1
§ 4.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济
管理等许多领域都有十分广泛的应用, 下面介绍导数 (或微
分 )在经济中的一些简单的应用,
一,边际分析与弹性分析
边际和弹性是经济学中的两个重要概念, 用导数来研
究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性
分析,
1.边际函数
2
定义 经济学中,把函数 ?(x)的导函数 称为 ?(x)的边际
函数, 在点 的值 称为 ?(x)在 处的边际值 (或变化
率、变化速度等 ).
()fx?
0x 0()fx? 0x
00
0 0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xfx
x??
? ? ?? ?
?
00
0 0
( ) ( ) ( ) ( lim 0 )
x
f x x f x fx
x ?? ??
? ? ? ?? ? ? ?
?
0 ( ),x??当 即很小 时
在经济学中,通常取 Δx =1,就认为 Δx达到很小 (再小无意义 ).
故有
0 0 0( ) ( ) ()f x x f x f x?? ? ? ?
00
0
( ) ( ) ( )f x x f x fx
x
? ? ? ??
?有
3
实际问题中,略去“近似”二字,就得 ?(x)在 处的
边际值 的
0x
0()fx?
经济意义, 即当自变量 x 在 的基础上再增加一个
单位时,函数 y的改变量,
0x
例 33 某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每
日 100件,假设日产品的总成本 C(元 )与日产量 x (件 )的
函数为
21( ) 6 0 2 0 5 0
4C x x x? ? ?
4
求 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 ;
(2)当日产量由 75件提高到 90件时,总成本的平均改变量 ;
(3)当日产量为 75件时的边际成本,
解 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 C(75)=7956.25(元 )
(2)当日产量由 75件提高到 90件时,总成本的平均改变量
C(75)/75=106.08(元 /件 )
( 9 0 ) ( 7 5 ) 1 0 1, 2 5 ( / )
9 0 7 5
C C C
x
???? 元件
5
(3)当日产量为 75件时的边际成本
1( ) 6 0
2C x x? ??
注,当销售量为 x,总利润为 L=L(x)时,称 为销售量
为 x时的边际利润,它近似等于销售量为 x时再多销售一
个单位产品所增加或减少的利润,
()Lx?
例 34 某糕点加工厂生产 A类糕点的总成本函数和总收
入函数分别是
求边际利润函数和当日产量分别是 200公斤,250公斤和
300公斤时的边际利润,并说明其经济意义,
22( ) 1 0 0 2 0, 0 2 ( ) 7 0, 0 1,C x x x R x x x? ? ? ? ?和
75(7 5 ) ( ) 9 7, 5 ( )xC C x ???? ? ? 元
6
解 (1)总利润函数为 L(x) = R(x) – C(x) = 25 1 0 0 0, 0 1xx??
边际利润函数为 ( ) 5 0, 0 2L x x? ??
(2)当日产量分别是 200公斤,250公斤和 300公斤时的边
际利润分别是
200( 2 0 0 ) ( ) 1 ( )xL L x ????? 元
( 2 5 0) 0 ( ),L ? ? 元 ( 3 0 0 ) 1 ( ),L ? ?? 元
其经济意义,当日产量为 200公斤时,再增加 1公斤,则
总利润可增加 1元,当日产量为 250公斤时,再增加 1公斤,
则总利润无增加, 当日产量为 300公斤时,再增加 1公斤,
则反而亏损 1元,
7
结论, 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的
零点时 ( ( ) 0 )Lx? ?,反而使企业无利可图,
2.弹性
弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量
变化时,所作出反映的强弱程度, 即弹性是用来描述
一个量对另一个量的相对变化率的一个量,
8
定义 若函数 y =?(x)在点 的某邻域内有定义,且
则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点 处的绝
对增量,并称
0( 0)x ?
