第三章 受弯构件正截面强
度计算
设计受弯构件时，一般应满足下列两方面要求：
（ 1） 由于弯矩 M的作用, 构件可能沿某个
正截面 （ 与梁的纵轴线或板的中面正交时
的面 ） 发生破坏, 故需进行正截面强度计
算
（ 2） 由于弯矩 M和剪力 Q的共同作用, 构件
可能沿剪压区段内的某个斜截面发生破坏,
故需进行斜截面强度计算
第一节 截面的形式和构造
截面型式和尺寸
（ 1）板
混凝土板：现浇板
预制板,b=1m（ 标准板 ）, b=1.5m
mL 10? 实心板； mL 10? 空心板
行车道板 mmh 100?
人行道板 mmh 80? （现浇）
mmh 50? （预制）
（ 2） 梁
现浇，预制
截面形式：矩形, T行, I字型, ∏ （ 铁路桥
多用 ）, 箱型
构造要求,h,b满足模数的要求 。
受弯构件的钢筋构造
（ 1） 板的钢筋
单向板, 双向板, 悬臂板
单向板,单向传递弯矩, 单向配主钢
筋, 另一方向配分布钢筋 。
双向板,双向传递弯矩, 双向配主钢
筋 。
双向板,四边支承板, 且长边与短边
的比值小于 2,在短边方向配主筋, 在长边方
向配细钢筋 。
（ 2） 梁的钢筋
⑴ 钢筋骨架：绑扎钢筋骨架
焊接钢筋骨架：焊缝长度
⑵ 梁内钢筋分类：
? 主钢筋：抵抗弯矩引起得拉, 压应力 。 受拉主筋, 受压主筋
? 弯起钢筋：抗剪 （ 斜筋 ） ；
? 箍筋：抗剪, 联结各种钢筋, 形成骨架；
? 架立筋 — （ 不是受力原因 ） 构成钢筋骨架；
? 水平纵向钢筋 — 抵抗混凝土收缩, 温度变化引起得应力 。
??
?
??
??
dl
ll
5
2
单面焊
双面焊
（ 3） 构造要求
? 主钢筋：
? 箍筋：
? 架立筋：
? 水平纵向筋：当
mmd 10?
mmd 6? 用 Ⅰ, Ⅱ 级不能用 Ⅲ 级以上的钢筋。
mmd 1410 ～?
mh 1? 时设置。
第二节 受弯构件正截面受力全过程和破坏特征
试验研究
? 整体工作阶段 （ 阶段 Ⅰ ）
? 带裂缝工作阶段 （ 阶段 Ⅱ ）
截面开裂
? 破坏阶段 （ 阶段 Ⅲ ）
? 钢筋应力
? 混凝土压应力
? 强度计算 — 以阶段 Ⅲ 的应力状
况计算；
? 变形, 裂缝, 施工应力计算 —
以阶段 Ⅱ 的应力状况计算 。
gg R??
ah R??
受弯构件正截面破坏特征
⑴ 适筋梁破坏 — 塑性破坏 （ 规范要求设计范围 ）
适筋梁：
受拉钢筋先屈服, 受压区混凝土后压碎
⑵ 超筋梁破坏 — 脆性破坏
超筋梁：
受压区混凝土压碎, 受拉钢筋未屈服 。
⑶ 少筋梁破坏 — 脆性破坏
少筋梁：
混凝土一开裂, 受拉钢筋立即屈服, 梁断裂 。
max?? ?
m in?? ?
m axm i n ??? ??
第三节 受弯构件正截面承载能力计算的基本原则
⒈ 基本假定
⑴ 平截面假定
⑵ 不计受拉区混凝土的抗拉强度
⑶ 材料的应力应变关系
混凝土：混凝土的应力应变曲线有多种不同的计算图式,
较常用的是由一条二次抛物线及水平线组成的曲线 。
钢筋：简化的理想弹塑性应力应变关系 。
⒉ 受压区混凝土应力图形
受压区混凝土应力合力：
简化原则：合力大小和作用位置不变 。
,桥规, 规定：,
⒊ 混凝土受压区高度界限系数
适筋梁：,
超筋梁：,
界限破坏：,
的确定：界限破坏时截面高度 。 两种材料应力同时达到屈
服极限 。
界限破坏时：
ig?
max??? 0hx ig??
max??? 0hx ig??
max??? 0hx ig??
