1
在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一
项都是 x 的幂函数,即, ()
nnnu a x n N??
一,幂级数的概念
01
0
( 1 )nnnn
n
a x a a x a x?
?
? ? ? ? ??形如
0 0 1 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( 2 )nnnn
n
a x x a a x x a x x?
?
? ? ? ? ? ? ? ??与
§ 7.4 幂级数
定义 4
的级数,分别称为
01,,,,na a a
称为幂级数的系数,
项级数为幂级数,
我们称这种函数
x的幂级数 与 (x - x0)的幂级数, 其中
2
注 1 因经变换后,幂级数 (1)与 (2)可相互转化,故下
面主要讨论形式 (1)的幂级数,
同常数项级数相类似,有如下定义,
0
n
n
n
ax
?
?
? 的部分和;
0
n k
nk
k
S a x
?
? ?
称函数 为幂级数
0
n
n
n
ax
?
?
? 的余项.
1
k
nk
kn
R a x?
??
? ?
并称函数 为幂级数
0
0
,(,),nn
n
a x x
?
?
? ? ? ?? 在 内任取一点
注 2 对于任何幂级数
均可得一个常数项级数
0 0 1 0 0
0
nnnn
n
a x a a x a x?
?
? ? ? ? ??
3
定义 4 若幂级数
0
0
n
n
n
ax?
?
? 收敛,则称 x0 为幂级数 (1)的
若幂级数
0
0
n
n
n
ax?
?
? 发散,则称 x0 为幂级数 (1)
在幂级数 中,称全部收敛点构成的 集
0
0
n
n
n
ax?
?
?
合为 幂级数 (1)的收敛区域,
幂级数发散区域,
为 幂级数的和函数,并记为 ( ).Sx
收敛点,
的发散点,
称全部发散点构成的集合为
注 3 对于任何幂级数在其收敛域内任取一点,均可得一
个收敛的数项级数,从而有一个确定的和, 故在幂级数的
收敛域上,幂级数的和是一个 关于 x 的函数,这个函数称
0
( ),nn
n
S x a x?
?
? ?即
4
的收敛域为 D,则对收敛域中任意
0
n
n
n
ax?
?
?
l i m ( ) ( ),nn S x S x?? ?
注 5 怎样确定幂级数 的收敛域呢?
0
n
n
n
ax?
?
?
1lim n
n n
a l
a
?
??
?若幂级数 满足
0
n
n
n
ax?
?
?
1
11()l i m l i m,
()
n
nn
nnn
n n
u x a x lx
ux ax
?
??
? ? ? ?
??且
则由比值判别法有
0
1( 1 ) 1 ( 0 ),n
n
n
l x x l a xl ?
?
? ? ? ?若即
则绝对收敛 ;
0
1( 2 ) 1 ( 0 ),n
n
n
l x x l a xl ?
?
? ? ? ?若即
发散 ;
注 4 若幂级数
的 x,恒有
5
0
1( 3 ) 1 ( 0 ),n
n
n
l x x l a xl ?
?
? ? ? ?若即 敛散性待定,
1 1 1(,)x
l l l??即
1
l?
则幂级数 的收敛区域为
0
n
n
n
ax?
?
?
长为半径且有可能1
l
0 οο
1
l? 1l
绝对收敛敛散待定 敛散待定发散 发散
x
即是一个以原点为中心,以
的区域,包含端点
6
定义 5 称区间
1
l
0
n
n
n
ax
?
?
?11(,)ll?
0
n
n
n
ax
?
?
?
1
1 lim n
n
n
aR
la?? ?
??
的收敛区间,为幂级数
记为 R, 则有称数 为幂级数 的收敛半径，
1
1 l i m,n
n n
aR
la?? ???
注 6 求幂级数 的收敛域的步骤是,
0
n
n
n
ax
?
?
?
(1)求出收敛半径
得收敛区间为 (-R,R).
7
(2)判断 x =± R时,幂级数 和
0
n
n
n
aR
?
?
? 0 ()nnn aR
?
?
??
(3)写出幂级数 的收敛区域,
0
n
n
n
ax
?
?
?
注 7 (1)当 R=0时,幂级数
0
n
n
n
ax
?
?
?
(2)当 R= +∞时,幂级数
0
n
n
n
ax
?
?
?
(3)幂级数 的收敛半径满足
0
n
n
n
ax
?
?
?
的敛散性 ;
只在 x= 0收敛,
此时收敛区间为 (-∞,+∞).
对于一切 x均收敛,
0≤R<+∞.
8
例 17 求下列幂级数的收敛半径及收敛域,
31( 1 ) ( 1 )
n
n
n
x
n
?
?
??
1 ( 1 ) l i m n
n n
al
a
?
??
??解因
1 1R
l? ? ?
下面考察 x=± 1时幂级数 (1)的敛散性,
31
( 1) n
n n
?
?
??当 x=1时,幂级数 (1)变为
31
1
n n
?
?
?当 x=-1时,幂级数 (1)变为
故原级数收敛域为 [﹣1,1].
13
3
( 1 )lim
( 1 )( 1 )
n
nn
n
n
?
