G x ??? ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x f x f x??? ? ? ?
( ) ( ) ( )F x G x C?? 常数由拉格朗日定理知
注, 当 C为任意常数时,F(x)是 ?(x)的一个原函数,则表达
式 F(x) + C 可表示 ?(x) 的任意一个原函数,即 ?(x) 的全
体原函数所组成的集合, 就是函数族 { ( ) },F x C c? ? ? ? ? ? ?
二,不定积分的定义
定义 2 函数 ?(x)的全体原函数称为 ?(x)的不定积分, 记为
( ),f x dx?
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结论, 若 F(x)是 函数 ?(x)的一个原函数,则
从而函数 ?(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任意
常数 C,并称 C为积分常数, 从而
( ) ( ),f x d x F x C???
c o s s i n,x d x x C???
例 1 求下列不定积分
其中 ∫称为积分号,?(x)称为被积函数,x称为积分变量,
?(x)d x 称为被积表达式,
(1) s in x d x? s i n c o sx d x x C? ? ??解
22 x d x x C???解(2 ) 2 xd x?
(3) x dx?? 11
1x d x x C
??
?
???
??解
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2( 4 ) 1
dx
x?? 2 a r c t a n1
dx xC
x ????解
(5) dxx? lndx xC
x ???解
注 1.求不定积分就是被积函数的一个原函数,
注 2.不定积分是全体原函数的一般表达式,最后结果中不
要忘记积分常数 C.
注 3.求不定积分的方法称为积分法,
例 2 已知 ?(x) = ktan2 x的一个原函数是 2/3lncos2 x,求常数 k.
2( l n c o s 2 )
3 x ? ?解
2 2 s in 2
3 c o s 2
x
x
??? 4 ta n 2
3 x??
ta n 2 ( )k x f x? 4,
3k? ? ?
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例 3
( ) ( ),f x d x F x C???设 1( ) ( ),f a x b d x F a x b Ca? ? ? ??证
( ) ( ) f x d x F x C???
1 ( ) ( )f a x b d x F a x b C
a? ? ? ??于是
F(x)是 f(x)的一个原函数，满足
证 由 知
'( ) ( ) F x f x?
11 [ ( ) ] ' '( )F a x b C F a x b a
aa? ? ? ? ?
'( ) ( )F a x b f a x b? ? ? ?
1 ( ) ( ) F a x b C f a x b
a? ? ? ?是 的全体原函数
(a,b为常数且 a≠0),
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三,不定积分的几何意义
y = F(x )函数 ?(x)的一个原函数,称 y = F(x) 的图形是
?(x)的一条积分曲线 ;
而 是 ?(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形
是一族积分曲线称它为积分曲线族,其特点是,
()f x dx?
(1)积分曲线族中任意一条曲线可
由其中某一条 (如 y =F(x))沿 y轴平行
移动 |c|个单位而得到,
(如图 )当 c>0时,向上移动 ; 当 c<0时,
向下移动,
o x
y
x
y=F(x){
|c|
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o x
y
x
y=F(x)
( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x??? ? ?(2)
即横坐标相同点处,每条积分曲线上
相应点的切线斜率相等,都为 ?(x),
从而相应点的切线相互平行,
注 4:当需要从积分曲线族中求出
过点 的一条积分曲线时,
则只须把 代入 y = F(x) + C中解出 C即可,
00(,)xy
00(,)xy
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例 5 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标
的倒数,且过点 求此曲线方程,
3(,5),e
解 设所求曲线为 y = ?(x),则
1 dy
d x x?由题意
1 lny d x x C
x? ? ? ??
3 5 xey ? ?由条件 知有 35 ln,eC?? 2,C ?得
故所求曲线为 y = ln|x| + 2
四,不定积分的性质
性质 1 ( 1 ) [ ( ) ] ( ) f x d x f x? ?? 或[ ( ) ] ( ),d f x d x f x d x??
.即积分与求导二者作用抵消
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即 是 ?(x) ± g(x)的原函数,
性质 3的推广
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( ) ( )
nn
ii
ii
f x dx f x dx
??
?????
性质 2 ( ) ( ) ( 0 )k f x d x k f x d x k????
性质 3 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ?
[ ( ) ( ) ]f x d x g x d x ????? [ ( ) ] [ ( ) ]f x d x g x d x?????
( ) ( ),f x g x??
证
( ) ( ) ( ) C d f x f x d x f x?? ? ???
( ) ( )f x d x g x d x???
.即求导与积分二者作用抵消后还差一个常数
注 5:微分运算与积分运算是互逆的,
( 2 ) ( ) ( ) C f x d x f x? ??? 或
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例 3 已知,求函数 ?(x).
1( 1 ) xf x d x x e C?? ? ??
解 1( 1 ) xf x d x x e C?? ? ? ??
( 1 ) ( 1 )f x d x? ? ?? 11( 1 ) xxx e e C??? ? ?
1tx??令 () ttf t d t t e e C? ? ? ??
( ) ( )ttf t te e C ?? ? ? ?即 tte ( ),xf x x e?故
注 4.求不定积分与求导数 (或微分 )互为逆运算,因而有一
个导数公式就有一个不定积分公式,