第一章 静电场
主要内容
1,静电的基本现象和基本规律
2,电场 电场强度
3,高斯定理
4,电位及其梯度
5,静电场的应用举例
基本要求
? 明确电荷是物质的一种属性
? 理解点电荷模型
? 理解电场概念
? 掌握电通量的概念及其计算方法
? 理解电力线的概念
? 理解和掌握静电场环路定理
? 理解掌握电位电位差概念
? 理解等位面概念
§ 1.1静电场的基本现象和基本规律
1.1.1 两种电荷
物体有吸引轻小物体的性质, 就说它带了电, 或
有了电荷 。 带电的物体叫 带电体 。
使物体带电叫起电 。 用摩擦方法使物体带电叫做
摩擦起电 。
自然界只存在两种电荷：正电荷和负电荷, 且同
种电荷相排斥异种电荷相吸引 。
1.1.2 静电感应和电荷守恒定律
另一种重要的起电方法是静电感应 。 摩擦起电和静电
感应的实验表明, 起电过程是电荷从一个物体 （ 或物体
的一部分 ） 转移到另一物体 （ 或同一物体的另一部分 ）
的过程 。
从以上一些事实可以总结出如下定律：电荷既不能被创
造, 也不能被消灭, 它们只能从一个物体转移到另一个
物体, 或者从物体的一部分转移到另一部分, 也就是说,
在任何物理过程中, 电荷的代数和是守恒的 。 这个定律
叫电荷守恒定律 。
1.1.3 物体的分类
（ 1） 导体,电荷能从产生的地方迅速转移或传
导到其它部分的那种物体叫做导体。
（ 2） 绝缘体,电荷几乎只停留在产生的地方的
那种物体叫绝缘体。
（ 3） 半导体,半导体是介于导体与绝缘体之间
的物体，而且对温度，光照，杂质，压力，
电磁场等外加条件极为敏感。
金属, 石墨, 电解液 （ 酸, 碱, 盐类的水
溶液 ）, 人体, 地, 电离的气体等都是导
体；玻璃, 橡胶, 丝绸, 琥珀, 松香, 硫
磺, 瓷器, 油类, 未电离的气体等都是绝
缘体 。
1.1.4 物质的结构
物质是由分子, 原子组成的, 而原子又由带正
电的原子核和带负电的电子组成 。 原子核中有
质子和中子, 中子不带电, 质子带正电 。 一个
质子所带电荷和一个电子所带电量数值相等 。
如果用 e代表一个质子的电量, 则一个电子的电
量就是 -e。 它的近似值为
e=1.602?10-19库仑
1.1.5 库仑定律
库仑定律表述如下：
在真空中，两个静止的点电荷 q1和 q2之间的相
互作用力的大小和 q1与 q2的乘积成正比，和它
们之间距离 r的平方成反比；作用力的方向沿着
它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
如图所示
令 F12代表 q1给 q2的力,r12代表由 q1
到 q2方向的单位矢量，则
12
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QQFK
r
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§ 1.2 电场 电场强度
1.2.1 电场
近代物理学的发展告诉我们：凡是有电荷
的地方, 四周就存在电场, 即任何电荷都
在自己周围的空间激发电场；而电场的基
本性质是, 它对于处在其中的任何其他电
荷都有力的作用, 成为电场力 。 因此电荷
与电荷之间是通过电场发生相互作用的 。
具体的讲, 图中的物体 1带电时, 1上的电荷就在
周围的空间激发一个电场；物体 2带电时, 2上的
电荷也在周围的空间激发一个电场 。 带电体 2所
受的力 F12是 1的场施加给它的, 带电体 1所受的力
F21是 2的场施加给它的 。 用一个图式来概括, 则
为
电荷 电场 电荷??????