0( ) 0fx ? 0x
00
0 0 0
( ) ( )
()
f x x f xxy
x y f x
? ? ??? ?与
0x
分别为自变量 x与 ?(x)在点 处的相对增量,
定义 设 y =?(x)当
0
0 0
0,l i m,
x
yyx
xx??
???
?时 极限 存在 则称此
( ) fx极限值为函数 在点 00,( ),xx ?处的弹性 记为
9
由弹性定义可知 (1)若 y = ?(x) 在点 处可导, 则它
在 处的弹性为
0x
0x
00
000
() ( ) l i m ( )
()x
x f xyxx
x y f x? ??
??? ? ?
?
00( 2 ) ( ), 1 %,x x x? 的 意 是 在 生 的改
(3)弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关,
例 35 当 a,b,α为常数时,求下列函数的弹性函数及在
点 x = 1处的点弹性,并阐述其经济意义,
( 1 ) ( ) ( 2 ) ( )bxf x a e f x x ???
0( ) ( ) % ;f x x?就会产生 的改变
0( ) 0 ( 0 ),( )x x y? ??当 时 与 的变化方向相同 相反
10
() ( 1) ( )
()
bx
bx
f x xx x abe bx
f x ae?
?? ? ? ? ?解由 (1) b? ?故
η(1)的经济意义是, 在 x = 1处,
当 b > 0 时,x 增加 (或减少 )1%,?(x)就增加 (或减少 ) b% ;
当 b < 0 时,x 增加 (或减少 )1%,?(x)就减少 (或增加 ) –b%,
() ( 2 ) ( )
()
fxxx
fx??
???解由 (1 )???故
,.?幂函数在任意一处的弹性均为常数 从而称之为不变弹性函数
η(x)的经济意义是,
11
31( ) ( )
2
p
Q p a?
p?
例 36 某日用消费品需求量 Q(件 )与单价 p(元 )的函数关系为
(a是常数 ),求
(1)需求弹性函数 (通常记作 ).
(2)当单价分别是 4元,4.35元,5元时的需求弹性,
31 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) ln( )
3 2 2
p
Q p a? ?解
3
3
( ) 1 1 1
( ) l n ( ) 0.2 3
( ) 3 2 21
()
2
p
p p
Q p p
p a p
Qp
a
?
?
? ? ? ? ?由
4 4, 3 5 5( 2 ) 0, 9 2,1,1, 1 5,p p p p p p? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
易知, 任何需求函数对价格之弹性,均满足p? 0.
p? ?
12
在商品经济中,商品经营者关心的的是提价 (Δp>0)
或降价 (Δp<0)对总收益的影响,下面利用需求弹性的概念,
可以得出价格变动如何影响销售收入的结论,
()
( ) ( )p
Q p p d Qp
Q p Q p d p?
?? ? ?
( ) R p p Q?销售收入 的改变量为
( ) pp??价格 的微小变化 即 很小时 而引起的需求量的改变为
pdQ p dQ p pQ dQ p Q Qdp Q dp p p???? ? ? ? ? ? ? ?
p
Qp
Qp ?
?? ?需求量的相对改变量为
( ) ( ) ( 1 )pR pQ d pQ Q dp pdQ Q dp?? ? ? ? ? ? ? ?
13
(1)若 (称为高弹性 )时,则 ΔR 与 Δp 异号, 此时,
降价 (Δp<0)将使收益增加 ; 提价 (Δp > 0)将使收益减少 ;
1p? ?
(2)若 (称为低弹性 )时,则 ΔR 与 Δp 同号,此时,
降价 (Δp<0)将使收益减少 ; 提价 (Δp > 0)将使收益增加 ;
1p? ?
0,( 1 )p p p pR Q p? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?由知 从而有结论,
(3)若 (称为单位弹性 )时,则, 此时,无论
是降价还是提价均对收益没有明显的影响,
1p? ? 0R??
由此对例 36 而言, 当 p = 4时,(低弹性 ),
此时降价使收益减少 ; 提价使收益增加 ;
0,9 2 1p? ??
