1
第六章 定积分及其应用
§ 6.1定积分的概念
§ 6.2定积分的性质
§ 6.3微积分学基本定理
§ 6.4定积分的计算方法
§ 6.5广义积分
§ 6.6定积分的应用
( )?ba f x d x ??
2
第六章 定积分及其应用
4.如何计算定积分和应用定积分?
前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,
这样一个积分学的基本问题 —— 不定积分,
这一章将讨论积分学的另一个基本问题 —— 定积分,
1.什么是定积分?
2.定积分有哪些性质?
3.定积分与不定积分有何关系?
本章的主要问题有,
1
0 c o s?x d x ??
3
一,引例 (曲边梯形的面积 )
定义 1,在直角坐标系中,由一条连续曲线
y=?(x)和三条直线 x = a,x = b和 y = 0 (x轴 )
所围成的图形,称为曲边梯形,如右图
AabBA (与直边梯形 AabB的区别 ),
o x
y
y=0
y=?(x)
x=a x=b
a b
BA
§ 6.1 定积分的概念
当 y = ?(x) ? 0 时,曲边梯形 AabB的面积怎么求呢? 中
学里会求直边多边形 (特别是矩形 )的面积,下面利用矩形的
面积来求曲边梯形 AabB的面积,
问题,
4
从而此区间对应的小窄曲边梯形 CEFH
的面积近似等于小窄矩形 DEFH的面积, o x
y
y=?(x)
a b
BA
x+Δxx
H
C
D
E F
{Δy
因而,如果把区间 [a,b]任意地划分为 n个小区间,并
在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地
分析,问题的难度在于曲边梯形 AabB的高对整个区间 [a,b]
来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大 ; 但从区间
[a,b]的一个局部 (小区间 )来看,它也是一个变量 ;
但因 ?(x)连续,从而当 Δ x → 0时,Δy→ 0,
故可将此区间的高近似看为一个常量,
5
视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作
为曲边梯形面积的近似值,
要想得精确值,只需区间 [a,b]的分法无限细密 (即每
个小区间的长度 Δ x → 0)时,全部窄矩形的面积之和的极限
一定是曲边梯形面积的精确值,
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积,
I.化整为零 (或分割 )—— 任意划分
(如右图 )用分点
0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?
o x
y y=?(x)
0ax? 1x
2x
1ix? ix
nxb?
1nx?
?
ix?
将区间 [a,b]任意地划分为 n个小区间
0 1 1 2 1[,],[,],,[,],nnx x x x x x?
6
o x
y
y=?(x)
0ax?
1x
2x
1ix?
ix
nxb?
1nx?
记第 i 个小区间的长度为
1 ( 1,2,,),i i ix x x i n?? ? ? ?
?
ix?
过每个分点作垂直于 x轴的直线,将曲边梯形分成 n 个窄
曲边梯形 (如上图 ).
若用 S表示曲边梯形的面积,
表示第 i个窄曲边梯形 (阴影
部分 )的面积,则有
iS?
12
1
n
ni
i
S S S S S
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
II.近似代替 (或以直代曲 )—— 任意取点
在每个小区间
1[,] ( 1,2,,)iix x i n? ?
上任取一点
i?
1( ),i i ixx?? ??
以 为高、以小区间 的长度为底()if ? 1[,]iixx?
7
()iifx? ?
iS?
()i i if x S? ? ? ?
则该窄矩形的面积
为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加,
就得曲边梯形的面积的近似值,即
11
()nni i i
ii
S S f x?
??
? ? ? ???
III.求和、取极限
作窄矩形 (如右图 ).
近似等于,即
记各小区间的最大长度为
12m a x {,,,}nx x x? ? ? ? ?
当分点数 n无限增大且各小区间的最大长度
1m a x { } 0iin x? ??? ? ?
对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即
0 1l i m ( )
n
ii
i
S f x? ??
?
???
8
二,定积分的定义
由引例知,把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结
为一个特殊和式的极限, 这种和式的极限应用极广,可解
决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,
定义 1.设 ?(x)在 [a,b]上有定义,点
0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?
1[,]iixx?
1i i ix x x ?? ? ? ( 1,2,,),in? 1[,]iixx?
i?
在每个小区间
上任取一点 1( ),i i ixx?? ??
就有定积分的定义,
将区间 [a,b]任意地划分为 n个小区间 ; 每个小区间
的长度为
作和式
1
()nn i i
i
S f x?
?
???
9
0 1
( ) l i m ( )
nb
iia
i
f x dx I f x
?
?
? ?
? ? ???
i?
()ba f x dx?