003.0m ax ?? sgg ER /??
x
gg
c xh
ER
x ?? 0
m ax /?
gg
c ER
hx
/m a x
m a x0
??? ?
?
gg
c
jg ERh
x
h
x
003.0/1
9.09.0
00 ?
????
ig?
4 最小配筋率
m i n
?
s
l
R
?
? 233.0
m i n
?
其中,
l
R
— 混凝土抗拉强度；
s
?
— 钢筋的屈服应力。
m i n
0
??
bh
A
g
第四节 单筋矩形截面受弯构件
⒈ 基本公式及适用条件
（ 3-13）
（ 3-14）
（ 3-15）
适用条件,⑴ 或
⑵
qqggj MMM ?? ?? ? ? ??
?
?
???
???
s
s
c
c
dbigd
RRRQGS
?????,,
ggagg
s
a
c
ARbxRARbxRH ????? ?? 11 0
?????? ????? 21 0 0 xhbxRMMM a
c
ujz ?
?????? ????? 21 0 0 xhARMMM gg
s
ujD ?
0hx jg?? gajgg RRbhA // m a x0 ??? ???
m in0/ ?? ?? bhA g
⒉ 计算方法
截面设计
已知 求：
计算步骤：
⑴ 设 a,至少在 3cm以上, 但不能过大 （ 4～ 5cm适中 ）
则 。
由 解得
⑵ 若, 则增大截面 h或 b,再重求 x；
bhRRM gcj,,,,xAg,
ahh ??0
? ? 0zM
bR
Mhhx
a
jc?22
00 ???
0hx ig??
⑶ 解得：
⑷ 检验, 若, 则
选择钢筋的直径, 根数, 进行布置
满足布置净距要求的前提下, 尽量选用细钢筋 （ 因为粗钢筋产生的裂缝
大 ）
? ? 0H
bxRRA
g
a
g ?
m i n
0
?? ?? bhA g min??? 0m inbhAg ??
截面强度复核
已知：, 检验
计算步骤：
⑴ 检查钢筋是否符合构造要求；
⑵ 计算, 检验
⑶ 由 得：, 若, 则取
⑷ 由 得：
ugga MaARRhb,,,,,,ju MM ?
0bh
Ag?? min???
? ? 0H bR ARx
a
gg?
0hx ig?? 0
hx ig??
? ? 0zM ?????? ?? 21 0 xhbxRM a
c
u ?
第五节 双筋矩形截面受弯构件
⒈ 双筋截面适用范围：
? 当弯矩较大, h受到限制, 按单筋设计 （ 如立交桥 ） 为超
筋梁；
? 截面承受异号弯矩 。
? 装配式构件, 为减轻自重 。
⒉ 受压钢筋应力
每根箍筋所箍受压钢筋每层不多于 3根 。
当 时,
Ⅰ 级钢筋,
Ⅱ 级钢筋,
高强钢筋,
c
c
u
g
x
ax '' ??
?
? cxx 9.0?
?????? ?? x ag '9.010 0 3.0'?
'2ax?
0 0 2.0' ?g?
M P aRM P aE gggg 2 4 04 2 0 '''' ???? ??
M P aRM P aE gggg 3 4 04 0 0 '''' ???? ??
M P aR g 400' ?
⒊ 基本公式及适用条件
（ 3-33）
（ 3-34）
适用条件,适筋梁
当 时
取
? ? 0H '' ggagg ARbxRAR ??
? ?0zM ? ?'121 0''0 ahARxhbxRMM gg
s
a
c
uj ????
??
?
? ???
??
0hx ig?? '2ax?
0
1 SRM
a
c
j ??
000
1
2
1 SRhbhRM
a
c
a
c
u ?? ???
'2ax? '' gg R???
'2ax? ? ?'1 0 ahARMM gg
s
uj ??? ?
⒋ 计算方法
截面设计
1 ）已知 j
M
，
b
，
h
，
g
R
，
'
g
R
,a
R
求 g
A
，
'
g
A
，
x
计算步骤,
①检查当
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
2
0
1
5.01
1
SRM
bhRM
a
c
j
igiga
c
j
?
??
?