??
? ?
??
3
3
li m 1
( 1 )n
n
n??
??
?
是绝对收敛的 ;
是收敛的 ;
9
1
( 2 ) l i m n
n n
aR
a?? ???解因
故原级数收敛域为 (﹣∞,﹢∞).
注 8 我们所说的, 求幂级数的收敛半径及收敛区域, 都
是
01
0
nnnn
n
a x a a x a x?
?
? ? ? ? ??
2 2 1
0
0 0 0
( ),,nnnn n n
n n n
a x x a x a x? ? ? ?
? ? ?
?? ? ?
如
11
1( 2 ) ( 3 ) ( )
2
n
n
n
nn
xx
nn
??
??
??
1l i m ( 1 ) ( 1 ) n
n n n?? ? ? ? ? ?
1( 1 )lim n
nn
n
n
?
??
? ?
对标准幂级数 而言的 ;但形
非标准幂级数,
下步骤求收敛半径和收敛区域,
直接用上述方法求 收敛半径和收敛区间,
却不能
而只能是采用如
第 (3)题请同学们课后做, R=2,收敛域 [-2,2)
10
第一步,用变量代换把它们化为标准幂级数
0;nn
n
ax?
?
?
如令变量代换
20,.t x x t x? ? ?或
第二步,求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及
收敛区间 ;
第三步,将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点
回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域,
或正项级数的判断方法去判断
0
( )n
n
ux?
?
?
11
例 18 求下列幂级数的收敛半径及收敛域,
2
1 1 1
11( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) 2 ( )
2
n n n n
n n n
xx x a
nn
? ? ?
? ? ?
??? ? ?
( 1 ) 2 1,xt??解令 则原级数变为
1
n
n
t
n
?
?
?
1
1li m li m 1n
nnn
a nR
an? ? ? ??
????因
则此幂级数的收敛区间为 (-1,1).
1
( 1)n
n n
?
?
??而当 t =-1时,级数 收敛 ;
1
1
n n
?
?
?而当 t =1时,级数 发散,
故当 -1≤2x+1<1时,即 -1≤x<0时,级数 收敛,
1
1 ( 2 1 ) n
n
xn?
?
??
12
1,
2R ?
( 2 ),2x t?解令
1R ?而
即原级数收敛域为 [-1,0),
则原级数变为
1
n
n
t
n
?
?
?
由 (1)知,则此幂级数的收敛区间为 [-1,1).
1 1,2 22x x? ? ? ? ? ?故即
时,原幂级数收敛,
即原级数收敛区间为 [-2,2),
收敛半径为
1
1( 2 ) ( )
2
n
n
x
n
?
?
?
收敛半径为 R=2.
13
2
1
( 3 ) 2 ( )nn
n
xa
?
?
??解 法一,因
1 2 ( 1 )
21
2
() 2 ( )l i m l i m 2 ( )
() 2 ( )
nn
n
nnnn
n
ux xa xa
ux xa
??
?
? ? ? ?
?? ? ?
?即
1,
2R ?
1
2xa??
11(,),
22aa? ? ? ?
系数之比的 极限求收敛半径，直接用正项级数的比值法
求收敛区间,
时,原级数收敛,
2 12 ( ) 1,
2x a x a? ? ? ?即
故原级数收敛半径为
1
1
n
?
?
?当 时,原级数化为
即原级数收敛域为
2
1
( 3 ) 2 ( )nn
n
xa
?
?
??
当
发散,
缺奇次幂，所以不能用
14
2,),法二 令( x a t??
1
2nn
n
t
?
?
?则原级数化为
1,
2R ?
1
2t ??
11(,),
22aa? ? ? ?
1
1
21l i m l i m
22
n
n
nnn
n
a
a ?? ? ? ?? ??因
故原级数收敛半径为
时,原级数化为
11
1,( 1 ) n
nn
??
??
???
即原级数收敛域为
当 发散,
11
22xa? ? ? ? ?
15
请同学们课后求下列幂级数的收敛域,
2
1 1 1
()( 1 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 3 ) nnx
n n x
n n n
nxn x ne
xn
? ? ?
?
?
? ? ?
??? ? ?
2
1
12
() ( 1 ) 1,( 1 ), l i m l i m
()
n
n
nnn
n
ux n x
u x xxn
?
?? ? ? ?
?? ? ?提示
1( 2 ) li m ( ) li m nn
n xxnn
nux
ee? ? ? ???
() ()( 3 ) lim lim lim ( 1 )
1
n
nxn
nn n n
x
ux nx x e
nn
n
? ? ? ? ? ?
?? ? ? ?
16
的和函数
0
nn
n
ax
?
?
?
12m i n {,},R R R?且
二,幂级数的运算性质
下面仅仅列出各条性质,略加说明,而不予证明,
性质 1 若幂级数
0
nn
n
ax?
?
? 的收敛半径为 R1,幂级数
0
nn
n
bx?
?
?
的收敛半径为 R2,
0 0 0
( ) n n nn n n n
n n n
a b x a x b x
? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
则在区间 ( -R,+R)内
0
() nnn
n
a b x?