0?? nS若当 时,有确定的极限值 I,且 I 与区间 [a,b]的
分法和 的取法无关,则称函数 ?(x)在区间 [a,b]上可积,
并称此极限值 I为 ?(x)在区间 [a,b]上的定积分,记为
称为积分和,
1
()nn i i
i
S f x?
?
???间
其中 ?(x)为被积函数,?(x)d x称为 被积表达式,x 称为积分
变量,a称为积分下限,b称为积分上限,[a,b]称为积分区
即
注 1.若 ?(x)在区间 [a,b]上可积,则定积分
的字母无关,即
它仅与被积函数 ?(x)和积分区间 [a,b]有关,而与积分变量
()ba f x d x ?? C 常数,
10
注 2,极限过程,既保证了分点个数无限增多 ( ),
又保证了区间分割无限细密 (即所有小区间的长度都趋于 0).
0?? n ??
因此,对于可积函数 ?(x),若要用定义来计算
0 1l i m ( )
n
ii
i
fx? ??
?
??? 常数
i?
( ),ba f x d x?
i?
( ) ( ) ( )b b ba a af x d x f u d u f t d t??? ? ?
若只有 则不能保证区间分割无限细密,
注 3.?(x)在区间 [a,b]上可积的充要条件是极限
且此极限值与 [a,b]的分法和 的取法无关,
n ??
则可选择较为方便的区间分法和 的取法,使得计算简便,
11
三,函数可积的条件
由注 3知,每个函数的可积性与积分和的极限的存在
性等价,但求积分和的极限,却非常困难,
定理 1.若 ?(x)在区间 [a,b] 上无界,则 ?(x)在 [a,b]上必不可积,
问题,
下面给出函数可积的几个定理,
其等价命题为, 可积函数必有界, — — 函数可积的必要
条件, 以下三个定理是函数可积的充分条件,
定理 2.若 ?(x)在区间 [a,b]上连续,则 ?(x)在 [a,b]上可积,
定理 3.若 ?(x)在区间 [a,b]上有界且只有有限个间断点,则
?(x)在 [a,b]上可积,
12
注 4.有了函数可积的充分条件,就可借助定义 1来
例 1 利用定积分定义计算定积分 4
0 ( 2 3 )x dx??
可将区间 [0,4] 特殊划分并特殊取点,
定理 4.若 ?(x)在区间 [a,b]上单调有界,则 ?(x)在 [a,b]上可积,
解 因 ?(x)=2x+3 在 [0,4] 上连续,
②,将某些极限问题转换为一个定积分,
①,计算给定的定积分的值 ;
故它在 [a,b]上可积,从而
不妨在区间 [0,4] 内插入 n 个等分点
分成 n 个小区间,取右端点为
4 ( 1,2,,)
ix i i nn??
,i?,iix? ?即 4ix n??则
11
( ) ( )nnn i i i i
ii
S f x f x x?
??
? ? ? ???且
1
( 2 3 )n ii
i
xx
?
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1
84( 3 )n
i
inn
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???
13
2
2 1
4 [ 8 3 ]n
i
inn
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? ? ??2
1
4 ( 8 3 )n
i
inn
?
???
2
2
4 ( 1 ) 1[ 8 3 ] 1 6 ( 1 ) 1 2
2
nn n
nn
?? ? ? ? ?
1l i m l i m [ 1 6 ( 1 ) 1 2 ] 2 8
nnnS n? ? ? ?? ? ? ? ?
4
0 ( 2 3 ) 2 8x d x???故
例 2 将 2
2
1l i m ( 2 )
n n n nn?? ? ? ?
2
2
1 1 1 2 ( 2 ) ( )nn n n
n n n n n? ? ? ? ? ? ?解
1
1n
i
i
nn????
表示成定积分
在区间 [0,1]上可积,()f x x?而
14
用等分分点法所得的积分和为
1
01
1l i m l i m n
nnn
i
iS x d x
nn? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
1
()nn i i
i
S f x?
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1
1n
i
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1,)
i i i
ixx
nn?? ? ? ?( 其中
12
2 0
1 l i m ( 2 ),
n n n n x d xn?? ? ? ? ? ?则
15
习题提示,P213.4.(2)
1 1 1 2l im ( 1 ) ( 2) ( 2 ) l im ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn n
nn
nn n n n
n n n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1 1 2l i m { l n [ l n l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) ] }n
n
nn
n n n n ne ?? ? ? ? ? ? ? ??
1
1li m ln ( 1 )n
n i
i
nne ?? ? ????
1 1 2l i m [ l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) ]
n
n
n n n ne ?? ? ? ? ? ??
1
0 ln (1 )x d xe ???