时,按双筋梁设计；
②设 0
hx
ig
??
，由（ 3 - 34 ）得
'
g
A
③ 由 （ 3 - 33 ） 得
g
A
④布置钢筋
2） 已知
解：
① 判断
② 得
③, ⑴ 增大截面高度, 或增大
⑵, 直接算
⑶
xAARRMhb ggagj,,,,,,,求?
01 SRM acj ??
x
0hx ig?? 'gA
0'2 hxa ig??? gA
'2ax? '' gg R???
? ?'01 ahR
MA
g
jsg
??
?
? ?0zM
uj MM ?
? ?'01 ahR MA g jsg ?? ?
0' ?gA
x 2gA
? ?21,m in ggg AAA ?
a） 计入受压钢筋的作用, 由 （ 3-38） 式得到
b） 不计受压钢筋的作用, 令, 由 （ 3-13）, （ 3-14）
解出一组 和,
则：
强度复核
已知
计算步骤：
① 检验
② 由 （ 3-33） 得
③ 若 则取
④ 直接求出
⑤
a） 计入受压钢筋的作用, 由式 （ 3-38） 得到
b） 不计受压钢筋的作用, 令, 解出 和, 取用
ujugggga MMMAARRRhb ??? 要求求,,,,,,,,
01 SRM acj ??
x
0hx ig?? 0hx ig??
0'2 hxa ig??? uM
'2ax? '' gg R???
uM
0?gA x uM
? ?21,m a x uuu MMM ?
第六节 T形截面受弯构件
T形截面特点：减轻了自重, 节省了材料, 提高了承受活载弯矩的能力 。
缺点：施工复杂 （ 与矩形截面梁比较 ）
空心板：
翼缘的计算宽度
距腹板越近, 应力越大, 翼缘端部应力最小 。
有效分布宽度：
① 简支梁的 ； ② 两梁轴间距； ③
Dhk 23? Dbk ?
6
3,?
'ib
3/L '122 ihCb ??
? ?③②①,,m in' ?ib
计算厚度, ? ?
21' 21 hhhi ??
⒈ 基本公式及适用条件
? 第一类 T型截面
按宽度为 的矩形截面计算：
要求：
)( 'ihx ?
'ib
ggia ARxbR ?'
?????? ??? 21 0' xhxbRMM ia
c
uj ?
0hx ig?? m in
0
?? ?? bhA g
? 第二类 T型截面
要求：
? ?bbhRxbRAR iiaiagg ??? '''
? ? ??
?
?
???
? ???
?????? ??? 2121
'
0
''
0 iiia
c
a
c
uj
hhbbhRxhbxRMM
??
0hx ig?? m i n
0
?? ?? bhA g
)( 'ihx ?
⒉ 设计方法
设计中,⑴ h由高跨比 h/L＝ 1/11～ 1/16确定；
⑵ b由抗剪要求和构造要求确定,14～
18以上, (构造要求 ） ；
⑶ 由悬臂板抗弯, 抗剪要求确定；
⑷ 由行车道宽度和 T梁梁数确定 。
标准,1.6m
'ih
'ib
cmb 18?
? 截面设计
已知：
1）判断截面类型
，第一类 T；
，第二类 T；
2）当为第一类时，由（ 3－ 42）式求 x，式（ 3－ 41）求 Ag
3） 当为第二类时, 由 （ 3－ 45） 式求 x,且需满足 hi’<x<ζ jgh0
（ 若 x>ζ jgh0, 则增大 h）, 再由式 （ 3－ 44） 求 Ag
xAMRRhbbh gjgaii,求、、、、、、,??
''0''
2
1 iiiia
cj
hxhhhbRM ?????????? ?? ?
''0'' 21 iiiia
cj
hxhhhbRM ?????????? ?? ?
? 强度复核
已知,要求
⑴ 判断截面类型
,第一类 T；
,第二类 T；
⑵ 当为第一类 T形截面时, 由 （ 3－ 41） 和式 （ 3－ 42）
求
⑶ 当为第二类 T形截面时, 由 （ 3－ 44） 和式 （ 3－ 42）
求
,xMRRhbbh ugaii,、求、、、、,?? ju MM ?
''' iggiia hxARhbR ???
