1
第六章学习的定积分是一元函数 y=?(x)在闭区间 [a,b]
本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念，
已知的立体和旋转体 )体积的计算方法 ;但对于一般立体的
第九章 二重积分
上的积分；下面我们来学习二元函数在有界闭区域 D上的
积分，即二重积分,
推导它的计算公式，研究它的计算方法,
在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体 (截面面积
体积问题却仍不会处理,
2
第九章 二重积分
§ 9.1 二重积分的概念
§ 9.2 在直角坐标系下二重积分的计算
§ 9.3 二重积分的换元法
§ 9.4 在极坐标系下二重积分的计算
§ 9.5 无界区域上的二重积分
(,)?
D
f x y dxdy ???
3
中底是 xy平面上的一个有界闭区域 D,
z
yO
x
D
C
z=?(x,y)
(x,y)
分析：
定义 1 设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成；其
方程为 z=?(x,y) (x,y)∈ D,连续且 ?(x,y) ≥0.
侧面是以 D的边界
曲线 C为准线,母线平行于 z轴的柱面,顶是一曲面, 其
则称此立体为曲顶柱体,
但对于曲顶柱体因其高 ?(x,y) 是
因平顶柱体体积为, 底面积 × 高,
来定义和计算了；
个 变量,其体积就不能用
,底面积 × 高,
4
但从某点的某个充分小邻域局部范
z
yO
x
D
C
z=?(x,y)
(x,y)
但由 ?(x,y)的连续性知：
从整个定义域来看, 高是变化的, ；
围内来看 ?z→0,即高可, 看成,
不变；
体积之和,
此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶
柱体之体积；
故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的
5
下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来
12,,n? ? ?? ? ?
i??
求曲顶柱体体积：
1.分割
用一组曲线网任意地将区域 D分成 n个小区域 (如图 )
并以 表示第 i个小区域的面积 ；
x
y
O
i??
6
n个小曲顶柱体 ;
,iV?
z
yO
x
D
i??
再以各小区域 的边界为准线，
作母线平行于 z轴的曲顶柱体；
相应地把原曲顶柱体分割成
并设第 i个小曲顶柱体体积为设所求体积为 V,
则
1
n
i
i
VV
?
???
7
2,以平代曲，近似代替
( 1,2,,)i in???
(,),ii?? (,),iif ??并以 为高
(,) i i if ? ? ???
(,) ( 1 2 )i i i iV f i,,,n? ? ?? ? ? ? ? ?
内任取一点
~
yO
x
(,,(,))i i i if? ? ? ?
(,)ii??
D
i??
1
(,)
n
i i i
i
Vf ? ? ?
?
? ? ??
在每个小区域
,i?? 为底作平顶柱体 其体积为
8
3.求和取极限
? ?1m a x,iindd???
若当 d→0 时 (此时必有 n→ ∞,但 n→ ∞不能 保证有 d→ 0),
iid ??令 表示 内任意两点间距离的最大值
( ),称为该区域的直径 又令
x
y
O
i??
则定义此极限为曲顶柱体之体积,
0 1 l i m (,)
n
i i id
i
Vf ? ? ??
?
? ? ??有
存在，
注 1 这种和式的极限的应用极广 ； 各个领域中的不少
问题通常都要化为这种和式的极限 ； 我们常把这种和
式的极限称为 二重积分,
9
§ 9.1 二重积分的概念
定义 2 设 ?(x,y) 是有界闭区域上的有界函数, 将 D任意
12,,,n? ? ?? ? ? i??
(,),ii??
1
(,),n i i i
i
f ? ? ?
?
???
当各小区域中的
0 1l i m (,)
n
i i id
i
f ? ? ??
?
???
存在，且与区域的分割及点 (,)
ii??