14
1p? ?
1,1 5 1p? ??
例 37 某商品的需求量为 2660单位,需求价格弹性为 –1.4.
若该商品价格计划上涨 8%(假设其他条件不变 ),问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为 Q,在价格上涨时的改变量为
ΔQ=Q–2660
8%,1,4ppp ?? ? ? ?
课后考虑, 用类似方法,对供给函数、成本函数等常用经济函数
进行弹性分析,以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等,
当 p = 4.35 时,(单位弹性 ),此时,降价、提价对
收益没有明显的影响 ;
当 p = 5 时,(高弹性 ),此时降价使收益增加 ;
提价使收益减少,
且
1,4 8 % 2 6 6 0 2 9 8 ( )p pQQ p? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 单位
15
二,函数最值在经济中的应用
在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定
获得利润最大的一系列价格策略等, 这些问题都可归结为
求函数的最大值和最小值问题,下面举例说明函数最值在经
济上的应用,
1.平均成本最小
例 38 某工厂生产产量为 x (件 )时,生产成本函数 (元 )为
2( ) 90 00 40 0,00 1C x x x? ? ?
解 平均成本函数是
求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小? 并
求出其最小平均成本和相应的边际成本,
( ) 9 0 0 0 C ( ) 4 0 0, 0 0 1Cxxx
xx? ? ? ?
16
2
9000C ( ) 0, 0 0 1x
x? ? ? ? 3
1800C ( ) 0x
x?? ??
C ( ) 0 30 00,xx? ??令 得 从而驻点唯一
3 0 0 0,,x ?当产量 件时 平均成本达到最小 且最小平均成本为
C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( / )? 元件
( ) 4 0 0, 0 0 2C x x? ??而边际成本函数为
3 0 0 0 ( 3 0 0 0) 4 6 ( / ),xC ???故 时相应的边际成本为 元 件
,.显然 最小平均成本等于其相应的边际成本
3 0 0 0 ( 0,)x ? ? ?故 是区间 唯一的极小值点
17
0x
0 00( ) ( ) ( ) 0xxL x R x C x?? ? ????
2.最大利润
设总成本函数为 C(x),总收益函数为 R(x),其中 x为
产量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数
为
假设产量为 时,利润达到最大,则由极值的
必要条件和极值的第二充分条件,L(x)必定满足,
0 00( ) ( ) ( ) 0xxL x R x C x??? ?? ??? ? ?
可见,当产量水平 使得边际收益等于边际
成本时,可获得最大利润,
0xx?
L(x) = R(x) – C(x)
18
例 39,某商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7–0.2x
(万元 /吨 ),且 x为销售量 (单位,吨 )、商品的成本函数为
C(x) = 3x + 1(万元 )
(1)若每销售一吨商品,政府要征税 t (万元 ),求该商家
获最大利润时的销售量 ;
(2) t 为何值时,政府税收总额最大,
解 (1)当该商品的销售量为 x时,商品销售总收入为
27 0, 2R p x x x? ? ?
设政府征的总税额为 T,则有 T = t x,且利润函数为
20, 2 ( 4 ) 1L R T C x t x? ? ? ? ? ? ? ?
19
( ) 0, 4 4 0,L x x t? ? ? ? ? ?令
(2)由 (1)的结果知,政府税收总额为
25522( 4 ) 1 0 ( 2 )T tx t t t? ? ? ? ? ?
显然,当 t = 2时,政府税收总额最大, 但须指出的是,
5 ( ) 0, 4 0,( 4 ),
2L x x t?? ? ? ? ? ?而 且驻点 唯一
5 ( ) ( 4 ),
2L x x t??故 在 时取得最大值
5 ( 4 )
2xt??得驻点
5 ( 4 ),
2xt??即 是使商家获得最大利润的销售量
为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润,就应使
x = 5/2(4 – t) > 0,
即 t 满足限制 0 < t < 4,显然 t = 2 并未超出 t 的限制范围,
20
例 40 某家银行,准备新设某种定期存款业务, 假设存
款量与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为 16%,
那么存款利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益?
