1
§ 10.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
一阶方程的初值问题的数学模型为
00
(,,' ) 0
xx
F x y y
yy?
???
? ?
??
根据方程本身的特点, 一阶方程又可分为：
(,,' ) 0F x y y ?
一阶微分方程是最简单 的方程, 求解的方法主要是
采用初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题,
2
一, 变量可分离的方程
形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程,称为变量已分
离的方程,
形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程,称为变量可分离的
方程, 设 g(y) ≠ 0,则方程 可写成变量已分离的方程
()()dy f x d xgy ?
若函数 f与 g连续，则两边分别对 x 与 y 积分,得
()()dy f x d x cgy ????
就为变量可分离方程的通解, 其中 c为任意常数,
3
例 2 求方程 y’= 2xy 的通解,
1 2d y x d x
y ?
解 分离变量,得
两边积分，得
于是原方程的通解为
2ln lny x c??
2xy ce?
例 3 求方程 c o s s i n c o s s i nx y d y y x d x?
的特解,
满足初始条件
解 分离变量,得 sin sin
c o s c o s
yxd y d x?
两边积分，得 l n c o s l n c o s l ny x c??
于是原方程的通解为 c o s c o sy c x??
0 4xy
?
? ?
4
又将初始条件
故满足初始条件的特解为
0 4xy
?
? ? 代入通解中,得 22c ?
2
2c os c osyx?
例 4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2,且当 Q = 0 时,
p = 100, 试求价格 p与需求 Q的函数关系 p = f(Q).
解 由需求价格弹性的定义,有
2
1p dQ
Q dp Q? ? ?
这是变量可分离的方程,移项化简，得
两边积分,得
1Q dQ dp
p???
2
1
1 ln ln
2 Q p c? ? ?
5
即 2121 Qp c e ??
又将初始条件 Q = 0 时,p = 100代入上式,得 c 1=100
故 需求 函数为 212100 Qpe ??
二, 可化为变量可分离的方程
1,齐次方程
的一阶方程, 称为齐次微分方程,简称形如 ' ( )yyfx?
齐次方程,
引入新的变换
就可将齐次方程化为变量可分离的方程,
,yu y u xx??即
6
()dux u f udx ??所以
1
()
du dx
f u u x??
分离变量,得
若 u- f(u)≠0,两端积分,得 1 ln
()
du d x c
f u u x?????
()
du
f u ux c e ? ??于是,得
将变量还原,便可得原方程的通解,
例 5 求方程
2d y y yd x x x??
的通解,
d y d uxu
d x d x??因为
解 令,yu y u x
x??即
代入原方程,得
则得 d y d uxu
d x d x??
2duxudx ?
7
分离变量,得
2
d u d x
xu ?
两端积分,得
ln2 d u d x cxu ????
lnu x c??于是
yu
x?将 代入上式,并化简得方程的通解为
2( ln )y x x c??
例 6 求方程 的通解,( ln ln )dyx y y x
dx ??
解 将方程恒等变形 lndy y y
dx x x??为
,yu y u xx??令即 则得 d y d uxud x d x??
8
lndux u u udx ??
代入原方程,得
(l n 1 )
d u d x
u u x??
分离变量,得
两端积分,得 l n ( l n 1 ) l n l nu x c? ? ?
l n 1u c x??即
1cxy x e ??
yu
x?将 代入上式,并化简得方程的通解为
9
三, 一阶线性微分方程
形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程,
若 q(x) = 0,则称方程 y’+ p(x)y = 0
为一阶齐次线性微分方程
若 q(x) ≠ 0,则称方程 y’+ p(x)y = q(x)
为一阶非齐次线性微分方程,
1.一阶齐次线性微分方程的通解
方程 y’+ p(x)y = 0 是变量可分离的方程,其通解为
()p x d xy c e ? ?? 其中 c为任意常数,
10
2.一阶非齐次线性微分方程的通解
的解,但其中的 c 为 x 的待定函数,
将 y与 y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x),并整理,得
一阶非齐次线性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齐次 方程
的一般情况, 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如
()() p x d xy c x e ? ??
( ) ( )' ' ( ) ( ) ( )p x d x p x d xy c x e c x e p x????? ? ?因
()' ( ) ( ) p x d xc x q x e ??