?
?? 时,有 (,)x R R??
讨论幂级数的性质,指的是幂级数
在求解具体问题时,这些运算起着十分 重
s(x)的性质,同一般函数类似,幂级数也有加减乘除微分
与积分等运算,
要的作用,
收敛,且当
17
注 9 两个收敛的幂级数在它们较小的收敛区间上可以
逐 项相加,
0
n
n
n
ax?
?
?
(,),c R R? ? ?即有
lim ( )xcsx? ?
性质 2 (和函数的连续性 )
的收敛半径为 R,则其和函数 S( x)设幂级数
(,)RR? 内连续．
注 10 此性质说明极限符号 lim与无穷和符号 ∑ 可交换
性质 3 (逐项微分 )
在
0
lim nnxc
n
ax??
?
??
0
lim nnxc
n
ax? ?
?
??
0
()nn
n
a c s c?
?
??
设幂级数
0
n
n
n
ax?
?
? 的和函数为 S( x),收敛半径为 R,
18
则 S(x)在 (－ R,R)内可微,且
0
( ) ( )nn
n
s x a x
?
?
????? 1
0
nn
n
na x
?
?
?
?
0
()nn
n
ax
?
?
? ??
( )R x R? ? ?
性质 4 (逐项积分 )
设幂级数 的和函数为 S( x),收敛半径为 R,
则 S(x)在 (－ R,R)内可积,且
0
n
n
n
ax?
?
?
00 0
()xx nn
n
s x d x a x d x
?
?
? ??? 0
0
x n
n
n
a x d x
?
?
? ?
()R x R? ? ?1
0 1
nn
n
a x
n
?
?
?
? ??
19
注 11 和函数在收敛区间内
积分符号和无穷和符号可交换次序,
可逐项求导,逐项积分且求导
积分后所得幂级数的收敛半径仍为 R,即求导运算符号与
注 12 幂级数 经逐项求导和逐项积分后所得的 新
幂级数在 x =± R 处的收敛问题,一般有0
nn
n
ax
?
?
?
(1) 若 在 x = R 或 x = - R 处收敛,则逐项求导后
的新幂级数
0
nn
n
ax
?
?
?
1
0
nn
n
n a x? ?
?
?
2
1
n
n
x
n
?
?
?
1
1
n
n
x
n
??
?
?
但逐项求导后的
新幂级数
如幂级数 在 x =± 1处都收敛,
在 x =1处却发散 ;
不一定仍在 x= R或 x=-R处收敛,
20
(2) 若 在 x=R 或 x=-R 处收敛,则逐项积分 后
0
nn
n
ax
?
?
?
1
0
1 nn
n
a x
n
? ?
? ?
? 必在 x =R 或 x =-R 处收敛,的新幂级数
则级数
11
0 0 0
,1和n n nnnn
n n n
an a x a x x
n
? ? ???
? ? ? ?
? ? ?在 x =R 或 x =-R
(3) 如果逐项求导后的新幂级数在 x=R 或 x=-R处收敛,
处也 成立,
注 14 以下利用已知的几何级数
1 ( - 1 1 )
1 xx? ? ??
来求一些幂级数的和函数,
0
1nn
n
x x x
?
?
? ? ? ? ??
请同学们记住这些结论 !
21
例 19 求下列级数的和函数,并给出和函数的定义域,
1
1
(1) n
n
nx
? ?
?
?
1
1
n
n
nx? ?
?
??解因
211 2 3 nx x n x ?? ? ? ? ?
与几何级数比较知,上式是几何级数逐项求导所得
(-1<x<1)
1
10
nn
nn
n x x
??
?
??
????即 （ ） 211 1 ( 1 )xx?????（）
23
23
nx x x
x n? ? ? ? ?
1
(2)
n
n
x
n
?
?
?
1
n
n
x
n
?
?
??解因
22
0
1nn
n
x x x
?
?
? ? ? ? ??与几何级数
上式是几何级数逐项积分所得
(-1≤x<1)
011
1 )n x n
nn
x x d x
nn
??
??
????? ?即 （
比较知
0
1 l n ( 1 )
1
x d x x
x ? ? ???
0
( 3 ) ( 1 ) nn
n
x
?
?
??
0
( 1 ) nn
n
x
?
?
??解因
( 1,1)x ??
231 ( 1 ) nnx x x x? ? ? ? ? ? ?
由几何级数
0
11
1
nn
n
x x x x
?
?
? ? ? ? ? ? ?? 知
0
1( 1 )
1
nn
n
x x
?
?
?? ??
23
1
1
( 4 ) ( 1 ) nn
n
nx? ?
?
??
211 2 3 ( 1 ) nnx x n x ?? ? ? ? ? ? ?
1
( ( 1 ) )nn
n
x
?
?
???而 ( )1 xx? ?? ?
1
1
( 1 ) nn
n
nx
?
?
?
???解因
1
0
( 1 )( 5)
1
nn
n
x
n
??
?
?
??
( 1 1 )x? ? ?
1
0
( 1 )
1
nn
n
x
n
??
?