''' iggiia hxARhbR ???
uMx和
uMx和
度计算
设计受弯构件时，一般应满足下列两方面要求：
（ 1） 由于弯矩 M的作用, 构件可能沿某个
正截面 （ 与梁的纵轴线或板的中面正交时
的面 ） 发生破坏, 故需进行正截面强度计
算
（ 2） 由于弯矩 M和剪力 Q的共同作用, 构件
可能沿剪压区段内的某个斜截面发生破坏,
故需进行斜截面强度计算
第一节 截面的形式和构造
截面型式和尺寸
（ 1）板
混凝土板：现浇板
预制板,b=1m（ 标准板 ）, b=1.5m
mL 10? 实心板； mL 10? 空心板
行车道板 mmh 100?
人行道板 mmh 80? （现浇）
mmh 50? （预制）
（ 2） 梁
现浇，预制
截面形式：矩形, T行, I字型, ∏ （ 铁路桥
多用 ）, 箱型
构造要求,h,b满足模数的要求 。
受弯构件的钢筋构造
（ 1） 板的钢筋
单向板, 双向板, 悬臂板
单向板,单向传递弯矩, 单向配主钢
筋, 另一方向配分布钢筋 。
双向板,双向传递弯矩, 双向配主钢
筋 。
双向板,四边支承板, 且长边与短边
的比值小于 2,在短边方向配主筋, 在长边方
向配细钢筋 。
（ 2） 梁的钢筋
⑴ 钢筋骨架：绑扎钢筋骨架
焊接钢筋骨架：焊缝长度
⑵ 梁内钢筋分类：
? 主钢筋：抵抗弯矩引起得拉, 压应力 。 受拉主筋, 受压主筋
? 弯起钢筋：抗剪 （ 斜筋 ） ；
? 箍筋：抗剪, 联结各种钢筋, 形成骨架；
? 架立筋 — （ 不是受力原因 ） 构成钢筋骨架；
? 水平纵向钢筋 — 抵抗混凝土收缩, 温度变化引起得应力 。
??
?
??
??
dl
ll
5
2
单面焊
双面焊
（ 3） 构造要求
? 主钢筋：
? 箍筋：
? 架立筋：
? 水平纵向筋：当
mmd 10?
mmd 6? 用 Ⅰ, Ⅱ 级不能用 Ⅲ 级以上的钢筋。
mmd 1410 ～?
mh 1? 时设置。
第二节 受弯构件正截面受力全过程和破坏特征
试验研究
? 整体工作阶段 （ 阶段 Ⅰ ）
? 带裂缝工作阶段 （ 阶段 Ⅱ ）
截面开裂
? 破坏阶段 （ 阶段 Ⅲ ）
? 钢筋应力
? 混凝土压应力
? 强度计算 — 以阶段 Ⅲ 的应力状
况计算；
? 变形, 裂缝, 施工应力计算 —
以阶段 Ⅱ 的应力状况计算 。
gg R??
ah R??
受弯构件正截面破坏特征
⑴ 适筋梁破坏 — 塑性破坏 （ 规范要求设计范围 ）
适筋梁：
受拉钢筋先屈服, 受压区混凝土后压碎
⑵ 超筋梁破坏 — 脆性破坏
超筋梁：
受压区混凝土压碎, 受拉钢筋未屈服 。
⑶ 少筋梁破坏 — 脆性破坏
少筋梁：
混凝土一开裂, 受拉钢筋立即屈服, 梁断裂 。
max?? ?
m in?? ?
m axm i n ??? ??
第三节 受弯构件正截面承载能力计算的基本原则
⒈ 基本假定
⑴ 平截面假定
⑵ 不计受拉区混凝土的抗拉强度
⑶ 材料的应力应变关系
混凝土：混凝土的应力应变曲线有多种不同的计算图式,
较常用的是由一条二次抛物线及水平线组成的曲线 。
钢筋：简化的理想弹塑性应力应变关系 。
⒉ 受压区混凝土应力图形
受压区混凝土应力合力：
简化原则：合力大小和作用位置不变 。
,桥规, 规定：,
⒊ 混凝土受压区高度界限系数
适筋梁：,
超筋梁：,
界限破坏：,
的确定：界限破坏时截面高度 。 两种材料应力同时达到屈
服极限 。
界限破坏时：
ig?
max??? 0hx ig??
max??? 0hx ig??
max??? 0hx ig??