两端积分,得 ()( ) ( ) p x d xc x q x e d x c????
11
于是,一阶非齐次线性微分方程的通解为
( ) ( )[ ( ) ]p x d x p x d xy e q x e d x c? ???? ?
注 1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式,
它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个
特解相加而成的, 这也是线性微分方程 解的一个性质,
注 2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为
待定函数 c(x),使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x),
从而得到非齐次线性方程通解的方法称为, 常数变易
法,, 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法,
12
例 7 求方程
3( 1 ) 2 ( 1 )xdyx y e x
dx? ? ? ?
解 将方程改写为
的通解,
22 ( 1 )
1
xdy y e x
d x x? ? ??
先求齐方程 的通解2 0
1
dy y
d x x???
分离变量,得 2
1
dy dx
yx? ?
两端积分并整理,得 齐方程的通解 2( 1 )y c x??
用常数变易法求非齐次线性方程的通解
2( ) ( 1 )y c x x??令
2' '( ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )y c x x c x x? ? ? ?两端求导,得
13
() xc x e c??
故原方程的通解为 y = (ex + c) (x+1)2
将 y与 y’代入方程,并整理,得 '( ) xc x e?
两端积分,得
例 8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始
条件 y|x=1 = π / 2 的特解,
解 将方程改写为
2co t s i ndx x y y
dy ??
所以由非齐次线性方程的通解公式,得
( ) ( )[ ( ) ]p y d y p y d yx e q y e d y c? ?????
2c o t c o t[ s i n ]y d y y d ye y e d y c????? ?
14
2 l n s i nl n s i n [ s i n ]yye y e d y c????
2 1s i n [ s i n ]s i ny y d y cy? ? ??
s i n [ c o s ]y y c? ? ?
将初始条件 x = 1,y = π/2 代入上式,得 c = 1
故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy)
15
3.贝努里方程
(n≠0,1)的方程称为贝努里方程,( ) ( ) ndy p x y q x y
dx ??
这种方程，虽然不是线性的，但是采用变量变换的
方法，就可将其化为一阶线性方程,
事实上,在方程的两端同除以,得ny?
形如
1( ) ( )nndyy p x y q xdx????
利用微分的性质,方程也可写成
1 11
( ) ( )1
n ndy
p x y q xn d x
? ?
? ? ??
1 nzy ??令,将方程化为线性方程
16
( 1 ) ( ) ( )dz n p x z q xdx ? ? ?
求出此方程的通解，并将变量代回,便可得
到贝努里方程的通解,
1 nzy??
例 9 求方程 y’= xy + x3y2 的通解,
解 将方程改写为 32dy x y x y
dx ??
12,' dzz y y z dx??? ? ? ?令即
3,dz x z xdx ? ? ?代入方程 得
所以由非齐次线性方程的通解公式,得
17
3[]x d x x d xz e x e d x? ???? ?
22
322[]
xx
e x e d x c?? ? ??
2
22 2
x
c e x? ? ?
22
222[ ( 2) ]
xx
e e x c?? ? ? ?
1,zy ??将 代入上式 得原方程的通解为
2
22
1
2
x
y
c e x
?
?
??
18
*例 10 设可微函数 f(x) 满足
322
() ( ) 1
()
x fx dx f x
x f x x ????
解 为了求 f(x) 在等式两端同时求导,得
32
() ' ( )
()
fx fx
x f x x ??
求 f(x).
这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1
令 y = f(x),得
3d x x yx
d y y??
23,,n z x ???这是 的贝努里方程 令 代入上式得
2 2dz zy
dy y? ? ?
所以由非齐次线性方程的通解公式,得
19
2 4 2 211[]
22y y c y c y
??? ? ? ? ? ?
22
[ ( 2 ) ]d y d yyyz e y e d y c????? ? ??
2 ln 2 ln[ ( 2 ) ]yye y e dy c?? ? ??
22[ ( 2 ) ]y y y d y c?? ? ??
2,zx ??将 代入上式 得原方程的通解为
2211
2 2 y c yx
?? ? ?
3 ( 2 ) 1,,
4fc??再由初始条件 代入上式 得
故所求的函数为 2221 1 324yyx ?? ? ?