?
??解因
2 3 4 1( 1 )
2 3 4 1
nnx x x xx
n
??? ? ? ? ? ? ?
?
0 0 ( 1 ) )
x nn
n
x d x?
?
???? （
1
2
1
1( 1 )
( 1 )
nn
n
nx x? ?
?
???
??故
24
例 20 求下列幂级数的收敛域及和函数,
23( 1 ) 1 2 2 3 3 4 ( 1 ) nx x x n n x? ? ? ? ? ? ? ?
1
1 ( 1 ) 1 ( )n
n
n n x S x
?
?
? ? ? ??解 设
( 0) 1S??
0
1 l n ( 1 )
1
x dx x
x? ? ???
(-1＜ x ≤ 1)
21 2 2 3 ( 1 ) nx x n n x? ? ? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( 2)l i m 1
( 1 )n
nn
nn??
?? ?
?
则此幂级数的收敛区间为 (-1,1).
1
( 1 ) ( 1 )n
n
nn?
?
???而当 x =± 1时,级数
故收敛区域为 (-1,1).
1
lim n
n n
aR
a?? ???于是
发散,
25
将原级数逐项积分有
00 1( ) ( 1 )
xx n
n
S x d x n n x d x
?
?
????? 1
1
n
n
nx
? ?
?
? ? 21
1
n
n
x n x
? ?
?
? ?
1
1
1
( ),n
n
S x n x
? ?
?
? ?再令 再将级数 S (x)逐项积分有
1
100
1
()xx n
n
S x d x n x d x
? ?
?
? ???
1
n
n
x
?
?? 1 x x? ?
对上式两端求导有
2
11( 1 )
1 ( 1 )xx?????
0 ()
x S x d x? ? 2
2(1 )
x
x? ?
1 ( ) ( )1
xSx
x ????
对此式两端再求导有
3
2
(1 )
x
x?
(-1<x<1)
2
2( ) ( )( 1 )
xSx
x ????
231 2 2 3 3 4 ( 1 ) nx x x n n x? ? ? ? ? ? ? ?
3
21
( 1 )
x
x?? ?
26
1 ()lim
()
n
n n
ux
ux
?
??
解因
2 ( 1 )
2
12
( 1 ) ( 2 1 )lim
( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 )
nn
nnn
x n n x
nn x
?
???
??? ? ?
?? ?
1
2
1
( 1 )( 2)
( 2 1 )
n
n
n
xnn
??
?
?
??
1
2
1
( 1 )()
( 2 1 )
n
n
n
S x xnn
??
?
??
??若令
0,x?
所以幂级数的收敛域为 [-1,1].
则当 1 2 1
1
( ) ( 1 )
( 2 1 )
nn
n
S x x
x n n
???
?
??
??
时，有
两端求导有 1 2 2
1
( ) ( 1 )() nn
n
S x x
xn
???
?
?? ? ? 12
2
1
1 ( 1 ) nn
n
x
xn
??
?
?? ?
1
2
1
1
( 1 ),( ) nn
n
tx t S t
n
??
?
??? ?令且
11
1
1
( ( ) ) ( 1 ) nn
n
S t t
? ??
?
?? ? ?? 11 t? ?
27
2
2
1 ( 1 )
( 1 ) 2 nn n
?
? ?
?
例 21 求下列数项级数的和,
注 15 数项级数的和可利用幂级数来求,其关键是寻求
解 考虑幂级数 的和函数,
2
2
( 1 )
n
n
x
n
?
? ?
?
1
2
1
( 1 )( 1 )
n
n
x
x n n
??
? ??
?
1
2
() ( 1 ) ( 1 )
n
n
xxS x
nn
??
?
? ???
1
22
[ ( ) ] ' 11
nn
nn
xxxS x x
nn
???
??
? ? ?????
相应的幂级数 ;
的数项级数的和为其和函数的某一特殊值,
并且这个幂级数的和函数容易求得,所求
2
2
() ( 1 )
n
n
xSx
n
?
?
????令
28
22
11()
2 ( 1 ) 2 nnS n
?
?
? ??所以
1
1
2
() 1
n
n
xSx
n
??
?
? ??令
2
1
2
1()
1
n
n
S x x x? ?
?
? ??
??
1 0
1( ) l n ( 1 )
1
xS x d x x
x? ? ? ???
0( ) l n ( 1 )
xxS x x x dx? ? ??于是
22 1ln ( 1 ) ln ( 1 )
2 2 4 2
x x xxx? ? ? ? ? ? ?
11( ) l n ( 1 ) l n ( 1 )
2 2 4 2
xxS x x x
x? ? ? ? ? ? ?故
53ln 2
84??
(-1≤x＜ 1)
两端求导数得
两端求积分得
1 1 1 1 1 1ln ln
4 2 2 8 2 2? ? ? ? ?
29
2
21 ( 2 )
2 nn
n?
?
??
2
2
( ) ( 2 1 ) n
n
S x n x
?
?
???解令
2
2 1 1()
2 2nn
n S?
?
????
22
2
2
1 ( 2 1 )
n
nxx
?
?
?
