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经 济 数 学 系
涂晓青
tuxq@swufe.edu.cn
朱文莉
zhuwl@swufe.edu.cn
2
经 济 数 学 基 础
微积分
西南财大经济数学系
2002.8 制作
3
课 程 简 介
现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变
革,信息社会有两个主要的特征,一是,计算机技术的迅速
发展与广泛应用 ;二是,数学的应用范围急剧扩展,几乎社
会生活中的每个领域都有数学的应用,其中数学对经济学
的发展也起了很大作用,1969年至 1981年间颁发的 13个诺
贝尔经济学奖中,有 7个获奖工作是相当数学化的,现在不
懂数学的经济学家,决不会成为杰出的经济学家,
4
21世纪培养的各类专业技术人才,应该具有将他所涉
及的专业实际问题建立数学模型的能力,这样才能在实际
上作中发挥更大的创造性,所以为了培养学生的定量思维
能力和创造能力,就必须在数学教育中培养学生的建模能
力与数值计算含数据处理的能力,加强在应用数学方面的
教育,使学生具有应用数学知识解决实际问题的意识和能
力,
5
,微积分, 是近代数学中最伟大的成就之一,是高校
财经类各专业的一门必修的重要的基础课,一方面,它为
学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学
基础知识及常用的数学方法 ;另一方面,它通过各个教学
环节,逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力和自学
能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初
步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力,
6
第二章 函数的极限与连续
第三章 函数的导数与微分
第四章 导数的应用
第五章 不定积分
第六章 定积分的应用
第一章 函数
本期学习内容
7
§ 1.1 函数的概念
§ 1.2 函数的几何性质
§ 1.3 反函数与复合函数
§ 1.4 初等函数
§ 1.5 建立函数关系的基本方法
第一章 函数
()y f x?
8
第一章 函 数
一, 集合
区间是用得较多的一类数集,
M={ x | x所具有的特征 }
这里 x所具有的特征,实际就是 x作为 M的元素适合的充
要条件,
所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体,组
成这个集合的事物称为该集合的元素, 设 M是具有某种
特征的元素 x的全体所组成的集合,记作
§ 1.1 函数的概念
9
aa
a
aa
,0
,0
? ??
? ?
???
二, 绝对值的性质
定义 1
( 1 ),;? ? ? ? ? a a a a a性质
( 2 ) ;? a b a b
( 3) ( 0) ;??aa bbb
10
b a b b a b( 4 ),( 0 )? ? ? ? ? ?
a b a b a b( 6 ) ;? ? ? ? ?
a b a b a b( 5 ) ;? ? ? ? ?
a b a b(7),? ? ?
a b a b b a b( ( 0 ) ) ;? ? ? ? ?或
11
三,邻域
设 a,b都是实数,且 a<b,数集 {x|a<x<b}称为开区间,
记作 (a,b),即
a b a x b(,) { },? ? ?
a a b b a b(,),(,),??
° ° ba
类似还有闭区间,半开半闭区间以及无限区间, 其中数
b?a称为有限区间的长度,
其中 a和 b称为开区间的端点,
(如图 )
12
a b x a x b[,] { },? ? ?
a b x a x b(,] { },? ? ?
[,) { },a b x a x b? ? ?
a b? ?
?°a b
? °a b
(,) { },a x x a? ? ? ? ? ? ? ° a
13
(,] { },a x x a? ? ? ? ? ? ? ?a
[,) { },a x a x? ? ? ? ? ? ??a
(,) { },a x a x? ? ? ? ? ? ?°a
(,) { },xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14
在微积分中常用到特殊的开区间 — — 邻域,
定义 1 以 x0为中心,以 δ 为半径,长为 2δ 的开区间,
即 x x x x x
0 0 0(,) {,0 }? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2
?
0xx0?? 0x ??
称为点 x0 的 δ 邻域,记为 U(x0,δ ).
15
例 1 点 2的 1邻域 {x||x-2|<1}=(1,3).
点 ?(? )的 ?邻域记为 {x||x+ ? |< ?}=(-1,0).
定义 2 点 x0 的去心邻域,即
0
0 0 0 0 0 0U0( x,δ ) { x x x δ } ( x δ,x ) ( x,x δ ),? ? ? ? ? ? ?
2
? °
0x ?? 0x ??0x
定义 3 点 x0的左邻域,即 0 0 0{ 0 } (,)x x x x x? ? ? ? ???
0 0 0{ 0 } (,)x x x x x? ? ? ? ???
点 x0的右邻域,即
可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域,
16
定义 4 平面上以点 M0( x0,y0)为心,以 δ >0 为半径的
圆内的点的全体,即集合
2 2 20 0 0(,) { (,) ( ) ( ),0 }U M x y x x y y? ? ? ? ? ?? ? ?