§ 10.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
一阶方程的初值问题的数学模型为
00
(,,' ) 0
xx
F x y y
yy?
???
? ?
??
根据方程本身的特点, 一阶方程又可分为：
(,,' ) 0F x y y ?
一阶微分方程是最简单 的方程, 求解的方法主要是
采用初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题,
2
一, 变量可分离的方程
形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程,称为变量已分
离的方程,
形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程,称为变量可分离的
方程, 设 g(y) ≠ 0,则方程 可写成变量已分离的方程
()()dy f x d xgy ?
若函数 f与 g连续，则两边分别对 x 与 y 积分,得
()()dy f x d x cgy ????
就为变量可分离方程的通解, 其中 c为任意常数,
3
例 2 求方程 y’= 2xy 的通解,
1 2d y x d x
y ?
解 分离变量,得
两边积分，得
于是原方程的通解为
2ln lny x c??
2xy ce?
例 3 求方程 c o s s i n c o s s i nx y d y y x d x?
的特解,
满足初始条件
解 分离变量,得 sin sin
c o s c o s
yxd y d x?
两边积分，得 l n c o s l n c o s l ny x c??
于是原方程的通解为 c o s c o sy c x??
0 4xy
?
? ?
4
又将初始条件
故满足初始条件的特解为
0 4xy
?
? ? 代入通解中,得 22c ?
2
2c os c osyx?
例 4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2,且当 Q = 0 时,
p = 100, 试求价格 p与需求 Q的函数关系 p = f(Q).
解 由需求价格弹性的定义,有
2
1p dQ
Q dp Q? ? ?
这是变量可分离的方程,移项化简，得
两边积分,得
1Q dQ dp
p???
2
1
1 ln ln
2 Q p c? ? ?
5
即 2121 Qp c e ??
又将初始条件 Q = 0 时,p = 100代入上式,得 c 1=100
故 需求 函数为 212100 Qpe ??
二, 可化为变量可分离的方程
1,齐次方程
的一阶方程, 称为齐次微分方程,简称形如 ' ( )yyfx?
齐次方程,
引入新的变换
就可将齐次方程化为变量可分离的方程,
,yu y u xx??即
6
()dux u f udx ??所以
1
()
du dx
f u u x??
分离变量,得
若 u- f(u)≠0,两端积分,得 1 ln
()
du d x c
f u u x?????
()
du
f u ux c e ? ??于是,得
将变量还原,便可得原方程的通解,
例 5 求方程
2d y y yd x x x??
的通解,
d y d uxu
d x d x??因为
解 令,yu y u x
x??即
代入原方程,得
则得 d y d uxu
d x d x??
2duxudx ?
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分离变量,得
2
d u d x
xu ?
两端积分,得
ln2 d u d x cxu ????
lnu x c??于是
yu
x?将 代入上式,并化简得方程的通解为
2( ln )y x x c??
例 6 求方程 的通解,( ln ln )dyx y y x
dx ??
解 将方程恒等变形 lndy y y
dx x x??为
,yu y u xx??令即 则得 d y d uxud x d x??
8
lndux u u udx ??
代入原方程,得
(l n 1 )
d u d x
u u x??
分离变量,得
两端积分,得 l n ( l n 1 ) l n l nu x c? ? ?
l n 1u c x??即
1cxy x e ??
yu
x?将 代入上式,并化简得方程的通解为
9
三, 一阶线性微分方程
形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程,
若 q(x) = 0,则称方程 y’+ p(x)y = 0
为一阶齐次线性微分方程
若 q(x) ≠ 0,则称方程 y’+ p(x)y = q(x)
为一阶非齐次线性微分方程,
1.一阶齐次线性微分方程的通解
方程 y’+ p(x)y = 0 是变量可分离的方程,其通解为
()p x d xy c e ? ?? 其中 c为任意常数,
10
2.一阶非齐次线性微分方程的通解
的解,但其中的 c 为 x 的待定函数,
将 y与 y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x),并整理,得
一阶非齐次线性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齐次 方程
的一般情况, 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如
()() p x d xy c x e ? ??
( ) ( )' ' ( ) ( ) ( )p x d x p x d xy c x e c x e p x????? ? ?因
()' ( ) ( ) p x d xc x q x e ??