???
( 0)x ?
在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一
项都是 x 的幂函数,即, ()
nnnu a x n N??
一,幂级数的概念
01
0
( 1 )nnnn
n
a x a a x a x?
?
? ? ? ? ??形如
0 0 1 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( 2 )nnnn
n
a x x a a x x a x x?
?
? ? ? ? ? ? ? ??与
§ 7.4 幂级数
定义 4
的级数,分别称为
01,,,,na a a
称为幂级数的系数,
项级数为幂级数,
我们称这种函数
x的幂级数 与 (x - x0)的幂级数, 其中
2
注 1 因经变换后,幂级数 (1)与 (2)可相互转化,故下
面主要讨论形式 (1)的幂级数,
同常数项级数相类似,有如下定义,
0
n
n
n
ax
?
?
? 的部分和;
0
n k
nk
k
S a x
?
? ?
称函数 为幂级数
0
n
n
n
ax
?
?
? 的余项.
1
k
nk
kn
R a x?
??
? ?
并称函数 为幂级数
0
0
,(,),nn
n
a x x
?
?
? ? ? ?? 在 内任取一点
注 2 对于任何幂级数
均可得一个常数项级数
0 0 1 0 0
0
nnnn
n
a x a a x a x?
?
? ? ? ? ??
3
定义 4 若幂级数
0
0
n
n
n
ax?
?
? 收敛,则称 x0 为幂级数 (1)的
若幂级数
0
0
n
n
n
ax?
?
? 发散,则称 x0 为幂级数 (1)
在幂级数 中,称全部收敛点构成的 集
0
0
n
n
n
ax?
?
?
合为 幂级数 (1)的收敛区域,
幂级数发散区域,
为 幂级数的和函数,并记为 ( ).Sx
收敛点,
的发散点,
称全部发散点构成的集合为
注 3 对于任何幂级数在其收敛域内任取一点,均可得一
个收敛的数项级数,从而有一个确定的和, 故在幂级数的
收敛域上,幂级数的和是一个 关于 x 的函数,这个函数称
0
( ),nn
n
S x a x?
?
? ?即
4
的收敛域为 D,则对收敛域中任意
0
n
n
n
ax?
?
?
l i m ( ) ( ),nn S x S x?? ?
注 5 怎样确定幂级数 的收敛域呢?
0
n
n
n
ax?
?
?
1lim n
n n
a l
a
?
??
?若幂级数 满足
0
n
n
n
ax?
?
?
1
11()l i m l i m,
()
n
nn
nnn
n n
u x a x lx
ux ax
?
??
? ? ? ?
??且
则由比值判别法有
0
1( 1 ) 1 ( 0 ),n
n
n
l x x l a xl ?
?
? ? ? ?若即
则绝对收敛 ;
0
1( 2 ) 1 ( 0 ),n
n
n
l x x l a xl ?
?
? ? ? ?若即
发散 ;
注 4 若幂级数
的 x,恒有
5
0
1( 3 ) 1 ( 0 ),n
n
n
l x x l a xl ?
?
? ? ? ?若即 敛散性待定,
1 1 1(,)x
l l l??即
1
l?
则幂级数 的收敛区域为
0
n
n
n
ax?
?
?
长为半径且有可能1
l
0 οο
1
l? 1l
绝对收敛敛散待定 敛散待定发散 发散
x
即是一个以原点为中心,以
的区域,包含端点
6
定义 5 称区间
1
l
0
n
n
n
ax
?
?
?11(,)ll?
0
n
n
n
ax
?
?
?
1
1 lim n
n
n
aR
la?? ?
??
的收敛区间,为幂级数
记为 R, 则有称数 为幂级数 的收敛半径，
1
1 l i m,n
n n
aR
la?? ???
注 6 求幂级数 的收敛域的步骤是,
0
n
n
n
ax
?
?
?
(1)求出收敛半径
得收敛区间为 (-R,R).
7
(2)判断 x =± R时,幂级数 和
0
n
n
n
aR
?
?
? 0 ()nnn aR
?
?
??
(3)写出幂级数 的收敛区域,
0
n
n
n
ax
?
?
?
注 7 (1)当 R=0时,幂级数
0
n
n
n
ax
?
?
?
(2)当 R= +∞时,幂级数
0
n
n
n
ax
?
?
?
(3)幂级数 的收敛半径满足
0
n
n
n
ax
?
?
?
的敛散性 ;
只在 x= 0收敛,
此时收敛区间为 (-∞,+∞).
对于一切 x均收敛,
0≤R<+∞.
8
例 17 求下列幂级数的收敛半径及收敛域,
31( 1 ) ( 1 )
n
n
n
x
n
?
?
??
1 ( 1 ) l i m n
n n
al
a
?
??
??解因
1 1R
l? ? ?
下面考察 x=± 1时幂级数 (1)的敛散性,
31
( 1) n
n n
?
?
??当 x=1时,幂级数 (1)变为
31
1
n n
?
?
?当 x=-1时,幂级数 (1)变为
故原级数收敛域为 [﹣1,1].