例 2 点 (1,1)的 ? 邻域是平面上以点 (1,1)为心,? 为
半径的一个开圆 — 圆邻域,即
22 1{ (,) ( 1 ) ( 1 ) }4x y x y? ? ? ?
o
1
1 x
y
17
或以 M0 为心,2δ为边长的正方形区域,即集合
0 0 0(,) { (,),}U M x y x x y y? ? ? ? ?? ? ?
为 M0 的子邻域 —— 方邻域,
o
y0
x0 x
y
18
四,函数
定义 5 设 x,y 是两个变量,若对 D中每一个值 x,按照
一定的对应法则 ?,总有确定的数值和它对应,则称 y
是 x的函数 ;记作 y=?(x).称 x 为自变量,y 为因变量 ;
D 为定义域 ;集合 D(f)={y|y=f(x),x∈ D}为值域,
1,函数的定义
2,函数的表示法,列举法、描述法、列表法、图象法,
3,函数的几种特性
(1),函数的奇偶性,设函数的定义域 D关于原点对称 (为
对称区域 ),而且 ?x∈ D,若 ?(?x)=± ?(x),则称 ?(x)为
偶奇 函数.
19
–x x
(–x,?(x)) (x,?(x))
–x
x
(–x,–?(x))
(x,?(x))
x
y
x
y
o
o
图 1
偶奇 函数.
的图形具有对称性,(图 1)
20
(2),函数的单调性,若 ?(x)对其定义区间 I 上,?x1,
x2∈ D,当 x1< x2 时,恒有
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xf x f x f x f x????或
上升 下降对应曲线是
则称 ?(x)在区间 I 上严格单调或单调
的, (图 2)
.增加减少
2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
o xx
yy
o
1x
图 2
2x1x
1()fx 2()fx
y= ?(x)
21
(3),函数的有界性,?M>0,?x∈ D,| ?(x) |≤M则称 ?(x)
在 D内有界, (图 3)
o
y=–M
y=M
x
y
y= ?(x)
y=–M
xo
yy=M
图 3
xo
y
y= ?(x)
y= ?(x)
22
(4),函数的周期性,?T≠0,使 ?(x+T)=?(x).则称 ?(x)为周期
函数, 满足函数的最小正数 T 称为 ?(x)的 (最小正 )周期,
其图象每隔 T个单位就重复, (图 4)
y
o x
–2T T
–T 2T
图 4
y= ?(x)
23
4,显函数及隐函数,由方程 F(x,y)=0 所确定的函数
y=?(x)或 x=??1(y)
称为隐函数,而将 y=?(x) 称为函数的显式,
5,反函数
设函数的定义域为 D,值域为 W,若对 ?y∈ W,D上
至少可以确定一个数值 x 与 y 对应,且 ?(x)=y?x=φ(y).
若把 y 看作自变量,x 看作因变量,则称函数 x=φ(y)为
函数 y =?(x) 的反函数, 而原函数 y =?(x)为直接函数 ;
x,y 互换便有 y=φ(x),从而函数与反函数定义域、值
域及图象间有一定的关系,
24
五,分段函数
问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？
有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个
或两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分
段函数,
例 3 绝对值函数 0
0
xxyx
xx
????
? ???
y
xo
y=|x|
值域 [0,+∞).定义域 (?∞,+∞).
25
1,0
sgn( ) 0,0
1,0
x
y x x
x
??
?? ? ?
?
? ???
值域 {?1,0,1}.
例 4 符号函数
定义域 (?∞,+∞).
例 5 狄立克莱函数
1,(
0,(
xQy
xQ
????
? ??
?
有理数集)
无理数集)
?
°
° –1
1
o x
y
26
例 6 取整函数 (阶梯曲线 ) y = [x] 为不超过 x 的最大
整数部分, 如图,
注意, 分段函数虽有几个式子,但它们合起来表示一
个函数,而不是几个函数,
实际上是取左端点,
°?
? °
? ?
?
?
?
°°
°
°
°
o x
y
1 2
–1
–1–2
27
例 7 火车站收取行李费规定如下,当行李不超过 50千
克时,按基本运费计算,如从上海到某地收 0.15元 /千
克,当超过 50千克时超重部分按 0.25元 /千克收费,试
求上海到该地的行李费 y (元 )与重量 x (千克 )之间的
函数关系式,
0, 1 5 0 5 0
5 0 0, 1 5 ( 5 0) 0, 2 5 5 0
xxy
xx
????
? ? ? ? ? ? ? ? ??解
28
确定分段函数的定义域并求 f (?1),f (0),f (1),f (x?1).
2 1 1 0
8 ( ),
2 0 1
xxfx
x
? ? ? ? ??
? ??
?
例
2 2 2 0 1
( 1 ),
2 1 2
x x xfx
x
? ? ? ? ???
? ??
?
解
29
,0
( ) ( ) 4,0 2 ;
5,2
xx
f x g x x x
xx
??