2
1 ln x d xe??或
16
注 5.前面的讨论中已默认区间 [a,b]中的 a < b,那么当 a=b
和 a > b呢?为方便作如下规定,
( ) 0.ba f x dx ??
( ) ( ),baabf x d x f x d x????
且 a<b时,定积分( ) 0fx ?
()ba f x dx?
从而可消除对定积分上下限的大小限制,
①,若 a=b,则
②,若 a>b,则
四,定积分的几何意义
表示一个在 x 轴上方的 曲边梯形的面积 ;
由定义 1知,当连续函数
17
( ) 0,fx ? ()ba f x dx?且 a < b时,定积分
当 ?(x)在 [a,b]上有正有负时,定积分
()ba f x dx?
形的面积与 x 轴下方的曲边梯形
的面积之差 (即面积的代数和 ).
表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的
面积的相反数,
的值就是 x 轴上方的曲边梯
当
18
例 3 利用定积分的几何意义,计算曲线 y = sinx、直线
表示由曲线 y = sinx,直线 x=0, x=2π
12 0SS? ? ?
12S S S??但
及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,即
12S S S?? 2200sin ( sin ) sinx d x x d x x d x? ? ??? ? ? ?? ? ?
解 根据题意,所求 曲边梯形的
面积如右图,
x=0, x=2π及 x轴所围成的曲边梯形的面积,
利用定积分的几何意义知
2
0 sin xd x
??
第六章 定积分及其应用
§ 6.1定积分的概念
§ 6.2定积分的性质
§ 6.3微积分学基本定理
§ 6.4定积分的计算方法
§ 6.5广义积分
§ 6.6定积分的应用
( )?ba f x d x ??
2
第六章 定积分及其应用
4.如何计算定积分和应用定积分?
前一章讨论了已知一个函数的导数,如何求原来的函数,
这样一个积分学的基本问题 —— 不定积分,
这一章将讨论积分学的另一个基本问题 —— 定积分,
1.什么是定积分?
2.定积分有哪些性质?
3.定积分与不定积分有何关系?
本章的主要问题有,
1
0 c o s?x d x ??
3
一,引例 (曲边梯形的面积 )
定义 1,在直角坐标系中,由一条连续曲线
y=?(x)和三条直线 x = a,x = b和 y = 0 (x轴 )
所围成的图形,称为曲边梯形,如右图
AabBA (与直边梯形 AabB的区别 ),
o x
y
y=0
y=?(x)
x=a x=b
a b
BA
§ 6.1 定积分的概念
当 y = ?(x) ? 0 时,曲边梯形 AabB的面积怎么求呢? 中
学里会求直边多边形 (特别是矩形 )的面积,下面利用矩形的
面积来求曲边梯形 AabB的面积,
问题,
4
从而此区间对应的小窄曲边梯形 CEFH
的面积近似等于小窄矩形 DEFH的面积, o x
y
y=?(x)
a b
BA
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H
C
D
E F
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因而,如果把区间 [a,b]任意地划分为 n个小区间,并
在每一个区间上任取一点,再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高,从而每个窄曲边梯形就可近似地
分析,问题的难度在于曲边梯形 AabB的高对整个区间 [a,b]
来说是一个变量,其最大值与最小值之差较大 ; 但从区间
[a,b]的一个局部 (小区间 )来看,它也是一个变量 ;
但因 ?(x)连续,从而当 Δ x → 0时,Δy→ 0,
故可将此区间的高近似看为一个常量,
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视为一个小窄矩形,而且全部窄矩形的面积之和也可作
为曲边梯形面积的近似值,
要想得精确值,只需区间 [a,b]的分法无限细密 (即每
个小区间的长度 Δ x → 0)时,全部窄矩形的面积之和的极限
一定是曲边梯形面积的精确值,
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积,
I.化整为零 (或分割 )—— 任意划分
(如右图 )用分点
0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?
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y y=?(x)
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o x
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记第 i 个小区间的长度为
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过每个分点作垂直于 x轴的直线,将曲边梯形分成 n 个窄
曲边梯形 (如上图 ).
若用 S表示曲边梯形的面积,
表示第 i个窄曲边梯形 (阴影
部分 )的面积,则有
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12
1
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II.近似代替 (或以直代曲 )—— 任意取点
在每个小区间
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以 为高、以小区间 的长度为底()if ? 1[,]iixx?
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则该窄矩形的面积
为了从近似过度到精确,将所有的窄矩形的面积相加,
就得曲边梯形的面积的近似值,即
11
()nni i i
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S S f x?
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III.求和、取极限
作窄矩形 (如右图 ).
近似等于,即
记各小区间的最大长度为
12m a x {,,,}nx x x? ? ? ? ?