3.最佳存款利息
解 设存款利率为 x,存款总额为 M,则由 M与 x成
正比,得
M = k x ( k 是正常数 )
21
若贷款总额为 M,则银行的贷款收益为 0.16 M = 0.16 k x,
而这笔贷款 M要付给存户的利息为,从而银行的投
资纯收益为
2x M k x?
2( ) 0.1 6,f x kx kx??
故当存款利率为 8%时,可创最高投资纯收益,
( ) 0, 1 6 2 0,0, 0 8,f x k k x x? ? ? ? ?得
( ) 2 0,0, 0 8 ( ),f x k x f x?? ? ? ? ?而 由 和驻点唯一知 是 的最大值点
22
解 设每年的库存费和定货的手续费为 C,进货的批数为 x,
则批量为 个,且
8000
x
8 0 0 0 1 1 6 0 0 0( ) 4 4 0 4 0
2C C x x xxx? ? ? ? ? ? ?
2
16000( ) 4 0 0,2 0C x x
x? ? ? ? ? ?得唯一驻点
4.最佳批量和批数
例 41 某厂年需某种零件 8000个,需分期分批外购,然后
均匀投入使用 (此时平均库存量为批量的一半 ).若每次定
货的手续费为 40元,每个零件的库存费为 4元, 试求最
经济的定货批量和进货批数,
23
2
32000 ( ) 0,Cx
x?? ??而 故驻点为极小值点
因而当进货的批数为 20 批,定货批量为 400
个时,每年的库存费和定货的手续费最少 — — 最经济,
企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的,
但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费,
因此确定最适当的库存量是很重要的,
24
0A
tA
0 ( 1 )
mt
t
rAA
m??
0 rttA A e?
欲求 的现在值 的问题称为贴现 (率 )问题, 则一年
结算 m次,t 年末的贴现净额为
tA
tA 0A
0 ( 1 )
mt
t
rAA
m??
5.最优决策时间
准备知识, 设 为初始本金 (称现值 ),r为年利率,按连续
复利计算,t 年末的本利和记作 (称总收入 ).则当年结算
m次时,就有
从而有连续复利公式
与此相反,经济学中把已知未来值为,贴现率也为 r.
按连续复利计算,得 t 年末的贴现净额为 (也称为贴现公式 )
0 lim ( 1 )
m t r t
ttm
rA A A e
m
?
??? ? ?
25
例 42 某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在 (假定 t=0)就
出售,售价为 (元 ),如果窖藏起来待日按陈酒价格
出售 (假设不计储藏费 ),那么未来总收入就是时间 t 的函
数 假设资金的贴现率为 r,并以连续复利计
息,为使总收入的现值最大,应在何年出售此酒?
0R
0,tR R e?
26
解 设这批酒窖藏 t 年整,售出总收入的现值为 L
0( ) r t t r tL L t R e R e??? ? ?
2
1
4t r?
2
1
4r
14
0 ( ),rL R e? 元
0
1( ) ( ) 0,
2
t r tL t R e
tr
?? ??
?
令
故 时,函数 L(t)在该点达到最大值,即储藏年限
为 (整年 )时,是最佳销售时间,
此时收入的最大现值为
如 r = 0.10,则 t = 25,即此酒商应将此酒窖藏 25 年,
可见,利率 (贴现率 )越高窖藏期越短,
则按照贴现公式得
2
1
4t r?得唯一不可导点,
§ 4.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济
管理等许多领域都有十分广泛的应用, 下面介绍导数 (或微
分 )在经济中的一些简单的应用,
一,边际分析与弹性分析
边际和弹性是经济学中的两个重要概念, 用导数来研
究经济变量的边际与弹性的方法,称之为边际分析与弹性
分析,
1.边际函数
2
定义 经济学中,把函数 ?(x)的导函数 称为 ?(x)的边际
函数, 在点 的值 称为 ?(x)在 处的边际值 (或变化
率、变化速度等 ).