?? ? ? ? ?
?
? ??
?
解
,0
( ) ( ) 3 6,0 2,
5,2
xx
f x g x x x
xx
???
?? ? ? ? ?
?
? ???
2 1 0 2 09 ( ),( ),
0 0 2 5 0
x x x xf x g x
x x x
? ? ? ?????
?? ? ? ???例 或
求 f (x)+g (x),f (x)?g (x),
30
六,复合函数
所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一
个新的函数,
复合而成的复合函数为 210,1y u u x? ? ?例由
21yx??
定义 6 设 y = ?(u)是定义在 U上的函数,而且 u=φ(x)
是定义在 D上的函数,值域为 Z,
若 ?x∈ D,对应的 Z?U,则称 y =?(φ(x))是函数 y =
?(u)和 u=φ(x)复合而成的复合函数, u作中间变量,
31
例 11 求下列函数的复合函数
( 1 ) ( ),( ) ;uy f u e u x?? ? ?
2( 2 ) a r c t a n,;y u u x??
22
2
( 3 ),; ( )
( 4 ),,;
2
( 5 ) a r c s i n,2,
y u u x y x x
x
y u u c t g v v
y u u x
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
因 u=2+x2 的值域为 {x|u≥2}不能使 y=arcsinu 有意义,
故它们不能复合成一个复合函数,
32
将几个简单函数 (基本初等函数或由基本初等函数
与常数的四则运算所得到的函数 )由里到外可复合成一
个复合函数,另外也可对复合函数由外到里的进行分解
为几个简单函数,
例 12 将下列函数分解为简单函数并求其定义域
2
2
2
( 5 6 )
( 1 ) c os
( 2 ) l n ( 1 1 )
1
( 3 )
l og
xx
a
yx
yx
y
??
?
? ? ?
?
33
2 ( 1 ) c o s,,(,)y u u x? ? ? ? ? ?解
2( 2 ) l n,1,1,(,)y u u v v x? ? ? ? ? ? ? ? ?
21( 3 ),lo g,5 6,v
ay u v x xu? ? ? ? ?
5 5 5 5 5 5 5 5 (,) (,2 ) ( 3,) (,)
2 2 2 2
? ? ? ?? ? ? ?
34
七,初等函数
1.基本初等函数
应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何特性、
常见公式、图象及性质 (见教材 p21 – 26).
(1) 常函数 y = c
(2) 幂函数 y =xα
(3) 指数函数 ( 0,1 )xxy a a a y e? ? ? ?或
lo g ( 0,1 ) lnay x a a y x? ? ? ?或(4) 对数函数
(5) 三角函数 s i n,c o s,t a n,y x y x y x? ? ?
c o t,s e c,c s cy x y x y x? ? ?
35
(6) 反三角函数
s i n,c o s,t a n,c o ty a r c x y a r c x y a r c x y a r c x? ? ? ?
2,初等函数
定义 7 由基本初等函数经有限次四则运算和有限次
复合所得到的函数为初等函数,
一般说来,分段函数不为初等函数,但 y=|x| 却是,
分段函数一般不为初等函数,但是,由于分段函数
在其定义域的子区间内都是初等函数,所以仍可通过
初等函数来研究它们,
都是初等函数, 2 c o s
21 2 a r c s i n l o g 3,( s i n ) xy x x y x? ? ?例
36
八,常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入
及商品价格等等因素的影响,但最主要的是价格因素 ;
若不考其它因素,把需求量 Qd只看成价格 p 的函数,即
()dQ f p?
需求函数 Qd= f (p) 一般是 p 的递减函数,最常见、最
简单的需求函数是如下形式的线性需求函数
()dQ f p a p b? ? ? ?(a,b均为正常数 )
则称此函数为需求函数,
37
这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的
曲线,我们称之为需求曲线,如右图,
当然价格 p 也可表示成需求量 Qd的函数,p=g(Qd)叫作
价格函数,
b
o pba
特别地,当价格 p=0时,需求量 Qd=b,它表示人们的需要
是有限的, b/a 为最大销售价格,此时需求量为零,
Qd
38
100,
3k ?