极限值为二元函数 ?(x,y)在区域 D上 的二重积分, 记作
一, 二重积分的概念
取法无关,则称此
? ?1m a x 0,iindd???? 时 若极限
作和式
分割成 n个小区域 在各小区域 内任
取一点
最大直径
10
区域,dσ为面积其中 ?(x,y)为被积函数,D为积分
注 2 若函数 ?(x,y)在区域 D上的二重积分存在，此时
定理 1 若 ?(x,y)在有界闭区域 D上连续，则 ?(x,y)在 D
元素,?(x,y)dσ为被积表达式,
又称 ?(x,y)在区域 D上可积,
上一定可积,
0 1
(,) l im (,),
n
i i id
iD
f x y d f? ? ? ?
? ?
? ? ????
注 3 由定义 2知：若 ?(x,y)在 D上可积，则其和式极限
的存在性与区域 D的分法无关，即与小区域 i??
状无 关,
的形
11
故在直角坐标系下，我们常采用平行于坐标轴的直
x
y
O
i??
iy?
ix?
i??
ix?,iy?
则小区域 的面积为
i??
i i ixy?? ? ? ??
在上述分法下,类似一元函数微分取极限后,面积元素为
故在直角坐标系下，二重积分可写为
(,) (,)
DD
f x y d f x y d x d y? ??? ??
其边长分别为 和
线来划分 D (如图 ).此时的小区域 的形状为小矩形,
dσ =dxdy
12
注 4 二重积分的几何意义：
当函数 z=?(x,y)在区域 D上连续且 ?(x,y) ≥0时,二重积分
(,)
D
f x y d???
表示以曲面 z=?(x,y)为顶，以区域 D为底的
特别地,当 ?(x,y)=1时,二重积分 1
DD
dd? ? ?? ? ??? ??
表平面区域 D的面 积,
但它们的量纲不一样,
曲顶柱体之体积,
即高度为 1的平顶柱体之体积等于此柱体的底面积；
13
二, 二重积分的性质
二重积分与定积分具有相应的性质,其证明方法与定积分
(,)
D
k f x y d ? ???
性质 2 函数的代数和的积分等于各函数积分的代数和，
[ (,) (,) ]
D
f x y g x y d ????? (,) (,)
DD
f x y d g x y d????? ??
性质 1 常数因子可提到积分号外，即
现分述如下而不证明,(以下总假定涉及的函数基本相同 ;
在 D上是可积的 )
(,) ( )
D
k f x y d k??? 为常数
即
14
注 5 综合性质 1和性质 2就有积分的线性运算性，并可
11
(,) (,)
nn
i i i i
iiDD
k f x y d k f x y d??
??
????? ??
性质 3 (区域可加性 )若区域 D被某曲线分割成两个部分
12
(,) (,) (,)
D D D
f x y d f x y d f x y d? ? ????? ?? ??
12,DD和
性质 4 对任意的 (x,y)∈ D,有 ?(x,y)=1,σ 为闭区域 D的
D
d?????
则区域
面积,则
推广到有限个函数的情形,
15
性质 5 (单调性 )对任意的 (x,y)∈ D,有 ?(x,y)≤g(x,y),则
(,) (,)
DD
f x y d g x y d????? ??
特别地有 (,) (,)
DD
f x y d f x y d????? ??
性质 6 (估值定理 ) 若 M和 m分别是 ?(x,y)在闭区域 D上
(,) M
D
m f x y d? ? ?????
的最大值和最小值,σ 为区域 D的面积，则
性质 7 (中值定理 ) 设 ?(x,y)在闭区域 D上连续,σ 为
区域 D的面积，则在 D上至少存在一点 (ξ,η),使得
(,) (,)
D
f x y d f? ? ? ?????
16
中值定理的几何意义：
在闭区域 D上以曲面 z=?(x,y)为顶的曲顶柱体之体积,等
于区域 D上某一点 (ξ,η)的函数值为高的平顶柱体之体积,
例 1 比较下列二重积分的大小：
2 3 2 2( ) ( ),( 2 ) ( 1 ) 2,
DD
x y d x y d D x y??? ? ? ? ? ??? ??与 由圆 围成
22 ( 2 ) ( 1 ) 2,D x y? ? ? ?解 因 由圆 围成 如下图
x
y
O
x+y=1
1 1
2 3
则区域 D内的点 (x,y)均满足 x+y≥1,从而
23( ) ( )x y x y? ? ?