1.2.2电场强度矢量 E
电场的一个重要性质是它对电荷施加作用力，下面以这个性质
定量描述电场。首先在电场中引如一电荷以测量电场对它的作
用力。为使测量精确，这电荷必须满足以下一些要求：
(1)这电荷的电量 q0充分小。
(2)电荷 q0的几何线度也要充分小，即可以把它看作是点电荷。
满足以上条件的电荷 q0叫做 试探电荷 。
下图为用试探电荷测场强的演示实验。
现在研究电场中任一固定点的性质 。 按照库仑定
律, 在电场中任一固定点 p,试探电荷所受的电
力是和试探电荷的电量 q0成正比的 。 如果把试探
电荷的电量增大到 2,3,4......n倍 （ 但仍需满足
试探电荷的条件 ）, 将看到同一地点的 F也增大
到 2,3,4....n倍, 而力的方向不变 （ 如图 ） 。
? 如果把 q0换成等量异号的电荷, 则力的大小不
变, 方向反转 。 因此对于电场中的固定点来说,
比值 F/q0是一个无论大小和方向都与试探电荷
无关的量, 它是反映电场本身性质的 。 我们把
它定义为电场强度, 简称场强, 用 E表示：
? E=F/q0
1.2.3 场强迭加原理
电场力是矢量, 它服从矢量迭加原理 。
如果以 F1,F2 ? ? ? Fk分别表示点电荷 q1、
q2? ? ? qk单独存在时电场施于空间同一点
上试探电荷 q0的力, 则它们同时存在时,
电场施加于该点试探电荷的力 F将为 F1、
F2?? ? Fk的矢量和, 即
F=F1+ F2 + ?? ? + Fk
将上式除以 q0，得到
E=E1+E2+ ? ?? +Ek
E1=F1/q0,E2=F2/q0, ? ?? Ek=Fk/q0
分别代表 q1,q2 ? ? ? qk单独存在时在空间同
一点的场强, 而 E=F/q0代表它们同时存在
时该点的总场强 。
? 由此可见，点电荷组所产生的电场在某点
的场强等于各点电荷单独存在时所产生的
电场在该点场强的迭加。这叫做电场强度
的迭加原理（简称场强迭加原理）。
? 电偶极子,由一对等量异号点电荷组成的带电
体系,它们之间的距离 L远比场点到它们的距离 r
小得多,这种带电体系叫做电偶极子,
? 电偶极子的场强公式,
延长线上
中垂面上
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1.2.4电荷的连续分布
? 电荷的体密度,单位体积内的 电荷。
? 电荷的面密度,单位面积内的电荷。
或
? 电荷的线密度,单位长度内的电荷。
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1.2.5带电体在电场中所受的力及其运动
? 电荷与电场之间的相互关系有两个方面：电荷
产生电场和电场对电荷施加作用力。
? 作用力的公式,F=qE
? 电偶极距,电偶极距 P是个矢量，它等于 q和矢
量 l的乘积，即 P=ql；
? 电偶极子所受力矩的公式为 L=PE
§ 1.3 高斯定理
1.3.1电力线及其数密度
? 电力线,如果在电场中作出许多曲线,使这些曲
线上每一点的切线方向和该点场强方向一致,那
所有这样作出的曲线,叫做电场的电力线 。
? 电力线数密度 在电场中任意点取一小面元 与
该点场强方向垂直,设穿过 的电力线有 根,
则比值 叫做该点电力线数密度 。
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? 电力线可以借助于一些实验方法显示出来,.在
作电力线图时,总使电场中任一点的电力线数密
度与点场强大小呈正比,即
? 电力线稀疏的地方表示场强小,电力线稠密的地
方表示场强大 ;就是说,用电力线的疏密分布把
电场中场强大小的分布情况反映出来 。
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从这些电力线图可以看出,除 E=0的点外,电力
线有如下一些普遍性质,
? （ 1） 电力线起至正电荷 (或来自无穷远处 ),止
于负电荷 (或伸向无穷远 ),但不会在没有电荷
的地方中断,
? （ 2） 若带电体系中正负电荷一样多,则由正
电荷出发的全部电力线都集中到负电荷上去,
? （ 3） 两条电力线不相交,
? （ 4） 静电场中的电力线不形成闭合线,
1.3.2 电通量
? 电通量 的定义,通过一面元 的电通量为该点场强的
大小 E与 在垂直于场强方向的投影面积
的乘积,
? 我们以 表示通过 的电通量,即
面元 的法线矢量 n与场强 E的夹角 可以是锐角,也
可以是钝角,所以电通量可正可负,当 为锐角时,
为正 ;当 为钝角时,为负,当 时，
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? 对于非无限小的曲面来说, 曲面上场强的大小
和方向是组点变化的, 计算电通量就需把曲面
分割成许多小面元, 计算通过每个小面元的电
通量后再迭加起来, 得到通过整个曲面的总电
通量 。 用公式表示为
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? 一个曲面有正有负, 与次对应, 它的法向矢量
也有正负 。 指向曲面外部空间的叫外法向矢量,
指向曲面内部空间的叫内法向矢量 。 规定：对
于闭合曲面, 取外法向矢量为正 。
? 通过任意一个闭合曲面 S的电通量 等于该面所
包围的所有电荷电量的代数和 除以, 与
闭合面外的电量无关, 用公式来表示高斯定理,
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1.3.3高斯定理的表述和证明
? 高斯定理的表述,
通过任意一个闭合曲面 S的电通量 等于该
面所包围的所有电荷电量的代数和 除以,
与闭合面外的电量无关, 用公式来表示高斯定
理,
表示沿一个闭合曲面的的积分,这闭合曲面
习惯上叫高斯面,
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? 高斯定理是可以由 库仑定律 和 场强迭加原理 导出的,
(1)通过包围点电荷 q的同心球面的电通量都等
于 。见下图所示,
0/q ?