解 设价格由 70元增加 k个 3元,则
例 13 某产品销售 70元 /件,可买出 10000件,价格每增
加 3元就少买 300件,求需求量 Qd 与价格 p 的函数,
1 ( 7 0 ),
3kp??而
170p ?则
1 7 0 0 0 1 0 0,( 7 0,1 7 0 ]dQ p p? ? ? ?
p=70+3k,Qd =10000?300k,从而
39
(2),供给函数
生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的,其
中价格是最要的素 ; 一般地,价格越高,就越要加大供
应,因此供给量 Qs 是价格 p 的单增函数,最简单的供给
函数是如下形式的线性供给函数
()sQ g p c p d? ? ?(c,d 均为正常数 )
反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,
如图,
o
p
Q
dc
–d
40
例 14 某商品当价格为 50元时,有 50单位投放市场,当
价格为 75元时,有 100单位投放市场,求供给 Qs与价格
p 的函数,
解 设 Qs = cp – d,则 Qs = 2p – 50
显然只有价格不低于 d/c 时,才有供给量 Qs,因
为厂商都不愿作亏本生意,
(3),均衡价格
均衡价格就是使一种商品的市场需求量 Qd与供给
量 Qs 相等时的价格 ; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p)时的
价格,记为 p*.显然此时的市场处于均衡状态,
41
即如果需求量大于供给量则价格会上涨,反之,价格会降
低,因此,市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动,
当市场价格 p 高于均衡价格 p* 时,则供给量 Qs将增
加,需求量 Qd将相应地减少 ;反之,当市场价格 p 低于均衡
价格 p* 时,则供给量 Qs 将减少,而需求量 Qd 将增加,
因此,市场上商品价格的调节,就是按照需求律与供
给律来实现的,
42
2,总成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的
全部经济资源的价格或费用总额,
()() CxCx
x?
它由固定资本 (生产准备费,用于维修、添制设备等 )
a元和可变资本 (每单位产品消耗原材料、劳力等费用 )b
元,则生产 x件产品的总成本为
每件产品的成本 (叫单位成本或平均成本 )为
C(x) = ax + b
43
3,销售收入函数 (总收益函数 )
4,总利润函数
总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差,
总收益是产量的函数,设某种产品的销售量为 x,价
格为 p,则销售收入函数为 R = p · x
而价格 p 又可表为 x 的函数,所以销售收入函数可看成
x 的函数 R(x).
设 x 件产品的总成本为 C(x),销售收入为 R(x).
则利润为 L(x) = R(x) – C (x)
5,其它经济函数
44
九, 建立函数关系举例
运用数学来解决实际问题,首先要把问题中的数量
关系用数学式子表示出来,也就是建立数学模型,为此必
须明确问题中的常量和变量,变量中的自变量和因变量,
以及它们之间存在什么关系,以确定函数关系,根据实际
问题的要求指出定义域,
例 15 某型号手机价格为每只 1000元时能买出 15只,当
价格为每只 800元时,能买出 20只,已知手机的价格高低
与其需求量多少是线性关系,试建立该型号手机的需求
量与价格之间的函数关系,
解 价格 x元 /只,需求量 y只,则 1 4 0,( 0,1 6 0 0 ]
40y x x? ? ? ?
45
例 16 工厂生产某种产品,生产准备费 1000元,可变资本 4
元,单位售价 8元,求
(1) 总成本函数 ;
(2) 单位成本函数 ;
(3) 销售收入函数 ;
(4) 利润函数,
( ) 4 1 0 0 0C x x??解
( ) ( ) ( ) 4 1 0 0 0L x R x C x x? ? ? ?
1000( ) 4Cx
x??
( ) 8R x x?
46
例 17 某工厂在一年内分若干批生产某种车床,年产量
为 a 台,每批生准备费 b 元,设产品均匀投入市场 (即平
均库存量为批量的一半 ),每年每台库存费为 c 元,显然,
生产批量大则库存费高 ;生产批量小则批数增多 ; 因而
生产准备费高, 试求出一年中库存费与生产准备费之
和与批量的函数关系,
解 设批量为 x,库存费与生产准备费之和为 p(x),则全
年的生产准备费为 (a/x) ? b,库存费为 (x/2) ? c,故
( ),( 0,],2a b c xp x x ax? ? ?
其中 a/x 为批数,x/2 为库存量,
47
例 18 某矿厂 A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B
冶炼,已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,它的
垂足 C到 B的距离为 b公里,又知铁路运价为 m元 /吨 ·公里,
公路运价是 n元 /吨 ·公里 (m<n),为节省运费,拟在铁路上另
修一小站 M作为转运站,那么总运费的多少决定于 M的位
置, 试求出运费与距离 |CM|的函数关系,
xA
B
C
M
a
b
解,,C M x y?设 运费为 则
22A M x a??
22 ( ),[ 0,]y n x x a m b x x b? ? ? ? ? ?
48
例 19 (复利息问题 )设银行将数量为 A0的款贷出,每期
利率为 r.若一期结算一次,则 t 期后连本带利可收回
0 (1 ) tAr?
若每期结算 m 次,则 t 期后连本带利可收回
00[ ( 1 ) ] ( 1 )
m t m trrAA
mm? ? ?
现实生活中一些事物的生长 (r>0) 和率减 (r<0)
就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算,例如细胞
的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的率减等,
此函数即可看成期数 t 的函数,也可看成结算次数 m的
函数,
rxdtdx?
