1
函数 y =?(x) 的导数 f′(x) 仍 x 是的函数, 若 f′(x) 在
点 x 处仍可导,则称 f′(x) 在 x 处的导数为函数 y =?(x)
在 x 处的二阶导数,记为
22
22,( ),( ),.
d y d d y d fy f x
d x d x d x d x?? ?? ?
三阶导数的导数称为四阶导数,记为
33
33,( ),,.
d y d fy f x
dx dx??? ???
44( 4 ) ( 4 )
44,( ),,.
d y d fy f x
d x d x
§ 3.4 高阶导数
同理二阶导数的导数称为三阶导数, 记为
2
( ) ( 1 ) ( ) ( )[ ],,( ),,.
nn
n n n n
nn
d y d fy y y f x
d x d x
? ?? 并 记 为
定义 5.一般地,定义函数 y =?(x)的 n阶导数为其 n– 1
阶导数的导数,即
注 2：求高阶导数就是逐阶求导数,
( 0 )( ) ( )f x f x?
注 1,二阶和二阶以上的导数为高阶导数,为了方便,记
3
例 12.求下列函数的 n阶导数
( 1 ) ( ) ; ( 2 ) ( 0 1 ) ;xy x R y a a? ?? ? ? ? ?
12 ( 1 ) ( ),( ) ( 1 ),,x x x x? ? ? ?? ? ???? ??? ? ?解
2( ) ln,( ) ln,,x x x xa a a a a a? ????
()( ) ( 1 ) ( 1 )nnx n x??? ? ? ?? ? ? ?
( ) ( 1 )( ) !,( ) 0n n n nx n x ???特 别 地
.? 多 项 式 函 数 具 有 任 意 阶 的 连 续 导 数
()( ) ln,x n x na a a?
()()x n xee ?特 别 地
4
( ) 1 ( 1 ) !( ) ( 1 ),
( 1 )
nn
n
ny
x
? ???
?
1 ln ( 1 ),',
1y x y x? ? ? ?解 设 则
( 4 )
2 3 4
1 2 ! 3 !',",,,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )y y yx x x? ? ? ? ?? ? ?
( ) 1 ( 1 ) !( ln ) ( 1 )nn
n
nx
x
? ???特 别 地
( 4 ) s i n ( 5 ) c o sy x y x??
( 3 ) l n ( 1 )yx??
5
( 4 ) ( s in ) c o s s in( )2x x x ?? ? ? ?
例 13.已知 2
2( ) ( ) 0,ln[ ( ) ],.
dyf x f x y f x
dx?? ??存 在, 且 求
( s in ) s in ( 3 ),2xx ???? ? ? ?
( s in ) [ s in( ) ] c o s ( ) s in( 2 )2 2 2x x x x? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ?
()( c o s ) c o s ( ),
2
nx x n ?? ? ?同 理 可 证 ()( s in ) s in ( ),
2
nx x n ?? ? ?
()
()
d y f x
d x f x
???解 22
22
( ) ( ) [ ( ) ],
()
d y f x f x f x
dx f x
?? ???