(2)通过包围点电荷 q 的任意闭合面 的电通量都等于
。 见下图所示,
0/q ?
(3)通过不包围点电荷的任意闭合面 S的电通量恒
为 0。 见下图所示 。
(4)多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电
通量的代数和,见下图所示 。
1.3.4 电力线的性质
(1)电力线的 起点 与 终点,
如果做小闭合面分别将电力线的起点和终点
包围起来,则必然有电通亮从前者通过,从后者穿
入,因而从高斯定理可得,在前者之内必有正电荷,
后者之内必有负电荷,这就是说电力线不会在没
有电荷的地方中断,
(2)电力线的 疏密 与 场强 的大小,
电力管,由一束电力线围成的管状区域,叫电力管,
由于电力线总是平行于电力管的侧壁,因而没有
电通量穿过侧壁,
亦即沿电力管场强的变化反比于它的垂直面
积,
12
21
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1.3.5 高斯定理的应用举例
? 在使用高斯定理时一定要注意,公式中 E是带电
体系中所有电荷 (无论在高斯面内还是在高斯
面外 )产生的总场强,而 只是对高斯面内的电荷
求和,这是因为高斯面外的电荷对总通量没有贡
献,但不是对总场强没有贡献,
? 能够直接运用高斯定理求出场强的情形,都必须
具有一定的对称性,
例题,求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带电总
量为 q,半径为 R.
解, 如果 用场 强 迭加 法来 解 这个 题,就需 要 把带 电
球壳分割成许多小面元 dS,将各个小面元上电荷所产生
的元电场 dE进行矢量迭加,这样做是很复杂的,现在让我
们用高斯定理来处理就可使问题简化,首先分析电场分
布的对称性,由于电荷均匀分布在球壳上,这个带电体系
具有球对称性,因而电场分布也具有求对称性,
例题,求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带
电总量为 q,半径为 R.
如图,
根据电场的求对称性的特点,取
高斯面为通过 p点的同心球面,
通过此高斯面的电通量为
这里 r是高斯面的半径,即 op的
距离,
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例题,求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带
电总量为 q,半径为 R.
上述对称性的分析对球壳内外均适用,所以上式
适用于无论比球壳大或小的高斯面,如果 p点在
球壳外 (r>R),则高斯面包围了球壳上的电荷 q.
根据高斯定理,
由此 p点的场强为
如果 p点在球壳内 (r<R),则高斯面内无电荷,
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§ 1.4 电位及其梯度
? 静电场力所做的功与路径无关
? 电位差与电位
? 电位迭加原理
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例 求距电偶极子相当远的 地方任意点的 电位。已
知电偶极子中两电荷 -q,+q的距离为 L。
? 解：设场点 p到 +q,-q的距离分别为 r+和 r-如
图，则 +q,-q单独存在时点 p的电位分别为
根据电位迭加原理
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例 求距电偶极子相当远的 地方任意点的 电位。已
知电偶极子中两电荷 -q,+q的距离为 L。
? 设 P点到电偶极子中点 O的距离为 r,PO连线与偶
极距方向的夹角为, 以 P为中心做两圆弧分别
过 +q,-q,弧与 PO连线分别交于 C,D,则
PC=r+,PD=r-,由于 r ＞＞ l,两弧线可近似看成是
PO的垂线, 所以
于是
代入Ｕ的表达式后，得
忽略 l的平方项，即得
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? 等位面, 电位相等的点所组成的面。
? 等位面的性质：
（ 1）等位面与电力线处处正交。
（ 2）等位面较密集的地方场强大。
? 任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电位
U是个标量。
1.4.1 等位面
1.4.2电位的梯度
? 梯度通常指一个物理量的空间变化率 。 用数学
语言来说, 就是物理量对空间坐标的微商 。
叫做沿的 方向的微商, 这是一种偏微商 。
梯度 定义：一个矢量, 它沿着 的方向, 大
小等于 。 这个矢量叫做梯度, 用 gradU或
来表示, 沿其余方向的微商 是梯度矢量在
该方向上的投影,
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1.4.3 电位与电场的关系
? 电位：
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§ 1.5 静电场的应用举例
? 1.5.1 在军事上的应用
? 1.5.2 在其他方面的应用
１,5.1在军事上的应用
? 隔墙探人技术
隔墙探人技术的应用，犹如士兵长了第
三只眼，能较早的发现隐蔽在墙后的敌人，
极大地提高了城市巷战人员的侦察与生存
能力。美国目前已开发出利用静电场、超