经 济 数 学 系
涂晓青
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朱文莉
zhuwl@swufe.edu.cn
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经 济 数 学 基 础
微积分
西南财大经济数学系
2002.8 制作
3
课 程 简 介
现代社会正经历着由工业社会向信息社会过渡的变
革,信息社会有两个主要的特征,一是,计算机技术的迅速
发展与广泛应用 ;二是,数学的应用范围急剧扩展,几乎社
会生活中的每个领域都有数学的应用,其中数学对经济学
的发展也起了很大作用,1969年至 1981年间颁发的 13个诺
贝尔经济学奖中,有 7个获奖工作是相当数学化的,现在不
懂数学的经济学家,决不会成为杰出的经济学家,
4
21世纪培养的各类专业技术人才,应该具有将他所涉
及的专业实际问题建立数学模型的能力,这样才能在实际
上作中发挥更大的创造性,所以为了培养学生的定量思维
能力和创造能力,就必须在数学教育中培养学生的建模能
力与数值计算含数据处理的能力,加强在应用数学方面的
教育,使学生具有应用数学知识解决实际问题的意识和能
力,
5
,微积分, 是近代数学中最伟大的成就之一,是高校
财经类各专业的一门必修的重要的基础课,一方面,它为
学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学
基础知识及常用的数学方法 ;另一方面,它通过各个教学
环节,逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力和自学
能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初
步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力,
6
第二章 函数的极限与连续
第三章 函数的导数与微分
第四章 导数的应用
第五章 不定积分
第六章 定积分的应用
第一章 函数
本期学习内容
7
§ 1.1 函数的概念
§ 1.2 函数的几何性质
§ 1.3 反函数与复合函数
§ 1.4 初等函数
§ 1.5 建立函数关系的基本方法
第一章 函数
()y f x?
8
第一章 函 数
一, 集合
区间是用得较多的一类数集,
M={ x | x所具有的特征 }
这里 x所具有的特征,实际就是 x作为 M的元素适合的充
要条件,
所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体,组
成这个集合的事物称为该集合的元素, 设 M是具有某种
特征的元素 x的全体所组成的集合,记作
§ 1.1 函数的概念
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aa
a
aa
,0
,0
? ??
? ?
???
二, 绝对值的性质
定义 1
( 1 ),;? ? ? ? ? a a a a a性质
( 2 ) ;? a b a b
( 3) ( 0) ;??aa bbb
10
b a b b a b( 4 ),( 0 )? ? ? ? ? ?
a b a b a b( 6 ) ;? ? ? ? ?
a b a b a b( 5 ) ;? ? ? ? ?
a b a b(7),? ? ?
a b a b b a b( ( 0 ) ) ;? ? ? ? ?或
11
三,邻域
设 a,b都是实数,且 a<b,数集 {x|a<x<b}称为开区间,
记作 (a,b),即
a b a x b(,) { },? ? ?
a a b b a b(,),(,),??
° ° ba
类似还有闭区间,半开半闭区间以及无限区间, 其中数
b?a称为有限区间的长度,
其中 a和 b称为开区间的端点,
(如图 )
12
a b x a x b[,] { },? ? ?
a b x a x b(,] { },? ? ?
[,) { },a b x a x b? ? ?
a b? ?
?°a b
? °a b
(,) { },a x x a? ? ? ? ? ? ? ° a
13
(,] { },a x x a? ? ? ? ? ? ? ?a
[,) { },a x a x? ? ? ? ? ? ??a
(,) { },a x a x? ? ? ? ? ? ?°a
(,) { },xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14
在微积分中常用到特殊的开区间 — — 邻域,
定义 1 以 x0为中心,以 δ 为半径,长为 2δ 的开区间,
即 x x x x x
0 0 0(,) {,0 }? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2
?
0xx0?? 0x ??
称为点 x0 的 δ 邻域,记为 U(x0,δ ).
15
例 1 点 2的 1邻域 {x||x-2|<1}=(1,3).
点 ?(? )的 ?邻域记为 {x||x+ ? |< ?}=(-1,0).
定义 2 点 x0 的去心邻域,即
0
0 0 0 0 0 0U0( x,δ ) { x x x δ } ( x δ,x ) ( x,x δ ),? ? ? ? ? ? ?
2
? °
0x ?? 0x ??0x
定义 3 点 x0的左邻域,即 0 0 0{ 0 } (,)x x x x x? ? ? ? ???
0 0 0{ 0 } (,)x x x x x? ? ? ? ???
点 x0的右邻域,即
可类似定义多元微积分中用到的平面上点的邻域,
16
定义 4 平面上以点 M0( x0,y0)为心,以 δ >0 为半径的
圆内的点的全体,即集合
2 2 20 0 0(,) { (,) ( ) ( ),0 }U M x y x x y y? ? ? ? ? ?? ? ?