003.0m ax ?? sgg ER /??
x
gg
c xh
ER
x ?? 0
m ax /?
gg
c ER
hx
/m a x
m a x0
??? ?
?
gg
c
jg ERh
x
h
x
003.0/1
9.09.0
00 ?
????
ig?
4 最小配筋率
m i n
?
s
l
R
?
? 233.0
m i n
?
其中,
l
R
— 混凝土抗拉强度；
s
?
— 钢筋的屈服应力。
m i n
0
??
bh
A
g
第四节 单筋矩形截面受弯构件
⒈ 基本公式及适用条件
（ 3-13）
（ 3-14）
（ 3-15）
适用条件,⑴ 或
⑵
qqggj MMM ?? ?? ? ? ??
?
?
???
???
s
s
c
c
dbigd
RRRQGS
?????,,
ggagg
s
a
c
ARbxRARbxRH ????? ?? 11 0
?????? ????? 21 0 0 xhbxRMMM a
c
ujz ?
?????? ????? 21 0 0 xhARMMM gg
s
ujD ?
0hx jg?? gajgg RRbhA // m a x0 ??? ???
m in0/ ?? ?? bhA g
⒉ 计算方法
截面设计
已知 求：
计算步骤：
⑴ 设 a,至少在 3cm以上, 但不能过大 （ 4～ 5cm适中 ）
则 。
由 解得
⑵ 若, 则增大截面 h或 b,再重求 x；
bhRRM gcj,,,,xAg,
ahh ??0
? ? 0zM
bR
Mhhx
a
jc?22
00 ???
0hx ig??
⑶ 解得：
⑷ 检验, 若, 则
选择钢筋的直径, 根数, 进行布置
满足布置净距要求的前提下, 尽量选用细钢筋 （ 因为粗钢筋产生的裂缝
大 ）
? ? 0H
bxRRA
g
a
g ?
m i n
0
?? ?? bhA g min??? 0m inbhAg ??
截面强度复核
已知：, 检验
计算步骤：
⑴ 检查钢筋是否符合构造要求；
⑵ 计算, 检验
⑶ 由 得：, 若, 则取
⑷ 由 得：
ugga MaARRhb,,,,,,ju MM ?
0bh
Ag?? min???
? ? 0H bR ARx
a
gg?
0hx ig?? 0
hx ig??
? ? 0zM ?????? ?? 21 0 xhbxRM a
c
u ?
第五节 双筋矩形截面受弯构件
⒈ 双筋截面适用范围：
? 当弯矩较大, h受到限制, 按单筋设计 （ 如立交桥 ） 为超
筋梁；
? 截面承受异号弯矩 。
? 装配式构件, 为减轻自重 。
⒉ 受压钢筋应力
每根箍筋所箍受压钢筋每层不多于 3根 。
当 时,
Ⅰ 级钢筋,
Ⅱ 级钢筋,
高强钢筋,
c
c
u
g
x
ax '' ??
?
? cxx 9.0?
?????? ?? x ag '9.010 0 3.0'?
'2ax?
0 0 2.0' ?g?
M P aRM P aE gggg 2 4 04 2 0 '''' ???? ??
M P aRM P aE gggg 3 4 04 0 0 '''' ???? ??
M P aR g 400' ?
⒊ 基本公式及适用条件
（ 3-33）
（ 3-34）
适用条件,适筋梁
当 时
取
? ? 0H '' ggagg ARbxRAR ??
? ?0zM ? ?'121 0''0 ahARxhbxRMM gg
s
a
c
uj ????
??
?
? ???
??
0hx ig?? '2ax?
0
1 SRM
a
c
j ??
000
1
2
1 SRhbhRM
a
c
a
c
u ?? ???
'2ax? '' gg R???
'2ax? ? ?'1 0 ahARMM gg
s
uj ??? ?
⒋ 计算方法
截面设计
1 ）已知 j
M
，
b
，
h
，
g
R
，
'
g
R
,a
R
求 g
A
，
'
g
A
，
x
计算步骤,
①检查当
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
2
0
1
5.01
1
SRM
bhRM
a
c
j
igiga
c
j
?
??
?