低频电磁能、雷达生命特征信号监测、超
宽带雷达原理的隔墙探测技术。
? 利用静电场技术实现隔墙探人的, 探人器,,
是利用人体能产生静电场以及两个极性相反
的静电场之间存在着吸引力的原理进行工作 。
自身仅重 0.45千克, 用 9伏电池供电, 可使用
3-4天, 能探测到 120-140米距离内的位于墙
壁后的人员 。 使用时, 操作手用, 探人器,
对四周进行扫描 。 当前方有人时,, 探人器,
的静电场与人体静电场产生引力, 将, 探人
器, 天线拉向人所在的方向, 使, 探人器,
对向人, 识别出与人匹配的静电场 。
1.5.2 在其他方面的应用
? 空气净化器：
静电吸附式空气 （ 消毒 ） 净化器的核心部件是
静电吸附装置 。 目前, 国内使用的大部分为蜂
窝状静电吸附装 置 (静电场 )。 蜂窝状静电场的
缺点是不仅工艺繁杂而且清洗困难, 产生较多
的臭氧和集尘效果差 。
? 国外最常用的静电吸附装置是两段式静电吸附
装置, 两段式静电吸附装置不其结构简明而且
极其容易清洗和永久性使用 。 两段式静电吸附
装置是由前部的 PLASMA放电方式的牢固的放
电丝和集尘板组成而后面是由正负极集尘板组
成因此其除菌效果和集尘效果远远超过蜂窝状
静电吸附装置 。
? 在学习和总结国内外的各种静电吸附装的
基础上，我国开发出了各种规格的两段式
静电吸附装置。在实践中已证实此静电吸
附装置的除菌和集尘效果明显而且在实际
应用中可以随时调节前后静电场的电压和
电流。为了用户清洗后按装时的方便，此
静电吸附装置采用了“触点式”连接方式
不 用任何电线来连接静电吸附装置与机
器。为了减少产生臭氧，在设计和制作板
与板之间的距离调节到最合适的位置。
? 两段式静电吸附装置的阻力非低不仅用
于静电吸附式空气净化器而且用于中央
空调的进风口或出风口以防止空气中的
微生物通过风到传播到室内 。
?
两段式静电吸附装置
? 阴极射线示波器：
静电场的最常见的一个应用就是带电粒子的偏
转, 这样可以控制电子或是质子的轨迹 。 很多
装置, 例如阴极射线示波器, 回旋加速器, 喷
墨打印机以及速度选择器等都是基于这一原理
的 。 阴极射线示波器中电子束的电量是恒定的,
而喷墨打印机中微粒子的电量却随着打印的字
符而变化 。 在所有的例子中带电粒子的偏转都
是通过两个平行板之间的电位差来实现的 。
阴极射线示波器 （ cathod-ray oscilloscope）
的基本特征：管体由玻璃制成, 并被抽成高度
真空 。 阴极被灯丝加热后发射电子 。 阳极与阴
极间有几百 V的电压差, 电子朝向阳极加速 。
阳极上有一个小孔允许极细的一束电子通过 。
这些被加速的电子将进入偏转区, 在那里它们
产生水平和垂直两个方向上的偏转 。
这些电子轰击一个由能发射可见光的物质
（ 磷 ） 所覆盖的荧光屏的内表面 。 如果阳极
和阴极间的电压差保持恒定, 电子的偏转量
与垂直偏转板间的电位差成正比 。 水平偏转
板间的电位差, 可以使电子在 y方向上运动 。
因此, 电子束撞击荧光屏的点的位置依赖于
水平和垂直偏转电压 。
本章小结
一、静电场性质的表现
1、静电场对于置于场内带电体有力的作用
2、带电体在电场力的作用下移动时，电场力对它
作功。
二、表征电场性质的物理量
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点电荷：
点电荷组：
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分布电荷：
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线分布：
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空间任意点：
点电荷：
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点电荷组,；分布电荷：
3,E与 U的关系,；
三、静电场基本定理
1、高斯定理：
2、环路定理：
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解题方法,
一、求解电场分布的方法
1、利用迭加原理
2、利用高斯定理
3、利用 E,U关系：已知 E求 U,；已知
U求 E,；
二、常用解题公式
1、电偶极子的场强：
延长线上：
中垂面上：
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2、均匀带电无限长细棒场强：
3、均匀带电细环的场强：
轴上：
环心：
4、均匀带电无限大平面外场强：
两均匀带异号电荷无限大平面：
5、均匀带电球壳场强,r>R
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本章习题
1、半径为 a的圆盘均匀带电，电荷面密度为,求圆
盘在轴线上一点 p处的场强和电位。
2、一电荷按体密度 球对称分布，求（ 1）电场分
布的表达式；（ 2）当电荷为总电荷一半时，其半
径为多少？
3、线电荷密度为 的无限长均匀带电线，分别
弯成如图两种形状，若圆弧半径为 R，试求图
中 O点的场强。
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主要内容
1,静电的基本现象和基本规律
2,电场 电场强度
3,高斯定理
4,电位及其梯度
5,静电场的应用举例
基本要求
? 明确电荷是物质的一种属性
? 理解点电荷模型