例 2 点 (1,1)的 ? 邻域是平面上以点 (1,1)为心,? 为
半径的一个开圆 — 圆邻域,即
22 1{ (,) ( 1 ) ( 1 ) }4x y x y? ? ? ?
o
1
1 x
y
17
或以 M0 为心,2δ为边长的正方形区域,即集合
0 0 0(,) { (,),}U M x y x x y y? ? ? ? ?? ? ?
为 M0 的子邻域 —— 方邻域,
o
y0
x0 x
y
18
四,函数
定义 5 设 x,y 是两个变量,若对 D中每一个值 x,按照
一定的对应法则 ?,总有确定的数值和它对应,则称 y
是 x的函数 ;记作 y=?(x).称 x 为自变量,y 为因变量 ;
D 为定义域 ;集合 D(f)={y|y=f(x),x∈ D}为值域,
1,函数的定义
2,函数的表示法,列举法、描述法、列表法、图象法,
3,函数的几种特性
(1),函数的奇偶性,设函数的定义域 D关于原点对称 (为
对称区域 ),而且 ?x∈ D,若 ?(?x)=± ?(x),则称 ?(x)为
偶奇 函数.
19
–x x
(–x,?(x)) (x,?(x))
–x
x
(–x,–?(x))
(x,?(x))
x
y
x
y
o
o
图 1
偶奇 函数.
的图形具有对称性,(图 1)
20
(2),函数的单调性,若 ?(x)对其定义区间 I 上,?x1,
x2∈ D,当 x1< x2 时,恒有
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xf x f x f x f x????或
上升 下降对应曲线是
则称 ?(x)在区间 I 上严格单调或单调
的, (图 2)
.增加减少
2x
1()fx
2()fx
y= ?(x)
o xx
yy
o
1x
图 2
2x1x
1()fx 2()fx
y= ?(x)
21
(3),函数的有界性,?M>0,?x∈ D,| ?(x) |≤M则称 ?(x)
在 D内有界, (图 3)
o
y=–M
y=M
x
y
y= ?(x)
y=–M
xo
yy=M
图 3
xo
y
y= ?(x)
y= ?(x)
22
(4),函数的周期性,?T≠0,使 ?(x+T)=?(x).则称 ?(x)为周期
函数, 满足函数的最小正数 T 称为 ?(x)的 (最小正 )周期,
其图象每隔 T个单位就重复, (图 4)
y
o x
–2T T
–T 2T
图 4
y= ?(x)
23
4,显函数及隐函数,由方程 F(x,y)=0 所确定的函数
y=?(x)或 x=??1(y)
称为隐函数,而将 y=?(x) 称为函数的显式,
5,反函数
设函数的定义域为 D,值域为 W,若对 ?y∈ W,D上
至少可以确定一个数值 x 与 y 对应,且 ?(x)=y?x=φ(y).
若把 y 看作自变量,x 看作因变量,则称函数 x=φ(y)为
函数 y =?(x) 的反函数, 而原函数 y =?(x)为直接函数 ;
x,y 互换便有 y=φ(x),从而函数与反函数定义域、值
域及图象间有一定的关系,
24
五,分段函数
问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？
有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个
或两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分
段函数,
例 3 绝对值函数 0
0
xxyx
xx
????
? ???
y
xo
y=|x|
值域 [0,+∞).定义域 (?∞,+∞).
25
1,0
sgn( ) 0,0
1,0
x
y x x
x
??
?? ? ?
?
? ???
值域 {?1,0,1}.
例 4 符号函数
定义域 (?∞,+∞).
例 5 狄立克莱函数
1,(
0,(
xQy
xQ
????
? ??
?
有理数集)
无理数集)
?
°
° –1
1
o x
y
26
例 6 取整函数 (阶梯曲线 ) y = [x] 为不超过 x 的最大
整数部分, 如图,
注意, 分段函数虽有几个式子,但它们合起来表示一
个函数,而不是几个函数,
实际上是取左端点,
°?
? °
? ?
?
?
?
°°
°
°
°
o x
y
1 2
–1
–1–2
27
例 7 火车站收取行李费规定如下,当行李不超过 50千
克时,按基本运费计算,如从上海到某地收 0.15元 /千
克,当超过 50千克时超重部分按 0.25元 /千克收费,试
求上海到该地的行李费 y (元 )与重量 x (千克 )之间的
函数关系式,
0, 1 5 0 5 0
5 0 0, 1 5 ( 5 0) 0, 2 5 5 0
xxy
xx
????
? ? ? ? ? ? ? ? ??解
28
确定分段函数的定义域并求 f (?1),f (0),f (1),f (x?1).
2 1 1 0
8 ( ),
2 0 1
xxfx
x
? ? ? ? ??
? ??
?
例
2 2 2 0 1
( 1 ),
2 1 2
x x xfx
x
? ? ? ? ???
? ??