23( ) ( ),
DD
x y d x y d??? ? ? ??? ??
17
2 2 2 22 ( 9 ),,4,
D
x y d D x y?? ? ? ???例 估 计 其 中
解 由第八章二元函数最值的求法知：
22 9z x y? ? ?
存在的点的函数值以及区域 D的边界上的最值,再比较
20
20
x
y
zx
zy
? ???
? ? ???则 可 令
0,0,xy? ? ?
先在区域 D内求
22,4,D x y??在区域 的最值
须先求出 ?(x,y)在 D内全部驻点的函数值,一阶偏导不
大小,其最大者为最大值,最 小 者为最小值,
要求
从而 z(0,0)=9.
18
再在区域 D的边界上求，此时问题已变为 条件极值；
2 2 2 2(,) 9 ( 4 )F x y x y x y?? ? ? ? ? ?则 可 令
则由方程组
22
(,) 2( 1 ) 0
(,) 2( 1 ) 0
40
x
y
F x y x
F x y y
xy
?
?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
2.xy? ? ? ?
( 2,2 ) 1 3z ? ? ?而 229 9 1 3xy? ? ? ? ?
而区域 D的面积 σ =4π
22 3 6 ( 9 ) 5 2
D
x y d? ? ?? ? ? ? ???
19
3 (,) (0,1 ) 1,f x y f ?例 设 为连续函数且 求
解 因 ?(x,y)在闭区域 D上连续,而 2,? ???
则由得中值定理
20
1l im (,) (,)I f D
? ? ? ? ? ????? ? ?
0lim (,) f? ????
(,) ( 0,1 )l i m (,) f?? ????
=?(0,1)=1.
2 2 2
20
( 1 )
1l i m (,),
xy
I f x y d x d y
?
???
?
? ? ?
? ??
第六章学习的定积分是一元函数 y=?(x)在闭区间 [a,b]
本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念，
已知的立体和旋转体 )体积的计算方法 ;但对于一般立体的
第九章 二重积分
上的积分；下面我们来学习二元函数在有界闭区域 D上的
积分，即二重积分,
推导它的计算公式，研究它的计算方法,
在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体 (截面面积
体积问题却仍不会处理,
2
第九章 二重积分
§ 9.1 二重积分的概念
§ 9.2 在直角坐标系下二重积分的计算
§ 9.3 二重积分的换元法
§ 9.4 在极坐标系下二重积分的计算
§ 9.5 无界区域上的二重积分
(,)?
D
f x y dxdy ???
3
中底是 xy平面上的一个有界闭区域 D,
z
yO
x
D
C
z=?(x,y)
(x,y)
分析：
定义 1 设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成；其
方程为 z=?(x,y) (x,y)∈ D,连续且 ?(x,y) ≥0.
侧面是以 D的边界
曲线 C为准线,母线平行于 z轴的柱面,顶是一曲面, 其
则称此立体为曲顶柱体,
但对于曲顶柱体因其高 ?(x,y) 是
因平顶柱体体积为, 底面积 × 高,
来定义和计算了；
个 变量,其体积就不能用
,底面积 × 高,
4
但从某点的某个充分小邻域局部范
z
yO
x
D
C
z=?(x,y)
(x,y)
但由 ?(x,y)的连续性知：
从整个定义域来看, 高是变化的, ；
围内来看 ?z→0,即高可, 看成,
不变；
体积之和,
此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶
柱体之体积；
故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的
5
下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来
12,,n? ? ?? ? ?
i??
求曲顶柱体体积：
1.分割
用一组曲线网任意地将区域 D分成 n个小区域 (如图 )
并以 表示第 i个小区域的面积 ；
x
y
O
i??
6
n个小曲顶柱体 ;
,iV?
z
yO
x
D
i??