13
3
( 1 )lim
( 1 )( 1 )
n
nn
n
n
?
??
? ?
??
3
3
li m 1
( 1 )n
n
n??
??
?
是绝对收敛的 ;
是收敛的 ;
9
1
( 2 ) l i m n
n n
aR
a?? ???解因
故原级数收敛域为 (﹣∞,﹢∞).
注 8 我们所说的, 求幂级数的收敛半径及收敛区域, 都
是
01
0
nnnn
n
a x a a x a x?
?
? ? ? ? ??
2 2 1
0
0 0 0
( ),,nnnn n n
n n n
a x x a x a x? ? ? ?
? ? ?
?? ? ?
如
11
1( 2 ) ( 3 ) ( )
2
n
n
n
nn
xx
nn
??
??
??
1l i m ( 1 ) ( 1 ) n
n n n?? ? ? ? ? ?
1( 1 )lim n
nn
n
n
?
??
? ?
对标准幂级数 而言的 ;但形
非标准幂级数,
下步骤求收敛半径和收敛区域,
直接用上述方法求 收敛半径和收敛区间,
却不能
而只能是采用如
第 (3)题请同学们课后做, R=2,收敛域 [-2,2)
10
第一步,用变量代换把它们化为标准幂级数
0;nn
n
ax?
?
?
如令变量代换
20,.t x x t x? ? ?或
第二步,求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及
收敛区间 ;
第三步,将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点
回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域,
或正项级数的判断方法去判断
0
( )n
n
ux?
?
?
11
例 18 求下列幂级数的收敛半径及收敛域,
2
1 1 1
11( 1 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) 2 ( )
2
n n n n
n n n
xx x a
nn
? ? ?
? ? ?
??? ? ?
( 1 ) 2 1,xt??解令 则原级数变为
1
n
n
t
n
?
?
?
1
1li m li m 1n
nnn
a nR
an? ? ? ??
????因
则此幂级数的收敛区间为 (-1,1).
1
( 1)n
n n
?
?
??而当 t =-1时,级数 收敛 ;
1
1
n n
?
?
?而当 t =1时,级数 发散,
故当 -1≤2x+1<1时,即 -1≤x<0时,级数 收敛,
1
1 ( 2 1 ) n
n
xn?
?
??
12
1,
2R ?
( 2 ),2x t?解令
1R ?而
即原级数收敛域为 [-1,0),
则原级数变为
1
n
n
t
n
?
?
?
由 (1)知,则此幂级数的收敛区间为 [-1,1).
1 1,2 22x x? ? ? ? ? ?故即
时,原幂级数收敛,
即原级数收敛区间为 [-2,2),
收敛半径为
1
1( 2 ) ( )
2
n
n
x
n
?
?
?
收敛半径为 R=2.
13
2
1
( 3 ) 2 ( )nn
n
xa
?
?
??解 法一,因
1 2 ( 1 )
21
2
() 2 ( )l i m l i m 2 ( )
() 2 ( )
nn
n
nnnn
n
ux xa xa
ux xa
??
?
? ? ? ?
?? ? ?
?即
1,
2R ?
1
2xa??
11(,),
22aa? ? ? ?
系数之比的 极限求收敛半径，直接用正项级数的比值法
求收敛区间,
时,原级数收敛,
2 12 ( ) 1,
2x a x a? ? ? ?即
故原级数收敛半径为
1
1
n
?
?
?当 时,原级数化为
即原级数收敛域为
2
1
( 3 ) 2 ( )nn
n
xa
?
?
??
当
发散,
缺奇次幂，所以不能用
14
2,),法二 令( x a t??
1
2nn
n
t
?
?
?则原级数化为
1,
2R ?
1
2t ??
11(,),
22aa? ? ? ?
1
1
21l i m l i m
22
n
n
nnn
n
a
a ?? ? ? ?? ??因
故原级数收敛半径为
时,原级数化为
11
1,( 1 ) n
nn
??
??
???
即原级数收敛域为
当 发散,
11
22xa? ? ? ? ?
15
请同学们课后求下列幂级数的收敛域,
2
1 1 1
()( 1 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 3 ) nnx
n n x
n n n
nxn x ne
xn
? ? ?
?
?
? ? ?
??? ? ?
2
1
12
() ( 1 ) 1,( 1 ), l i m l i m
()
n
n
nnn
n
ux n x
u x xxn
?
?? ? ? ?
?? ? ?提示
1( 2 ) li m ( ) li m nn
n xxnn
nux
ee? ? ? ???
() ()( 3 ) lim lim lim ( 1 )
1
n
nxn
nn n n
x
ux nx x e
nn
n
? ? ? ? ? ?
?? ? ? ?
16
的和函数
0
nn
n
ax
?
?
?
12m i n {,},R R R?且
二,幂级数的运算性质
下面仅仅列出各条性质,略加说明,而不予证明,
性质 1 若幂级数
0
nn
n
ax?
?
? 的收敛半径为 R1,幂级数
0
nn
n
bx?
?
?
的收敛半径为 R2,
0 0 0
( ) n n nn n n n
n n n
a b x a x b x
? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
则在区间 ( -R,+R)内
0
() nnn
n
a b x?