?
解
29
,0
( ) ( ) 4,0 2 ;
5,2
xx
f x g x x x
xx
??
?? ? ? ? ?
?
? ??
?
解
,0
( ) ( ) 3 6,0 2,
5,2
xx
f x g x x x
xx
???
?? ? ? ? ?
?
? ???
2 1 0 2 09 ( ),( ),
0 0 2 5 0
x x x xf x g x
x x x
? ? ? ?????
?? ? ? ???例 或
求 f (x)+g (x),f (x)?g (x),
30
六,复合函数
所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一
个新的函数,
复合而成的复合函数为 210,1y u u x? ? ?例由
21yx??
定义 6 设 y = ?(u)是定义在 U上的函数,而且 u=φ(x)
是定义在 D上的函数,值域为 Z,
若 ?x∈ D,对应的 Z?U,则称 y =?(φ(x))是函数 y =
?(u)和 u=φ(x)复合而成的复合函数, u作中间变量,
31
例 11 求下列函数的复合函数
( 1 ) ( ),( ) ;uy f u e u x?? ? ?
2( 2 ) a r c t a n,;y u u x??
22
2
( 3 ),; ( )
( 4 ),,;
2
( 5 ) a r c s i n,2,
y u u x y x x
x
y u u c t g v v
y u u x
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
因 u=2+x2 的值域为 {x|u≥2}不能使 y=arcsinu 有意义,
故它们不能复合成一个复合函数,
32
将几个简单函数 (基本初等函数或由基本初等函数
与常数的四则运算所得到的函数 )由里到外可复合成一
个复合函数,另外也可对复合函数由外到里的进行分解
为几个简单函数,
例 12 将下列函数分解为简单函数并求其定义域
2
2
2
( 5 6 )
( 1 ) c os
( 2 ) l n ( 1 1 )
1
( 3 )
l og
xx
a
yx
yx
y
??
?
? ? ?
?
33
2 ( 1 ) c o s,,(,)y u u x? ? ? ? ? ?解
2( 2 ) l n,1,1,(,)y u u v v x? ? ? ? ? ? ? ? ?
21( 3 ),lo g,5 6,v
ay u v x xu? ? ? ? ?
5 5 5 5 5 5 5 5 (,) (,2 ) ( 3,) (,)
2 2 2 2
? ? ? ?? ? ? ?
34
七,初等函数
1.基本初等函数
应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何特性、
常见公式、图象及性质 (见教材 p21 – 26).
(1) 常函数 y = c
(2) 幂函数 y =xα
(3) 指数函数 ( 0,1 )xxy a a a y e? ? ? ?或
lo g ( 0,1 ) lnay x a a y x? ? ? ?或(4) 对数函数
(5) 三角函数 s i n,c o s,t a n,y x y x y x? ? ?
c o t,s e c,c s cy x y x y x? ? ?
35
(6) 反三角函数
s i n,c o s,t a n,c o ty a r c x y a r c x y a r c x y a r c x? ? ? ?
2,初等函数
定义 7 由基本初等函数经有限次四则运算和有限次
复合所得到的函数为初等函数,
一般说来,分段函数不为初等函数,但 y=|x| 却是,
分段函数一般不为初等函数,但是,由于分段函数
在其定义域的子区间内都是初等函数,所以仍可通过
初等函数来研究它们,
都是初等函数, 2 c o s
21 2 a r c s i n l o g 3,( s i n ) xy x x y x? ? ?例
36
八,常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入
及商品价格等等因素的影响,但最主要的是价格因素 ;
若不考其它因素,把需求量 Qd只看成价格 p 的函数,即
()dQ f p?
需求函数 Qd= f (p) 一般是 p 的递减函数,最常见、最
简单的需求函数是如下形式的线性需求函数
()dQ f p a p b? ? ? ?(a,b均为正常数 )
则称此函数为需求函数,
37
这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的
曲线,我们称之为需求曲线,如右图,
当然价格 p 也可表示成需求量 Qd的函数,p=g(Qd)叫作
价格函数,
b
o pba
特别地,当价格 p=0时,需求量 Qd=b,它表示人们的需要
是有限的, b/a 为最大销售价格,此时需求量为零,
Qd
38
100,
3k ?