再以各小区域 的边界为准线，
作母线平行于 z轴的曲顶柱体；
相应地把原曲顶柱体分割成
并设第 i个小曲顶柱体体积为设所求体积为 V,
则
1
n
i
i
VV
?
???
7
2,以平代曲，近似代替
( 1,2,,)i in???
(,),ii?? (,),iif ??并以 为高
(,) i i if ? ? ???
(,) ( 1 2 )i i i iV f i,,,n? ? ?? ? ? ? ? ?
内任取一点
~
yO
x
(,,(,))i i i if? ? ? ?
(,)ii??
D
i??
1
(,)
n
i i i
i
Vf ? ? ?
?
? ? ??
在每个小区域
,i?? 为底作平顶柱体 其体积为
8
3.求和取极限
? ?1m a x,iindd???
若当 d→0 时 (此时必有 n→ ∞,但 n→ ∞不能 保证有 d→ 0),
iid ??令 表示 内任意两点间距离的最大值
( ),称为该区域的直径 又令
x
y
O
i??
则定义此极限为曲顶柱体之体积,
0 1 l i m (,)
n
i i id
i
Vf ? ? ??
?
? ? ??有
存在，
注 1 这种和式的极限的应用极广 ； 各个领域中的不少
问题通常都要化为这种和式的极限 ； 我们常把这种和
式的极限称为 二重积分,
9
§ 9.1 二重积分的概念
定义 2 设 ?(x,y) 是有界闭区域上的有界函数, 将 D任意
12,,,n? ? ?? ? ? i??
(,),ii??
1
(,),n i i i
i
f ? ? ?
?
???
当各小区域中的
0 1l i m (,)
n
i i id
i
f ? ? ??
?
???
存在，且与区域的分割及点 (,)
ii??
极限值为二元函数 ?(x,y)在区域 D上 的二重积分, 记作
一, 二重积分的概念
取法无关,则称此
? ?1m a x 0,iindd???? 时 若极限
作和式
分割成 n个小区域 在各小区域 内任
取一点
最大直径
10
区域,dσ为面积其中 ?(x,y)为被积函数,D为积分
注 2 若函数 ?(x,y)在区域 D上的二重积分存在，此时
定理 1 若 ?(x,y)在有界闭区域 D上连续，则 ?(x,y)在 D
元素,?(x,y)dσ为被积表达式,
又称 ?(x,y)在区域 D上可积,
上一定可积,
0 1
(,) l im (,),
n
i i id
iD
f x y d f? ? ? ?
? ?
? ? ????
注 3 由定义 2知：若 ?(x,y)在 D上可积，则其和式极限
的存在性与区域 D的分法无关，即与小区域 i??
状无 关,
的形
11
故在直角坐标系下，我们常采用平行于坐标轴的直
x
y
O
i??
iy?
ix?
i??
ix?,iy?
则小区域 的面积为
i??
i i ixy?? ? ? ??
在上述分法下,类似一元函数微分取极限后,面积元素为
故在直角坐标系下，二重积分可写为
(,) (,)
DD
f x y d f x y d x d y? ??? ??
其边长分别为 和
线来划分 D (如图 ).此时的小区域 的形状为小矩形,
dσ =dxdy
12
注 4 二重积分的几何意义：
当函数 z=?(x,y)在区域 D上连续且 ?(x,y) ≥0时,二重积分
(,)
D
f x y d???
表示以曲面 z=?(x,y)为顶，以区域 D为底的
特别地,当 ?(x,y)=1时,二重积分 1
DD
dd? ? ?? ? ??? ??
表平面区域 D的面 积,
但它们的量纲不一样,
曲顶柱体之体积,
即高度为 1的平顶柱体之体积等于此柱体的底面积；
13
二, 二重积分的性质
二重积分与定积分具有相应的性质,其证明方法与定积分
(,)
D
k f x y d ? ???
性质 2 函数的代数和的积分等于各函数积分的代数和，
[ (,) (,) ]
D
f x y g x y d ????? (,) (,)
DD
f x y d g x y d????? ??