()fx?
0x 0()fx? 0x
00
0 0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xfx
x??
? ? ?? ?
?
00
0 0
( ) ( ) ( ) ( lim 0 )
x
f x x f x fx
x ?? ??
? ? ? ?? ? ? ?
?
0 ( ),x??当 即很小 时
在经济学中,通常取 Δx =1,就认为 Δx达到很小 (再小无意义 ).
故有
0 0 0( ) ( ) ()f x x f x f x?? ? ? ?
00
0
( ) ( ) ( )f x x f x fx
x
? ? ? ??
?有
3
实际问题中,略去“近似”二字,就得 ?(x)在 处的
边际值 的
0x
0()fx?
经济意义, 即当自变量 x 在 的基础上再增加一个
单位时,函数 y的改变量,
0x
例 33 某机械厂,生产某种机器配件的最大生产能力为每
日 100件,假设日产品的总成本 C(元 )与日产量 x (件 )的
函数为
21( ) 6 0 2 0 5 0
4C x x x? ? ?
4
求 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 ;
(2)当日产量由 75件提高到 90件时,总成本的平均改变量 ;
(3)当日产量为 75件时的边际成本,
解 (1)日产量 75件时的总成本和平均成本 C(75)=7956.25(元 )
(2)当日产量由 75件提高到 90件时,总成本的平均改变量
C(75)/75=106.08(元 /件 )
( 9 0 ) ( 7 5 ) 1 0 1, 2 5 ( / )
9 0 7 5
C C C
x
???? 元件
5
(3)当日产量为 75件时的边际成本
1( ) 6 0
2C x x? ??
注,当销售量为 x,总利润为 L=L(x)时,称 为销售量
为 x时的边际利润,它近似等于销售量为 x时再多销售一
个单位产品所增加或减少的利润,
()Lx?
例 34 某糕点加工厂生产 A类糕点的总成本函数和总收
入函数分别是
求边际利润函数和当日产量分别是 200公斤,250公斤和
300公斤时的边际利润,并说明其经济意义,
22( ) 1 0 0 2 0, 0 2 ( ) 7 0, 0 1,C x x x R x x x? ? ? ? ?和
75(7 5 ) ( ) 9 7, 5 ( )xC C x ???? ? ? 元
6
解 (1)总利润函数为 L(x) = R(x) – C(x) = 25 1 0 0 0, 0 1xx??
边际利润函数为 ( ) 5 0, 0 2L x x? ??
(2)当日产量分别是 200公斤,250公斤和 300公斤时的边
际利润分别是
200( 2 0 0 ) ( ) 1 ( )xL L x ????? 元
( 2 5 0) 0 ( ),L ? ? 元 ( 3 0 0 ) 1 ( ),L ? ?? 元
其经济意义,当日产量为 200公斤时,再增加 1公斤,则
总利润可增加 1元,当日产量为 250公斤时,再增加 1公斤,
则总利润无增加, 当日产量为 300公斤时,再增加 1公斤,
则反而亏损 1元,
7
结论, 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的
零点时 ( ( ) 0 )Lx? ?,反而使企业无利可图,
2.弹性
弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量
变化时,所作出反映的强弱程度, 即弹性是用来描述
一个量对另一个量的相对变化率的一个量,
8
定义 若函数 y =?(x)在点 的某邻域内有定义,且
则称 Δ x 和 Δy 分别是 x 和 y 在点 处的绝
对增量,并称
0( 0)x ?
0( ) 0fx ? 0x
00
0 0 0
( ) ( )
()
f x x f xxy
x y f x
? ? ??? ?与
0x
分别为自变量 x与 ?(x)在点 处的相对增量,
定义 设 y =?(x)当
0
0 0
0,l i m,
x
yyx
xx??