当分点数 n无限增大且各小区间的最大长度
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对上述和式取极限就得曲边梯形的面积,即
0 1l i m ( )
n
ii
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二,定积分的定义
由引例知,把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结
为一个特殊和式的极限, 这种和式的极限应用极广,可解
决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,
定义 1.设 ?(x)在 [a,b]上有定义,点
0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?
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在每个小区间
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就有定积分的定义,
将区间 [a,b]任意地划分为 n个小区间 ; 每个小区间
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0?? nS若当 时,有确定的极限值 I,且 I 与区间 [a,b]的
分法和 的取法无关,则称函数 ?(x)在区间 [a,b]上可积,
并称此极限值 I为 ?(x)在区间 [a,b]上的定积分,记为
称为积分和,
1
()nn i i
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其中 ?(x)为被积函数,?(x)d x称为 被积表达式,x 称为积分
变量,a称为积分下限,b称为积分上限,[a,b]称为积分区
即
注 1.若 ?(x)在区间 [a,b]上可积,则定积分
的字母无关,即
它仅与被积函数 ?(x)和积分区间 [a,b]有关,而与积分变量
()ba f x d x ?? C 常数,
10
注 2,极限过程,既保证了分点个数无限增多 ( ),
又保证了区间分割无限细密 (即所有小区间的长度都趋于 0).
0?? n ??
因此,对于可积函数 ?(x),若要用定义来计算
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( ) ( ) ( )b b ba a af x d x f u d u f t d t??? ? ?
若只有 则不能保证区间分割无限细密,
注 3.?(x)在区间 [a,b]上可积的充要条件是极限
且此极限值与 [a,b]的分法和 的取法无关,
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则可选择较为方便的区间分法和 的取法,使得计算简便,
11
三,函数可积的条件
由注 3知,每个函数的可积性与积分和的极限的存在
性等价,但求积分和的极限,却非常困难,
定理 1.若 ?(x)在区间 [a,b] 上无界,则 ?(x)在 [a,b]上必不可积,
问题,
下面给出函数可积的几个定理,
其等价命题为, 可积函数必有界, — — 函数可积的必要
条件, 以下三个定理是函数可积的充分条件,
定理 2.若 ?(x)在区间 [a,b]上连续,则 ?(x)在 [a,b]上可积,
定理 3.若 ?(x)在区间 [a,b]上有界且只有有限个间断点,则
?(x)在 [a,b]上可积,
12
注 4.有了函数可积的充分条件,就可借助定义 1来
例 1 利用定积分定义计算定积分 4
0 ( 2 3 )x dx??
可将区间 [0,4] 特殊划分并特殊取点,
定理 4.若 ?(x)在区间 [a,b]上单调有界,则 ?(x)在 [a,b]上可积,
解 因 ?(x)=2x+3 在 [0,4] 上连续,
②,将某些极限问题转换为一个定积分,
①,计算给定的定积分的值 ;
故它在 [a,b]上可积,从而
不妨在区间 [0,4] 内插入 n 个等分点
分成 n 个小区间,取右端点为
4 ( 1,2,,)
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,i?,iix? ?即 4ix n??则
11
( ) ( )nnn i i i i
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在区间 [0,1]上可积,()f x x?而
14
用等分分点法所得的积分和为
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习题提示,P213.4.(2)
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16
注 5.前面的讨论中已默认区间 [a,b]中的 a < b,那么当 a=b
和 a > b呢?为方便作如下规定,
( ) 0.ba f x dx ??
( ) ( ),baabf x d x f x d x????
且 a<b时,定积分( ) 0fx ?
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从而可消除对定积分上下限的大小限制,
①,若 a=b,则
②,若 a>b,则
四,定积分的几何意义
表示一个在 x 轴上方的 曲边梯形的面积 ;
由定义 1知,当连续函数
17
( ) 0,fx ? ()ba f x dx?且 a < b时,定积分
当 ?(x)在 [a,b]上有正有负时,定积分
()ba f x dx?
形的面积与 x 轴下方的曲边梯形
的面积之差 (即面积的代数和 ).
表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的
面积的相反数,
的值就是 x 轴上方的曲边梯
当
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例 3 利用定积分的几何意义,计算曲线 y = sinx、直线
表示由曲线 y = sinx,直线 x=0, x=2π
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12S S S??但
及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,即
12S S S?? 2200sin ( sin ) sinx d x x d x x d x? ? ??? ? ? ?? ? ?
解 根据题意,所求 曲边梯形的
面积如右图,
x=0, x=2π及 x轴所围成的曲边梯形的面积,
利用定积分的几何意义知
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