性质 1 常数因子可提到积分号外，即
现分述如下而不证明,(以下总假定涉及的函数基本相同 ;
在 D上是可积的 )
(,) ( )
D
k f x y d k??? 为常数
即
14
注 5 综合性质 1和性质 2就有积分的线性运算性，并可
11
(,) (,)
nn
i i i i
iiDD
k f x y d k f x y d??
??
????? ??
性质 3 (区域可加性 )若区域 D被某曲线分割成两个部分
12
(,) (,) (,)
D D D
f x y d f x y d f x y d? ? ????? ?? ??
12,DD和
性质 4 对任意的 (x,y)∈ D,有 ?(x,y)=1,σ 为闭区域 D的
D
d?????
则区域
面积,则
推广到有限个函数的情形,
15
性质 5 (单调性 )对任意的 (x,y)∈ D,有 ?(x,y)≤g(x,y),则
(,) (,)
DD
f x y d g x y d????? ??
特别地有 (,) (,)
DD
f x y d f x y d????? ??
性质 6 (估值定理 ) 若 M和 m分别是 ?(x,y)在闭区域 D上
(,) M
D
m f x y d? ? ?????
的最大值和最小值,σ 为区域 D的面积，则
性质 7 (中值定理 ) 设 ?(x,y)在闭区域 D上连续,σ 为
区域 D的面积，则在 D上至少存在一点 (ξ,η),使得
(,) (,)
D
f x y d f? ? ? ?????
16
中值定理的几何意义：
在闭区域 D上以曲面 z=?(x,y)为顶的曲顶柱体之体积,等
于区域 D上某一点 (ξ,η)的函数值为高的平顶柱体之体积,
例 1 比较下列二重积分的大小：
2 3 2 2( ) ( ),( 2 ) ( 1 ) 2,
DD
x y d x y d D x y??? ? ? ? ? ??? ??与 由圆 围成
22 ( 2 ) ( 1 ) 2,D x y? ? ? ?解 因 由圆 围成 如下图
x
y
O
x+y=1
1 1
2 3
则区域 D内的点 (x,y)均满足 x+y≥1,从而
23( ) ( )x y x y? ? ?
23( ) ( ),
DD
x y d x y d??? ? ? ??? ??
17
2 2 2 22 ( 9 ),,4,
D
x y d D x y?? ? ? ???例 估 计 其 中
解 由第八章二元函数最值的求法知：
22 9z x y? ? ?
存在的点的函数值以及区域 D的边界上的最值,再比较
20
20
x
y
zx
zy
? ???
? ? ???则 可 令
0,0,xy? ? ?
先在区域 D内求
22,4,D x y??在区域 的最值
须先求出 ?(x,y)在 D内全部驻点的函数值,一阶偏导不
大小,其最大者为最大值,最 小 者为最小值,
要求
从而 z(0,0)=9.
18
再在区域 D的边界上求，此时问题已变为 条件极值；
2 2 2 2(,) 9 ( 4 )F x y x y x y?? ? ? ? ? ?则 可 令
则由方程组
22
(,) 2( 1 ) 0
(,) 2( 1 ) 0
40
x
y
F x y x
F x y y
xy
?
?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
2.xy? ? ? ?
( 2,2 ) 1 3z ? ? ?而 229 9 1 3xy? ? ? ? ?
而区域 D的面积 σ =4π
22 3 6 ( 9 ) 5 2
D
x y d? ? ?? ? ? ? ???
19
3 (,) (0,1 ) 1,f x y f ?例 设 为连续函数且 求
解 因 ?(x,y)在闭区域 D上连续,而 2,? ???
则由得中值定理
20
1l im (,) (,)I f D
? ? ? ? ? ????? ? ?
0lim (,) f? ????
(,) ( 0,1 )l i m (,) f?? ????
=?(0,1)=1.
2 2 2
20
( 1 )
1l i m (,),
xy
I f x y d x d y
?
???
?
? ? ?
? ??