???
?时 极限 存在 则称此
( ) fx极限值为函数 在点 00,( ),xx ?处的弹性 记为
9
由弹性定义可知 (1)若 y = ?(x) 在点 处可导, 则它
在 处的弹性为
0x
0x
00
000
() ( ) l i m ( )
()x
x f xyxx
x y f x? ??
??? ? ?
?
00( 2 ) ( ), 1 %,x x x? 的 意 是 在 生 的改
(3)弹性是一个无量纲的数值,这一数值与计量单位无关,
例 35 当 a,b,α为常数时,求下列函数的弹性函数及在
点 x = 1处的点弹性,并阐述其经济意义,
( 1 ) ( ) ( 2 ) ( )bxf x a e f x x ???
0( ) ( ) % ;f x x?就会产生 的改变
0( ) 0 ( 0 ),( )x x y? ??当 时 与 的变化方向相同 相反
10
() ( 1) ( )
()
bx
bx
f x xx x abe bx
f x ae?
?? ? ? ? ?解由 (1) b? ?故
η(1)的经济意义是, 在 x = 1处,
当 b > 0 时,x 增加 (或减少 )1%,?(x)就增加 (或减少 ) b% ;
当 b < 0 时,x 增加 (或减少 )1%,?(x)就减少 (或增加 ) –b%,
() ( 2 ) ( )
()
fxxx
fx??
???解由 (1 )???故
,.?幂函数在任意一处的弹性均为常数 从而称之为不变弹性函数
η(x)的经济意义是,
11
31( ) ( )
2
p
Q p a?
p?
例 36 某日用消费品需求量 Q(件 )与单价 p(元 )的函数关系为
(a是常数 ),求
(1)需求弹性函数 (通常记作 ).
(2)当单价分别是 4元,4.35元,5元时的需求弹性,
31 1 1 ( 1 ) ( ) ( ) ln( )
3 2 2
p
Q p a? ?解
3
3
( ) 1 1 1
( ) l n ( ) 0.2 3
( ) 3 2 21
()
2
p
p p
Q p p
p a p
Qp
a
?
?
? ? ? ? ?由
4 4, 3 5 5( 2 ) 0, 9 2,1,1, 1 5,p p p p p p? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
易知, 任何需求函数对价格之弹性,均满足p? 0.
p? ?
12
在商品经济中,商品经营者关心的的是提价 (Δp>0)
或降价 (Δp<0)对总收益的影响,下面利用需求弹性的概念,
可以得出价格变动如何影响销售收入的结论,
()
( ) ( )p
Q p p d Qp
Q p Q p d p?
?? ? ?
( ) R p p Q?销售收入 的改变量为
( ) pp??价格 的微小变化 即 很小时 而引起的需求量的改变为
pdQ p dQ p pQ dQ p Q Qdp Q dp p p???? ? ? ? ? ? ? ?
p
Qp
Qp ?
?? ?需求量的相对改变量为
( ) ( ) ( 1 )pR pQ d pQ Q dp pdQ Q dp?? ? ? ? ? ? ? ?
13
(1)若 (称为高弹性 )时,则 ΔR 与 Δp 异号, 此时,
降价 (Δp<0)将使收益增加 ; 提价 (Δp > 0)将使收益减少 ;
1p? ?
(2)若 (称为低弹性 )时,则 ΔR 与 Δp 同号,此时,
降价 (Δp<0)将使收益减少 ; 提价 (Δp > 0)将使收益增加 ;
1p? ?
0,( 1 )p p p pR Q p? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?由知 从而有结论,
(3)若 (称为单位弹性 )时,则, 此时,无论
是降价还是提价均对收益没有明显的影响,
1p? ? 0R??