? 理解电场概念
? 掌握电通量的概念及其计算方法
? 理解电力线的概念
? 理解和掌握静电场环路定理
? 理解掌握电位电位差概念
? 理解等位面概念
§ 1.1静电场的基本现象和基本规律
1.1.1 两种电荷
物体有吸引轻小物体的性质, 就说它带了电, 或
有了电荷 。 带电的物体叫 带电体 。
使物体带电叫起电 。 用摩擦方法使物体带电叫做
摩擦起电 。
自然界只存在两种电荷：正电荷和负电荷, 且同
种电荷相排斥异种电荷相吸引 。
1.1.2 静电感应和电荷守恒定律
另一种重要的起电方法是静电感应 。 摩擦起电和静电
感应的实验表明, 起电过程是电荷从一个物体 （ 或物体
的一部分 ） 转移到另一物体 （ 或同一物体的另一部分 ）
的过程 。
从以上一些事实可以总结出如下定律：电荷既不能被创
造, 也不能被消灭, 它们只能从一个物体转移到另一个
物体, 或者从物体的一部分转移到另一部分, 也就是说,
在任何物理过程中, 电荷的代数和是守恒的 。 这个定律
叫电荷守恒定律 。
1.1.3 物体的分类
（ 1） 导体,电荷能从产生的地方迅速转移或传
导到其它部分的那种物体叫做导体。
（ 2） 绝缘体,电荷几乎只停留在产生的地方的
那种物体叫绝缘体。
（ 3） 半导体,半导体是介于导体与绝缘体之间
的物体，而且对温度，光照，杂质，压力，
电磁场等外加条件极为敏感。
金属, 石墨, 电解液 （ 酸, 碱, 盐类的水
溶液 ）, 人体, 地, 电离的气体等都是导
体；玻璃, 橡胶, 丝绸, 琥珀, 松香, 硫
磺, 瓷器, 油类, 未电离的气体等都是绝
缘体 。
1.1.4 物质的结构
物质是由分子, 原子组成的, 而原子又由带正
电的原子核和带负电的电子组成 。 原子核中有
质子和中子, 中子不带电, 质子带正电 。 一个
质子所带电荷和一个电子所带电量数值相等 。
如果用 e代表一个质子的电量, 则一个电子的电
量就是 -e。 它的近似值为
e=1.602?10-19库仑
1.1.5 库仑定律
库仑定律表述如下：
在真空中，两个静止的点电荷 q1和 q2之间的相
互作用力的大小和 q1与 q2的乘积成正比，和它
们之间距离 r的平方成反比；作用力的方向沿着
它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
如图所示
令 F12代表 q1给 q2的力,r12代表由 q1
到 q2方向的单位矢量，则
12
12 2
QQFK
r
?
§ 1.2 电场 电场强度
1.2.1 电场
近代物理学的发展告诉我们：凡是有电荷
的地方, 四周就存在电场, 即任何电荷都
在自己周围的空间激发电场；而电场的基
本性质是, 它对于处在其中的任何其他电
荷都有力的作用, 成为电场力 。 因此电荷
与电荷之间是通过电场发生相互作用的 。
具体的讲, 图中的物体 1带电时, 1上的电荷就在
周围的空间激发一个电场；物体 2带电时, 2上的
电荷也在周围的空间激发一个电场 。 带电体 2所
受的力 F12是 1的场施加给它的, 带电体 1所受的力
F21是 2的场施加给它的 。 用一个图式来概括, 则
为
电荷 电场 电荷??????
1.2.2电场强度矢量 E
电场的一个重要性质是它对电荷施加作用力，下面以这个性质
定量描述电场。首先在电场中引如一电荷以测量电场对它的作
用力。为使测量精确，这电荷必须满足以下一些要求：
(1)这电荷的电量 q0充分小。
(2)电荷 q0的几何线度也要充分小，即可以把它看作是点电荷。
满足以上条件的电荷 q0叫做 试探电荷 。
下图为用试探电荷测场强的演示实验。
现在研究电场中任一固定点的性质 。 按照库仑定
律, 在电场中任一固定点 p,试探电荷所受的电
力是和试探电荷的电量 q0成正比的 。 如果把试探
电荷的电量增大到 2,3,4......n倍 （ 但仍需满足
试探电荷的条件 ）, 将看到同一地点的 F也增大
到 2,3,4....n倍, 而力的方向不变 （ 如图 ） 。
? 如果把 q0换成等量异号的电荷, 则力的大小不
变, 方向反转 。 因此对于电场中的固定点来说,
比值 F/q0是一个无论大小和方向都与试探电荷
无关的量, 它是反映电场本身性质的 。 我们把
它定义为电场强度, 简称场强, 用 E表示：
? E=F/q0
1.2.3 场强迭加原理
电场力是矢量, 它服从矢量迭加原理 。
如果以 F1,F2 ? ? ? Fk分别表示点电荷 q1、
q2? ? ? qk单独存在时电场施于空间同一点
上试探电荷 q0的力, 则它们同时存在时,
电场施加于该点试探电荷的力 F将为 F1、
F2?? ? Fk的矢量和, 即
F=F1+ F2 + ?? ? + Fk
将上式除以 q0，得到
E=E1+E2+ ? ?? +Ek
E1=F1/q0,E2=F2/q0, ? ?? Ek=Fk/q0
分别代表 q1,q2 ? ? ? qk单独存在时在空间同
一点的场强, 而 E=F/q0代表它们同时存在
时该点的总场强 。
? 由此可见，点电荷组所产生的电场在某点
的场强等于各点电荷单独存在时所产生的
电场在该点场强的迭加。这叫做电场强度
的迭加原理（简称场强迭加原理）。
? 电偶极子,由一对等量异号点电荷组成的带电
体系,它们之间的距离 L远比场点到它们的距离 r
小得多,这种带电体系叫做电偶极子,
? 电偶极子的场强公式,
延长线上
中垂面上
3
0
12
4
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r??