?
?? 时,有 (,)x R R??
讨论幂级数的性质,指的是幂级数
在求解具体问题时,这些运算起着十分 重
s(x)的性质,同一般函数类似,幂级数也有加减乘除微分
与积分等运算,
要的作用,
收敛,且当
17
注 9 两个收敛的幂级数在它们较小的收敛区间上可以
逐 项相加,
0
n
n
n
ax?
?
?
(,),c R R? ? ?即有
lim ( )xcsx? ?
性质 2 (和函数的连续性 )
的收敛半径为 R,则其和函数 S( x)设幂级数
(,)RR? 内连续．
注 10 此性质说明极限符号 lim与无穷和符号 ∑ 可交换
性质 3 (逐项微分 )
在
0
lim nnxc
n
ax??
?
??
0
lim nnxc
n
ax? ?
?
??
0
()nn
n
a c s c?
?
??
设幂级数
0
n
n
n
ax?
?
? 的和函数为 S( x),收敛半径为 R,
18
则 S(x)在 (－ R,R)内可微,且
0
( ) ( )nn
n
s x a x
?
?
????? 1
0
nn
n
na x
?
?
?
?
0
()nn
n
ax
?
?
? ??
( )R x R? ? ?
性质 4 (逐项积分 )
设幂级数 的和函数为 S( x),收敛半径为 R,
则 S(x)在 (－ R,R)内可积,且
0
n
n
n
ax?
?
?
00 0
()xx nn
n
s x d x a x d x
?
?
? ??? 0
0
x n
n
n
a x d x
?
?
? ?
()R x R? ? ?1
0 1
nn
n
a x
n
?
?
?
? ??
19
注 11 和函数在收敛区间内
积分符号和无穷和符号可交换次序,
可逐项求导,逐项积分且求导
积分后所得幂级数的收敛半径仍为 R,即求导运算符号与
注 12 幂级数 经逐项求导和逐项积分后所得的 新
幂级数在 x =± R 处的收敛问题,一般有0
nn
n
ax
?
?
?
(1) 若 在 x = R 或 x = - R 处收敛,则逐项求导后
的新幂级数
0
nn
n
ax
?
?
?
1
0
nn
n
n a x? ?
?
?
2
1
n
n
x
n
?
?
?
1
1
n
n
x
n
??
?
?
但逐项求导后的
新幂级数
如幂级数 在 x =± 1处都收敛,
在 x =1处却发散 ;
不一定仍在 x= R或 x=-R处收敛,
20
(2) 若 在 x=R 或 x=-R 处收敛,则逐项积分 后
0
nn
n
ax
?
?
?
1
0
1 nn
n
a x
n
? ?
? ?
? 必在 x =R 或 x =-R 处收敛,的新幂级数
则级数
11
0 0 0
,1和n n nnnn
n n n
an a x a x x
n
? ? ???
? ? ? ?
? ? ?在 x =R 或 x =-R
(3) 如果逐项求导后的新幂级数在 x=R 或 x=-R处收敛,
处也 成立,
注 14 以下利用已知的几何级数
1 ( - 1 1 )
1 xx? ? ??
来求一些幂级数的和函数,
0
1nn
n
x x x
?
?
? ? ? ? ??
请同学们记住这些结论 !
21
例 19 求下列级数的和函数,并给出和函数的定义域,
1
1
(1) n
n
nx
? ?
?
?
1
1
n
n
nx? ?
?
??解因
211 2 3 nx x n x ?? ? ? ? ?
与几何级数比较知,上式是几何级数逐项求导所得
(-1<x<1)
1
10
nn
nn
n x x
??
?
??
????即 （ ） 211 1 ( 1 )xx?????（）
23
23
nx x x
x n? ? ? ? ?
1
(2)
n
n
x
n
?
?
?
1
n
n
x
n
?
?
??解因
22
0
1nn
n
x x x
?
?
? ? ? ? ??与几何级数
上式是几何级数逐项积分所得
(-1≤x<1)
011
1 )n x n
nn
x x d x
nn
??
??
????? ?即 （
比较知
0
1 l n ( 1 )
1
x d x x
x ? ? ???
0
( 3 ) ( 1 ) nn
n
x
?
?
??
0
( 1 ) nn
n
x
?
?
??解因
( 1,1)x ??
231 ( 1 ) nnx x x x? ? ? ? ? ? ?
由几何级数
0
11
1
nn
n
x x x x
?
?
? ? ? ? ? ? ?? 知
0
1( 1 )
1
nn
n
x x
?
?
?? ??
23
1
1
( 4 ) ( 1 ) nn
n
nx? ?
?
??
211 2 3 ( 1 ) nnx x n x ?? ? ? ? ? ? ?
1
( ( 1 ) )nn
n
x
?
?
???而 ( )1 xx? ?? ?
1
1
( 1 ) nn
n
nx
?
?
?
???解因
1
0
( 1 )( 5)
1
nn
n
x
n
??
?
?
??
( 1 1 )x? ? ?
1
0
( 1 )
1
nn
n
x
n
??