由此对例 36 而言, 当 p = 4时,(低弹性 ),
此时降价使收益减少 ; 提价使收益增加 ;
0,9 2 1p? ??
14
1p? ?
1,1 5 1p? ??
例 37 某商品的需求量为 2660单位,需求价格弹性为 –1.4.
若该商品价格计划上涨 8%(假设其他条件不变 ),问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为 Q,在价格上涨时的改变量为
ΔQ=Q–2660
8%,1,4ppp ?? ? ? ?
课后考虑, 用类似方法,对供给函数、成本函数等常用经济函数
进行弹性分析,以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等,
当 p = 4.35 时,(单位弹性 ),此时,降价、提价对
收益没有明显的影响 ;
当 p = 5 时,(高弹性 ),此时降价使收益增加 ;
提价使收益减少,
且
1,4 8 % 2 6 6 0 2 9 8 ( )p pQQ p? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 单位
15
二,函数最值在经济中的应用
在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定
获得利润最大的一系列价格策略等, 这些问题都可归结为
求函数的最大值和最小值问题,下面举例说明函数最值在经
济上的应用,
1.平均成本最小
例 38 某工厂生产产量为 x (件 )时,生产成本函数 (元 )为
2( ) 90 00 40 0,00 1C x x x? ? ?
解 平均成本函数是
求该厂生产多少件产品时,平均成本达到最小? 并
求出其最小平均成本和相应的边际成本,
( ) 9 0 0 0 C ( ) 4 0 0, 0 0 1Cxxx
xx? ? ? ?
16
2
9000C ( ) 0, 0 0 1x
x? ? ? ? 3
1800C ( ) 0x
x?? ??
C ( ) 0 30 00,xx? ??令 得 从而驻点唯一
3 0 0 0,,x ?当产量 件时 平均成本达到最小 且最小平均成本为
C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( / )? 元件
( ) 4 0 0, 0 0 2C x x? ??而边际成本函数为
3 0 0 0 ( 3 0 0 0) 4 6 ( / ),xC ???故 时相应的边际成本为 元 件
,.显然 最小平均成本等于其相应的边际成本
3 0 0 0 ( 0,)x ? ? ?故 是区间 唯一的极小值点
17
0x
0 00( ) ( ) ( ) 0xxL x R x C x?? ? ????
2.最大利润
设总成本函数为 C(x),总收益函数为 R(x),其中 x为
产量,则在假设产量和销量一致的情况下,总利润函数
为
假设产量为 时,利润达到最大,则由极值的
必要条件和极值的第二充分条件,L(x)必定满足,
0 00( ) ( ) ( ) 0xxL x R x C x??? ?? ??? ? ?
可见,当产量水平 使得边际收益等于边际
成本时,可获得最大利润,
0xx?
L(x) = R(x) – C(x)
18
例 39,某商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7–0.2x
(万元 /吨 ),且 x为销售量 (单位,吨 )、商品的成本函数为
C(x) = 3x + 1(万元 )
(1)若每销售一吨商品,政府要征税 t (万元 ),求该商家
获最大利润时的销售量 ;
(2) t 为何值时,政府税收总额最大,
解 (1)当该商品的销售量为 x时,商品销售总收入为
27 0, 2R p x x x? ? ?
设政府征的总税额为 T,则有 T = t x,且利润函数为
20, 2 ( 4 ) 1L R T C x t x? ? ? ? ? ? ? ?
19
( ) 0, 4 4 0,L x x t? ? ? ? ? ?令
(2)由 (1)的结果知,政府税收总额为
25522( 4 ) 1 0 ( 2 )T tx t t t? ? ? ? ? ?