?
3
0
1
4
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?
1.2.4电荷的连续分布
? 电荷的体密度,单位体积内的 电荷。
? 电荷的面密度,单位面积内的电荷。
或
? 电荷的线密度,单位长度内的电荷。
0
l ime
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q
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1.2.5带电体在电场中所受的力及其运动
? 电荷与电场之间的相互关系有两个方面：电荷
产生电场和电场对电荷施加作用力。
? 作用力的公式,F=qE
? 电偶极距,电偶极距 P是个矢量，它等于 q和矢
量 l的乘积，即 P=ql；
? 电偶极子所受力矩的公式为 L=PE
§ 1.3 高斯定理
1.3.1电力线及其数密度
? 电力线,如果在电场中作出许多曲线,使这些曲
线上每一点的切线方向和该点场强方向一致,那
所有这样作出的曲线,叫做电场的电力线 。
? 电力线数密度 在电场中任意点取一小面元 与
该点场强方向垂直,设穿过 的电力线有 根,
则比值 叫做该点电力线数密度 。
S?
/NS??
S? N?
? 电力线可以借助于一些实验方法显示出来,.在
作电力线图时,总使电场中任一点的电力线数密
度与点场强大小呈正比,即
? 电力线稀疏的地方表示场强小,电力线稠密的地
方表示场强大 ;就是说,用电力线的疏密分布把
电场中场强大小的分布情况反映出来 。
NE
S
??
?
从这些电力线图可以看出,除 E=0的点外,电力
线有如下一些普遍性质,
? （ 1） 电力线起至正电荷 (或来自无穷远处 ),止
于负电荷 (或伸向无穷远 ),但不会在没有电荷
的地方中断,
? （ 2） 若带电体系中正负电荷一样多,则由正
电荷出发的全部电力线都集中到负电荷上去,
? （ 3） 两条电力线不相交,
? （ 4） 静电场中的电力线不形成闭合线,
1.3.2 电通量
? 电通量 的定义,通过一面元 的电通量为该点场强的
大小 E与 在垂直于场强方向的投影面积
的乘积,
? 我们以 表示通过 的电通量,即
面元 的法线矢量 n与场强 E的夹角 可以是锐角,也
可以是钝角,所以电通量可正可负,当 为锐角时,
为正 ;当 为钝角时,为负,当 时，
=0。
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? 对于非无限小的曲面来说, 曲面上场强的大小
和方向是组点变化的, 计算电通量就需把曲面
分割成许多小面元, 计算通过每个小面元的电
通量后再迭加起来, 得到通过整个曲面的总电
通量 。 用公式表示为
() ()
c o sEE
S S
ES ?? ? ? ? ? ? ??
? 一个曲面有正有负, 与次对应, 它的法向矢量
也有正负 。 指向曲面外部空间的叫外法向矢量,
指向曲面内部空间的叫内法向矢量 。 规定：对
于闭合曲面, 取外法向矢量为正 。
? 通过任意一个闭合曲面 S的电通量 等于该面所
包围的所有电荷电量的代数和 除以, 与
闭合面外的电量无关, 用公式来表示高斯定理,
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q? 0?
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内
1.3.3高斯定理的表述和证明
? 高斯定理的表述,
通过任意一个闭合曲面 S的电通量 等于该
面所包围的所有电荷电量的代数和 除以,
与闭合面外的电量无关, 用公式来表示高斯定
理,
表示沿一个闭合曲面的的积分,这闭合曲面
习惯上叫高斯面,
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内
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? 高斯定理是可以由 库仑定律 和 场强迭加原理 导出的,
(1)通过包围点电荷 q的同心球面的电通量都等
于 。见下图所示,
0/q ?