时,按双筋梁设计；
②设 0
hx
ig
??
，由（ 3 - 34 ）得
'
g
A
③ 由 （ 3 - 33 ） 得
g
A
④布置钢筋
2） 已知
解：
① 判断
② 得
③, ⑴ 增大截面高度, 或增大
⑵, 直接算
⑶
xAARRMhb ggagj,,,,,,,求?
01 SRM acj ??
x
0hx ig?? 'gA
0'2 hxa ig??? gA
'2ax? '' gg R???
? ?'01 ahR
MA
g
jsg
??
?
? ?0zM
uj MM ?
? ?'01 ahR MA g jsg ?? ?
0' ?gA
x 2gA
? ?21,m in ggg AAA ?
a） 计入受压钢筋的作用, 由 （ 3-38） 式得到
b） 不计受压钢筋的作用, 令, 由 （ 3-13）, （ 3-14）
解出一组 和,
则：
强度复核
已知
计算步骤：
① 检验
② 由 （ 3-33） 得
③ 若 则取
④ 直接求出
⑤
a） 计入受压钢筋的作用, 由式 （ 3-38） 得到
b） 不计受压钢筋的作用, 令, 解出 和, 取用
ujugggga MMMAARRRhb ??? 要求求,,,,,,,,
01 SRM acj ??
x
0hx ig?? 0hx ig??
0'2 hxa ig??? uM
'2ax? '' gg R???
uM
0?gA x uM
? ?21,m a x uuu MMM ?
第六节 T形截面受弯构件
T形截面特点：减轻了自重, 节省了材料, 提高了承受活载弯矩的能力 。
缺点：施工复杂 （ 与矩形截面梁比较 ）
空心板：
翼缘的计算宽度
距腹板越近, 应力越大, 翼缘端部应力最小 。
有效分布宽度：
① 简支梁的 ； ② 两梁轴间距； ③
Dhk 23? Dbk ?
6
3,?
'ib
3/L '122 ihCb ??
? ?③②①,,m in' ?ib
计算厚度, ? ?
21' 21 hhhi ??
⒈ 基本公式及适用条件
? 第一类 T型截面
按宽度为 的矩形截面计算：
要求：
)( 'ihx ?
'ib
ggia ARxbR ?'
?????? ??? 21 0' xhxbRMM ia
c
uj ?
0hx ig?? m in
0
?? ?? bhA g
? 第二类 T型截面
要求：
? ?bbhRxbRAR iiaiagg ??? '''
? ? ??
?
?
???
? ???
?????? ??? 2121
'
0
''
0 iiia
c
a
c
uj
hhbbhRxhbxRMM
??
0hx ig?? m i n
0
?? ?? bhA g
)( 'ihx ?
⒉ 设计方法
设计中,⑴ h由高跨比 h/L＝ 1/11～ 1/16确定；
⑵ b由抗剪要求和构造要求确定,14～
18以上, (构造要求 ） ；
⑶ 由悬臂板抗弯, 抗剪要求确定；
⑷ 由行车道宽度和 T梁梁数确定 。
标准,1.6m
'ih
'ib
cmb 18?
? 截面设计
已知：
1）判断截面类型
，第一类 T；
，第二类 T；
2）当为第一类时，由（ 3－ 42）式求 x，式（ 3－ 41）求 Ag
3） 当为第二类时, 由 （ 3－ 45） 式求 x,且需满足 hi’<x<ζ jgh0
（ 若 x>ζ jgh0, 则增大 h）, 再由式 （ 3－ 44） 求 Ag
xAMRRhbbh gjgaii,求、、、、、、,??
''0''
2
1 iiiia
cj
hxhhhbRM ?????????? ?? ?
''0'' 21 iiiia
cj
hxhhhbRM ?????????? ?? ?
? 强度复核
已知,要求
⑴ 判断截面类型
,第一类 T；
,第二类 T；
⑵ 当为第一类 T形截面时, 由 （ 3－ 41） 和式 （ 3－ 42）
求
⑶ 当为第二类 T形截面时, 由 （ 3－ 44） 和式 （ 3－ 42）
求
,xMRRhbbh ugaii,、求、、、、,?? ju MM ?
''' iggiia hxARhbR ???
''' iggiia hxARhbR ???
uMx和
uMx和