显然,当 t = 2时,政府税收总额最大, 但须指出的是,
5 ( ) 0, 4 0,( 4 ),
2L x x t?? ? ? ? ? ?而 且驻点 唯一
5 ( ) ( 4 ),
2L x x t??故 在 时取得最大值
5 ( 4 )
2xt??得驻点
5 ( 4 ),
2xt??即 是使商家获得最大利润的销售量
为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润,就应使
x = 5/2(4 – t) > 0,
即 t 满足限制 0 < t < 4,显然 t = 2 并未超出 t 的限制范围,
20
例 40 某家银行,准备新设某种定期存款业务, 假设存
款量与利率成正比,经预测贷款投资的收益率为 16%,
那么存款利息定为多少时,才能收到最大的贷款纯收益?
3.最佳存款利息
解 设存款利率为 x,存款总额为 M,则由 M与 x成
正比,得
M = k x ( k 是正常数 )
21
若贷款总额为 M,则银行的贷款收益为 0.16 M = 0.16 k x,
而这笔贷款 M要付给存户的利息为,从而银行的投
资纯收益为
2x M k x?
2( ) 0.1 6,f x kx kx??
故当存款利率为 8%时,可创最高投资纯收益,
( ) 0, 1 6 2 0,0, 0 8,f x k k x x? ? ? ? ?得
( ) 2 0,0, 0 8 ( ),f x k x f x?? ? ? ? ?而 由 和驻点唯一知 是 的最大值点
22
解 设每年的库存费和定货的手续费为 C,进货的批数为 x,
则批量为 个,且
8000
x
8 0 0 0 1 1 6 0 0 0( ) 4 4 0 4 0
2C C x x xxx? ? ? ? ? ? ?
2
16000( ) 4 0 0,2 0C x x
x? ? ? ? ? ?得唯一驻点
4.最佳批量和批数
例 41 某厂年需某种零件 8000个,需分期分批外购,然后
均匀投入使用 (此时平均库存量为批量的一半 ).若每次定
货的手续费为 40元,每个零件的库存费为 4元, 试求最
经济的定货批量和进货批数,
23
2
32000 ( ) 0,Cx
x?? ??而 故驻点为极小值点
因而当进货的批数为 20 批,定货批量为 400
个时,每年的库存费和定货的手续费最少 — — 最经济,
企业在正常生产的经营活动中,库存是必要的,
但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费,
因此确定最适当的库存量是很重要的,
24
0A
tA
0 ( 1 )
mt
t
rAA
m??
0 rttA A e?
欲求 的现在值 的问题称为贴现 (率 )问题, 则一年
结算 m次,t 年末的贴现净额为
tA
tA 0A
0 ( 1 )
mt
t
rAA
m??
5.最优决策时间
准备知识, 设 为初始本金 (称现值 ),r为年利率,按连续
复利计算,t 年末的本利和记作 (称总收入 ).则当年结算
m次时,就有
从而有连续复利公式
与此相反,经济学中把已知未来值为,贴现率也为 r.
按连续复利计算,得 t 年末的贴现净额为 (也称为贴现公式 )
0 lim ( 1 )
m t r t
ttm
rA A A e
m
?
??? ? ?
25
例 42 某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在 (假定 t=0)就
出售,售价为 (元 ),如果窖藏起来待日按陈酒价格
出售 (假设不计储藏费 ),那么未来总收入就是时间 t 的函
数 假设资金的贴现率为 r,并以连续复利计
息,为使总收入的现值最大,应在何年出售此酒?
0R
0,tR R e?
26
解 设这批酒窖藏 t 年整,售出总收入的现值为 L
0( ) r t t r tL L t R e R e??? ? ?
2
1
4t r?
2
1
4r
14
0 ( ),rL R e? 元
0
1( ) ( ) 0,
2
t r tL t R e
tr
?? ??
?
令
故 时,函数 L(t)在该点达到最大值,即储藏年限
为 (整年 )时,是最佳销售时间,
此时收入的最大现值为
如 r = 0.10,则 t = 25,即此酒商应将此酒窖藏 25 年,
可见,利率 (贴现率 )越高窖藏期越短,
则按照贴现公式得
2
1
4t r?得唯一不可导点,