(2)通过包围点电荷 q 的任意闭合面 的电通量都等于
。 见下图所示,
0/q ?
(3)通过不包围点电荷的任意闭合面 S的电通量恒
为 0。 见下图所示 。
(4)多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的电
通量的代数和,见下图所示 。
1.3.4 电力线的性质
(1)电力线的 起点 与 终点,
如果做小闭合面分别将电力线的起点和终点
包围起来,则必然有电通亮从前者通过,从后者穿
入,因而从高斯定理可得,在前者之内必有正电荷,
后者之内必有负电荷,这就是说电力线不会在没
有电荷的地方中断,
(2)电力线的 疏密 与 场强 的大小,
电力管,由一束电力线围成的管状区域,叫电力管,
由于电力线总是平行于电力管的侧壁,因而没有
电通量穿过侧壁,
亦即沿电力管场强的变化反比于它的垂直面
积,
12
21
ES
ES
??
?
1.3.5 高斯定理的应用举例
? 在使用高斯定理时一定要注意,公式中 E是带电
体系中所有电荷 (无论在高斯面内还是在高斯
面外 )产生的总场强,而 只是对高斯面内的电荷
求和,这是因为高斯面外的电荷对总通量没有贡
献,但不是对总场强没有贡献,
? 能够直接运用高斯定理求出场强的情形,都必须
具有一定的对称性,
例题,求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带电总
量为 q,半径为 R.
解, 如果 用场 强 迭加 法来 解 这个 题,就需 要 把带 电
球壳分割成许多小面元 dS,将各个小面元上电荷所产生
的元电场 dE进行矢量迭加,这样做是很复杂的,现在让我
们用高斯定理来处理就可使问题简化,首先分析电场分
布的对称性,由于电荷均匀分布在球壳上,这个带电体系
具有球对称性,因而电场分布也具有求对称性,
例题,求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带
电总量为 q,半径为 R.
如图,
根据电场的求对称性的特点,取
高斯面为通过 p点的同心球面,
通过此高斯面的电通量为
这里 r是高斯面的半径,即 op的
距离,
2
( ) ( )
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例题,求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带
电总量为 q,半径为 R.
上述对称性的分析对球壳内外均适用,所以上式
适用于无论比球壳大或小的高斯面,如果 p点在
球壳外 (r>R),则高斯面包围了球壳上的电荷 q.
根据高斯定理,
由此 p点的场强为
如果 p点在球壳内 (r<R),则高斯面内无电荷,
2
0
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§ 1.4 电位及其梯度
? 静电场力所做的功与路径无关
? 电位差与电位
? 电位迭加原理
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例 求距电偶极子相当远的 地方任意点的 电位。已
知电偶极子中两电荷 -q,+q的距离为 L。
? 解：设场点 p到 +q,-q的距离分别为 r+和 r-如
图，则 +q,-q单独存在时点 p的电位分别为
根据电位迭加原理
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例 求距电偶极子相当远的 地方任意点的 电位。已
知电偶极子中两电荷 -q,+q的距离为 L。
? 设 P点到电偶极子中点 O的距离为 r,PO连线与偶
极距方向的夹角为, 以 P为中心做两圆弧分别
过 +q,-q,弧与 PO连线分别交于 C,D,则
PC=r+,PD=r-,由于 r ＞＞ l,两弧线可近似看成是
PO的垂线, 所以
于是
代入Ｕ的表达式后，得
忽略 l的平方项，即得
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? 等位面, 电位相等的点所组成的面。
? 等位面的性质：
（ 1）等位面与电力线处处正交。
（ 2）等位面较密集的地方场强大。
? 任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电位
U是个标量。
1.4.1 等位面
1.4.2电位的梯度
? 梯度通常指一个物理量的空间变化率 。 用数学
语言来说, 就是物理量对空间坐标的微商 。
叫做沿的 方向的微商, 这是一种偏微商 。
梯度 定义：一个矢量, 它沿着 的方向, 大
小等于 。 这个矢量叫做梯度, 用 gradU或
来表示, 沿其余方向的微商 是梯度矢量在
该方向上的投影,
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UU
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1.4.3 电位与电场的关系
? 电位：
? 场强：
或
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§ 1.5 静电场的应用举例
? 1.5.1 在军事上的应用
? 1.5.2 在其他方面的应用
１,5.1在军事上的应用
? 隔墙探人技术
隔墙探人技术的应用，犹如士兵长了第
三只眼，能较早的发现隐蔽在墙后的敌人，
