1
§ 6.2 定积分的的性质
性质 1 若 ?(x)=1,则 ()bb
aaf x dx dx b a? ? ???
0 1l i m
nb
ia
i
dx x? ?
?
????
性质 2 若 ?(x)与 g(x)在 [a,b]上可积,则 ?(x) ± g(x)在 [a,b]
上也可积,且
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx? ? ?? ? ?
[ ( ) ( )]ba f x g x d x??
注 1 性质 2可推广到有限个,即
11
( ) ( )nnbbiiaa
ii
f x dx f x dx
??
?????
0011l i m ( ) l i m ( )
nn
i i i i
ii
f x g x??????
??
? ? ? ???
证
证
ba??
0 1l i m [ ( ) ( ) ]
n
i i i
i
f g x? ???
?
? ? ??
( ) ( )bbaaf x d x g x d x????
2
性质 3,若 ?(x)在 [a,b]上可积,k为常数,则 k?(x)在 [a,b]
上也可积,且
( ) ( )bbaak f x d x k f x d x???
0 1( ) l im ( )
nb
iia
i
k f x d x k f x? ??
?
???? 0
1
l i m ( ) ( ),n bii a
i
k f x k f x dx? ??
?
? ? ?? ?
性质 4(区间可加性 ) 若 ?(x)在点 a,b, c 所成 区间中最大
的一个上可积,则 ?(x)在其余两个区间上也可积,且
证
( ) ( ) ( )b c ba a cf x dx f x dx f x dx??? ? ?
证 分两种情形讨论
Ⅰ,若 a<c<b,则因 ?(x)在 [a,b]上可积知,其积分和的极限
存在且与 [a,b]的分法和 的取法无关,
i?
3
,kxc? 从而
11
( ) ( )knn i i i i
i i k
S f x f x??
? ? ?
? ? ? ???
因而可将点 c 作为区间的一个分点,并记
积分和,当 时,
11
( ) ( )kni i i i
i i k
f x f x??
? ? ?
????其中 和
0??
( ) ( ) ( ),b c ba a cf x dx f x dx f x dx??? ? ?
分别是 ?(x)在 [a,c]与 [c,b]上的
对上式两边取极限,有
4
Ⅱ, 若点 c不在内,不妨设 a<b<c,其他情形可类似证明,
则由 Ⅰ 有
( ) ( ) ( )c b ca a bf x dx f x dx f x dx??? ? ?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b c c c ba a b a cf x d x f x d x f x d x f x d x f x d x????? ? ? ? ?
性质 5 若 ?(x)与 g(x)在 [a,b]上都可积,且,均有[,]x a b??
( ) ( )bbaaf x dx g x dx???则( ) ( ).f x g x?
0 1[ ( ) ( ) ] l i m [ ( ) ( ) ] 0
nb
i i ia
i
f x g x dx f g x? ???
?
? ? ? ? ???
证
( ) ( ) 0bbaaf x d x g x d x???? ( ) ( )bbaaf x dx g x dx???
5
性质 6 若 ?(x)在 [a,b]上连续,( ) 0fx?
( ) 0ba f x d x ??
但不恒为零,必有
( ) 0fx?
0,x 0( ) 0fx ?0 (,),x a b?
0x
00(,) [,]x x a b??? ? ?而
0
1( ) ( ) 0
2f x f x??
00
00
( ) ( ) ( ) ( )b x x ba a x xf x d x f x d x f x d x f x d x?? ???? ??? ? ?? ? ? ?
证 因在 [a,b]上 但不恒为零,故在 [a,b]上至少存在一点
不妨设 使得
由 ?(x)的连续性知,在 的某邻域内,必有
0
0
()xx f x d x????? ?
0
000
1 ( ) ( ) 0
2
x
xf x d x f x
?
? ?
?
?? ? ??
6
例 4 确定积分 1 2
1
2
lnx xd x?
2 1 ( ) l n [,1 ],( ) 0 ( ) 0,
2f x x x C f x f x? ? ? ?解 而 且
1 2
1
2
l n 0,x x d x???
性质 7 若 ?(x)在 [a,b]上可积,则 |?(x)|在 [a,b]上也可积,且有
( ) ( ) ( )bbaaf x d x f x d x a b????
的符号,
( ) ( ) ( )f x f x f x? ? ?
( ) ( ) ( )b b ba a af x d x f x d x f x d x? ? ?? ? ?
( ) ( ),bbaaf x d x f x d x????
证
7
例 5 求证 20
10 2
si n 1
1
x dx
x
?
??
2
sin sin 1 1 0 0,
1
xxx
x
? ? ? ? ?
?
且
2 0 2 0
1 0 1 022
s in s in
11
xxd x d x?
????
性质 8(估值定理 )若 ?(x)在 [a,b]上可积,且 [,],x a b??
()m f x M??
( ) ( ) ( )bam b a f x dx M b a? ? ? ??
2
sin x
x
? 1110x??
20
10
1 1
10 dx???
则
( )m f x M?? ()b b ba a am d x f x d x M d x? ? ?? ? ?
证
证
均有
( ) ( ) ( )bam b a f x d x M b a? ? ? ? ??
8
此性质的几何解释,
区间 [a,b]上方以曲线 y =?(x)为曲边的曲边梯形的面积,
介于以 [a,b]为底,以被积函数 ?(x)的最小值 m及最大值 M为
高的两个矩形的面积之间,
9
例 6估计积分 的值,2 2
1 ln ( )x x d x? ??
注 2 学会应用微分法来求函数的最大小值,从而可利用估
值定理估计定积分的值,
2
2
2 ( ) l n ( ),( ),
1
xf x x x f x
x?? ? ? ?解令
性质 9(积分中值定理 )若 ?(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)上至少
,? ( ) ( ) ( ) (,)ba f x d x f b a a b??? ? ??
( ) 0 0f x x? ??由有
( 0 ) 0,( 1 ) l n 2,( 2 ) l n 5f f f? ? ? ?0 ( ) ln 5fx??
2 2
10 l n ( ) 3 l n 5,x x d x?? ? ??
证 因 ?(x)∈ C[a,b],则 ?(x)在 [a,b]上必有,最小值 m及最大值 M,
[,]x a b??即 ()m f x M??均有
存在一点 使得
10
即
1 ( ) ( )b
a f x d x fba ??? ?
( ) ( ) ( ) (,)ba f x d x f b a a b??? ? ??
此性质的几何解释,
注 3 通常把 1
( ) ( )ba f x d x fba ??? ?
习题提示,P226.5利用积分中值定理计算简单,
区间 [a,b]上方以曲线 y =?(x)为曲边的曲边梯形的面积,
等于以区间 [a,b]为底、以 ?(ξ) 为高的这个矩形的面积,
从而 则由连续函数的介值定理,1
( ),bam f x d x Mba??? ?
至少存在一点 ξ∈ (a,b),使得
称为 ?(x)在 [a,b]上的平均值,
称为 ?(x)在 [a,b]上的平均值,