?
?
??解因
2 3 4 1( 1 )
2 3 4 1
nnx x x xx
n
??? ? ? ? ? ? ?
?
0 0 ( 1 ) )
x nn
n
x d x?
?
???? （
1
2
1
1( 1 )
( 1 )
nn
n
nx x? ?
?
???
??故
24
例 20 求下列幂级数的收敛域及和函数,
23( 1 ) 1 2 2 3 3 4 ( 1 ) nx x x n n x? ? ? ? ? ? ? ?
1
1 ( 1 ) 1 ( )n
n
n n x S x
?
?
? ? ? ??解 设
( 0) 1S??
0
1 l n ( 1 )
1
x dx x
x? ? ???
(-1＜ x ≤ 1)
21 2 2 3 ( 1 ) nx x n n x? ? ? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( 2)l i m 1
( 1 )n
nn
nn??
?? ?
?
则此幂级数的收敛区间为 (-1,1).
1
( 1 ) ( 1 )n
n
nn?
?
???而当 x =± 1时,级数
故收敛区域为 (-1,1).
1
lim n
n n
aR
a?? ???于是
发散,
25
将原级数逐项积分有
00 1( ) ( 1 )
xx n
n
S x d x n n x d x
?
?
????? 1
1
n
n
nx
? ?
?
? ? 21
1
n
n
x n x
? ?
?
? ?
1
1
1
( ),n
n
S x n x
? ?
?
? ?再令 再将级数 S (x)逐项积分有
1
100
1
()xx n
n
S x d x n x d x
? ?
?
? ???
1
n
n
x
?
?? 1 x x? ?
对上式两端求导有
2
11( 1 )
1 ( 1 )xx?????
0 ()
x S x d x? ? 2
2(1 )
x
x? ?
1 ( ) ( )1
xSx
x ????
对此式两端再求导有
3
2
(1 )
x
x?
(-1<x<1)
2
2( ) ( )( 1 )
xSx
x ????
231 2 2 3 3 4 ( 1 ) nx x x n n x? ? ? ? ? ? ? ?
3
21
( 1 )
x
x?? ?
26
1 ()lim
()
n
n n
ux
ux
?
??
解因
2 ( 1 )
2
12
( 1 ) ( 2 1 )lim
( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 )
nn
nnn
x n n x
nn x
?
???
??? ? ?
?? ?
1
2
1
( 1 )( 2)
( 2 1 )
n
n
n
xnn
??
?
?
??
1
2
1
( 1 )()
( 2 1 )
n
n
n
S x xnn
??
?
??
??若令
0,x?
所以幂级数的收敛域为 [-1,1].
则当 1 2 1
1
( ) ( 1 )
( 2 1 )
nn
n
S x x
x n n
???
?
??
??
时，有
两端求导有 1 2 2
1
( ) ( 1 )() nn
n
S x x
xn
???
?
?? ? ? 12
2
1
1 ( 1 ) nn
n
x
xn
??
?
?? ?
1
2
1
1
( 1 ),( ) nn
n
tx t S t
n
??
?
??? ?令且
11
1
1
( ( ) ) ( 1 ) nn
n
S t t
? ??
?
?? ? ?? 11 t? ?
27
2
2
1 ( 1 )
( 1 ) 2 nn n
?
? ?
?
例 21 求下列数项级数的和,
注 15 数项级数的和可利用幂级数来求,其关键是寻求
解 考虑幂级数 的和函数,
2
2
( 1 )
n
n
x
n
?
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1
2
1
( 1 )( 1 )
n
n
x
x n n
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1
2
() ( 1 ) ( 1 )
n
n
xxS x
nn
??
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? ???
1
22
[ ( ) ] ' 11
nn
nn
xxxS x x
nn
???
??
? ? ?????
相应的幂级数 ;
的数项级数的和为其和函数的某一特殊值,
并且这个幂级数的和函数容易求得,所求
2
2
() ( 1 )
n
n
xSx
n
?
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????令
28
22
11()
2 ( 1 ) 2 nnS n
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? ??所以
1
1
2
() 1
n
n
xSx
n
??
?
? ??令
2
1
2
1()
1
n
n
S x x x? ?
?
? ??
??
1 0
1( ) l n ( 1 )
1
xS x d x x
x? ? ? ???
0( ) l n ( 1 )
xxS x x x dx? ? ??于是
22 1ln ( 1 ) ln ( 1 )
2 2 4 2
x x xxx? ? ? ? ? ? ?
11( ) l n ( 1 ) l n ( 1 )
2 2 4 2
xxS x x x
x? ? ? ? ? ? ?故
53ln 2
84??
(-1≤x＜ 1)
两端求导数得
两端求积分得
1 1 1 1 1 1ln ln
4 2 2 8 2 2? ? ? ? ?
29
2
21 ( 2 )
2 nn
n?
?
??
2
2
( ) ( 2 1 ) n
n
S x n x
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???解令
2
2 1 1()
2 2nn
n S?
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????
22
2
2
1 ( 2 1 )
n
nxx
?
?
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???
( 0)x ?