极大地提高了城市巷战人员的侦察与生存
能力。美国目前已开发出利用静电场、超
低频电磁能、雷达生命特征信号监测、超
宽带雷达原理的隔墙探测技术。
? 利用静电场技术实现隔墙探人的, 探人器,,
是利用人体能产生静电场以及两个极性相反
的静电场之间存在着吸引力的原理进行工作 。
自身仅重 0.45千克, 用 9伏电池供电, 可使用
3-4天, 能探测到 120-140米距离内的位于墙
壁后的人员 。 使用时, 操作手用, 探人器,
对四周进行扫描 。 当前方有人时,, 探人器,
的静电场与人体静电场产生引力, 将, 探人
器, 天线拉向人所在的方向, 使, 探人器,
对向人, 识别出与人匹配的静电场 。
1.5.2 在其他方面的应用
? 空气净化器：
静电吸附式空气 （ 消毒 ） 净化器的核心部件是
静电吸附装置 。 目前, 国内使用的大部分为蜂
窝状静电吸附装 置 (静电场 )。 蜂窝状静电场的
缺点是不仅工艺繁杂而且清洗困难, 产生较多
的臭氧和集尘效果差 。
? 国外最常用的静电吸附装置是两段式静电吸附
装置, 两段式静电吸附装置不其结构简明而且
极其容易清洗和永久性使用 。 两段式静电吸附
装置是由前部的 PLASMA放电方式的牢固的放
电丝和集尘板组成而后面是由正负极集尘板组
成因此其除菌效果和集尘效果远远超过蜂窝状
静电吸附装置 。
? 在学习和总结国内外的各种静电吸附装的
基础上，我国开发出了各种规格的两段式
静电吸附装置。在实践中已证实此静电吸
附装置的除菌和集尘效果明显而且在实际
应用中可以随时调节前后静电场的电压和
电流。为了用户清洗后按装时的方便，此
静电吸附装置采用了“触点式”连接方式
不 用任何电线来连接静电吸附装置与机
器。为了减少产生臭氧，在设计和制作板
与板之间的距离调节到最合适的位置。
? 两段式静电吸附装置的阻力非低不仅用
于静电吸附式空气净化器而且用于中央
空调的进风口或出风口以防止空气中的
微生物通过风到传播到室内 。
?
两段式静电吸附装置
? 阴极射线示波器：
静电场的最常见的一个应用就是带电粒子的偏
转, 这样可以控制电子或是质子的轨迹 。 很多
装置, 例如阴极射线示波器, 回旋加速器, 喷
墨打印机以及速度选择器等都是基于这一原理
的 。 阴极射线示波器中电子束的电量是恒定的,
而喷墨打印机中微粒子的电量却随着打印的字
符而变化 。 在所有的例子中带电粒子的偏转都
是通过两个平行板之间的电位差来实现的 。
阴极射线示波器 （ cathod-ray oscilloscope）
的基本特征：管体由玻璃制成, 并被抽成高度
真空 。 阴极被灯丝加热后发射电子 。 阳极与阴
极间有几百 V的电压差, 电子朝向阳极加速 。
阳极上有一个小孔允许极细的一束电子通过 。
这些被加速的电子将进入偏转区, 在那里它们
产生水平和垂直两个方向上的偏转 。
这些电子轰击一个由能发射可见光的物质
（ 磷 ） 所覆盖的荧光屏的内表面 。 如果阳极
和阴极间的电压差保持恒定, 电子的偏转量
与垂直偏转板间的电位差成正比 。 水平偏转
板间的电位差, 可以使电子在 y方向上运动 。
因此, 电子束撞击荧光屏的点的位置依赖于
水平和垂直偏转电压 。
本章小结
一、静电场性质的表现
1、静电场对于置于场内带电体有力的作用
2、带电体在电场力的作用下移动时，电场力对它
作功。
二、表征电场性质的物理量
1,E
点电荷：
点电荷组：
：
2
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分布电荷：
连续电荷体分布：
面分布：
线分布：
2,U
空间任意点：
点电荷：
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点电荷组,；分布电荷：
3,E与 U的关系,；
三、静电场基本定理
1、高斯定理：
2、环路定理：
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qU
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解题方法,
一、求解电场分布的方法
1、利用迭加原理
2、利用高斯定理
3、利用 E,U关系：已知 E求 U,；已知
U求 E,；
二、常用解题公式
1、电偶极子的场强：
延长线上：
中垂面上：
p
p p
AU E d l
q
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3
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2、均匀带电无限长细棒场强：
3、均匀带电细环的场强：
轴上：
环心：
4、均匀带电无限大平面外场强：
两均匀带异号电荷无限大平面：
5、均匀带电球壳场强,r>R
E=0 r<R
2 2 3 / 2
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2
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本章习题
1、半径为 a的圆盘均匀带电，电荷面密度为,求圆
盘在轴线上一点 p处的场强和电位。
2、一电荷按体密度 球对称分布，求（ 1）电场分
布的表达式；（ 2）当电荷为总电荷一半时，其半
径为多少？
3、线电荷密度为 的无限长均匀带电线，分别
弯成如图两种形状，若圆弧半径为 R，试求图
中 O点的场强。
e?