解 设价格由 70元增加 k个 3元,则
例 13 某产品销售 70元 /件,可买出 10000件,价格每增
加 3元就少买 300件,求需求量 Qd 与价格 p 的函数,
1 ( 7 0 ),
3kp??而
170p ?则
1 7 0 0 0 1 0 0,( 7 0,1 7 0 ]dQ p p? ? ? ?
p=70+3k,Qd =10000?300k,从而
39
(2),供给函数
生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的,其
中价格是最要的素 ; 一般地,价格越高,就越要加大供
应,因此供给量 Qs 是价格 p 的单增函数,最简单的供给
函数是如下形式的线性供给函数
()sQ g p c p d? ? ?(c,d 均为正常数 )
反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,
如图,
o
p
Q
dc
–d
40
例 14 某商品当价格为 50元时,有 50单位投放市场,当
价格为 75元时,有 100单位投放市场,求供给 Qs与价格
p 的函数,
解 设 Qs = cp – d,则 Qs = 2p – 50
显然只有价格不低于 d/c 时,才有供给量 Qs,因
为厂商都不愿作亏本生意,
(3),均衡价格
均衡价格就是使一种商品的市场需求量 Qd与供给
量 Qs 相等时的价格 ; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p)时的
价格,记为 p*.显然此时的市场处于均衡状态,
41
即如果需求量大于供给量则价格会上涨,反之,价格会降
低,因此,市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动,
当市场价格 p 高于均衡价格 p* 时,则供给量 Qs将增
加,需求量 Qd将相应地减少 ;反之,当市场价格 p 低于均衡
价格 p* 时,则供给量 Qs 将减少,而需求量 Qd 将增加,
因此,市场上商品价格的调节,就是按照需求律与供
给律来实现的,
42
2,总成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的
全部经济资源的价格或费用总额,
()() CxCx
x?
它由固定资本 (生产准备费,用于维修、添制设备等 )
a元和可变资本 (每单位产品消耗原材料、劳力等费用 )b
元,则生产 x件产品的总成本为
每件产品的成本 (叫单位成本或平均成本 )为
C(x) = ax + b
43
3,销售收入函数 (总收益函数 )
4,总利润函数
总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差,
总收益是产量的函数,设某种产品的销售量为 x,价
格为 p,则销售收入函数为 R = p · x
而价格 p 又可表为 x 的函数,所以销售收入函数可看成
x 的函数 R(x).
设 x 件产品的总成本为 C(x),销售收入为 R(x).
则利润为 L(x) = R(x) – C (x)
5,其它经济函数
44
九, 建立函数关系举例
运用数学来解决实际问题,首先要把问题中的数量
关系用数学式子表示出来,也就是建立数学模型,为此必
须明确问题中的常量和变量,变量中的自变量和因变量,
以及它们之间存在什么关系,以确定函数关系,根据实际
问题的要求指出定义域,
例 15 某型号手机价格为每只 1000元时能买出 15只,当
价格为每只 800元时,能买出 20只,已知手机的价格高低
与其需求量多少是线性关系,试建立该型号手机的需求
量与价格之间的函数关系,
解 价格 x元 /只,需求量 y只,则 1 4 0,( 0,1 6 0 0 ]
40y x x? ? ? ?
45
例 16 工厂生产某种产品,生产准备费 1000元,可变资本 4
元,单位售价 8元,求
(1) 总成本函数 ;
(2) 单位成本函数 ;
(3) 销售收入函数 ;
(4) 利润函数,
( ) 4 1 0 0 0C x x??解
( ) ( ) ( ) 4 1 0 0 0L x R x C x x? ? ? ?
1000( ) 4Cx
x??
( ) 8R x x?
46
例 17 某工厂在一年内分若干批生产某种车床,年产量
为 a 台,每批生准备费 b 元,设产品均匀投入市场 (即平
均库存量为批量的一半 ),每年每台库存费为 c 元,显然,
生产批量大则库存费高 ;生产批量小则批数增多 ; 因而
生产准备费高, 试求出一年中库存费与生产准备费之
和与批量的函数关系,
解 设批量为 x,库存费与生产准备费之和为 p(x),则全
年的生产准备费为 (a/x) ? b,库存费为 (x/2) ? c,故
( ),( 0,],2a b c xp x x ax? ? ?
其中 a/x 为批数,x/2 为库存量,
47
例 18 某矿厂 A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B
冶炼,已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,它的
垂足 C到 B的距离为 b公里,又知铁路运价为 m元 /吨 ·公里,
公路运价是 n元 /吨 ·公里 (m<n),为节省运费,拟在铁路上另
修一小站 M作为转运站,那么总运费的多少决定于 M的位
置, 试求出运费与距离 |CM|的函数关系,
xA
B
C
M
a
b
解,,C M x y?设 运费为 则
22A M x a??
22 ( ),[ 0,]y n x x a m b x x b? ? ? ? ? ?
48
例 19 (复利息问题 )设银行将数量为 A0的款贷出,每期
利率为 r.若一期结算一次,则 t 期后连本带利可收回
0 (1 ) tAr?
若每期结算 m 次,则 t 期后连本带利可收回
00[ ( 1 ) ] ( 1 )
m t m trrAA
mm? ? ?
现实生活中一些事物的生长 (r>0) 和率减 (r<0)
就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算,例如细胞
的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的率减等,
此函数即可看成期数 t 的函数,也可看成结算次数 m的
函数,