两端积分,得 ()( ) ( ) p x d xc x q x e d x c????
11
于是,一阶非齐次线性微分方程的通解为
( ) ( )[ ( ) ]p x d x p x d xy e q x e d x c? ???? ?
注 1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式,
它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个
特解相加而成的, 这也是线性微分方程 解的一个性质,
注 2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为
待定函数 c(x),使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x),
从而得到非齐次线性方程通解的方法称为, 常数变易
法,, 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法,
12
例 7 求方程
3( 1 ) 2 ( 1 )xdyx y e x
dx? ? ? ?
解 将方程改写为
的通解,
22 ( 1 )
1
xdy y e x
d x x? ? ??
先求齐方程 的通解2 0
1
dy y
d x x???
分离变量,得 2
1
dy dx
yx? ?
两端积分并整理,得 齐方程的通解 2( 1 )y c x??
用常数变易法求非齐次线性方程的通解
2( ) ( 1 )y c x x??令
2' '( ) ( 1 ) ( ) 2 ( 1 )y c x x c x x? ? ? ?两端求导,得
13
() xc x e c??
故原方程的通解为 y = (ex + c) (x+1)2
将 y与 y’代入方程,并整理,得 '( ) xc x e?
两端积分,得
例 8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始
条件 y|x=1 = π / 2 的特解,
解 将方程改写为
2co t s i ndx x y y
dy ??
所以由非齐次线性方程的通解公式,得
( ) ( )[ ( ) ]p y d y p y d yx e q y e d y c? ?????
2c o t c o t[ s i n ]y d y y d ye y e d y c????? ?
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2 l n s i nl n s i n [ s i n ]yye y e d y c????
2 1s i n [ s i n ]s i ny y d y cy? ? ??
s i n [ c o s ]y y c? ? ?
将初始条件 x = 1,y = π/2 代入上式,得 c = 1
故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy)
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3.贝努里方程
(n≠0,1)的方程称为贝努里方程,( ) ( ) ndy p x y q x y
dx ??
这种方程，虽然不是线性的，但是采用变量变换的
方法，就可将其化为一阶线性方程,
事实上,在方程的两端同除以,得ny?
形如
1( ) ( )nndyy p x y q xdx????
利用微分的性质,方程也可写成
1 11
( ) ( )1
n ndy
p x y q xn d x
? ?
? ? ??
1 nzy ??令,将方程化为线性方程
16
( 1 ) ( ) ( )dz n p x z q xdx ? ? ?
求出此方程的通解，并将变量代回,便可得
到贝努里方程的通解,
1 nzy??
例 9 求方程 y’= xy + x3y2 的通解,
解 将方程改写为 32dy x y x y
dx ??
12,' dzz y y z dx??? ? ? ?令即
3,dz x z xdx ? ? ?代入方程 得
所以由非齐次线性方程的通解公式,得
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3[]x d x x d xz e x e d x? ???? ?
22
322[]
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e x e d x c?? ? ??
2
22 2
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222[ ( 2) ]
xx
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1,zy ??将 代入上式 得原方程的通解为
2
22
1
2
x
y
c e x
?
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??
18
*例 10 设可微函数 f(x) 满足
322
() ( ) 1
()
x fx dx f x
x f x x ????
解 为了求 f(x) 在等式两端同时求导,得
32
() ' ( )
()
fx fx
x f x x ??
求 f(x).
这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1
令 y = f(x),得
3d x x yx
d y y??
23,,n z x ???这是 的贝努里方程 令 代入上式得
2 2dz zy
dy y? ? ?
所以由非齐次线性方程的通解公式,得
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2 4 2 211[]
22y y c y c y
??? ? ? ? ? ?
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[ ( 2 ) ]d y d yyyz e y e d y c????? ? ??
2 ln 2 ln[ ( 2 ) ]yye y e dy c?? ? ??
22[ ( 2 ) ]y y y d y c?? ? ??
2,zx ??将 代入上式 得原方程的通解为
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2 2 y c yx
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3 ( 2 ) 1,,
4fc??再由初始条件 代入上式 得
故所求的函数为 2221 1 324yyx ?? ? ?
